2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（5分）命題“?x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定為（）A．?x∈R，x2﹣x+1≤0 B．?x∈R，x2﹣x+1＜0 C．?x∈R，x2﹣x+1≤0 D．?x∈R，x2﹣x+1＜02．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝﹣i（1+2i）（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．23．（5分）不等式（x+5）（3﹣2x）≥6的解集是（）A．{x|x≤﹣1或x≥} B．{x|﹣1≤x≤} C．{x|x≤﹣或x≥1} D．{x|﹣≤x≤1}4．（5分）若0＜b＜1，則“a＞”是“a＞b”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（5分）在彈性限度內(nèi)，彈簧拉伸的距離與所掛物體的質(zhì)量成正比，即d＝，其中d是距離（單位cm），m是質(zhì)量（單位g），k是彈簧系數(shù)（單位g/cm）．彈簧系數(shù)分別為k1，k2的兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，得到的彈簧系數(shù)k滿足＝+，并聯(lián)時(shí)得到的彈簧系數(shù)k滿足k＝k1+k2．已知物體質(zhì)量為20g，當(dāng)兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)拉伸距離為1cm，則并聯(lián)時(shí)彈簧拉伸的最大距離為（）A．cm B．cm C．1cm D．2cm6．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離為10，點(diǎn)M到x軸的距離為2p，則p的值為（）A．1 B．2 C．4 D．87．（5分）若正整數(shù)m，n滿足，則所有滿足條件的n的和為（）A．6 B．4 C．3 D．18．（5分）單分?jǐn)?shù)（分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)）的廣泛使用成為埃及數(shù)學(xué)重要而有趣的特色，埃及人將所有的真分?jǐn)?shù)都表示為一些單分?jǐn)?shù)的和，例如，，…，現(xiàn)已知可以表示成4個(gè)單分?jǐn)?shù)的和，記，其中x，y，z是以101為首項(xiàng)的等差數(shù)列，則y+z的值為（）A．505 B．404 C．303 D．202二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）（多選）9．（5分）早在古巴比倫時(shí)期，人們就會(huì)解一元二次方程．16世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一元n次方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）．下列選項(xiàng)中屬于方程z3﹣1＝0的根的是（）A． B． C． D．1（多選）10．（5分）已知a＞b＞0＞c＞d，則（）A．a(chǎn)﹣c＞b﹣d B．a(chǎn)d＞bc C． D．（多選）11．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線與直線y＝kx+m（k≠±2，m∈R）有唯一的公共點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P（k，m）與定點(diǎn)Q（0，2）的距離可能為（）A．2 B． C． D．3（多選）12．（5分）已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，其前n項(xiàng)和Sn＝pan+1+r（n∈N*，p＞0）．（）A．?dāng)?shù)列{an}的公比為p B．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列 C．r＝﹣p﹣1 D．當(dāng)p﹣取最小值時(shí)，an＝3n﹣1三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）13．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足（1+2i）z＝3+4i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為．14．（5分）已知a＞0，b＞0，且2a+b＝4，則ab++的最小值為．15．（5分）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)R0是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．R0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過(guò)程中傳染的概率決定．初始感染者傳染R0個(gè)人為第一輪傳染，這R0個(gè)人每人再傳染R0個(gè)人為第二輪傳染，…．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)R0＝3，那么初始一名感染者，經(jīng)過(guò)三輪傳染后，感染總?cè)藬?shù)將達(dá)到人；若感染總?cè)藬?shù)達(dá)到1000人，則應(yīng)采取緊急防控措施，那么應(yīng)在第輪傳染開(kāi)始前采取緊急防控措施．（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.48）16．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（a＞b＞0）的焦距為，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，過(guò)O作OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1），則橢圓C的方程為．四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓＝1與雙曲線＝1的離心率分別為e1，e2，其中a＞b＞0．