人教版高中數(shù)學(xué)必修5第一章《正弦定理和余弦定理》教學(xué)設(shè)計

教設(shè)整設(shè)教分本節(jié)內(nèi)容是正弦定理教學(xué)的第一節(jié)課主要任務(wù)是引入并證明正弦定理好弦定理的教學(xué)不能復(fù)習(xí)鞏固舊知使學(xué)生掌握新的有用的知識體聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點而能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實踐操作能力及提出問題解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力．在初中學(xué)習(xí)過關(guān)于任意三角形中大邊對大角邊對小角的邊角關(guān)系本節(jié)內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系初學(xué)的三角形的邊與角的基本關(guān)系有著密切的聯(lián)系里的一個重要問題是是能得到這個角關(guān)系準確量化的表示也就是如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題樣用系的觀點從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)法主要指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀——想證—應(yīng)用”這一思維方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力．本節(jié)課以及后面的解三角形中涉及到計算器的使用與近似計算，這是一種基本運算能力，學(xué)生基本上已經(jīng)掌握了．若在解題中出現(xiàn)了錯誤，則應(yīng)及時糾正出現(xiàn)問題就順其自然，不必花費過多的時間．本節(jié)可結(jié)合課件“正弦定理猜想與驗證”學(xué)習(xí)正弦定理．三目．通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．．通過正弦定理的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法去解決實際問題的能力通學(xué)生的積極參與和親身實踐并成功解決實際問題激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考和勇于探索的創(chuàng)新精神．重難教學(xué)重點：正弦定理的證明及其基本運用．教學(xué)難點正弦定理的探索和證已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時斷的個數(shù)．課安

時教過導(dǎo)新思路1.(特例引入教師可先通過直角三角形的特殊性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生推出正弦定理形式如eq\o\ac(△,Rt)中的邊角關(guān)系，若C為角，則有acsinAb＝，這兩個等式間存在關(guān)系a嗎？學(xué)生可以得到＝，一步提問，等式能否與邊c和∠C建聯(lián)系？從而展開正sinB弦定理的探究．思路2.(情境導(dǎo)入如圖農(nóng)為了及時發(fā)現(xiàn)火情場中設(shè)立了兩個觀測點A和B某日兩個觀測點的林場人員分別測到有火情發(fā)生．在A處到火情在北偏西方向，而在處到火情在北西方向，已知B在A正東方向千米處．現(xiàn)在要確定火場CAB多？將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即“在△ABC中已∠＝130°∠CBA＝30°AB千米，求AC與BC的．”這就是一個解三角形的問題．為此我們需要學(xué)習(xí)一些解三角形的必要知識天要探究的是解三角形的第一個重要定——正弦定理此展開新課的探究學(xué)習(xí)．推新新知探究提出問題言，明確本章將學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容及本章將要解決哪些問題？的三角函數(shù)中的邊角關(guān)系能否得到直角三角形中角與它所對的之間在數(shù)量上有什么關(guān)系？對般三角形是否仍然成立？內(nèi)容是什么，你能用文字語言敘述它嗎？你能用哪些方法證明它三角形？理可以解決一些怎樣的三角形問題呢？活動教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀本章引出章數(shù)學(xué)知識的某些重要的實際背景及其實際

需要使生初步認識到學(xué)習(xí)解角形知識的必要性教師可提出以下問題怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向？怎樣測量底部不可到達的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨?？這些實際問題的解決需要我們進一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識明確本章將要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個定理解三角形及解決測量中的一些問題．關(guān)于任意三角形中大邊對大角、小邊對小角的邊角關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生探究其數(shù)量關(guān)系．先觀察特殊的直角三角形．如下圖，在ABC中，設(shè)BC＝，＝，AB，根a據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義＝，＝sinC＝＝＝＝ccsinB＝從而在eq\o\ac(△,Rt)中，

a＝＝那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖討論分析．如下圖，eq\o\ac(△,當)ABC是角三角形時，設(shè)邊A的高是CD，根據(jù)任意角的三函數(shù)的ababc定義，有CD＝＝bsinA則＝.理，可得＝從＝＝sinBsinB(當△是角三角形時解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完通過上面的討論和探究我知在任意三角形中上述等式都成立教師點出這就是今天要學(xué)習(xí)的三角形中的重要定——弦定理．正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即a＝＝sinB上述的探究過程就是正弦定理的證明方法分直角三角形銳角三角形鈍角三角形

