2020-2021學年江蘇省蘇州市張家港市高一（下）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學年江蘇省蘇州市張家港市高一（下）期中數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω∈R）的最小正周期為π，則實數(shù)ω＝（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±12．（5分）復數(shù)6+5i與﹣3+4i分別表示向量，，則表示向量的復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）若||＝3，||＝5，且與的夾角為120°，則|+|＝（）A．4 B． C． D．54．（5分）已知＝（1，2sinα），＝（cosα，sinα），α∈（，），若∥，則α＝（）A． B． C．π D．5．（5分）函數(shù)f（x）＝sin2x+2cos2x+3在區(qū)間[0，]上的最小值是（）A．4﹣ B．3 C．5 D．66．（5分）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝（）A．﹣ B．﹣+ C．+ D．﹣7．（5分）若平面向量，，兩兩的夾角相等，且||＝1，||＝1，||＝4，則|2+2﹣|＝（）A．0 B．6 C．0或 D．0或68．（5分）在△ABC中，＝3，E為AD的中點，過點E的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N．設(shè)＝m，＝n，復數(shù)z＝m+ni（m，n∈R），當|z|取到最小值時，實數(shù)m的值為（）A． B． C．2 D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）下列關(guān)于復數(shù)z的四個命題，真命題的為（）A．若∈R，則z∈R B．若z2∈R，則z∈R C．若|z﹣i|＝1，則|z|的最大值為2 D．若z3﹣1＝0，則z＝1（多選）10．（5分）在△ABC內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B＝，BC邊上的高等于，則以下四個結(jié)論正確的是（）A．cosC＝ B．sinA＝ C．tanA＝3 D．b2﹣c2＝（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝|sinx|+|cosx|，則（）A．f（x）為偶函數(shù) B．f（x）的最小正周期為 C．f（x）的值域為[1，] D．f（x）在[，]上單調(diào)遞減（多選）12．（5分）奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?+SB?+SC?＝．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．若O是銳角△ABC內(nèi)的一點，A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，且點O滿足?＝?＝?，則（）A．O為△ABC的垂心 B．∠AOB＝π﹣C C．||：||：||＝sinA：sinB：sinC D．tanA?+tanB?+tanC?＝三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知＝（2，1），＝（λ，4），且⊥，則實數(shù)λ＝．14．（5分）已知對任意平面向量＝（x，y），把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度得到向量＝（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點B繞著A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點P，＝（1，）沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的向量＝．15．（5分）已知復數(shù)z1＝2+mi，z2＝tanθ+icos2θ（θ為實數(shù)），并且z1＝z2，則實數(shù)m＝．16．（5分）如圖，已知直線l1∥l2，A是l1，l2之間的一個定點，并且點A到l1，l2的距離都為2．B是直線l2上的一個動點，作AC⊥AB，且使AC與直線l1交于點C．設(shè)∠ABD＝θ，則△ABC面積的最小值是，△ABC周長的最小值是．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）（1）已知復數(shù)﹣1+3i是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個根，求p+q的值；（2）已知復數(shù)z1＝5﹣10i，z2＝3+4i，＝+，求|z|．18．（12分）已知AB是圓O的一條直徑，且AB＝2，C，D是直徑AB同側(cè)的半圓弧上兩個三等分點，其中C是靠近A的三等分點．（1）求||的值；（2）求的值．19．（12分）圣?索非亞教堂（SAINTSOPHIACATHEDRAI）是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，為哈爾濱的標志性建筑，1996年經(jīng)國務(wù)院批準，被列為第四批全國重點文物保護單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，如圖1．