河海大學(xué)5結(jié)構(gòu)力學(xué)全部核心考點(diǎn)講義

2013河海大學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)（I）

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)框架梳理及其解析

第一章體系的幾何組成分析

本章需要重點(diǎn)掌握幾何不變體系、自由度、剛片、約束等基本概念，重點(diǎn)掌握幾何不變體系組成的三

規(guī)則——兩剛片規(guī)則，三剛片規(guī)則和二元體規(guī)則。

一、基本概念

1、幾何不變體系：在荷載作用下能保持其幾何形狀和位置都不改變的體系。

2、幾何可變體系：在荷載作用下不能保持其幾何形狀和位置都不改變的體系。

3、剛片：假想的一個(gè)在平面內(nèi)完全不變形的剛性物體叫作剛片。在平面桿件體系中，一根直桿、折

桿或曲桿都可以視為剛片，并且山這些構(gòu)件組成的幾何不變體系也可視為剛片。剛片中任一兩點(diǎn)間的距離

保持不變，既由剛片中任意兩點(diǎn)間的一條直線的位置可確定剛片中任一點(diǎn)的位置。所以可由剛片中的一條

直線代表剛片。

4、自由度的概念:

一個(gè)點(diǎn)：在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)完全不受限制的一個(gè)點(diǎn)有2個(gè)自由度。

一個(gè)剛片：在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)完全不受限制的一個(gè)剛片有3個(gè)自山度。

X

(a)

5、約束，是能減少體系自由度數(shù)的裝置。

1）鏈桿根單鏈桿或一個(gè)可動(dòng)較（一根支座鏈桿）具有1個(gè)約束。

2）單較個(gè)單餃或一個(gè)固定較支座（兩個(gè)支座鏈桿）具有兩個(gè)約束。

3）單剛結(jié)點(diǎn)個(gè)單剛結(jié)點(diǎn)或一個(gè)固定支座具有3個(gè)約束。

y小

6、必要約束：除去該約束后，體系的自由度將增加，這類約束稱為必要約束。

多余約束：除去該約束后，體系的自由度不變，這類約束稱為多余約束。

7、無(wú)多余約束的幾何不變體系是靜定結(jié)構(gòu)，有多余約束的幾何不變體系是超靜定結(jié)構(gòu)。

一、幾何不變體系的簡(jiǎn)單組成規(guī)則

規(guī)則'兩個(gè)剛片之間的連接（兩剛片規(guī)則）：（圖2-3-1）

兩個(gè)剛片用不全交于一點(diǎn)也不全平行的三根鏈桿相連，組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。

規(guī)則二三個(gè)剛片之間的接（三剛片規(guī)則）：

三個(gè)剛片用不全在一條直線上的三個(gè)單錢（可以是虛錢）兩兩相連，組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。

規(guī)則三剛片與點(diǎn)之間的連接（二元體規(guī)則）：

二元體特性：在體系上加上或拆去一個(gè)二元體，不改變體系原有的自由度數(shù)。

利用二元體規(guī)則簡(jiǎn)化體系，使體系的幾何組成分析簡(jiǎn)單明了。

【例題1】：分析圖示體系的幾何組成。

解答：DF、FE為二元桿，將其去掉并不影響體系的可變性。將其去掉后，ACD為較接三角形，視為

剛片I,CBE為剛片n,基礎(chǔ)視為剛片HI。三個(gè)剛片通過(guò)三個(gè)不在同一條直線上的三個(gè)較相連，組成沒有

多余約束的幾何不變體系。即原體系為幾何不變體系。

【例題2】：分析圖示體系的幾何組成。

解答：將基礎(chǔ)視為剛片I,25、35、23三根桿組成較結(jié)三角形，視為剛片II,46桿視為剛片川，剛

片I與剛片1【通過(guò)兩個(gè)鏈桿組成的虛錢相連,剛片I與剛片III通過(guò)14桿、鏈桿組成的虛錢相連，剛片II

與剛片III通過(guò)24桿、56桿組成的虛銳相連。這樣三個(gè)剛片通過(guò)三個(gè)在同一直線上的三個(gè)虛錢相連，組成

幾何瞬變體系，即圖示體系為幾何瞬變體系。

習(xí)題：對(duì)下列平面體系進(jìn)行幾何組成分析。

5、6、

第二章靜定結(jié)構(gòu)受力分析

本章包括章跨梁的靜定受力分析，多跨靜定梁的受力分析，桁架的受力分析，靜定剛架的受力分析，

靜定組合結(jié)構(gòu)的受力分析及靜定結(jié)構(gòu)的性質(zhì)幾個(gè)部分。要求同學(xué)們掌握荷載與內(nèi)力的關(guān)系，疊加原理，主