（1）求e12+e22的值；（2）若雙曲線漸近線的斜率小于，求e1和e2的取值范圍．18．（12分）已知不等式ax2+（3﹣a）x﹣3b＜0（a，b∈R）的解集為A＝{x|﹣3＜x＜1}．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）設(shè)（x∈A），當(dāng)x為何值時(shí)f（x）取得最大值，并求出其最大值．19．（12分）在①，②a3+a5＝16且S3+S5＝42，③且S7＝56這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答．問(wèn)題：設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，___．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1＝a1，b2＝a3，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．20．（12分）著名數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō)“我感受到了數(shù)學(xué)的美、數(shù)字和形狀的協(xié)調(diào)，以及幾何的優(yōu)雅”．為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)之美，某校數(shù)學(xué)組開(kāi)設(shè)了特色校本課程，老師利用兩類(lèi)圓錐曲線構(gòu)造了一個(gè)近似“W”形狀的曲線，它由拋物線C1的部分和橢圓C2的一部分構(gòu)成（如圖1），已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，C1：x2＝2py（p＞0）和C2：（a＞b＞0）交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是公共焦點(diǎn)，|OF1|＝1，|AF1|＝（如圖2）．（1）求C1和C2的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F1作直線l與“W”形狀曲線依次交于C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)，若|CF|＝λ|DE|，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．21．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，（n∈N*）．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中最大值為Mn，最小值為mn，令，稱(chēng)數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的“中程數(shù)數(shù)列”．①求“中程數(shù)數(shù)列”{bn}的前n項(xiàng)和Sn；②若bm＝ak（m，k∈N*且m＞k），求所有滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)（m，k）．22．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓（a＞b＞0）的離心率為，過(guò)原點(diǎn)O的直線交該橢圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），點(diǎn)E（4，0）．當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，．（1）求a，b的值；（2）設(shè)直線AE與橢圓的另一交點(diǎn)為C，直線BE與橢圓的另一交點(diǎn)為D．①若OC∥BE，求△ABE的面積；②是否存在x軸上的一定點(diǎn)T，使得直線CD恒過(guò)點(diǎn)T？若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（5分）命題“?x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定為（）A．?x∈R，x2﹣x+1≤0 B．?x∈R，x2﹣x+1＜0 C．?x∈R，x2﹣x+1≤0 D．?x∈R，x2﹣x+1＜0【分析】欲寫(xiě)出命題的否定，必須同時(shí)改變兩個(gè)地方：①：“?”；②：“＞”即可，據(jù)此分析選項(xiàng)可得答案．【解答】解：命題“?x∈R，x2+x+1＞0“的否定是?x∈R，x2﹣x+1≤0，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】這類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)錯(cuò)誤是沒(méi)有把全稱(chēng)量詞改為存在量詞，或者對(duì)于“＞”的否定用“＜”了．這里就有注意量詞的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，“存在”對(duì)應(yīng)“任意”．2．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝﹣i（1+2i）（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)的實(shí)部概念得答案．【解答】解：z＝﹣i（1+2i）＝﹣i﹣2i2＝﹣i+2，則z的實(shí)部為2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．3．（5分）不等式（x+5）（3﹣2x）≥6的解集是（）A．{x|x≤﹣1或x≥} B．{x|﹣1≤x≤} C．{x|x≤﹣或x≥1} D．{x|﹣≤x≤1}【分析】把不等式的右邊移項(xiàng)到左邊，去括號(hào)合并化簡(jiǎn)，分解因式得到（2x+9）（x﹣1）小于0，分情況2x+9與x﹣1異號(hào)或都等于0討論得到兩個(gè)一元一次不等式組，求出不等式組的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：因?yàn)椴坏仁剑▁+5）（3﹣2x）≥6可化為2x2+7x﹣9≤0，分解因式得（2x+9）（x﹣1）≤0，可化為或，解得﹣≤x≤1，所以不等式（x+5）?（3﹣2x）≥6的解集是{x|﹣≤x≤1}．