某校高一數(shù)學興趣小組打算根據(jù)所學知識估算索菲亞教堂的高度，他們在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，測得建筑物AB的高度為h，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處可以測得樓頂A和教堂頂C的仰角分別為α和β，在樓頂A處可測得塔頂C的仰角為γ，且AB與CD都垂直地面，如圖2，那么請你根據(jù)他們測得的數(shù)據(jù)估算索菲亞教堂的高度為多少？（結(jié)果用h，α，β，γ表示）20．（12分）已知α，β都是銳角，tan，cos（α+β）＝．（1）求sinβ；（2）求α+2β．21．（12分）在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，請在①2bsin（A+）＝a+c；②（2c﹣a）cosB＝bcosA；③a2+c2﹣b2＝S△ABC；這三個條件中任意選擇一個，完成下列問題：（1）若3a+b＝2c，求cosC．（2）若b＝2且＝，求△ABC的面積．22．（12分）（1）對于平面向量，，求證：|?|≤||||，并說明等號成立的條件；（2）我們知道求f（θ）＝cosθ+sinθ的最大值可化為求f（θ）＝2sin（θ+）的最大值，也可以利用向量的知識，將f（θ）構(gòu)造為兩個向量的數(shù)量積形式，即：令＝（1，），＝（cosθ，sinθ），則轉(zhuǎn)化為f（θ）＝?，求出最大值．利用以上向量的知識，完成下列問題：①對于任意的a，b，c，d∈R，求證：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）；②求f（x）＝3+4的最值．

2020-2021學年江蘇省蘇州市張家港市高一（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω∈R）的最小正周期為π，則實數(shù)ω＝（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±1【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinωx﹣cosωx＝（ωx﹣）的最小正周期為π，故，解得ω＝±2．故選：C．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）復數(shù)6+5i與﹣3+4i分別表示向量，，則表示向量的復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接利用向量的加法運算求得向量的復數(shù)，則答案可求．【解答】解：∵復數(shù)6+5i與﹣3+4i分別表示向量，，∴，則表示向量的復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（9，1），位于第一象限．故選：A．【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查向量的加減運算，是基礎(chǔ)題．3．（5分）若||＝3，||＝5，且與的夾角為120°，則|+|＝（）A．4 B． C． D．5【分析】直接利用向量的數(shù)量積結(jié)合向量的模求解即可．【解答】解：||＝3，||＝5，且與的夾角為120°，則|+|＝＝＝．故選：C．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的求法與應(yīng)用，向量的模的運算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4．（5分）已知＝（1，2sinα），＝（cosα，sinα），α∈（，），若∥，則α＝（）A． B． C．π D．【分析】根據(jù)可得出sinα﹣2sinαcosα＝0，從而得出sinα＝0或，然后根據(jù)α的范圍即可求出α的值．【解答】解：∵∥，∴sinα﹣2sinαcosα＝0，且，∴sinα＝0或（舍去），∴α＝π．故選：C．【點評】本題考查了平行向量的坐標關(guān)系，三角函數(shù)的取值情況，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）函數(shù)f（x）＝sin2x+2cos2x+3在區(qū)間[0，]上的最小值是（）A．4﹣ B．3 C．5 D．6【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin2x+2cos2x+3＝＝，由于，所以，所以，故3≤f（x）≤6，當x＝時，函數(shù)的最小值為3．故選：B．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝（）A．﹣ B．﹣+ C．+ D．﹣【分析】利用向量加法的三角形法則以及中點的性質(zhì)化簡即可求解．【解答】解：因為AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，所以＝＝+＝＝﹣，故選：B．【點評】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了學生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）若平面向量，，兩兩的夾角相等，且||＝1，||＝1，||＝4，則|2+2﹣|＝（）A．0 B．6 C．0或 D．0或6【分析】根據(jù)題意，三向量兩兩夾角為0或，當夾角為0時，直接求模，當夾角為時，利用向量求模公式即可求解．【解答】解：①當兩兩夾角為0時，|2+2﹣|＝|2+2﹣4|＝0，②當兩兩夾角為時，|2+2﹣|2＝4+4++8?﹣4?﹣4?＝4+4+16+8×1×1×（﹣）﹣4×1×4×（﹣）﹣4×1×4×（﹣）＝36，∴|2+2﹣|＝6，綜上：|2+2﹣|＝0或6．故選：D．