三種情況進行證明師提醒學(xué)生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想時撥學(xué)生觀察正弦定理的特征出任意三角形中與其對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系任意三角形中大邊對大角的一種準確的數(shù)量關(guān)系．因為如果∠A＜B由三角形性質(zhì)，得aπ當∠A、∠B都銳角，由正弦函數(shù)在區(qū)(0)上單調(diào)性，可知sinA＜sinB.∠A是π角，∠是鈍角時，由∠A∠B，因此∠π－∠A，正弦函數(shù)在區(qū)(，上的單調(diào)性，可知＞－A)＝sinA，以仍有＜正弦定理的證明方法很多了述的證明方法以外師鼓勵學(xué)生課下進一步探究正弦定理的其他證明方法．討論結(jié)果：(1)～(4)略．(5)已知三角形的幾個元素(把三角形的三個角AB和們的對邊abc叫三角形的元素求其他元素的過程叫做解三角．應(yīng)正弦定理可解決兩類解三角形問題：①已知三角形的任意兩個角與一邊，由三角形內(nèi)角和定理計算出三角形的另一角正定理計算出三角形的另兩邊兩角一邊問題”這類問題的解是一的②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角以計算出另一邊的對角的正弦值而定這個角和三角形其他的邊和角“邊一對角問題”．這類問題的答案有時不是唯一的，需根據(jù)實際情況分類討論．應(yīng)用示例例△中已知∠A＝32.0°∠B81.8°，＝cm，解此三角形．活動解角形就是已知三角形某些邊和角其他的邊和角的過程在本例中就是求解∠C，b，c.此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題接應(yīng)用正弦定理可求出邊若求邊c，則先求C再利用正弦定理即可．解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠C＝180°(∠A∠＝－(32.0°＋81.8°)＝根據(jù)正弦定理，得42.9sin81.8°＝＝≈80.1(cm)；sin32.0°

asinC42.9sin66.2°c＝＝≈．sin32.0°點評：此問題結(jié)果為唯一解，學(xué)生較易掌握，如果已知兩角及兩角所夾的邊，也是先利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個，再利用正弦定理．(2)對于解三角形中的復(fù)雜運算可用計算器．變訓(xùn)在△中結(jié)保留兩個有效數(shù)字，(1)已知c＝3A＝45°，B＝，求；(2)已知＝，A＝，＝120°求a.解：(1)∵＝180°(A＋＝－＋＝75°，＝，sinBsinC∴b＝≈1.6.sinCsin75°(2)∵

ab＝，sinBbsinA∴＝＝≈6.9.sinB例2已△ABC根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的三角形中其他邊和角的大(保留根號或精確到：(1)∠A＝，∠B45°a＝10(2)a＝3＝4，∠A；＝36＝，∠＝活動：師可引導(dǎo)學(xué)生先畫圖，加強直觀感知，明確解的實際情況，這樣在求解之后，無需作進一步的檢驗，使學(xué)生在運用正弦定理求邊、角時，感到目的明確，思路清晰流暢，同時體會分析問題的重要性，養(yǎng)成解題前自覺判定解題策略的良好習(xí)慣，而不是盲目亂試，靠運氣解題．解：(1)為C180°－－＝75°，所以由弦定理，得106asinC10sin75°＝＝＝≈8.2＝＝≈如圖示．sin60°3sin60°

圖(2)由正弦定理，得bsinA2sinB＝＝＝，a3因此∠≈或B≈138.2°(圖2所)．圖當∠41.8°時，asinC3sin108.2°∠C≈180°－＝，c＝＝≈5.7；sin30°當∠時，∠C≈180°－138.2°＝11.8°，asinC3sin11.8°c＝＝≈如圖2所示．sin30°(3)由正弦定理，得66sin120°2＝＝＝＝，36因此∠C＝或C＝135°.因為∠＝120°，所以＜60°.因此∠C＝，A＝180°－∠－∠＝再由正弦定理，得bsinAa＝≈如圖示．sinB3