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式的解法，考查分類(lèi)討論的思想，是中檔題．4．（5分）若0＜b＜1，則“a＞”是“a＞b”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】說(shuō)明命題成立只需證明即可，說(shuō)明命題不成立可進(jìn)行列舉即可，然后根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行判定即可．【解答】解：若a＞，在0＜b＜1時(shí)，b（1﹣b）＝b﹣b2＞0即，故可得a＞b，若a＞b，可取，，此時(shí)，所以若0＜b＜1，則“a＞”是“a＞b”的充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了代數(shù)式的大小比較，以及充分條件、必要條件的判定，同時(shí)考查了學(xué)生的推理能力．5．（5分）在彈性限度內(nèi)，彈簧拉伸的距離與所掛物體的質(zhì)量成正比，即d＝，其中d是距離（單位cm），m是質(zhì)量（單位g），k是彈簧系數(shù)（單位g/cm）．彈簧系數(shù)分別為k1，k2的兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，得到的彈簧系數(shù)k滿足＝+，并聯(lián)時(shí)得到的彈簧系數(shù)k滿足k＝k1+k2．已知物體質(zhì)量為20g，當(dāng)兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)拉伸距離為1cm，則并聯(lián)時(shí)彈簧拉伸的最大距離為（）A．cm B．cm C．1cm D．2cm【分析】由已知可得，利用基本不等式求解k1+k2的最小值，即可求得并聯(lián)時(shí)彈簧拉伸的最大距離．【解答】解：根據(jù)題意可得，當(dāng)兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，彈簧的系數(shù)k＝，由＝+＝，得k＝，則串聯(lián)時(shí)，有；并聯(lián)時(shí)，彈簧系數(shù)k′滿足k′＝k1+k2，d′＝，要使d′最大，則k′最小，即k1+k2最小，由，得20（k1+k2）＝k1k2，得80（k1+k2）≤，解得k1+k2≤0（舍去），或k1+k2≥80，當(dāng)且僅當(dāng)k1＝k2＝40時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)d′＝（cm）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．6．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離為10，點(diǎn)M到x軸的距離為2p，則p的值為（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】由題中的條件可以將點(diǎn)M的坐標(biāo)用p表示出來(lái)，由點(diǎn)M坐標(biāo)滿足拋物線方程，可以直接解決．【解答】解：設(shè)點(diǎn)M（x，y），由題意可知，，所以M（10﹣，±2p），又因?yàn)镸點(diǎn)在拋物線上，所以，4p2＝2p（10﹣），∴p＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）若正整數(shù)m，n滿足，則所有滿足條件的n的和為（）A．6 B．4 C．3 D．1【分析】根據(jù)題中給出的條件，先得到和的范圍，確定m＝2或3，分別解對(duì)應(yīng)的分式不等式，求出對(duì)應(yīng)的n即可．【解答】解：因?yàn)閙，n均為正整數(shù)，所以1＜＝，1＜＝，所以，所以m＝2或3，若m＝2時(shí)，則，所以，解得，則n＝3，若m＝3時(shí)，則，所以，解得，則n＝1，所以n＝3+1＝4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式知識(shí)的理解和應(yīng)用，涉及了分式不等式的解法、分離常數(shù)法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是先確定出m的取值為2或3．8．（5分）單分?jǐn)?shù)（分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)）的廣泛使用成為埃及數(shù)學(xué)重要而有趣的特色，埃及人將所有的真分?jǐn)?shù)都表示為一些單分?jǐn)?shù)的和，例如，，…，現(xiàn)已知可以表示成4個(gè)單分?jǐn)?shù)的和，記，其中x，y，z是以101為首項(xiàng)的等差數(shù)列，則y+z的值為（）A．505 B．404 C．303 D．202【分析】根據(jù)已知將寫(xiě)出四個(gè)單分?jǐn)?shù)的和，從而可求得x，y，z的值，即可得解．【解答】解：＝+＝+＝++＝++＝+++＝+++所以x＝101，y＝202，z＝303滿足題目x，y，z是以101為首項(xiàng)的等差數(shù)列，所以y+z＝505．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）（多選）9．（5分）早在古巴比倫時(shí)期，人們就會(huì)解一元二次方程．16世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一元n次方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）．下列選項(xiàng)中屬于方程z3﹣1＝0的根的是（）A． B． C． D．1【分析】對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)已知即可求解．【解答】解：選項(xiàng)A：當(dāng)z＝時(shí)，z＝（i）﹣1＝﹣＝﹣2，故A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B：當(dāng)z＝﹣時(shí)，z3﹣1＝（﹣）3﹣1＝（﹣）＝，故B正確，選項(xiàng)C：當(dāng)z＝﹣時(shí)，z＝（﹣）﹣1＝，故C正確，選項(xiàng)D：顯然當(dāng)z＝1時(shí)滿足z3﹣1＝0，故D正確，故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）已知a＞b＞0＞c＞d，則（）A．