從和附加部分，結(jié)點(diǎn)法和截面法等知識(shí)點(diǎn)，能熟練地計(jì)算各種靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。

第一節(jié)單跨靜定梁

單跨靜定梁的類型：簡(jiǎn)支梁、伸臂梁、懸臂梁。

?、截面法求某一指定截面的內(nèi)力

1、內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定

①?gòu)澗豈：對(duì)梁而言，使桿件上凹者為正（也即下側(cè)纖維受拉為正），反之為負(fù)。一般情況下作內(nèi)力

圖時(shí)，規(guī)定彎矩圖縱標(biāo)畫在受拉--側(cè)，不標(biāo)注正負(fù)號(hào)。

②剪力Q：使截開后保留部分產(chǎn)生順時(shí)針旋轉(zhuǎn)者為正，反之為負(fù)。

③軸力N：拉為正，壓為負(fù)。剪力圖和軸力圖可繪在桿軸的任意一側(cè)，但必須標(biāo)注正負(fù)號(hào)。

2、截面法的步驟

（1）以整體為研究對(duì)象，利用靜力平衡條件求支座反力（簡(jiǎn)支梁、外伸梁）

（2）截面法，取隔離體利用靜力平衡條件求截面內(nèi)力

二、荷載與內(nèi)力的關(guān)系

1、微分關(guān)系：

dFN/dx=-qxdFQ/dx=-qydM/dx=Qd2M/dx2=-qy

2、利用荷載和內(nèi)力關(guān)系的幾何意義，可由荷載的分布和類型定性地判斷或校核區(qū)段上的內(nèi)力圖形狀以

及突變點(diǎn)和突變值的大小。

(1)在無(wú)荷區(qū)段q(x)=O,剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線。

(2)在口(刈=常量段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。

(3)集中力作用點(diǎn)兩側(cè)，剪力值有突變、彎矩圖形成尖點(diǎn)；集中力偶作用點(diǎn)兩側(cè)，彎矩值突變、剪

力值無(wú)變化。

三、疊加法作彎矩圖

1、簡(jiǎn)支梁的彎矩圖疊加法

2、彎矩圖疊加的實(shí)質(zhì)

指彎矩豎標(biāo)的疊加(而不是圖形的簡(jiǎn)單疊加)，當(dāng)同?截面在兩個(gè)彎矩豎標(biāo)在基線不同側(cè)時(shí)，疊加后

是兩個(gè)豎標(biāo)絕對(duì)值相減，彎矩豎標(biāo)畫在絕對(duì)值大的一側(cè)；當(dāng)兩個(gè)豎標(biāo)在基線同?側(cè)時(shí)，則疊加后是兩個(gè)豎

標(biāo)絕對(duì)值相加，豎標(biāo)畫在同側(cè)。

基線接力法概念。

3、直桿段彎矩圖的區(qū)段疊加法

直桿區(qū)段的彎矩圖疊加可利用簡(jiǎn)支梁的彎矩圖疊加法。其步驟是：

(1)計(jì)算直桿區(qū)段兩端的最后彎矩值，畫出這兩個(gè)值的豎標(biāo)，并將兩豎標(biāo)連一直線；

(2)將所連直線作為新的基線,疊加相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在跨間荷載作用下的彎矩圖。

A"q以7q

\11111111111111

"1r

或AB

1右

MAqMB

KIIIIIIIIINA.（『lllllllhmilllllp-

-；

八〃1mm....

廣MB1P

yB

II

MAq

式川川

+

M+Ma,1111*,

四、用“擬簡(jiǎn)支梁法”繪彎矩圖

用“擬簡(jiǎn)支梁法”繪彎矩圖時(shí)，先繪出控制截面的彎矩豎標(biāo)，其間若無(wú)外荷載作用，可用直線相連;

若有外荷載作用，則以上述直線為基線，再疊加上荷載在相應(yīng)簡(jiǎn)支梁上的彎矩圖。

【例題1】：試?yán)L制圖示外伸梁的內(nèi)力圖

斛

160kn40kn(

q(x)=40kn/m

H=OA80kn.m

AIIIIlJ]IIv

E

1m2m4m

極

VB=^XOKN

VA=130KN

Q(KN)

解答:

（一）求支座反力:

EX=o

E氏=0

M4-o

Z匕二130KN〕)

M-o

月

VB=310KN〕)

=130+310-160-40-40x6=0

校核:

（二）繪制內(nèi)力圖:

V=I30KN

2

z$=0

Z2c=+130KN

MC=\3OKN.M

第

-節(jié)

-多跨靜定梁的受力分析

基本部分：結(jié)構(gòu)中不依賴于其它部分而獨(dú)立與大地形成幾何不變的部分。

附屬部分：結(jié)構(gòu)中依賴基本部分的支承才能保持幾何不變的部分。

把結(jié)構(gòu)中各部分之間的這種依賴、支承關(guān)系形象的畫成如圖示的層疊圖，可以清楚的看出多跨靜定梁

所具有的如下特征:

1）組成順序：先基本部分，后附屬部分;

2）傳力順序：先附屬部分，后基本部分。

由于這種多跨靜定梁的層疊圖象階梯，可稱為階梯形多跨靜定梁。

【例題2】試作圖示多跨靜定梁的內(nèi)力圖。

多跨靜定梁小結(jié)

了解多跨靜定梁兩種基本類型的幾何組成特點(diǎn)。多跨靜定梁分層計(jì)算的目的，為了不解聯(lián)立方程。

計(jì)算要點(diǎn)：按先附屬，后基本的順序。

習(xí)題：作出下列結(jié)構(gòu)的彎矩圖

1、2、

40kN40kN

II20kN/m2P2PaP

出亡6X2》2Y

2m2m2m2m4m

第三節(jié)靜定剛架的受力析

-、靜定剛架的計(jì)算步驟：

（1）計(jì)算支座反力（或約束力）；

（2）計(jì)算桿端截面內(nèi)力（簡(jiǎn)稱桿端力）和控制截面內(nèi)力；

（3）畫各內(nèi)力圖。

二、繪制剛架內(nèi)力圖時(shí)應(yīng)注意的問題

1、計(jì)算懸臂剛架時(shí)，可不必先求支座反力，從懸臂端算起即可。

2、計(jì)算簡(jiǎn)支剛架時(shí)，■-般先求支座反力，而后用截面法計(jì)算。

3、計(jì)算三較剛架時(shí)，要利用中間較彎矩為零的條件。

4、繪Q圖、N圖必須標(biāo)正、負(fù)號(hào)；繪M圖不標(biāo)正負(fù)號(hào)，M圖繪在受拉一側(cè)。

5、求支座反力后及繪內(nèi)力圖后都應(yīng)進(jìn)行校核。

注意：三校剛架結(jié)構(gòu)中，支座反力的計(jì)算是內(nèi)力計(jì)算的關(guān)鍵所在。

通常情況下，支座反力是兩兩偶聯(lián)的，需要通過(guò)解聯(lián)立方程組來(lái)計(jì)算支座反力，因此尋找建立相互獨(dú)

立的支座反力的靜力平衡方程，可以大大降低計(jì)算反力的復(fù)雜程度和難度。

【例題3】試?yán)L制下圖所示剛架的彎矩圖。

40

麻M圖(kN-m)A

解答：（1）對(duì)整體進(jìn)行分析，對(duì)A點(diǎn)取矩，ZA/A=0,20+30x2-匕-4=0,。

利用Y方向的平衡，ZY’=0,YA+YB=30,?

（2）取右半邊為隔離體，利用C點(diǎn)彎矩為0,對(duì)C點(diǎn)取矩，ZM,=0,YB-2+XB-4=0,解得

XB=-10kN(向左)。

（3）對(duì)整體進(jìn)行分析，ZX,=0,XA+XB=0,XA=10kN（向右）。

（4）繪制彎矩圖。

習(xí)題：作出下列結(jié)構(gòu)的彎矩圖

1、2、

第四節(jié)平面桁架的受力分析

一、理想桁架假定：

1、桁架中的較為絕對(duì)光滑而無(wú)磨擦的理想較；

2、桁架中的各桿件軸線絕對(duì)平直，且通過(guò)它兩端餃中心；

3、桁架上的荷載和支座都在結(jié)點(diǎn)上。

理想桁架桿件只產(chǎn)生軸向內(nèi)力，即理想桁架桿件是二力桿件（由以上假定提供的可能性及二力平衡原

理）。以下提及的桁架均為理想桁架，桁架中的桿件叫桁架桿或二力桿，桁架內(nèi)力及內(nèi)力計(jì)算均指桁架桿

軸力計(jì)算。

二、結(jié)構(gòu)單桿與零桿

僅截面取某結(jié)點(diǎn)為隔離體，并且結(jié)點(diǎn)連接的全部?jī)?nèi)力未知，對(duì)于僅用一個(gè)平衡議程就可以求出內(nèi)力的,

稱為結(jié)點(diǎn)單桿。利用這個(gè)概念，根據(jù)荷載狀況可判斷此桿內(nèi)力是否為零。零內(nèi)力桿簡(jiǎn)稱零桿。

求解桁架前先要找出零桿，將零桿去年以簡(jiǎn)化計(jì)算。

三、結(jié)點(diǎn)法

依次取桁架中的單個(gè)結(jié)點(diǎn)為隔離體，由結(jié)點(diǎn)的平衡條件計(jì)算桁架內(nèi)力的方法叫結(jié)點(diǎn)法。

