專(zhuān)題48 離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征(解析版)_第1頁(yè)
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專(zhuān)題48離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一.離散型隨機(jī)變量的分布列1、隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中,我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示.在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下,數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化.像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用字母,,,,…表示.注意:(1)一般地,如果一個(gè)試驗(yàn)滿(mǎn)足下列條件:①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行;②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè);③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè),但在一次試驗(yàn)之前不能確定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果.這種試驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn).(2)有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì),但可以用數(shù)來(lái)表示.如擲一枚硬幣,表示反面向上,表示正面向上.(3)隨機(jī)變量的線(xiàn)性關(guān)系:若是隨機(jī)變量,,是常數(shù),則也是隨機(jī)變量.2、離散型隨機(jī)變量對(duì)于所有取值可以一一列出來(lái)的隨機(jī)變量,稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量.注意:(1)本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值.(2)離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系:①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量;②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出,而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出.3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示一般地,若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為,取每一個(gè)值的概率,以表格的形式表示如下:我們將上表稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量的概率分布列,簡(jiǎn)稱(chēng)為的分布列.有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),也用等式,表示的分布列.4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì),離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì):(1),;(2).注意:①性質(zhì)(2)可以用來(lái)檢查所寫(xiě)出的分布列是否有誤,也可以用來(lái)求分布列中的某些參數(shù).②隨機(jī)變量所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的,利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率.知識(shí)點(diǎn)二.離散型隨機(jī)變量的均值與方差1、均值若離散型隨機(jī)變量的分布列為稱(chēng)為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.注意:(1)均值刻畫(huà)的是取值的“中心位置”,這是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征;(2)根據(jù)均值的定義,可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值.但反過(guò)來(lái),兩個(gè)不同的分布可以有相同的均值.這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律,從而也決定了隨機(jī)變量的均值.而均值只是刻畫(huà)了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征,并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì).2、均值的性質(zhì)(1)(為常數(shù)).(2)若,其中為常數(shù),則也是隨機(jī)變量,且.(3).(4)如果相互獨(dú)立,則.3、方差若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱(chēng)為隨機(jī)變量的方差,并稱(chēng)其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.注意:(1)描述了相對(duì)于均值的偏離程度,而是上述偏離程度的加權(quán)平均,刻畫(huà)了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越??;(2)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位,而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方.4、方差的性質(zhì)(1)若,其中為常數(shù),則也是隨機(jī)變量,且.(2)方差公式的變形:.【題型歸納目錄】題型一:離散型隨機(jī)變量題型二:求離散型隨機(jī)變量的分布列題型三:離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)題型四:離散型隨機(jī)變量的均值題型五:離散型隨機(jī)變量的方差題型六:決策問(wèn)題【典例例題】題型一:離散型隨機(jī)變量例1.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)白球、3個(gè)黑球,從中任取2個(gè),則可以作為隨機(jī)變量的是(

)A.至少取到1個(gè)白球 B.取到白球的個(gè)數(shù)C.至多取到1個(gè)白球 D.取到的球的個(gè)數(shù)【答案】B【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義,能夠一一列出的只能是B選項(xiàng),其中A、C選項(xiàng)是事件,D選項(xiàng)取到球的個(gè)數(shù)是個(gè),ACD錯(cuò)誤;故選:B.例2.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))下面是離散型隨機(jī)變量的是(

)A.電燈炮的使用壽命B.小明射擊1次,擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)C.測(cè)量一批電阻兩端的電壓,在10V~20V之間的電壓值D.一個(gè)在軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn),它在軸上的位置【答案】B【解析】對(duì)于A,電燈炮的使用壽命是變量,但無(wú)法將其取值一一列舉出來(lái),故A不符題意;對(duì)于B,小明射擊1次,擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)是變量,且其取值為,故X為離散型隨機(jī)變量,故B符合題意;對(duì)于C,測(cè)量一批電阻兩端的電壓,在10V~20V之間的電壓值是變量,但無(wú)法一一列舉出X的所有取值,故X不是離散型隨機(jī)變量,故C不符題意;對(duì)于D,一個(gè)在軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn),它在軸上的位置是變量,但無(wú)法一一列舉出其所有取值,故X不是離散型隨機(jī)變量,故D不符題意.故選:B.例3.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))甲、乙兩人下象棋,贏了得3分,平局得1分,輸了得0分,共下三局.用表示甲的得分,則表示(

)A.甲贏三局B.甲贏一局輸兩局C.甲、乙平局三次D.甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】甲、乙兩人下象棋,贏了得3分,平局得1分,輸了得0分,所以有兩種情況,即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次.故選:D.變式1.(2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí))對(duì)一批產(chǎn)品逐個(gè)進(jìn)行檢測(cè),第一次檢測(cè)到次品前已檢測(cè)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為ξ,則ξ=k表示的試驗(yàn)結(jié)果為()A.第k-1次檢測(cè)到正品,而第k次檢測(cè)到次品B.第k次檢測(cè)到正品,而第k+1次檢測(cè)到次品C.前k-1次檢測(cè)到正品,而第k次檢測(cè)到次品D.前k次檢測(cè)到正品,而第k+1次檢測(cè)到次品【答案】D【解析】由題意表示第一次檢測(cè)到次品前已檢測(cè)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為,因此前次檢測(cè)到的都是正品,第次檢測(cè)的是一件次品.故選D.變式2.(多選題)(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))下列隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的是(