圖點評：過此例題可使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能，可以通過分析獲得，這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形對不符合題意的解的取舍也可通過三角形的關(guān)性質(zhì)來判斷于這一點我通過下面的變式訓(xùn)練來體會．變訓(xùn)在△中已＝60＝A＝38°，求B(確到和保留兩個有效數(shù)字解：∵b＜，B＜A，因此B也銳角．bsinA∵sinB＝＝≈1a∴B31°.∴C＝180°(A＋＝180°－(38°＋31°)111°.asinC∴c＝＝≈91.sin38°BD例圖，在△中∠A角平分線與相于點D求證：＝AC活動這初中平面幾何中角平線的性質(zhì)定理平面幾何的方法很容易證得材安排本例的目的是讓學(xué)生熟悉正弦定理的應(yīng)用可引導(dǎo)學(xué)生分析相關(guān)的三角形的邊角關(guān)系，讓學(xué)生自己證明．證明：圖，在△和△，由正弦定理，得BDAB＝，sinβsinα

ACAC＝＝，sinβsin－sinαBD①②得＝.AC點評解完此題后讓學(xué)生體會是何通過正弦定理把所要證的線段連在一起的例以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系注意互補角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用．例4在ABC中A，B∶C＝4∶，大邊長為，求角B、C，接圓半徑R及面積S.活動：師引導(dǎo)學(xué)生分析條件B∶＝4，由于ABC＝180°由此可求解出B、C，樣就轉(zhuǎn)化為已知三個角及最大角所對的邊解三角形，顯然其解唯一，結(jié)合正弦定理的平面幾何證法由可解三角形師讓學(xué)生自己探究此題對于思路有阻的學(xué)生可給予適當點撥．解：A＋＋＝及BC＝∶，可設(shè)B4k＝5k，則＝，k＝，那么60°，C75°.由正弦定理，得R＝6－2)由面積公式＝＝c·2RsinB·sinA＝752點評：面積時未知但可轉(zhuǎn)化為＝2RsinB，從而解決題．

222222222222222222222222222222222222在△ABC，(a＋

－B)＝(a－

2

，△是()A等腰三角形B直角三角形C．腰直角三角形D．腰直角三角形答：D解：用正弦定理＝2RsinA，＝以結(jié)論sinAB＋B)·sin(A－B)由(a＋)sin(A－B)(a－b∴(sin

AB)sin(A－B)＝

A－sin∴(sinA＋B)sin(A－B)＝＋B)·sin(A－若sin(AB)＝0，則A若sin(AB)≠0，則A＋B＝sin＋b＝∴△為腰角形或直角三角形．故選D.．已知ABC，A∶∶C＝1∶∶3那么∶∶c等于)A．1∶2∶3B3∶2C．∶∶．∶∶答：知能訓(xùn)練．在△ABC中a＝，＝30°C，則△ABC的積S的是)B.＋C.(3D22．在ABC中已知a＝5B＝C＝，則此三角形的最大邊長__________．在△ABC中若(－c)cosAacosC，則cosA__________.答：acasinC．解析由正弦理＝，得＝＝，B＝180°A－＝，1∴△的積S＝acsinB×2×22sin105°＝＋＋

解：B＝，C，A＝∴b為ABC的長．

由正弦定理，得52＋＝＝＝sin60°6

解：正弦定理，知a，＝，c＝為ABC外接圓半)∴(－sinC)cosA＝，化簡，得＝sin(A＋C)＝∵0sinB≤1∴cosA＝

課堂小結(jié)．先由學(xué)生回顧本節(jié)課正弦定理的證明方法、正弦定理可以解決的兩類問題及解三形需要注意的問題，特別是兩解的情況應(yīng)怎樣理解．．我們在推證正弦定理時采用了從特殊到一般的分類討論思想，以“直角三角形”問題情境，由此展開問題的全面探究，正弦定理的證明方法很多，如平面幾何法、向量法、三角形面積法等．讓學(xué)生課后進一步探究這些證明方法，領(lǐng)悟這些方法的思想內(nèi)涵．．通過例3引入了三角形外接圓半徑與弦定理的關(guān)系．但應(yīng)引起學(xué)生注意的引入能給我們解題帶來極大的方便．作業(yè)習(xí)題—組1、3.設(shè)感本教案設(shè)計思路是立于所創(chuàng)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流生身經(jīng)歷提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受創(chuàng)造的快樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到較好的落實．本教案的設(shè)計時刻注意引導(dǎo)并鼓勵學(xué)生提出問題方鼓勵學(xué)生大膽地提出問題一方面注意妥善處理學(xué)生提出的問題，啟發(fā)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將問題逐步引向深入根上述設(shè)想引學(xué)生從興趣的實際問題到他們所熟悉的直角三角形中出標問題在直角三角形中的情況從形成猜想激進一步探究的欲望然后引導(dǎo)學(xué)生對猜想進行嚴格的邏輯證明，并讓學(xué)生通過自己的努力發(fā)現(xiàn)多種證法，開闊學(xué)生視野．備資一、知識擴展