山于理想桁架的上述假設(shè)，匯交于結(jié)點(diǎn)的各桿軸力（包括荷載和支座反力）均過(guò)錢結(jié)點(diǎn)中心。所以，

以單個(gè)結(jié)點(diǎn)為隔離體的受力圖是平面匯交力系，只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程。

一般情況下截取結(jié)點(diǎn)的原則是：?個(gè)結(jié)點(diǎn)只能截?cái)鄡筛髼U件。

四、截面法

計(jì)算桁架內(nèi)力的截面法，是假想用一個(gè)截面將桁架的某些桿件切開，使桁架分成兩部分，利用任一部

分計(jì)算被切斷桿件的軸力的方法。

顯然，由于桁架被切開后的任一部分沒有對(duì)其所含的結(jié)點(diǎn)數(shù)的限制，所以截面法所取的隔離體應(yīng)是平

面一般力系。平面一般力系只能列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此，截面法切斷的待求軸力桿件最多是三根。

￡Fy=O

FNCY2/2+100-80=0

FNC=-28.28kN

取截面I-I以左:

gM4=0

Faxx3+100x6-40x3=0

Fax=-160kN

FNa=(Fax/lax)xla=-164.92kN

Fay=(Fax/la)xlay=-40kN

ZFy=0Fby-Fay+40-100=0

Fby=20kN

FNb=(Fby/lby)xlb=33.33kN

FNa=-164.92kN,FN=33.33kN,FNc=-28.28Kn

習(xí)題：計(jì)算圖示桁架中桿八2、3的內(nèi)力。

第三章靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

本章包括虛功原理，單位荷載法，圖乘法，其它外因作用下的位移，互等定理等知識(shí)點(diǎn)。其中虛

功原理和互等定理只會(huì)考小題，需要重點(diǎn)理解。要求會(huì)計(jì)算外荷載作用下的位移，這就要求熟練掌握單位

荷載法和圖乘法。其它外因作用卜的位移不會(huì)考計(jì)算，只需了解位移產(chǎn)生的原理。

一、位移的基本概念

結(jié)構(gòu)在荷載、溫度變化、支座移動(dòng)與制造誤差等各種因素作用下發(fā)生變形，因而結(jié)構(gòu)上個(gè)點(diǎn)的位置

會(huì)有變動(dòng)。這種位置的變動(dòng)稱為位移。

結(jié)構(gòu)的位移通常有兩種，如F圖：截面的移動(dòng)--線位移；截面的轉(zhuǎn)動(dòng)--角位移。

產(chǎn)生位移的原因：

(1)荷載作用；

(2)溫度變化和材料脹縮；

(3)支座的沉降和制造誤差。

二、虛功原理的兩種表述

任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移時(shí)所做的總虛

功，恒等于變形體所接受的總虛變形功。也即有如下虛功方程成立：

8We=3W:

以上為虛位移原理表述，其中有兩個(gè)狀態(tài)，位移狀態(tài)為虛設(shè)的，平衡力系為實(shí)際狀態(tài)。虛位移用于求

機(jī)構(gòu)的位移，不會(huì)考計(jì)算題，僅作了解。下面重點(diǎn)講解虛力原理。

虛力原理：平衡力系為虛設(shè)的，而另一種位移狀態(tài)為真實(shí)的，虛設(shè)力系在真實(shí)位移上做的虛功等于內(nèi)

1-Za+RK1?QI+RK2-Ca2=Z+2晅K,九ds+ZJWK3ds

于是得到鼠=ZWK?K/s+X?r如+ZP？K4ds2KC“

三、單位荷載法

在擬求位移的方向上虛設(shè)單位荷載，利用平衡條件求支反力。利用虛力原理列出虛力方程進(jìn)行求解，

由于是在所求位移處設(shè)置單位荷載，因此，這種解法又稱單位荷載法。

單位荷載法由虛力原理推導(dǎo)得到，求哪個(gè)方向的位移就在要求位移的方向上施加相應(yīng)的單位力。其步

驟如下：

(D求出在外荷載作于下的內(nèi)力圖.