)A.某景點(diǎn)一天的游客數(shù)XB.某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到尋呼次數(shù)XC.水文站觀(guān)測(cè)到江水的水位數(shù)XD.某收費(fèi)站一天內(nèi)通過(guò)的汽車(chē)車(chē)輛數(shù)X【答案】ABD【解析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng),游客數(shù)、尋呼次數(shù)、汽車(chē)車(chē)輛數(shù)的取值都是隨機(jī)的整數(shù),滿(mǎn)足題意;但水位數(shù)是實(shí)數(shù),不是離散型隨機(jī)變量,不滿(mǎn)足題意.故選:ABD.題型二:求離散型隨機(jī)變量的分布列例4.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))隨機(jī)變量的概率分布滿(mǎn)足(,1,2,…,10),則的值為_(kāi)__________.【答案】1024【解析】由題意.故答案為:1024.例5.(2022·河南·上蔡縣衡水實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)(理))設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表:1234則(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的概率分布列知,,解得.又,∴或,則.故選:C.例6.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知隨機(jī)變量X的分布列為,,則等于(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得:.故選:A變式3.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))一袋中裝有5個(gè)球,編號(hào)為1,2,3,4,5,在袋中同時(shí)取出3個(gè),以ξ表示取出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼,則隨機(jī)變量ξ的分布列為(

)A.123B.1234C.123D.123【答案】C【解析】隨機(jī)變量ξ的可能取值為1,2,3故選:C.變式4.(2022·浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí))甲,乙兩位同學(xué)組隊(duì)去參加答題拿小豆的游戲,規(guī)則如下:甲同學(xué)先答2道題,至少答對(duì)一題后,乙同學(xué)才有機(jī)會(huì)答題,同樣也是兩次機(jī)會(huì).每答對(duì)一道題得10粒小豆.已知甲每題答對(duì)的概率均為,乙第一題答對(duì)的概率為,第二題答對(duì)的概率為.若乙有機(jī)會(huì)答題的概率為.(1)求;(2)求甲,乙共同拿到小豆數(shù)量的分布列及期望.【解析】(1)由已知得,當(dāng)甲至少答對(duì)1題后,乙才有機(jī)會(huì)答題.所以乙有機(jī)會(huì)答題的概率為,解得;(2)X的可能取值為0,10,20,30,40;所以X的分布列為:X010203040P.變式5.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知袋內(nèi)有5個(gè)白球和6個(gè)紅球,從中摸出2個(gè)球,記,求X的分布列.【解析】由題意得,X的可能取值為0,1,,.可得X的分布列如表所示:X01P變式6.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))甲?乙兩名同學(xué)與同一臺(tái)智能機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽,計(jì)分規(guī)則如下:在一輪比賽中,如果甲贏而乙輸,則甲得1分;如果甲輸而乙贏,則甲得分;如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸,則甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.6,乙贏機(jī)器人的概率為0.5.求:(1)在一輪比賽中,甲的得分的分布列;(2)在兩輪比賽中,甲的得分的分布列及期望.【解析】(1)依題意可得的可能取值為,,,所以,,,所以的分布列為01(2)依題意可得的可能取值為,,,,,所以,,,,,所以的分布列為0120.040.20.370.30.09所以.【方法技巧與總結(jié)】求解離散型隨機(jī)變量分布列的步驟:(1)審題(2)計(jì)算計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率(3)列表列出分布列,并檢驗(yàn)概率之和是否為.(4)求解根據(jù)均值、方差公式求解其值.題型三:離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)例7.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為:則(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意,有,且,,解得,故選:B.例8.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))隨機(jī)變量X的分布列為XP若,,成等差數(shù)列,則公差的取值范圍是______.【答案】【解析】由題意知,,∴,∴.又,∴,∴.同理,由,,∴,∴,即公差的取值范圍是故答案為:例9.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:X0123Pab則a2+b2的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】由分布列的性質(zhì),知,即.因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故答案為:變式7.(2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示:X012Pa若F(x)=P(X≤x),則當(dāng)x的取值范圍是[1,2)時(shí),F(xiàn)(x)等于_______【答案】【解析】由分布列的性質(zhì),得a++=1,∴a=,而x∈[1,2),∴F(x)=P(X≤x)=P(X≤1)=+=.故答案為:變式8.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))隨機(jī)變量的概率分布列如下:0123456則___________.【答案】64【解析】根據(jù)概率分布列的概率性質(zhì)可知,所以,即,解得.故答案為:【方法技巧與總結(jié)】離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值;(2)利用“隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求特定事件的概率;(3)可以根據(jù)性質(zhì)及,判斷所求的分布列是否正確.題型四:離散型隨機(jī)變量的均值例10.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知隨機(jī)變量X的分布列為X012Pm若,則___________.【答案】【解析】由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì),得,解得,∴.由,得,即.故答案為:.例11.(2022·河南·濮陽(yáng)一高高三階段練習(xí)(理))隨機(jī)變量X的分布列如下表所示,則___________.x1Pa【答案】【解析】因?yàn)?,所以,故,所以.故答案為:.?2.(2022·江蘇常州·高三階段練習(xí))甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿(mǎn)6局時(shí)停止,設(shè)甲在每局中獲勝的概率為,乙在每局中獲勝的概率為,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立,則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)X的期望為(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意,隨機(jī)變量X的可能取值是2,4,6,設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?,則該輪比賽停止的概率為,若該輪結(jié)束時(shí)比賽還要繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得1分,此時(shí)該輪比賽結(jié)果對(duì)下一輪比賽是否停止沒(méi)有影響,所以,,,所以期望為.故選:B.變式9.(2022·湖北·高三開(kāi)學(xué)考試)一個(gè)袋子中裝有形狀大小完全相同的4個(gè)小球,其中2個(gè)黑球,2個(gè)白球.第一步:從袋子里隨機(jī)取出2個(gè)球,將取出的白球涂黑后放回袋中,取出的黑球直接放回袋中;第二步:再?gòu)拇永镫S機(jī)取出2個(gè)球,計(jì)第二步取出的2個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)為,則(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】①計(jì)第一步取出2個(gè)白球?yàn)槭录嗀,即第二步袋子有4個(gè)黑球,則②計(jì)第一步取出兩球?yàn)?黑1白為事件,即第二步袋子有3個(gè)黑球1個(gè)白球,則③計(jì)第一步取出兩個(gè)黑球?yàn)槭录﨏,即第二步袋子有2個(gè)黑球2個(gè)白球,則故由全概率公式,,同理,故選:D變式10.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知隨機(jī)變量X滿(mǎn)足,,下列說(shuō)法正確的是(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)方差和期望的性質(zhì)可得:,,故選:D變式11.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)據(jù),,,…,的平均數(shù)為4,方差為2,則數(shù)據(jù),,,…,的平均數(shù)與方差的和為(