a(chǎn)﹣c＞b﹣d B．a(chǎn)d＞bc C． D．【分析】由a＞b＞0＞c＞d，取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，即可判斷AB；由不等式的基本性質(zhì)，即可判斷CD．【解答】解：由a＞b＞0＞c＞d，取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，則AB不成立；若，只需b（a﹣c）＜a（b﹣c），即bc＞ac，顯然bc﹣ac＝c（b﹣a）＞0，故C正確；若，只需bc2＜ad2，又c2＜d2，0＜b＜a，顯然bc2＜ad2成立，故D正確．故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線與直線y＝kx+m（k≠±2，m∈R）有唯一的公共點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P（k，m）與定點(diǎn)Q（0，2）的距離可能為（）A．2 B． C． D．3【分析】將直線與雙曲線聯(lián)立，由判別式Δ＝0，可推出m2﹣k2+4＝0，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式和配方法，即可得解．【解答】解：聯(lián)立，得（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣4＝0，因?yàn)橹本€與雙曲線有唯一公共點(diǎn)，所以Δ＝4k2m2+4（4﹣k2）（m2+4）＝16（m2﹣k2+4）＝0，所以m2﹣k2+4＝0，|PQ|2＝k2+（m﹣2）2＝m2+4+m2﹣4m+4＝2m2﹣4m+8＝2（m﹣1）2+6≥6，所以|PQ|≥，所以選項(xiàng)BCD均符合題意，故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，其前n項(xiàng)和Sn＝pan+1+r（n∈N*，p＞0）．（）A．?dāng)?shù)列{an}的公比為p B．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列 C．r＝﹣p﹣1 D．當(dāng)p﹣取最小值時(shí)，an＝3n﹣1【分析】利用Sn和an的關(guān)系得到以，然后通過(guò)數(shù)列{an}為等比數(shù)列進(jìn)行分析求解，依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：因?yàn)镾n＝pan+1+r，所以Sn﹣1＝pan+r（n≥2），所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝pan+1﹣pan，則pan+1＝（p+1）an（n≥2），所以（n≥2），當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝pa2+r，所以，因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，又，所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；所以，解得r＝﹣p，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；p﹣＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即p＝時(shí)取等號(hào)，此時(shí)數(shù)列{an}的公比為，所以an＝3n﹣1，故選項(xiàng)D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，涉及了等比數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)之間關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出（n≥2），屬于中檔題．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）13．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足（1+2i）z＝3+4i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可求解．【解答】解：因?yàn)椋?+2i）z＝3+4i，所以z＝＝＝，故|z|＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知a＞0，b＞0，且2a+b＝4，則ab++的最小值為4．【分析】根據(jù)2a+b＝4及a＞0，b＞0即可得出，這樣即可得出的最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝4，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝1，b＝2時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為：4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式求最值的方法，注意說(shuō)明等號(hào)成立的條件，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)R0是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．R0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過(guò)程中傳染的概率決定．初始感染者傳染R0個(gè)人為第一輪傳染，這R0個(gè)人每人再傳染R0個(gè)人為第二輪傳染，…．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)R0＝3，那么初始一名感染者，經(jīng)過(guò)三輪傳染后，感染總?cè)藬?shù)將達(dá)到64人；若感染總?cè)藬?shù)達(dá)到1000人，則應(yīng)采取緊急防控措施，那么應(yīng)在第6輪傳染開(kāi)始前采取緊急防控措施．