(2)在所求位移的方向上施加單位力，求出內(nèi)力圖

(3)由下列公式求出所求位移

^Y\Md6+^\FNdX+Y\FQdri-YFl(KcK

式中，苻=，.跖豆公於是結(jié)構(gòu)在集中單位荷載P=1作用下的支反力和內(nèi)力，它們都可以

有由靜力平衡條件求出。而位移則是實(shí)際結(jié)構(gòu)中的位移。

四、荷載作用下位移的計(jì)算

荷載作用下（無(wú)支座沉降），位移計(jì)算的統(tǒng)一公式：

1?4￡LnUn

弓的內(nèi)力

訪瓦，取虛設(shè)單位荷載引起的內(nèi)力

（1）梁和剛架

由于梁和剛架是以彎曲為主要變形，因此位移計(jì)算可簡(jiǎn)化為

A=EJ-^&

⑵桁架

桁架中桿件只受軸力作用，且每根桿件的截面面積、軸力均為常數(shù)，故位移計(jì)算可簡(jiǎn)化為

A=￡J障"=￡制?盤F

unZwl&Wl

（3）組合結(jié)構(gòu)

桁粱混合結(jié)構(gòu)中，?些桿件以彎為主，一些桿件只受軸力，故位移計(jì)算可簡(jiǎn)化為

A=￡4&+￡邑

乙1Bi21&A

五、圖乘法

根據(jù)計(jì)算粱和剛架位移的公式：

A=EJ警&

為避免微分運(yùn)算，以下介紹一種計(jì)算方法一圖乘法。

下圖為某直桿段AB的兩個(gè)彎矩圖，其中有一個(gè)圖形為直線（Mi圖）,如果抗彎剛度EI為常數(shù)，則可

進(jìn)行以下計(jì)算:

dA=MKds是比史中陰影的微面積，利用靜矩的概念可得

JxdA=AXXQ代入上式

A

上式中yO是在MK圖形心C對(duì)應(yīng)處的Mi圖標(biāo)距，A是MK圖的面積，因此：

位移計(jì)算的問題轉(zhuǎn)化為求圖形的面積、形心和標(biāo)距的問題。

應(yīng)用圖乘法應(yīng)注意兩點(diǎn)：

1.應(yīng)用條件：桿段應(yīng)是等截面直桿段；兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)是直線，標(biāo)距yO應(yīng)取自直線圖形中。

2.正負(fù)號(hào)規(guī)定：面積A與標(biāo)距yO在同一側(cè)時(shí)，乘積取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)。

常見圖形的面枳和形心

根據(jù)圖乘法，位移計(jì)算主要是計(jì)算圖形的血積、形心和標(biāo)距，下面介紹常見圖形的形心和面積:

A=-lh

3

三角形二次拋物線

3

二次拋物線二次拋物線

三次拋物線n次拋物線

應(yīng)用圖乘法時(shí)的幾個(gè)具體問題

(1)如果兩個(gè)圖形都是直線圖形，則標(biāo)距可任取自其中一個(gè)圖形。

(2)如果一個(gè)圖形為曲線，另一個(gè)圖形為折線，則應(yīng)分段考慮。如下圖所示

則計(jì)算結(jié)果應(yīng)為：

f,熊1”=心++2$

(3)如果圖形比較復(fù)雜，可以將圖形分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形，分項(xiàng)計(jì)算后再進(jìn)行疊加。

如圖6-8兩個(gè)圖形均為梯形，將梯形分為兩個(gè)三角形再進(jìn)行圖乘。因此，

對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)拋物線的圖乘，由于彎矩圖中的非標(biāo)準(zhǔn)拋物線是由疊加原理獲得，因此可以將非標(biāo)準(zhǔn)拋物

線分解為標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形和直線圖形。

yI|I,,：?：IM.5、?j[j]!jj[.J.s-.j....IIv

3;**I1

|I

K一一；"

MQ■歲‘憐

【例題1】試求出圖6-lla所示剛架結(jié)點(diǎn)B的水平位移,EI為常數(shù)。

(C)

解:作實(shí)際狀態(tài)和單位荷載的彎矩圖

*間的面積可分知P4舄計(jì)算

J4dJ2.V3

7224、43812

硒上相應(yīng)的標(biāo)距為

.=于，八=在

T<_

AeHifjl浦a,/"/*l｝黎一

?7Bl磯4343122)膽

六、溫度改變時(shí)的位移計(jì)算

河海大學(xué)的考研結(jié)構(gòu)力學(xué)中，溫度改變時(shí)的位移計(jì)算不會(huì)出計(jì)算題，只可能出小題，所以這部分對(duì)計(jì)

算不作要求，只要求理解位移產(chǎn)生的原理。

特別注意：對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)而言，溫度變化會(huì)使桿件發(fā)生變形，從而產(chǎn)生位移，但是不會(huì)引起內(nèi)力。對(duì)

于超靜定結(jié)構(gòu)，山于存在多余約束，桿件變形后會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力。

溫度改變時(shí)位移的計(jì)算公式：

A=￡atJ弘+￡要［私

其中，a為線膨脹系數(shù)，‘。=&+'2)/2,加=上唄

正負(fù)號(hào)的規(guī)定：當(dāng)桿高溫的側(cè)與而受拉的側(cè)在同?側(cè)時(shí)，上式中第二項(xiàng)的乘積為正，否則為負(fù)。