【點評】本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量的模計算，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）在△ABC中，＝3，E為AD的中點，過點E的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N．設(shè)＝m，＝n，復數(shù)z＝m+ni（m，n∈R），當|z|取到最小值時，實數(shù)m的值為（）A． B． C．2 D．【分析】先求出＝m+n，再利用E，M，N三點共線，得到2m+n＝6，利用二次函數(shù)求最值即可．【解答】解：如圖，＝+＝+＝+（﹣）＝+，∵＝m，＝n，∴＝m+n，∵E為AD中點，∴＝，∴＝m+n，∵E，M，N三點共線，∴m+n＝1，2m+n＝6，∴n＝6﹣2m，∴m2+n2＝5m2﹣24m+36＝5（m﹣）2+，∴當m＝時，∴m2+n2的最小值為，又∵|Z|＝，∴當m＝時，|Z|有最小值．故選：D．【點評】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及二次函數(shù)，復數(shù)模的應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）下列關(guān)于復數(shù)z的四個命題，真命題的為（）A．若∈R，則z∈R B．若z2∈R，則z∈R C．若|z﹣i|＝1，則|z|的最大值為2 D．若z3﹣1＝0，則z＝1【分析】由復數(shù)的基本概念推導判斷A；反例判斷B；復數(shù)模的運算法則判斷C；反例判斷D．【解答】解：∵＝，若∈R，即∈R，則z∈R，所以A正確；取復數(shù)z＝i，滿足z2＝﹣1∈R，但z?R，故B錯誤；|z﹣i|＝1，z的軌跡為以（0，1）為圓心，1為半徑的圓，則|z|的最大值為2，所以C正確；取復數(shù)z＝，z3＝1，故D錯誤；故選：AC．【點評】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查復數(shù)的有關(guān)概念與基本運算，是基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）在△ABC內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B＝，BC邊上的高等于，則以下四個結(jié)論正確的是（）A．cosC＝ B．sinA＝ C．tanA＝3 D．b2﹣c2＝【分析】由已知結(jié)合勾股定理，銳角三角定義，同角基本關(guān)系及余弦定理分別檢驗各選項即可判斷．【解答】解：過A作AD⊥BC，垂足為D，因為B＝，BC邊上的高AD＝＝，Rt△ABD中，AD＝BD＝，所以CD＝，tan∠C＝＝，cos∠C＝，A正確；由勾股定理得b＝＝，由正弦定理得，，所以sinA＝＝，B正確；Rt△BAD中，AB＝＝，由余弦定理得，cosA＝＝＝，故tanA＝﹣3，C錯誤；b2﹣c2＝＝，D正確．故選：ABD．【點評】本題綜合考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，同角基本關(guān)系在求解三角形中的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝|sinx|+|cosx|，則（）A．f（x）為偶函數(shù) B．f（x）的最小正周期為 C．f（x）的值域為[1，] D．f（x）在[，]上單調(diào)遞減【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)f（x）＝|sinx|+|cosx|，對于A：函數(shù)f（﹣x）＝f（x）故函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對于B：由于函數(shù)f（）＝f（x），所以函數(shù)的最小正周期為，故B正確；對于C：由于函數(shù)的最小正周期為，當x時，f（x）＝sinx+cosx＝，當x時，，所以f（x）．對于D：函數(shù)f（x）在[，]上單調(diào)性先減后增，故D錯誤；故選：ABC．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?+SB?+SC?＝．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．若O是銳角△ABC內(nèi)的一點，A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，且點O滿足?＝?＝?，則（）A．O為△ABC的垂心 B．∠AOB＝π﹣C C．||：||：||＝sinA：sinB：sinC D．tanA?+tanB?+tanC?＝【分析】利用已知條件畫出圖形，通過向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：如圖，A：∵?＝?，∴（﹣）?＝0，∴?＝0，∴⊥，同理⊥，∴O為△ABC垂心，∴A正確，B：∵在四邊形ODCE中，∠OEC＝∠ODC＝90°，∴∠DOE+∠DCE＝180°，∴∠DOE＝180°﹣∠DCE，即∠AOB＝π﹣∠DCE，∴B正確，C：∵?＝||?||?cos∠AOB＝||?||?cos（π﹣C）＝﹣||?||?cosC，同理∵?＝﹣||?||?cosB，?＝﹣||?||?cosA，∴||?||?cosC＝||?||?cosB＝||?||?cosA，∴||：||：||＝cosA：cosB：cosC，∴C錯誤，D：∵SA＝||?||?sin（π﹣A）＝||?||?sinA，∴SA：SB：SC＝：：＝：：＝tanA：tanB：tanC，由奔馳定理得tanA?+tanB?+tanC?＝，∴D正確，故選：ABD．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力，是中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知＝（2，1），＝（λ，4），且⊥，則實數(shù)λ＝﹣2．