)A.6 B.15 C.19 D.22【答案】C【解析】由題,則,,所以.故選:C.變式12.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知隨機(jī)變量的分布列為:X124P0.40.30.3則等于(

)A.15 B.11C.2.2 D.2.3【答案】A【解析】由隨機(jī)變量的分布列,可得期望,所以.故選:A.變式13.(2022·山西長(zhǎng)治·模擬預(yù)測(cè)(理))從裝有3個(gè)白球m個(gè)紅球n個(gè)黃球(這些小球除顏色外完全相同)的布袋中任取兩個(gè)球,記取出的白球的個(gè)數(shù)為X,若,取出一白一紅的概率為,則取出一紅一黃的概率為(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意,X的可能值為0,1,2,則有,,,于是得,解得,袋中共有10個(gè)球,因此,取出一白一紅的概率為,解得,則,所以取出一紅一黃的概率為.故選:A變式14.(2022·廣東·金山中學(xué)高三階段練習(xí))某中學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)小組在某區(qū)域內(nèi)通過(guò)一定的有效調(diào)查方式對(duì)“北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式”當(dāng)晚的收看情況進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),通過(guò)手機(jī)收看的約占,通過(guò)電視收看的約占,其他為未收看者:(1)從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人,其中至少有1人通過(guò)手機(jī)收看的概率;(2)從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人,用表示通過(guò)電視收看的人數(shù),求的分布列和期望.【解析】(1)記事件為至少有1人通過(guò)手機(jī)收看,由題意知,通過(guò)手機(jī)收看的概率為,沒(méi)有通過(guò)手機(jī)收看的概率為,則;(2)由題意知:,則的可能取值為0,1,2,3,;;;;所以的分布列為:0123所以.變式15.(2022·四川·樹(shù)德中學(xué)高三階段練習(xí)(理))2022年9月30日至10月9日,第56屆國(guó)際乒聯(lián)世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽在成都市高新區(qū)體育中心舉行.某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了全校學(xué)生在國(guó)慶期間觀(guān)看世乒賽中國(guó)隊(duì)比賽直播的時(shí)長(zhǎng)情況(單位:分鐘),并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值,并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);(2)采用以樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方式,從觀(guān)看時(shí)長(zhǎng)在[200,280]的學(xué)生中抽取出6人.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取3人在全校交流觀(guān)看體會(huì),記抽取出的3人中觀(guān)賽時(shí)長(zhǎng)在[200,240)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)由題意,解得,由頻率分布直方圖知時(shí)長(zhǎng)不大于160分鐘的頻率為,所以中位數(shù)是160;(2)用分層隨機(jī)抽樣方式從觀(guān)看時(shí)長(zhǎng)在[200,280]的學(xué)生中抽取出6人,則和上的人數(shù)比為,因此上有4人,上有2人,的取值可能為1,2,3,,,,的分布為123期望為.變式16.(2022·江西·臨川一中高三階段練習(xí)(理))某企業(yè)開(kāi)發(fā)的新產(chǎn)品已經(jīng)進(jìn)入到樣品試制階段,需要對(duì)這5個(gè)樣品進(jìn)行性能測(cè)試,現(xiàn)有甲、乙兩種不同的測(cè)試方案,每個(gè)樣品隨機(jī)選擇其中的一種進(jìn)行測(cè)試,選擇甲方案測(cè)試合格的概率為,選擇乙方案測(cè)試合格的概率為,且每次測(cè)試的結(jié)果互不影響.(1)若樣品選擇甲方案,樣品選擇乙方案.求5個(gè)樣品全部測(cè)試合格的概率;(2)若5個(gè)樣品全選擇甲方案,其樣品測(cè)試合格個(gè)數(shù)記為X,求X的分布列及其期望:(3)若測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)的期望不小于3,求選擇甲方案進(jìn)行測(cè)試的樣品個(gè)數(shù),【解析】(1)因?yàn)闃悠愤x擇甲方案,樣品選擇乙方案,由已知樣品測(cè)試合格的概率為,樣品測(cè)試合格的概率為,所以5個(gè)樣品全部測(cè)試合格的概率為;(2)由已知隨機(jī)變量的取值有,,,,,,,所以X的分布列為:X012345P∴;(3)設(shè)選擇甲方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為n,則選擇乙方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為,并設(shè)通過(guò)甲方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為,通過(guò)乙方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為,當(dāng)時(shí),此時(shí)所有樣品均選邦方案乙測(cè)試,則,所以,不符合題意;當(dāng)時(shí),此時(shí)所有樣品均選擇方案甲測(cè)試,則,所以,符合愿意;當(dāng)時(shí),,所以,若使,則,由于,故時(shí)符合題意,綜上,選擇甲方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為3,4或者5時(shí),測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)的期望不小于3.題型五:離散型隨機(jī)變量的方差例13.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè),若隨機(jī)變量的分布列如下表:-102Pa2a3a則下列方差中最大的是(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意,得,則,所以,,所以,,所以,,即最大,故選:C.例14.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知隨機(jī)變量的分布列為下表所示,若,則(