七、互等定理

1、功的互等定理

設(shè)有兩組外力分別作用在同一結(jié)構(gòu)圖，分別稱為第?狀態(tài)和第二狀態(tài)。

.1%,

屏、、一A2R1北

第一狀態(tài)

IV

iA12

第二狀態(tài)

圖6-16

對(duì)于兩種狀態(tài)應(yīng)用虛功原理:

外虛功有兩個(gè)下標(biāo)，第一個(gè)表示受力狀態(tài)，第二個(gè)表示位移狀態(tài)，位移也有兩個(gè)下標(biāo)，第一個(gè)表示

位移的位置，第二個(gè)表示引起位移的力狀態(tài)。

于是可得功的互等定理：

第一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)位移上所做的功等于第二狀態(tài)外力在第一狀態(tài)位移上所做的功。即

2、位移互等定理

如下圖所示的兩種狀態(tài)

第一狀態(tài)

第二狀態(tài)

有功的互等定理可得

4Ali=電卸

當(dāng)兩個(gè)作用荷載都等于一時(shí)，此時(shí)的位移記作512和52U

于是得

金=%

512和321又可稱為位移影響系數(shù),即:A12=P12812

這就是位移互等定理：

有叫弓眼的與荷勒M的位移舲響系數(shù)小等于由制如弓眼的與背初制應(yīng)的物幅數(shù)小.

位移互等定理表明第二個(gè)單位力在第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向引起的位移等于第一個(gè)單位力在第

二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向引起的位移。

注意：這里的荷我和位移都是廣義荷載和廣義位移，一般情況下定理中的兩個(gè)廣義位移的量綱可能不

相同，但是影響系數(shù)在數(shù)值和量綱上仍然保持相等。

3、反力互等定理

如上圖所示為同一線性變形的兩種狀態(tài)。下面討論由于圖中的變形一起的反力的變化，注意圖中的反

力在用雙下標(biāo)，第一個(gè)下標(biāo)i表示反力與相應(yīng)的位移Ci對(duì)應(yīng)，第二個(gè)下標(biāo)表示位移產(chǎn)生的反力，如F12表

示由位移C2引起的與位移C1對(duì)應(yīng)的反力。

應(yīng)用功的互等定理可得：

坨x,+穌/0=%"0+鳥產(chǎn).

坨=

/一小

el?I

進(jìn)一步有

=%

r

門11

上式實(shí)際上就是反力互等定理：

在任一線性變形體中，由位移C1引起的與位移C2相應(yīng)的反力影響系數(shù)r21,等于由位移C2所應(yīng)起

的與位移C1相應(yīng)的反力影響系數(shù)rl2。

定理的關(guān)鍵是支反力應(yīng)與位移相對(duì)應(yīng)，可以是廣義力和廣義位移。

4、反力與位移互等定理：

由于單位荷載使體系中某一支座所產(chǎn)生的反力，等于該支座發(fā)生與反力方向相一致的單位位移

時(shí)，在單位荷載作用處所引起的位移，唯符號(hào)相反。

rl2=-821

習(xí)題：1、求圖示結(jié)構(gòu)E點(diǎn)的豎向位移。EI=常數(shù)。

q

I1/321/31/3

1*^----一|<-------------------------------

2、求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)的豎向位移，E/=常數(shù)。

+------------M

B

第四章力法

本章內(nèi)容在考研結(jié)構(gòu)力學(xué)中會(huì)出一道20分的大題，必須熟練力法的計(jì)算，熟悉力法的基本思路。要

計(jì)算力法，就必須掌握三部分內(nèi)容，1、找出多余約束，2、會(huì)計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)，3、組合成最終的彎

矩圖。另外，對(duì)稱性的利用是本章的另一個(gè)重點(diǎn)，簡(jiǎn)化時(shí)要特別小心，否則一錯(cuò)全錯(cuò)。

第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)概述

超靜定結(jié)構(gòu)是具有多余約束的幾何不變體系。

結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)=結(jié)構(gòu)的多余約束數(shù)。

要求出超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力必須先求出多余約束的內(nèi)力，一旦求出它們，就變成靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算問題

了。所以關(guān)鍵在于解決多余約束的內(nèi)力。

結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)的判定方法（拆除約束法）——去掉超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束，使其成為靜定結(jié)構(gòu)；則

去抻多余約束的個(gè)數(shù)即為該結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。

1）去掉一根支座鏈桿或截?cái)嘁桓旒軛U，相當(dāng)拆除1個(gè)約束：

2）去掉一個(gè)固定較支座或切開一個(gè)單較，相當(dāng)拆除2個(gè)約束；

3）去掉一個(gè)固定支座或切開一根梁式桿，相當(dāng)拆除3個(gè)約束；

4）在一根梁式桿上加一個(gè)單較，相當(dāng)拆除1個(gè)約束。

【例題1】判斷下列結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)

