北京陸辛莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

北京陸辛莊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)數(shù)列{an}是首項為1，公比為q（q≠﹣1）的等比數(shù)列，若{}是等差數(shù)列，則=（）A．4026 B．4028 C．4030 D．4032參考答案：B【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【分析】運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的定義，求得q=1，進(jìn)而得到所求和．【解答】解：數(shù)列{an}是首項為1，公比為q（q≠﹣1）的等比數(shù)列，可得an=qn﹣1，由是等差數(shù)列，即﹣為常數(shù)，可得q=1，即an=1，=1，即有=2×2014=4028．故選：B．【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的定義，考查運算能力，屬于中檔題．2.設(shè)橢圓和雙曲線的公共焦點分別為，為這兩條曲線的一個交點，則的值為（A）3

（B）

（C）

（D）參考答案：A雙曲線的焦點為，所以橢圓中的，所以橢圓方程為，不妨設(shè)點P為第一象限的交點，根據(jù)雙曲線和橢圓的定義可知，，，即，所以，選A.3.數(shù)列的前項和為，已知，且對任意正整數(shù)，，都有，若恒成立，則實數(shù)的最小值為（

）A

B

C

D參考答案：A略4.復(fù)數(shù)

（

）

A.B.

C.

D.參考答案：A略5.設(shè)集合，則實數(shù)a的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：C6.函數(shù)的定義域是（

）A.(2,+∞) B.(3,+∞)C.(2,3) D.(2,3)∪(3,+∞)參考答案：C【分析】根據(jù)題意得到，解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿足：，故.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)的定義域，意在考查學(xué)生對于函數(shù)定義域的理解.7.已知cos＋sinα＝，則sin的值是 ()A．－

B.

C．－

D.參考答案：C略8.已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），當(dāng)x∈時，y=f（x）的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】3O：函數(shù)的圖象．【分析】利用函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的特殊值判斷即可．【解答】解：函數(shù)=，f（﹣x）=﹣=﹣f（x），函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項A，C，當(dāng)x=π時，f（π）=＞1，排除B，故選：D．9.在長為的線段上任取一點.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段的長，則該矩形面積小于的概率為A．

B．

C．

D．

參考答案：C10.已知點是的重心，若，，則的最小值是（

） A． B．

C． D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖,在中,,,過作的外接圓的切線,,與外接圓交于點,則的長為參考答案：512.在中，若，，，則___________．參考答案：略13.已知、分別為雙曲線（，）的左、右焦點，點為雙曲線右支上一點，為的內(nèi)心，滿足，若該雙曲線的離心率為3，則（注：、、分別為、、的面積）．參考答案：1/314.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且=1+i，則y=

．參考答案：1【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等即可得出．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，∴=1+i，化為：3+yi=（2﹣i）（1+i）=3+i，∴y=1．故答案為：1．15.化簡的結(jié)果為

．參考答案：16.已知，則的值是__________．參考答案：略17.如圖，該程序運行后輸出的結(jié)果是

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知點在橢圓:上，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的右焦點，且，其中為坐標(biāo)原點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點，設(shè)是橢圓上的一點，過、兩點的直線交軸于點,若,求直線的方程;（Ⅲ）作直線與橢圓:交于不同的兩點,,其中點的坐標(biāo)為,若點是線段垂直平分線上一點,且滿足,求實數(shù)的值.參考答案：（Ⅰ）由題意知,在中,由得:設(shè)為圓的半徑,為橢圓的半焦距因為所以又,解得:,則點的坐標(biāo)為………………2分因為點在橢圓：上,所以有又,解得:所求橢圓的方程為.……4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知橢圓的方程為由題意知直線的斜率存在,故設(shè)其斜率為,則其方程為設(shè),由于,所以有……7分又是橢圓上的一點,則解得所以直線的方程為或……9分（Ⅲ）由題意知::由,設(shè)根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為把它代入橢圓的方程,消去,整理得:由韋達(dá)定理得,則,所以線段的中點坐標(biāo)為(1)當(dāng)時,則有,線段垂直平分線為軸于是由,解得:……11分(2)當(dāng)時,則線段垂直平分線的方程為因為點是線段垂直平分線的一點令,得:于是由,解得:代入,解得:綜上,滿足條件的實數(shù)的值為或.……14分19.對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的一個不動點．設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a＞0）．（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=﹣2時，求f（x）的不動點；（Ⅱ）若f（x）有兩個相異的不動點x1，x2，（ⅰ）當(dāng)x1＜1＜x2時，設(shè)f（x）的對稱軸為直線x=m，求證：m＞；（ⅱ）若|x1|＜2且|x1﹣x2|=2，求實數(shù)b的取值范圍．參考答案：考點：二次函數(shù)的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=﹣2時，f（x）=2x2﹣2x+1，構(gòu)造方程f（x）=x，解得答案；（Ⅱ）若f（x）有兩個相異的不動點x1，x2，則x1，x2是方程f（x）=x的兩相異根，（ⅰ）當(dāng)x1＜1＜x2時，m=﹣，結(jié)合韋達(dá)定理，可得m＞；（ⅱ）若|x1|＜2且|x1﹣x2|=2，由韋達(dá)定理構(gòu)造關(guān)于b的不等式，解得實數(shù)b的取值范圍．解答： 解：（Ⅰ）依題意：f（x）=2x2﹣2x+1=x，即2x2﹣3x+1=0，解得或1，即f（x）的不動點為和1；…（Ⅱ）（ⅰ）由f（x）表達(dá)式得m=﹣，∵g（x）=f（x）﹣x=ax2+（b﹣1）x+1，a＞0，由x1，x2是方程f（x）=x的兩相異根，且x1＜1＜x2，∴g（1）＜0?a+b＜0?﹣＞1?﹣＞，即m＞．