)A. B. C.1 D.【答案】B【解析】由,解得由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)得,得所以故選:B例15.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))從裝有個(gè)白球和個(gè)黑球的袋中無(wú)放回任取個(gè)球,每個(gè)球取到的概率相同,規(guī)定:(1)取出白球得分,取出黑球得分,取出個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量(2)取出白球得分,取出黑球得分,取出個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量則(

)A., B.,C., D.,【答案】C【解析】根據(jù)題意,,,,分布列如下:根據(jù)題意,,,,分布列如下:,,,,可得,故選:C.變式17.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知隨機(jī)變量的分布列如下:X123Pab2b—a則的最大值為(

)A. B.3C.6 D.5【答案】C【解析】,只需求的最大值即可,根據(jù)題意:,,,所以,當(dāng)時(shí),其最大值為,故的最大值為.故選:C.變式18.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)(理))設(shè),,隨機(jī)變量X的分布列是(

)a則方差(

)A.既與有關(guān),也與有關(guān) B.與有關(guān),但與無(wú)關(guān)C.與有關(guān),但與無(wú)關(guān) D.既與無(wú)關(guān),也與無(wú)關(guān)【答案】B【解析】由分布列可得,故.故選:B變式19.(2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí))將3只小球放入3個(gè)盒子中,盒子的容量不限,且每個(gè)小球落入盒子的概率相等.記為分配后所??蘸械膫€(gè)數(shù),為分配后不空盒子的個(gè)數(shù),則(

)A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橐还灿?個(gè)盒子,所以,因此,,由題意可知:,,,,,所以,故選:C變式20.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知隨機(jī)變量X的分布列如下:236Pa則的值為(

)A.2 B.6 C.8 D.18【答案】D【解析】根據(jù)分布列可知,解得,,,所以.故選:D.變式21.(2022·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)(理))隨機(jī)變量的概率分布列為,k=1,2,3,其中c是常數(shù),則的值為(