第二節(jié)力法解超靜定結(jié)構(gòu)

有多余約束是超靜定與靜定的根本區(qū)別，因此，解決多余約束中的多余約束力是解超靜定的關(guān)鍵。

X1

A]=0An+A1P=0

品=用/，為X|+5=0

1、力法基本未知量

結(jié)構(gòu)的多余約束中產(chǎn)生的多余未知力(簡(jiǎn)稱多余力)。

2、力法基本體系

力法基本結(jié)構(gòu)，是原結(jié)構(gòu)拆除多余約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)；力法基本體系，是原結(jié)構(gòu)拆除多余約束后

得到的基本結(jié)構(gòu)在荷載(原有各種因素)和多余力共同作用的體系。

3、力法基本方程

b][X]+<512X2+A]p=0

%X1+&2X2+△2P=0

系數(shù)、自由項(xiàng)的物理意義：

4—基本結(jié)構(gòu)在Xj=i作用下，沿Xi方向的位移；

△評(píng)—基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下，沿xi方向的位移；

4、力法的基本步驟

(1)選取力法基本體系；

(2)列力法基本方程；

(3)繪單位彎矩圖、荷載彎矩圖；

(4)求力法方程各系數(shù)，解力法方程；

(5)繪內(nèi)力圖。

注意：同一超靜定結(jié)構(gòu)可以選出不同的多余約束，可以選取不同的基本體系，選取基本體系時(shí)要盡量

使計(jì)算簡(jiǎn)便。

【例題2】用力法計(jì)算圖示超靜定剛架

z

l

T

l

分析：此結(jié)構(gòu)可選取三種不同的基本體系，現(xiàn)選取一種計(jì)算較為簡(jiǎn)便的基本體系進(jìn)行計(jì)算。

解題：（1）選取基本體系。如下圖所示，可選取三種不同的基本體系，現(xiàn)用第一種基本體系進(jìn)行計(jì)算。

（2）列出力法基本方程

A）=0g|X[+九、2+4p二°

A.,=0&]X[+&2X2+A2P=0

（3）繪制荷載彎矩圖、單位荷載圖

6

嘛

fG

Mz(kN'w)

MiXj=J小腳.叫

X2=l

（4）求力法方程各系數(shù)，解力法方程

.v甌702

將“，圖與陷圖圖乘得到：“JEIEI,

A”=Zj^/x=.當(dāng)

將仞戶圖與圖圖乘得到：」ElE1

KMM/207

r,r,c>.i=Lv―L—=-----

將“I圖與Mi圖自乘得到：JEiEi

MMocv也1必，〃135

將何I圖與仞2圖圖乘得到：耳2=心|=ZJ—=一弁

“LL匕1

M

Mo_v(M2rM,_144

將他2圖與例2圖自乘得到：^22=ZJp-dX^—

“HLI

(4)求力法方程各系數(shù)，解力法方程

207X1,-135X2,+702=0,得到：\[X.1=-2.61kN

—135X1+144X2-520=0X2^\.UkN

(5)繪制彎矩圖M=MtX,+M2X2+MP

3.33

3.33

HnsH

M(kNm)

第三節(jié)利用對(duì)稱性的簡(jiǎn)化

結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性時(shí)應(yīng)滿足:

1）結(jié)構(gòu)的幾何形狀（由桿軸圍成的圖形）和支座形式正對(duì)稱于某??軸線;

2）結(jié)構(gòu)的材料性質(zhì)及截面形狀特征（E、I、A）也對(duì)稱于同一軸線。

正對(duì)稱荷載作用下，只有正對(duì)稱的未知力（彎矩，軸力），結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形是對(duì)稱的。

反對(duì)稱荷載作用卜，只有反對(duì)稱的未知力（剪力），結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形是反對(duì)稱的。

利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化有兩種方法，一種是選取對(duì)稱的未知力，一種是將結(jié)構(gòu)取一半進(jìn)行分析，下面分別討

論兩種方法。

一、選取對(duì)稱的未知力

將與軸線相交的截面截開，利用對(duì)稱性，有：在正對(duì)稱荷載作用下，反對(duì)稱的未知力為0；在反對(duì)稱

的荷載作用下，正對(duì)稱的未知力為0。從使典型方程而減少待求的未知力的個(gè)數(shù)。

1、正對(duì)稱荷載作用下的簡(jiǎn)化

jllx1+3i2x2+63X3+金=0

比=%=0?="=。

的工+622X2+&3X3+&P=01此種情況下，>=乂3=0

A3P=0.