…（ⅱ）△=（b﹣1）2﹣4a＞0?（b﹣1）2＞4a，x1+x2=，x1x2=，∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣=22，…∴（b﹣1）2=4a+4a2（*）又|x1﹣x2|=2，∴x1、x2到g（x）對稱軸x=的距離都為1，要使g（x）=0有一根屬于（﹣2，2），則g（x）對稱軸x=∈（﹣3，3），…∴﹣3＜＜3?a＞|b﹣1|，把代入（*）得：（b﹣1）2＞|b﹣1|+（b﹣1）2，解得：b＜或b＞，∴b的取值范圍是：（﹣∞，）∪（，+∞）．…點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，韋達(dá)定理，是二次方程與二次函數(shù)，二次不等式的綜合應(yīng)用，難度較大．20.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，一條流水線年產(chǎn)量為10000件，該生產(chǎn)線分為兩段，流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標(biāo)會影響第二段生產(chǎn)成品的等級，具體見下表：第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)或或第二段生產(chǎn)的成品為一等品概率0.20.40.6第二段生產(chǎn)的成品為二等品概率0.30.30.3第二段生產(chǎn)的成品為三等品概率0.50.30.1

從第一道生產(chǎn)工序抽樣調(diào)查了100件，得到頻率分布直方圖如圖：若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是100元、60元、－100元.（Ⅰ）以各組的中間值估計為該組半成品的質(zhì)量指標(biāo)，估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；（Ⅱ）將頻率估計為概率，試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤；（Ⅲ）現(xiàn)在市面上有一種設(shè)備可以安裝到流水線第一段，價格是20萬元，使用壽命是1年，安裝這種設(shè)備后，流水線第一段半成品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，且不影響產(chǎn)量.請你幫該公司作出決策，是否要購買該設(shè)備？說明理由.（參考數(shù)據(jù)：，，）參考答案：（Ⅰ）80.2；（Ⅱ）30萬元；（Ⅲ）見解析.【分析】（Ⅰ）首先根據(jù)頻率分布直方圖確定各組的頻率及中間值，再根據(jù)樣本平均數(shù)的計算公式計算得到平均數(shù)；（Ⅱ）首先確定隨機變量的所有可能取值，再根據(jù)獨立事件的概率公式求出分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望公式求的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）首先根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)確定好等，然后類似第二問求出隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，最后根據(jù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望的大小作決策.【詳解】（Ⅰ）平均值為：.

（Ⅱ）由頻率直方圖，第一段生產(chǎn)半成品質(zhì)量指標(biāo)或，或，，

設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為元，則，，，

所以生產(chǎn)一件成品的平均利潤是元，所以一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計值是萬元.

（Ⅲ），

設(shè)引入該設(shè)備后生產(chǎn)一件成品利潤為元，則，，，

所以引入該設(shè)備后生產(chǎn)一件成品平均利潤為元，所以引入該設(shè)備后一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計值是萬元，增加收入萬元，綜上，應(yīng)該引入該設(shè)備.【點睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本平均數(shù)的估算、獨立事件的概率、隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望、正態(tài)分布，考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析能力.21.（13分）已知橢圓（a＞b＞0）和直線l：y=bx+2，橢圓的離心率e=，坐標(biāo)原點到直線l的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）已知定點E（﹣1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓相交于C，D兩點，試判斷是否存在實數(shù)k，使得以CD為直徑的圓過定點E？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）直線l：y=bx+2，坐標(biāo)原點到直線l的距離為．∴∴b=1∵橢圓的離心率e=，∴∴a2=3∴所求橢圓的方程是；（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0∴△=36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則有x1+x2=，x1x2=∵=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），且以CD為圓心的圓過點E，∴EC⊥ED∴（x1+1