)A.10 B.117 C.38 D.35【答案】C【解析】,k=1,2,3,,解得,,,.故選:C變式22.(2022·浙江溫州·高三開(kāi)學(xué)考試)已知隨機(jī)變量X的分布列是:若,則(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得,解得,因此,.故選:C.變式23.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示,且.X01xPp(1)求的值;(2)若,求的值;(3)若,求的值.【解析】(1)由題意可知,解得,又∵,解得.∴.(2)∵,∴.(3)∵,∴.變式24.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知投資甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量和.經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析,和的分布列分別為表1:表2:(1)若在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元,和分別表示投資甲?乙兩項(xiàng)目所獲得的利潤(rùn),求和的數(shù)學(xué)期望和方差,并由此分析投資甲?乙兩項(xiàng)目的利弊;(2)若在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目總共投資100萬(wàn)元,求在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目上分別投資多少萬(wàn)元時(shí),可使所獲利潤(rùn)的方差和最???注:利潤(rùn)率.【解析】(1)由題意,得,,,,由,又,得,,因此投資甲的平均利潤(rùn)18萬(wàn)元大于投資乙的平均利潤(rùn)17萬(wàn)元,但投資甲的方差48也遠(yuǎn)大于投資乙的方差16.所以投資甲的平均利潤(rùn)大,方差也大,相對(duì)不穩(wěn)定,而投資乙的平均利潤(rùn)小,方差也小,相對(duì)穩(wěn)定.若長(zhǎng)期投資可選擇投資甲,若短期投資可選投資乙.(2)設(shè)萬(wàn)元投資甲,則萬(wàn)元投資了乙,則投資甲的利潤(rùn),投資乙的利潤(rùn)設(shè)為投資甲所獲利潤(rùn)的方差與投資乙所獲利潤(rùn)的方差和,則當(dāng)時(shí),的值最小.故此時(shí)甲項(xiàng)目投資25萬(wàn)元,乙項(xiàng)目投資75萬(wàn)元,可使所獲利潤(rùn)的方差和最小.變式25.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))今年3月份以來(lái),隨著疫情在深圳、上海等地爆發(fā),國(guó)內(nèi)消費(fèi)受到影響,為了促進(jìn)消費(fèi)回暖,全國(guó)超過(guò)19個(gè)省份都派發(fā)了消費(fèi)券,合計(jì)金額高達(dá)50億元通過(guò)發(fā)放消費(fèi)券的形式,可以有效補(bǔ)貼中低收入階層,帶動(dòng)消費(fèi),從而增加企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)能,最終拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng),除此之外,消費(fèi)券還能在假期留住本市居民,減少節(jié)日期間在各個(gè)城市之間的往來(lái),客觀(guān)上能夠達(dá)到降低傳播新冠疫情的效果,佛山市某單位響應(yīng)政策號(hào)召,組織本單位員工參加抽獎(jiǎng)得消費(fèi)優(yōu)惠券活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則是:從裝有質(zhì)地均勻、大小相同的2個(gè)黃球、3個(gè)紅球的箱子中隨機(jī)摸出2個(gè)球,若恰有1個(gè)紅球可獲得20元優(yōu)惠券,2個(gè)都是紅球可獲得50元優(yōu)惠券,其它情況無(wú)優(yōu)惠券,則在一次抽獎(jiǎng)中:(1)求摸出2個(gè)紅球的概率;(2)設(shè)獲得優(yōu)惠券金額為X,求X的方差.【解析】(1)記事件A:摸出2個(gè)紅球.則.(2)由題意可得:X的可能取值為:0,20,50.則:;;.所以數(shù)學(xué)期望,方差.【方法技巧與總結(jié)】均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用若是隨機(jī)變量,則一般仍是隨機(jī)變量,在求的期望和方差時(shí),熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì),可以避免再求的分布列帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算.題型六:決策問(wèn)題例16.(2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí))統(tǒng)計(jì)與概率主要研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)和客觀(guān)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象,通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、描述及對(duì)事件發(fā)生的可能性刻畫(huà),來(lái)幫助人們作出合理的決策.(1)現(xiàn)有池塘甲,已知池塘甲里有50條魚(yú),其中A種魚(yú)7條,若從池塘甲中捉了2條魚(yú).用表示其中A種魚(yú)的條數(shù),請(qǐng)寫(xiě)出的分布列,并求的數(shù)學(xué)期望;(2)另有池塘乙,為估計(jì)池塘乙中的魚(yú)數(shù),某同學(xué)先從中捉了50條魚(yú),做好記號(hào)后放回池塘,再?gòu)闹凶搅?0條魚(yú),發(fā)現(xiàn)有記號(hào)的有5條.(?。┱?qǐng)從分層抽樣的角度估計(jì)池塘乙中的魚(yú)數(shù).(ⅱ)統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一種重要而普遍的求估計(jì)量的方法─最大似然估計(jì),其原理是使用概率模型尋找能夠以較高概率產(chǎn)生觀(guān)察數(shù)據(jù)的系統(tǒng)發(fā)生樹(shù),即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事件.請(qǐng)從條件概率的角度,采用最大似然估計(jì)法估計(jì)池塘乙中的魚(yú)數(shù).【解析】(1),故分布列為:012.(2)(i)設(shè)池塘乙中魚(yú)數(shù)為,則,解得,故池塘乙中的魚(yú)數(shù)為200.(ii)設(shè)池塘乙中魚(yú)數(shù)為,令事件“再捉20條魚(yú),5條有記號(hào)”,事件“池塘乙中魚(yú)數(shù)為”則,由最大似然估計(jì)法,即求最大時(shí)的值,其中,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)所以池塘乙中的魚(yú)數(shù)為199或200.例17.(2022·黑龍江·佳木斯一中三模(文))某地的水果店老板記錄了過(guò)去50天某類(lèi)水果的日需求量(單位:箱),整理得到數(shù)據(jù)如下表所示.其中每箱某類(lèi)水果的進(jìn)貨價(jià)為50元,售價(jià)為100元,如果當(dāng)天賣(mài)不完,剩下的水果第二天將在售價(jià)的基礎(chǔ)上打五折進(jìn)行特價(jià)銷(xiāo)售,但特價(jià)銷(xiāo)售需要運(yùn)營(yíng)成本每箱30元,根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)第二天特價(jià)水果都能售罄,并且不影響正價(jià)水果的銷(xiāo)售,以這50天記錄的日需求量的頻率作為口需求量發(fā)生的概率.2223242526頻數(shù)10101596(1)如果每天的進(jìn)貨量為24箱,用表示該水果店賣(mài)完某類(lèi)水果所獲得的利潤(rùn),求的平均值;(2)如果店老板計(jì)劃每天購(gòu)進(jìn)24箱或25箱的某類(lèi)水果,請(qǐng)以利潤(rùn)的平均值作為決策依據(jù),判斷應(yīng)當(dāng)購(gòu)進(jìn)24箱還是25箱.【解析】(1)由題設(shè),每天的進(jìn)貨量為24箱,當(dāng)天賣(mài)完的概率為,當(dāng)天賣(mài)不完剩余1箱的概率,當(dāng)天賣(mài)不完剩余2箱的概率,若當(dāng)天賣(mài)完元,若當(dāng)天賣(mài)不完剩余1箱元,若當(dāng)天賣(mài)不完剩余2箱元,所以元.(2)由題設(shè),每天的進(jìn)貨量為25箱,當(dāng)天賣(mài)完的概率為,當(dāng)天賣(mài)不完剩余1箱的概率,當(dāng)天賣(mài)不完剩余2箱的概率,當(dāng)天賣(mài)不完剩余3箱的概率,若當(dāng)天賣(mài)完元,當(dāng)天賣(mài)不完剩余1箱元,當(dāng)天賣(mài)不完剩余2箱元,當(dāng)天賣(mài)不完剩余3箱元,所以元,顯然小于每天的進(jìn)貨量為24箱的期望利潤(rùn),所以應(yīng)當(dāng)購(gòu)進(jìn)24箱.例18.(2022·重慶八中高三階段練習(xí))手機(jī)運(yùn)動(dòng)計(jì)步已經(jīng)成為一種新時(shí)尚.某單位統(tǒng)計(jì)職工一天行走步數(shù)(單位:百步)得到如下頻率分布直方圖.由頻率分布直方圖估計(jì)該單位職工一天行走步數(shù)的中位數(shù)為125(百步),其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表.(1)試計(jì)算圖中的a、b值,并以此估計(jì)該單位職工一天行走步數(shù)的平均值;(2)為鼓勵(lì)職工積極參與健康步行,該單位制定甲、乙兩套激勵(lì)方案:記職工個(gè)人每日步行數(shù)為,其超過(guò)平均值的百分?jǐn)?shù),若,職工獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì);若,職工獲得二次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì);若,職工獲得三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì);若,職工獲得四次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì);若超過(guò)50,職工獲得五次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).設(shè)職工獲得抽獎(jiǎng)次數(shù)為n.