【分析】由題意利用兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量垂直的性質(zhì)，計算求得實數(shù)λ的值．【解答】解：∵已知＝（2，1），＝（λ，4），且⊥，∴＝2λ+4＝0，則實數(shù)λ＝﹣2，故答案為：﹣2．【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知對任意平面向量＝（x，y），把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度得到向量＝（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點B繞著A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點P，＝（1，）沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的向量＝（，1）．【分析】設(shè)＝（x，y），由題意可得（1，）＝（，），由此列式求得x，y值得答案．【解答】解：設(shè)＝（x，y），把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量＝（xcos﹣ysin，xsin+ycos），即（1，）＝（，），∴，解得．∴．故答案為：（，1）．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的運算，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．（5分）已知復數(shù)z1＝2+mi，z2＝tanθ+icos2θ（θ為實數(shù)），并且z1＝z2，則實數(shù)m＝．【分析】由復數(shù)相等的定義得到，從而m＝cos2θ＝＝，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵復數(shù)z1＝2+mi，z2＝tanθ+icos2θ（θ為實數(shù)），并且z1＝z2，∴，∴實數(shù)m＝cos2θ＝＝＝＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查復數(shù)相等、同角三角函數(shù)關(guān)系式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力等數(shù)學核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．16．（5分）如圖，已知直線l1∥l2，A是l1，l2之間的一個定點，并且點A到l1，l2的距離都為2．B是直線l2上的一個動點，作AC⊥AB，且使AC與直線l1交于點C．設(shè)∠ABD＝θ，則△ABC面積的最小值是4，△ABC周長的最小值是4．【分析】①由題意利用直角三角形的邊角關(guān)系表示出AB、AC，求出△ABC面積的解析式，再求出最小值即可．②求出△ABC周長的解析式，再利用函數(shù)的性質(zhì)求周長的最小值．【解答】解：①由題意知，AE⊥l1，AD⊥l2，AC⊥AB，所以∠ABD+∠BAD＝，∠CAE+∠BAD＝，所以∠CAE＝∠ABD＝θ，θ∈（0，）；所以AB＝，AC＝，所以△ABC的面積為S（θ）＝AB?AC＝＝（0＜θ＜）．當sin2θ＝1，即θ＝時，△ABC的面積取得最小值為4．②△ABC的周長為L（θ）＝AB+AC+BC＝++＝++＝，θ∈（0，）；設(shè)t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），其中θ∈（0，），所以θ+∈（，），所以t∈（1，]，所以t2＝1+2sinθcosθ，解得sinθcosθ＝，所以L（θ）可化為L（t）＝＝≥＝4+4，當t＝時取得最小值；所以△ABC周長的最小值是4+4．故答案為：4，4+4．【點評】本題考查了三角形的面積與周長的計算問題，也考查了利用三角函數(shù)求最值的應(yīng)用問題，是中檔題．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）（1）已知復數(shù)﹣1+3i是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個根，求p+q的值；（2）已知復數(shù)z1＝5﹣10i，z2＝3+4i，＝+，求|z|．【分析】（1）由實系數(shù)一元二次方程虛根成對原理及根與系數(shù)的關(guān)系求得p與q，作和得答案；（2）把z1＝5﹣10i，z2＝3+4i代入＝+，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由商的模等于模的商求解．【解答】解：（1）∵﹣1+3i是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個根，∴﹣1﹣3i是關(guān)于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的另一個根，∴，解得p＝2，q＝10，則p+q＝12；（2）∵z1＝5﹣10i，z2＝3+4i，＝+，∴z＝＝∴|z|＝||＝＝．【點評】本題考查實系數(shù)一元二次方程虛根成對原理的應(yīng)用，考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．18．（12分）已知AB是圓O的一條直徑，且AB＝2，C，D是直徑AB同側(cè)的半圓弧上兩個三等分點，其中C是靠近A的三等分點．（1）求||的值；（2）求的值．