（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.48）【分析】由題意依次求出經(jīng)過(guò)三輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，則答案可求；分析可知，每一輪傳染后的感染人數(shù)構(gòu)成以4為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求解不等式得答案．【解答】解：初始一名感染者，經(jīng)過(guò)一輪傳染后，感染人數(shù)為1+R0＝4人，經(jīng)過(guò)二輪傳染后，感染人數(shù)為4+4R0＝16人，經(jīng)過(guò)三輪傳染后，感染人數(shù)為16+16R0＝64人；則每一輪傳染后的感染人數(shù)構(gòu)成以4為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，到第n輪傳染后，感染人數(shù)為，由4n≤1000，得n≤．∴若感染總?cè)藬?shù)達(dá)到1000人，則應(yīng)采取緊急防控措施，那么應(yīng)在第6輪傳染開(kāi)始前采取緊急防控措施．故答案為：64；6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（a＞b＞0）的焦距為，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，過(guò)O作OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1），則橢圓C的方程為．【分析】由已知求出直線AB的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積，再利用OA與OB以及a，b，c的關(guān)系即可求解．【解答】解：由已知可得kAB?kOD＝﹣1，所以k，則直線BA的方程為：y﹣1＝﹣2（x﹣2），即y＝﹣2x+5，代入橢圓方程消去y整理可得：（b2+4a2）x2﹣20a2x+25a2﹣a2b2＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），B（x2，y2），則x，又由已知可得：2c＝4，所以c＝2，則a2＝b2+24，所以x，所以y1y2＝（﹣2x1+5）（﹣2x2+5）＝4x1x2﹣10（x1+x2）+25＝，又由OA⊥OB可得x1x2+y1y2＝0，所以，即a4﹣34a2+120＝0，解得a2＝30或4（舍去），所以a2＝30，b2＝6，所以橢圓的方程為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓＝1與雙曲線＝1的離心率分別為e1，e2，其中a＞b＞0．（1）求e12+e22的值；（2）若雙曲線漸近線的斜率小于，求e1和e2的取值范圍．【分析】（1）由橢圓和雙曲線中a、b、c的關(guān)系以及離心率的定義，即可得解；（2）易知0＜＜，再由e1＝，e2＝，得解．【解答】解：（1）由題意知，e12＝，e22＝，∴e12+e22＝+＝1﹣+1+＝2．（2）雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，∵雙曲線漸近線的斜率小于，∴0＜＜，∴e1＝∈（，1），e2＝∈（1，），故e1的取值范圍為（，1），e2的取值范圍為（1，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)，主要包含漸近線方程和離心率，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）已知不等式ax2+（3﹣a）x﹣3b＜0（a，b∈R）的解集為A＝{x|﹣3＜x＜1}．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）設(shè)（x∈A），當(dāng)x為何值時(shí)f（x）取得最大值，并求出其最大值．【分析】（1）根據(jù)不等式的解集得出對(duì)應(yīng)方程的兩實(shí)數(shù)根，代入方程得列方程組，再求出a，b的值；（2）根據(jù)條件設(shè)x﹣2＝t，利用基本不等式，求出函數(shù)y的最大值的值和x的值即可．【解答】解：（1）不等式ax2+（3﹣a）x﹣3b＜0的解集為A＝{x|﹣3＜x＜1}，所以﹣3和1是對(duì)應(yīng)方程ax2+（3﹣a）x﹣3b＝0的兩根，所以，解得a＝1，b＝1；（2）由＝，x∈（﹣3，1），設(shè)x﹣2＝t，則x＝t+2，且t∈（﹣5，﹣1），令y＝f（x），則y＝＝t++5≤5﹣2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)﹣t＝，即t＝﹣2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x＝0；所以當(dāng)x＝0時(shí)f（x）取得最大值，且最大值為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．19．（12分）在①，②a3+a5＝16且S3+S5＝42，③且S7＝56這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答．問(wèn)題：設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，___．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1＝a1，b2＝a3，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【分析】本題三個(gè)條件均根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式代入進(jìn)行計(jì)算，列出關(guān)于首項(xiàng)a1與公差d的方程，解出a1與d的值，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步即可計(jì)算出的表達(dá)式，以及通過(guò)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用分組求和法即可計(jì)算出前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：方案一：選條件①依題意，當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝2S1＝2×12+a1，解得a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可知Sn＝＝，則2Sn＝2×＝2×n2+an，化簡(jiǎn)整理，可得an＝2n，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2也滿足上式，∴an＝2n，n∈N*，Sn＝＝＝n（n+1），∴＝＝﹣，又∵b1＝a1＝2，b2＝a3＝6，設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝＝＝3，故bn＝2?3n﹣1，n∈N*，∴+bn＝﹣+2?3n﹣1，∴Tn＝+b1++b2+…++bn＝（++…+）+（b1+b2+…+bn）＝（1﹣+﹣+…+﹣）+（2+2?31+…+2?3n﹣1）＝1﹣+＝3n﹣．