方案甲:從裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋中有放回的逐個(gè)抽取n個(gè)小球,抽得紅球個(gè)數(shù)即表示該職工中獎(jiǎng)幾次;方案乙:從裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋中無(wú)放回的逐個(gè)抽取n個(gè)小球,抽得紅球個(gè)數(shù)即表示該職工中獎(jiǎng)幾次;若某職工日步行數(shù)為15700步,以期望為決策依據(jù)判斷哪個(gè)方案更佳?【解析】(1)由題意得:解得,,∴;(2)某職工日行步數(shù)(百步),,∴職工獲得三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),設(shè)職工中獎(jiǎng)次數(shù)為X,在方案甲下,則分布列為:X0123P;在方案乙下:的可能取值為0,1,2,3,,,,所以分布列為:X0123P,因?yàn)?,所以方案乙更佳.變?6.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的校考由試點(diǎn)高校自主命題,校考過(guò)程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目且每門(mén)科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考甲大學(xué),每門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為,若該考生報(bào)考乙大學(xué),每門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為,,,其中.(1)若,分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率;(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校,若以筆試過(guò)程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策,該考生更希望進(jìn)入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié),求的范圍.【解析】(1)設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好有一門(mén)筆試科目?jī)?yōu)秀為事件,則;該考生報(bào)考乙大學(xué)恰好有一門(mén)筆試科目?jī)?yōu)秀為事件,則.(2)該考生報(bào)考甲大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為,依題意,,則,該同學(xué)報(bào)考乙大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為,隨機(jī)變量的可能取值為:0,1,2,3.,,,隨機(jī)變量的分布列:0123,因?yàn)樵摽忌MM(jìn)入甲大學(xué)的面試,則,即,解得,所以的范圍為:.變式27.(2022·貴州貴陽(yáng)·二模(理))2021年7月24日,在奧運(yùn)會(huì)女子個(gè)人重劍決賽中,中國(guó)選手孫一文在最后關(guān)頭一劍封喉,斬獲金牌,掀起了新一輪“擊劍熱潮”.甲、乙、丙三位重劍愛(ài)好者決定進(jìn)行一場(chǎng)比賽,每局兩人對(duì)戰(zhàn),沒(méi)有平局,已知每局比賽甲贏乙的概率為,甲贏丙的概率為,丙贏乙的概率為.因?yàn)榧资亲钊醯?,所以讓他決定第一局的兩個(gè)比賽者(甲可以選定自己比賽,也可以選定另外兩個(gè)人比賽),每局獲勝者與此局未比賽的人進(jìn)行下一局的比賽,在比賽中某人首先獲勝兩局就成為整個(gè)比賽的冠軍,比賽結(jié)束.(1)若甲指定第一局由乙丙對(duì)戰(zhàn),求“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率;(2)請(qǐng)幫助甲進(jìn)行第一局的決策(甲乙、甲丙或乙丙比賽),使得甲最終獲得冠軍的概率最大.【解析】(1)若甲指定第一局由乙丙對(duì)戰(zhàn),“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”共有兩種情況:①乙丙比乙勝,甲乙比甲勝,甲丙比甲勝,其概率為;②乙丙比丙勝,甲丙比甲勝,甲乙比甲勝,其概率為.所以“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率為.(2)若第一局甲乙比,甲獲得冠軍的情況有三種:甲乙比甲勝,甲丙比甲勝;甲乙比甲勝,甲丙比丙勝,乙丙比乙勝,甲乙比甲勝;甲乙比乙勝,乙丙比丙勝,甲丙比甲勝,甲乙比甲勝,所以甲能獲得冠軍的概率為.若第一局為甲丙比,則同上可得甲獲得冠軍的概率為.若第一局為乙丙比,那么甲獲得冠軍只能是連贏兩局,則甲獲得冠軍的概率即第(1)問(wèn)的結(jié)果.因?yàn)?,所以甲第一局選擇和丙比賽,最終獲得冠軍的概率最大.變式28.(2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)模擬預(yù)測(cè))某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件,每個(gè)100元,在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)300元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得如圖柱狀圖:以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).(1)求X的分布列;(2)以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)更合理?【解析】(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,X的可能取值為16,17,18,19,20,21,22,從而;;;;;;;所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)購(gòu)買(mǎi)零件所需費(fèi)用含兩部分:一部分為購(gòu)買(mǎi)零件的費(fèi)用,另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買(mǎi)的費(fèi)用,當(dāng)時(shí),費(fèi)用的期望為:元,當(dāng)時(shí),費(fèi)用的期望為:元,因?yàn)?,所以選更適合.變式29.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))2020年以來(lái),新冠疫情對(duì)商品線(xiàn)下零售影響很大.某商家決定借助線(xiàn)上平臺(tái)開(kāi)展銷(xiāo)售活動(dòng).現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)平臺(tái)供選擇,且當(dāng)每件商品的售價(jià)為元時(shí),從該商品在兩個(gè)平臺(tái)所有銷(xiāo)售數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取100天的日銷(xiāo)售量統(tǒng)計(jì)如下,商品日銷(xiāo)售量(單位:件)678910甲平臺(tái)的天數(shù)1426262410乙平臺(tái)的天數(shù)1025352010假設(shè)該商品在兩個(gè)平臺(tái)日銷(xiāo)售量的概率與表格中相應(yīng)日銷(xiāo)售量的頻率相等,且每天的銷(xiāo)售量互不影響,(1)求“甲平臺(tái)日銷(xiāo)售量不低于8件”的概率,并計(jì)算“從甲平臺(tái)所有銷(xiāo)售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷(xiāo)售量,其中至少有2天日銷(xiāo)售量不低于8件”的概率;(2)已知甲平臺(tái)的收費(fèi)方案為:每天傭金60元,且每銷(xiāo)售一件商品,平臺(tái)收費(fèi)30元;乙平臺(tái)的收費(fèi)方案為:每天不收取傭金,但采用分段收費(fèi),即每天銷(xiāo)售商品不超過(guò)8件的部分,每件收費(fèi)40元,超過(guò)8件的部分,每件收費(fèi)35元.某商家決定在兩個(gè)平臺(tái)中選擇一個(gè)長(zhǎng)期合作,從日銷(xiāo)售收入(單價(jià)×日銷(xiāo)售量-平臺(tái)費(fèi)用)的期望值較大的角度,你認(rèn)為該商家應(yīng)如何決策?說(shuō)明理由.【解析】(1)令事件“甲平臺(tái)日銷(xiāo)售量不低于8件”,則,令事件“從甲平臺(tái)所有銷(xiāo)售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷(xiāo)售量,其中至少有2天日銷(xiāo)售量不低于8件”,則(2)設(shè)甲平臺(tái)的日銷(xiāo)售收入為,則的所有可能取值為所以,的分布列為所以,,設(shè)乙平臺(tái)的日銷(xiāo)售收入為,則的所有可能取值為所以,的分布列為:所以,.所以,令得,令得所以,當(dāng)時(shí),選擇甲平臺(tái);當(dāng)時(shí),甲乙平臺(tái)均可;當(dāng)時(shí),選擇乙平臺(tái).【方法技巧與總結(jié)】均值與方差在決策中的應(yīng)用(1)隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量,是實(shí)際生產(chǎn)中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值,若均值相同,再用方差來(lái)決定.(2)兩種應(yīng)用策略=1\*GB3①當(dāng)均值不同時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見(jiàn)分歧,可對(duì)問(wèn)題作出判斷.=2\*GB3②若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大,則可通過(guò)分析兩變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,進(jìn)而進(jìn)行決策.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)(理))某車(chē)間打算購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)設(shè)備,該設(shè)備有一個(gè)易損零件,在購(gòu)買(mǎi)設(shè)備時(shí)可以額外購(gòu)買(mǎi)這種易損零件作為備件,價(jià)格為每個(gè)120元.在設(shè)備使用期間,零件損壞,備件不足再臨時(shí)購(gòu)買(mǎi)該零件時(shí),價(jià)格為每個(gè)280元.在使用期間,每臺(tái)設(shè)備需更換的零件個(gè)數(shù)X的分布列為:X678P0.40.50.1若購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)易損零件13個(gè),則在使用期間,這2臺(tái)設(shè)備另需購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望為(