【分析】（1）以O(shè)為坐標原點，AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，分別求出的坐標，作和后利用向量模的計算公式求解；（2）求出，的坐標，再由數(shù)量積的坐標運算求解．【解答】解：（1）以O(shè)為坐標原點，AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，則A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣，），D（，），，，，；（2），，．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．19．（12分）圣?索非亞教堂（SAINTSOPHIACATHEDRAI）是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，為哈爾濱的標志性建筑，1996年經(jīng)國務(wù)院批準，被列為第四批全國重點文物保護單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，如圖1．某校高一數(shù)學興趣小組打算根據(jù)所學知識估算索菲亞教堂的高度，他們在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，測得建筑物AB的高度為h，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處可以測得樓頂A和教堂頂C的仰角分別為α和β，在樓頂A處可測得塔頂C的仰角為γ，且AB與CD都垂直地面，如圖2，那么請你根據(jù)他們測得的數(shù)據(jù)估算索菲亞教堂的高度為多少？（結(jié)果用h，α，β，γ表示）【分析】解法1、在Rt△CDM中求得CM，在Rt△ABM中求得AM，在△ACM中運用正弦定理求得CM，再用Rt△CDM求得CD的值；解法2、過點A作AE⊥CD，在Rt△CDM中求出DM，在Rt△ABM中求出BM，在Rt△CEA求出CE，從而求得CD的值．【解答】解：解法1、由題意可知，在Rt△CDM中，∠CMD＝β，設(shè)CD＝x，則CM＝＝，在Rt△ABM中，∠AMB＝α，AB＝h，則AM＝＝，在△ACM中，∠CAM＝α+γ，∠CMA＝π﹣（α+β），所以∠MCA＝β﹣α，由正弦定理＝＝知，＝，即＝，解得x＝h，所以估算索菲亞教堂的高度為h．解法2、過點A作AE⊥CD，垂足為E，如圖所示：則CD＝CE+ED＝CE+AB，設(shè)CD＝x，在Rt△CDM中，∠CMD＝β，CD＝x，則DM＝，在Rt△ABM中，∠AMB＝α，AB＝h，則BM＝，所以AE＝BD＝+，在Rt△CEA，∠CAE＝γ，解得CE＝AEtanγ，所以x﹣h＝（+）tanγ，解得x＝h＝h，所以估算索菲亞教堂的高度為h．【點評】本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了方程思想和運算求解能力，是中檔題．20．（12分）已知α，β都是銳角，tan，cos（α+β）＝．（1）求sinβ；（2）求α+2β．【分析】（1）直接利用角的變換的應(yīng)用和同角三角函數(shù)的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用角的恒等變換的應(yīng)有求出結(jié)果．【解答】解：（1）已知α，β都是銳角，tan，cos（α+β）＝，所以，①由于sin2α+cos2α＝1②，由①②解得：，由于α是銳角，所以，，由于cos（α+β）＝，sin（α+β）＝，sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝．（2）α，β都是銳角，所以，所以，tan（α+β）＝，所以，所以，故＝，故．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，三角函數(shù)中角的變換，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．21．（12分）在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，請在①2bsin（A+）＝a+c；②（2c﹣a）cosB＝bcosA；③a2+c2﹣b2＝S△ABC；這三個條件中任意選擇一個，完成下列問題：（1）若3a+b＝2c，求cosC．（2）若b＝2且＝，求△ABC的面積．【分析】（1）若選①，由正弦定理，兩角和與差的正弦公式化簡已知等式，可得2sin（B﹣）＝1，可求范圍B﹣∈（﹣，），即可求解B＝；若選②，由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知可得cosB＝，又B∈（0，π），可求B＝；若選③，利用余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知等式可得tanB＝，又B∈（0，π），可求B＝．進而由3a+b＝2c，利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得（2cosC+1）（7cosC+1）＝0，結(jié)合范圍C，即可求解cosC的值．（2）由已知利用正弦定理可得a+c＝ac，又由余弦定理可解得ac＝4，即可利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：（1）若選①，因為2bsin（A+）＝a+c，可得bcosA+bsinA﹣a﹣c＝0，由正弦定理可得sinBcosA+sinBsinA﹣sinA﹣sinC＝0，在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以sinBsinA﹣sinA﹣sinAcosB＝0，又A∈（0，π），所以sinB﹣cosB＝1，所以2sin（B﹣）＝1，又B∈（0，π），所以