．判斷三角形解的法“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形問題分為一解和解三種情況方面我可以利用課本上的幾圖形加以理解另一方面可以利用正弦函數(shù)的有界性進行分析．設(shè)已知、b、A，利用正弦定理bsinAsinB＝，a如果sinB1，則問題無解；如果sinB1，則問題有一解；如果求出的sinB＜1則可得B的個值，但要通過“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關(guān)性質(zhì)進行判斷．．利用正弦定理進邊角互換對于三角形中的三角函數(shù)，在進行恒等變形時，常常將正弦定理寫成a，b＝，＝2RsinC或sinA＝外接圓半徑．

a，＝，＝(R為ABC的2R2R2R這樣可以很方便地把邊和角的正弦進行轉(zhuǎn)換，我們將在以后具體應(yīng)用．．正弦定理的其他種證明方法(1)三角形面積法如圖，已知△ABC，設(shè)＝，CA＝bAB＝c，作⊥，垂足為AD則eq\o\ac(△,Rt)ADB中＝，∴AD＝＝csinB.∴＝＝ABC21同理，可得＝absinCABC∴＝absinCbcsinA.∴

sinBsinAabc＝＝，＝＝sinB(2)平面幾何法

如圖，在△中，已知BC＝a，＝，＝，ABC的外接圓O圓心，連結(jié)BO并長交圓于C′點，設(shè)BC＝2R，則根據(jù)直徑所對的圓角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到BAC′＝90°∠C＝∠C′，c∴sinC＝sinC′＝∴＝2Ra同理，可得＝2R，＝sinB∴

ab＝＝＝sinBab這就是說，對于任意的三角形，上述關(guān)系式均成立，因此，我們得到等式＝＝sinBcsinC這種證明方法簡潔明快在鞏固平面幾何知識的同時任意三角形與其外接圓聯(lián)系在abc一起引了外接圓半徑R＝＝＝2R這等式式＝2RsinA，＝＝2RsinC可更快捷實現(xiàn)邊角互化特別是可以更直觀地看出正弦定理描述的三角形中大邊對大角的準確數(shù)量關(guān)系，為正弦定理的應(yīng)用帶來更多的便利．(3)向量法→→①如圖，△為銳角三角形，過點A作位向量j垂直A，則與A的夾角為→90°－，jCB夾角為－C.→→→由向量的加法原則可A＋＝AB，為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系們上面向量等式的兩邊同取與向量j的→→→量積運算，得到·(AC＝，→→→由分配律可得j·ACj·CB＝j(luò)·AB.

→→→∴j＋j||CB|cos(90°＝j(luò)－A)．a(chǎn)c∴asinCcsinA.＝.c同理，可得＝.sinCsinB∴

ab＝＝.sinB→②如圖，△ABC為角三角形，不妨設(shè)A，過點A作A垂直的單位向量j，則→→j與AB夾角為A90°，j與CB的夾角為90°－C.→→→→→→由AC＋＝AB，得j·AC＋j·CBj，即－C)＝c·cos(A－90°)，ac∴asinCcsinA.＝.a同理，可得＝.＝＝sinBsinAa③當△ABC為直角三角形時，＝＝顯然成立．sinBsinC綜上所述，正弦定理對于銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形均成立．二、備用習(xí)題．在△ABC中A＝，B＝，＝，則b等于)A5B．102C.

D．56．△ABC中A、B、C的對邊分別為、b，且＝，sinC，∶bc等于?)A1∶2B．113C