)A.1716.8元 B.206.5元 C.168.6元 D.156.8元【答案】D【解析】記Y表示2臺(tái)設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù),則Y的可能取值為12,13,14,15,16,,,,,.若購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)易損零件13個(gè),在使用期間,記這2臺(tái)設(shè)備另需購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用為Z元,則Z的可能取值為0,280,560,840,,,,,.故選:D.2.(2022·四川省仁壽縣文宮中學(xué)高三階段練習(xí)(理))已知隨機(jī)變量X的分布列如表(其中a為常數(shù)):X012345P0.10.1a0.30.20.1則等于(

)A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7【答案】C【解析】因?yàn)?,所以,所?故選:C.3.(2022·河南·高三開(kāi)學(xué)考試(理))某車(chē)間打算購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)設(shè)備,該設(shè)備有一個(gè)易損零件,在購(gòu)買(mǎi)設(shè)備時(shí)可以額外購(gòu)買(mǎi)這種易損零件作為備件,價(jià)格為每個(gè)120元.在設(shè)備使用期間,零件損壞,備件不足再臨時(shí)購(gòu)買(mǎi)該零件時(shí),價(jià)格為每個(gè)280元.在使用期間,每臺(tái)設(shè)備需更換的零件個(gè)數(shù)X的分布列為X678P0.40.50.1若購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)易損零件13個(gè),則在使用期間,這2臺(tái)設(shè)備另需購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望為(

).A.1716.8元 B.206.5元 C.168.6元 D.156.8元【答案】D【解析】記Y表示2臺(tái)設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù),則Y的可能取值為12,13,14,15,16,,,,,.若購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)易損零件13個(gè),在使用期間,記這2臺(tái)設(shè)備另需購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用為Z元,則Z的可能取值為0,280,560,840,,,,,.故選:D4.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品,如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元,生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元,生產(chǎn)一件次品,要賠20元,已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等、乙等和次品的概率分別為0.6、0.3和0.1,則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品,平均預(yù)期可獲利(

)A.36元 B.37元 C.38元 D.39元【答案】B【解析】由題意可得:設(shè)這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利X,則X可能取的數(shù)值為50,30,,所以X的分布列為:,,,所以這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利為:(元)故選:B5.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)10件同類(lèi)型的零件中有2件是不合格品,從其中任取3件,以X表示取出的3件中的不合格的件數(shù),則(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意,故選:A6.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知6件產(chǎn)品中有2件次品,4件正品,檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測(cè),記取到的正品數(shù)為X,則(

)A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】X可能取1,2,3,其對(duì)應(yīng)的概率為,,,∴.故選:A7.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列如圖,則q等于(

)-101P0.5A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知,解得.故選:C8.(2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試(理))盒中有10個(gè)螺絲釘,其中有3個(gè)是壞的,現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè),那么概率是的事件為(

)A.恰有1個(gè)是壞的 B.4個(gè)全是好的C.恰有2個(gè)是好的 D.至多有2個(gè)是壞的【答案】C【解析】盒中有10個(gè)螺絲釘,從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè)的總數(shù)為:,其中有3個(gè)是壞的,恰有1個(gè)壞的,恰有2個(gè)好的,4個(gè)全是好的,至多2個(gè)壞的取法數(shù)分別為:,,,,恰有1個(gè)壞的概率分別為:,恰有2個(gè)好的概率為,4個(gè)全是好的概率為,至多2個(gè)壞的概率為;故選:.二、多選題9.(2022·吉林·東北師大附中高三開(kāi)學(xué)考試)已知隨機(jī)變量的分布列如下表;01記“函數(shù)是偶函數(shù)”為事件,則下列結(jié)論正確的有(

)A. B.C. D.【答案】BC【解析】由隨機(jī)變量的分布列知,所以,故B正確;,故A錯(cuò)誤,函數(shù)是偶函數(shù)為事件,滿(mǎn)足條件的事件的的可能取值為或,,故C正確,D錯(cuò)誤;故選:BC.10.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知隨機(jī)變量的分布列如下表:012若,則(