方案二：選條件②依題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則，化簡(jiǎn)整理，得，解得，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*，Sn＝＝＝n（n+1），∴＝＝﹣，又∵b1＝a1＝2，b2＝a3＝6，設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝＝＝3，故bn＝2?3n﹣1，n∈N*，∴+bn＝﹣+2?3n﹣1，∴Tn＝+b1++b2+…++bn＝（++…+）+（b1+b2+…+bn）＝（1﹣+﹣+…+﹣）+（2+2?31+…+2?3n﹣1）＝1﹣+＝3n﹣．方案三：選條件③依題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1+d，S2n＝2na1+d，∴，化簡(jiǎn)整理，得，解得，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*，Sn＝＝＝n（n+1），∴＝＝﹣，又∵b1＝a1＝2，b2＝a3＝6，設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝＝＝3，故bn＝2?3n﹣1，n∈N*，∴+bn＝﹣+2?3n﹣1，∴Tn＝+b1++b2+…++bn＝（++…+）+（b1+b2+…+bn）＝（1﹣+﹣+…+﹣）+（2+2?31+…+2?3n﹣1）＝1﹣+＝3n﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算，以及運(yùn)用分組求和法求前n項(xiàng)和問(wèn)題．考查了方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，定義法，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．本題屬中檔題．20．（12分）著名數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō)“我感受到了數(shù)學(xué)的美、數(shù)字和形狀的協(xié)調(diào)，以及幾何的優(yōu)雅”．為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)之美，某校數(shù)學(xué)組開(kāi)設(shè)了特色校本課程，老師利用兩類(lèi)圓錐曲線構(gòu)造了一個(gè)近似“W”形狀的曲線，它由拋物線C1的部分和橢圓C2的一部分構(gòu)成（如圖1），已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，C1：x2＝2py（p＞0）和C2：（a＞b＞0）交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是公共焦點(diǎn)，|OF1|＝1，|AF1|＝（如圖2）．（1）求C1和C2的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F1作直線l與“W”形狀曲線依次交于C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)，若|CF|＝λ|DE|，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【分析】（1）由焦點(diǎn)的坐標(biāo)求拋物線的方程，及橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由|AF1|的值，求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線CF的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根C，F(xiàn)的橫坐標(biāo)，與橢圓聯(lián)立求出兩根D，E的橫坐標(biāo)，求出|CF|，|DE|的表達(dá)式，由題意可得λ的表達(dá)式，由k的范圍，求出λ的范圍．【解答】解：（1）因?yàn)镺F1＝1，所以F1（0，1），則＝1，可得：p＝2，所以拋物線C1的方程x2＝4y；設(shè)C2的焦距為2c，則c＝1，設(shè)A（x，y）由拋物線的方程可得AF1＝y(tǒng)+1＝，得y＝，x2＝4y＝，，解得：a2＝4，b2＝3，所以可得C2的方程為：+＝1；（2）設(shè)l：y＝kx+1，當(dāng)A（﹣，）時(shí)，k＝＝，則k∈（﹣，），整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，可得xC，F(xiàn)＝2k±2，所以|CF|＝＝|xC﹣xF|＝4（1+k2），整理可得：（4+3k）2x2+6kx﹣9＝0，可得xD，E＝，|DE|＝＝|xD﹣xE|＝，λ＝＝k2+，因?yàn)閗∈（﹣，），所以k2∈[0，），可得λ∈[，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求拋物線橢圓的方程及直線與圓錐曲線的綜合，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．21．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，（n∈N*）．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中最大值為Mn，最小值為mn，令，稱(chēng)數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的“中程數(shù)數(shù)列”．①求“中程