廣東省清遠(yuǎn)市珠坑中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

廣東省清遠(yuǎn)市珠坑中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率的最小值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略2.已知函數(shù)的周期為2，當(dāng)時(shí)，，如果則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為

A．2

B．4

C．6

D．8

參考答案：D3.設(shè)，則函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.已知命題；命題，則.下列命題中為真命題的是A.

B.

C.

D.

參考答案：B5.若函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足，則A．

B．C．

D．參考答案：B試題分析：由于，恒成立，因此在上時(shí)單調(diào)遞減函數(shù)，，即，故答案為B考點(diǎn)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系6.一個(gè)樣本容量為8的樣本數(shù)據(jù)，它們按一定順序排列可以構(gòu)成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列{an}，若a3=5，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，則此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：C【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】設(shè)公差為d，則（5﹣d）2=（5﹣2d）×（5+2d），由公差d不為0，解得d=2，a1=5﹣2d=1，由此能求出此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)．【解答】解：一個(gè)樣本容量為8的樣本數(shù)據(jù)，它們按一定順序排列可以構(gòu)成一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列{an}，a3=5，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，設(shè)公差為d，則，即（5﹣d）2=（5﹣2d）×（5+2d），又公差d不為0，解得d=2，a1=5﹣2d=1，∴此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：==8．故答案為：8．7.設(shè)復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位)，則的虛部為A．

B．4

C．

D．參考答案：B8.若滿足條件C=30°，AB=2，BC=a的△ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是(

)A．（1，2） B．（1，2） C．（2，4） D．（2，4）參考答案：C【考點(diǎn)】正弦定理．【專(zhuān)題】解三角形．【分析】由已知條件C的度數(shù)，AB及BC的值，根據(jù)正弦定理用a表示出sinA，由C的度數(shù)及正弦函數(shù)的圖象可知滿足題意△ABC有兩個(gè)A的范圍，然后根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出sinA的范圍，進(jìn)而求出a的取值范圍．【解答】解：∵C=30°，AB=2，BC=a，∴由正弦定理得：，即==4，解得：sinA=，由題意得：當(dāng)sinA∈（，1）時(shí)，滿足條件的△ABC有兩個(gè)，解得：2＜a＜4，則a的取值范圍是（2，4）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦定理，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．9.有二種產(chǎn)品，合格率分別為0.90，0.95，各取一件進(jìn)行檢驗(yàn)，恰有一件不合格的概率為（）A． 0.45 B． 0.14 C． 0.014 D． 0.045參考答案：B略10.已知命題p：“a＞1”，命題q：“函數(shù)f（x）=ax﹣sinx在R上是增函數(shù)”，則命題p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】利用導(dǎo)數(shù)法求出f（x）=ax﹣sinx為R上的增函數(shù)等價(jià)命題，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義，可判斷【解答】解：當(dāng)f（x）=ax﹣sinx時(shí)，f′（x）=a﹣cosx，當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）=ax﹣sinx為R上的增函數(shù)，由{a|a＞1}?{a|a≥1}，故“a＞1”是“f（x）=ax﹣sinx為R上的增函數(shù)”的充分不必要條件，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充要條件，函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(2cosβ，2sinβ)，且直線2xcosα－2ysinα＋1＝0與圓(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1相切，則向量a與b的夾角為_(kāi)_______．參考答案：60°略12.A.（不等式選做題）若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：.

不等式可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)1的距離之和小于等于3，因?yàn)閿?shù)軸上的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)1的距離之和最小時(shí)即是在點(diǎn)和點(diǎn)1之間時(shí)，此時(shí)距離和為，要使不等式有解，則，解得.13.已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，△ABC的面積為_(kāi)_________．參考答案：考點(diǎn)：余弦定理；正弦定理．專(zhuān)題：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosA，將已知等式變形后代入求出cosA的值，確定出A的度數(shù)，再由bc的值，利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．解答：解：∵△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=60°，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA=，故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵14.已知平面向量滿足，且與的夾角為120°，，則的取值范圍是_

___

你能

HO

LD住

嗎參考答案：35

略15.有下列各式：，，…，則按此規(guī)律可猜想此類(lèi)不等式的一般形式為

(n∈N*)．參考答案：1＋＋＋…＋>(n∈N*)