)A. B. C. D.【答案】AC【解析】依題意,解得,.故選:AC.11.(2022·江蘇·蘇州市第六中學(xué)校三模)已知投資兩種項(xiàng)目獲得的收益分別為,分布列如下表,則(

)/百萬(wàn)02百萬(wàn)012A. B.C.投資兩種項(xiàng)目的收益期望一樣多 D.投資項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)比項(xiàng)目高【答案】ACD【解析】依題意可得,所以,,所以,所以,故A正確;所以,則,故B錯(cuò)誤;,所以,故C正確;因?yàn)?,即,所以投資項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)比項(xiàng)目高,故D正確;故選:ACD12.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布列為0123則下列各式正確的是(

)A. B.C. D.【答案】AC【解析】由概率分布列可得,故A正確;,故B錯(cuò)誤;,故C正確;,故D錯(cuò)誤.故選:AC三、填空題13.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))離散型隨機(jī)變量X的分布為:01245若離散型隨機(jī)變量Y滿(mǎn)足,則下列結(jié)果正確的為_(kāi)_____.①;②;③;④.【答案】①③【解析】由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì),可得,則,,所以①③正確;又由離散型隨機(jī)變量Y滿(mǎn)足,所以,,所以②④錯(cuò)誤,故答案為:①③.14.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))袋中有1個(gè)白球,2個(gè)黃球,2個(gè)紅球,這5個(gè)小球除顏色外完全相同,每次不放回地從中取出1個(gè)球,取出白球即停,記X為取出的球中黃球數(shù)與紅球數(shù)之差,則______.【答案】0【解析】,,,故.故答案為:015.(2022·上海市進(jìn)才中學(xué)高三階段練習(xí))一袋中裝有大小與質(zhì)地相同的5個(gè)紅球和3個(gè)黑球,任取3球,記其中黑球數(shù)為X,則______.【答案】【解析】的取值為0,1,2,3,,,,,隨機(jī)變量的概率分布為:0123數(shù)學(xué)期望為.故答案為:16.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)隨機(jī)變量的分布為,則______.【答案】【解析】由題意知,的分布為,所以,解得,所以,故答案為:.四、解答題17.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開(kāi)發(fā)了一個(gè)“AI作業(yè)”項(xiàng)目,并且在甲、乙兩個(gè)學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶(hù)測(cè)試.經(jīng)過(guò)一個(gè)階段的試用,為了解“AI作業(yè)”對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)情況,該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生,對(duì)他們的“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)掌握的情況進(jìn)行調(diào)查,樣本調(diào)查結(jié)果如下表:甲校乙校使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)基本掌握32285030沒(méi)有掌握8141226假設(shè)每位學(xué)生是否掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)相互獨(dú)立.(1)從樣本中沒(méi)有掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,用表示抽取的2名學(xué)生中使用“AI作業(yè)”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)用樣本頻率估計(jì)概率,從甲校高一學(xué)生中抽取一名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生和一名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生,用“X=1”表示該名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”,用“X=0”表示該名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒(méi)有掌握“向量數(shù)量積”,用“Y=1”表示該名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”,用“Y=0”表示該名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒(méi)有掌握“向量數(shù)量積”.比較方差DX和DY的大小關(guān)系.【解析】(1)依題意,沒(méi)有掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生有60人,其中,使用“AI作業(yè)”的人數(shù)為20人,不使用“AI作業(yè)”的人數(shù)為40,所以,1,2,且,,,所以的分布列為:012P故(2)由題意,易知服從二項(xiàng)分布,,服從二項(xiàng)分布,,故.18.(2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))臺(tái)灣是中國(guó)固有領(lǐng)土,臺(tái)海局勢(shì)牽動(dòng)每個(gè)人的心.某次海軍對(duì)抗演習(xí)中,紅方飛行員甲負(fù)責(zé)攻擊藍(lán)方艦隊(duì).假設(shè)甲距離藍(lán)方艦隊(duì)100海里,且未被發(fā)現(xiàn),若此時(shí)發(fā)射導(dǎo)彈,命中藍(lán)方戰(zhàn)艦概率是0.2,并可安全返回.若甲繼續(xù)飛行進(jìn)入到藍(lán)方方圓50海里的范圍內(nèi),有0.5的概率被敵方發(fā)現(xiàn),若被發(fā)現(xiàn)將失去攻擊機(jī)會(huì),且此時(shí)自身被擊落的概率是0.6.若沒(méi)被發(fā)現(xiàn),則發(fā)射導(dǎo)彈擊中藍(lán)方戰(zhàn)艦概率是0.8,并可安全返回.命中戰(zhàn)艦紅方得10分,藍(lán)方不得分;擊落戰(zhàn)機(jī)藍(lán)方得6分,紅方不得分.(1)從期望角度分析,甲是否應(yīng)繼續(xù)飛行進(jìn)入到藍(lán)方方圓50海里的范圍內(nèi)?(2)若甲在返回途中發(fā)現(xiàn)敵方兩架轟炸機(jī),此時(shí)甲彈艙中還剩6枚導(dǎo)彈,每枚導(dǎo)彈命中轟炸機(jī)概率均為0.5.(i)若甲同時(shí)向每架轟炸機(jī)各發(fā)射三枚導(dǎo)彈,求恰有一架轟炸機(jī)被命中的概率;(ii)若甲隨機(jī)向一架轟炸機(jī)發(fā)射一枚導(dǎo)彈,若命中,則向另一架轟炸機(jī)發(fā)射一枚導(dǎo)彈,若不命中,則繼續(xù)向該轟炸機(jī)發(fā)射一枚導(dǎo)彈,直到兩架轟炸機(jī)均被命中或?qū)椨猛隇橹?,求最終剩余導(dǎo)彈數(shù)量的分布列.【解析】(1)由題可知,

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