16.在△ABC中,D是邊BC上的一點(diǎn),,,則AB=

．參考答案：在中,由,，得,,過(guò)點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),如下圖,則，，，，在中,用正弦定理得，則.17.平面向量，，滿足||=1，?=1，?=2，|﹣|=2，則?的最小值為

．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專(zhuān)題】平面向量及應(yīng)用．【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．由||=1，不妨設(shè)=（1，0）．由?=1，?=2，可設(shè)=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用數(shù)量積運(yùn)算=2+mn即可得出．【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．∵||=1，∴不妨設(shè)=（1，0）．∵?=1，?=2，∴可設(shè)=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化為（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)m=﹣n=時(shí)取等號(hào)．∴=2+mn．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了通過(guò)建立直角坐標(biāo)系解決向量有關(guān)問(wèn)題、數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和解決問(wèn)題的能力，屬于難題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求A；（2）若，△ABC的面積為3，求的值.參考答案：（1）因?yàn)椋?，?又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以.（2）因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以，所?故.19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（、∈R，≠0），函數(shù)的圖象在點(diǎn)（2，）處的切線與軸平行.（1）用關(guān)于的代數(shù)式表示；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；.（3）當(dāng),若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.參考答案：（1）由已知條件得，又，

∴，故?！?分（2）∵，∴，∴.

令，即，當(dāng)時(shí)，解得或，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（－∞，0）和（2，＋∞）；……6分當(dāng)時(shí)，解得，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（0，2）。…………8分綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（－∞，0）和（2，＋∞）；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（0，2）.………10分(3)由及

當(dāng),，當(dāng)，解得或，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（－∞，0）和（2，＋∞）；當(dāng)，得，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（0，2），……12分所以有極大值和極小值，因?yàn)橛腥齻€(gè)零點(diǎn)，則得?！?4分20.（本小題滿分12分）已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，其中（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求（Ⅲ）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的函數(shù)特性；數(shù)列的求和．D1D4答案（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）（Ⅲ）

解析：（Ⅰ）由已知，，兩邊取對(duì)數(shù)得，即

是公比為2的等比數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知 （1） =（Ⅲ） 由（1）式得

又【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，兩邊同加1后取常用對(duì)數(shù)可得數(shù)列{bn}的遞推式，由等比數(shù)列的定義可得結(jié)論；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn，進(jìn)而得到cn，利用錯(cuò)位相減法可得Sn；（Ⅲ）由，得，取倒數(shù)可得到，由此可求得an+1；21.已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡M的方程；（Ⅱ）P為軌跡M上動(dòng)點(diǎn)，△PBC的外接圓為⊙O1（O1為圓心），當(dāng)P在M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)O1到x軸的距離的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系；J3：軌跡方程．【分析】（Ⅰ）由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)A的軌跡的軌跡為為以B，C為焦點(diǎn)的橢圓（y≠0），則c=1，a=2，b=，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）分別求得PB及BC的垂直平分線，聯(lián)立，由P在橢圓上，，利用點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得O1到x軸的距離的最小值．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意知，動(dòng)點(diǎn)A滿足橢圓的定義，（1分）設(shè)橢圓的方程（a＞b＞0，且y≠0），所以，有|F1F2|=|BC|=2c=2，|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4，（2分）且a2=b2+c2解得（3分）所以，動(dòng)點(diǎn)A的軌跡C滿足的方程為（4分）沒(méi)有寫(xiě)出約束條件的扣（1分）（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0），不妨設(shè)線段PB的垂直平分線方程為（6分）線段BC的垂直平分線方程為x=0，兩條垂線方程聯(lián)立求得（8分）∵∴（9分）∴⊙O1的圓心O1到x軸的距離（10分）又知在上是單調(diào)遞減函數(shù)∴當(dāng)時(shí)，，∴（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義，直線的垂直平分線的求法，函數(shù)單調(diào)性與橢圓的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．22.乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行，比賽采用局勝制（即先勝局者獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同.（Ⅰ）求甲以比獲勝的概率；（Ⅱ）求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于局的概率；（Ⅲ）求比賽局?jǐn)?shù)的分布列.參考答案：（Ⅰ）解：由已知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率都是．………………1分記“甲以比獲勝”為事件，則．

………………4分（Ⅱ）解：記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于局”為事件.

因?yàn)?，乙以比獲勝的概率為，

………………6分

乙以比獲勝的概率為， ………………7分所以．

………………8分（Ⅲ）解：設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為，則的可能取值為．

，