當(dāng)XI+%乂2+"+。=0

典型方程組可a/簡(jiǎn)+a化?x為?+二Ap二=o八

S2[X{+622X2+A”=0

2、反對(duì)稱荷載作用下的簡(jiǎn)化

4因+%乂2+〃3+和=0

%=61=°?23=62=0

b,[X]+<^27-^2+^23X3+A“—0卜此種情況下,>nX1=X2=0

△1P=°,A3P=°,

%X1+^i2X2+633X3+43戶=0

典型方程組可簡(jiǎn)化

633X3+A3P=O

二、選取半個(gè)結(jié)構(gòu)

當(dāng)對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受正對(duì)稱或反對(duì)稱荷載時(shí)，可以沿對(duì)稱軸切開，取結(jié)構(gòu)的一半進(jìn)行計(jì)算。

選取半結(jié)構(gòu)的原則是，該半結(jié)構(gòu)能等效代替原結(jié)構(gòu)半邊的受力與變形狀態(tài)。即在切口處按原結(jié)構(gòu)的位

移條件和靜力條件設(shè)置相應(yīng)的支承。

【例題3】利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化下圖中的結(jié)構(gòu)，寫出簡(jiǎn)化后的典型方程。

<5Pti++Alp=°

1^3+A3p=0

&］巧+S22x2+A2P=0

習(xí)題：用力法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)并作M圖。E/=常數(shù)。

q=16kN/m

n-rmTTTTTT1ii1??HH

XX

4m

*3

2m2m2m2m_

第五章位移法

本章在考研結(jié)構(gòu)力學(xué)中會(huì)考?道15到25分的大題。本章內(nèi)容包括等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程，形

常數(shù)和我常數(shù)的概念，位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)。用位移法求解的超靜定結(jié)構(gòu)又分為有側(cè)移的剛架和無(wú)側(cè)移

的剛架兩種。

第一節(jié)等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程

下圖為等截面桿件，截面慣性矩為常數(shù)。已知端點(diǎn)A和B的角位移分別是6A和0B，兩端垂直于

桿軸的相對(duì)線位移為A,擬求桿端彎矩。

在位移法中位移的正負(fù)號(hào)規(guī)定為:

結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角，弦轉(zhuǎn)角和桿端彎矩?律以順時(shí)針為正。這點(diǎn)?定要注意與以前的不同。

應(yīng)用單位荷載法可得出:

JC01i

■Jt4

桿件的線剛度i=EI/l

解聯(lián)立方程可得：

<=，/+方%-吟

Ma=2i-—吟

利用平衡條件可求出桿端剪力如下:

于是可將卜一式寫為:

3

2i4

竺612i

則矩陣產(chǎn)」稱為桿件的剛度矩陣，其中的系數(shù)稱為剛度系數(shù)，又稱為形常數(shù)。

根據(jù)前血的討論得出一般情況下的剛度方程

以下將利用以上結(jié)論討論桿件在不同的支承條件下的剛度方程。

對(duì)于圖a,B端為固定支座，0B=0,則得

Ma=43%-吟

%=淡％-吟

對(duì)于圖b,B端為較支座，MBA=O,則得

仁=吟

對(duì)于圖c,B端為滑動(dòng)支座，0B=O和FQAB=OFQBA=O,則得

“a"

UM=-iOA

由荷載引起的固端彎矩見教材中的表格。

最后利用疊加原理得到桿端彎矩的一般公式為：

—哈

=24%-吟+S

上式也稱為等截面直桿的轉(zhuǎn)角-位移方程。

上式也稱為等截面直桿的轉(zhuǎn)角-位移方程。

第二節(jié)位移法求解無(wú)側(cè)移的剛架

無(wú)側(cè)移剛架：剛架的各結(jié)點(diǎn)(不包括支座)只有角位移而沒有線位移。

對(duì)于無(wú)側(cè)移的剛架，位移法的未知量只有轉(zhuǎn)角位移，用結(jié)點(diǎn)平衡方程求解較為簡(jiǎn)便。對(duì)于有側(cè)移的剛

架需要建立位移法基本方程來(lái)求解。

位移法求解無(wú)側(cè)移剛架的步驟：

(1)找出基本未知量

(2)用轉(zhuǎn)角位移方程表示出桿端彎矩

(3)利用結(jié)點(diǎn)平衡條件建立方程組，求解出基本未知量

(4)求出桿端彎矩，繪出彎矩圖

【例題1】利用位移法求解圖示剛架，繪出彎矩圖。

1.基本未知量

共有兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)，因而有兩個(gè)基本未知量：0B和8C

2.用轉(zhuǎn)角位移方程表達(dá)桿端彎矩

心=更工40kNm

8

*Jj=-a=T1.7kNB

12

各桿線剛度的計(jì)算

列各桿的桿端彎矩

=3,+心=現(xiàn)+40

+狙-41.7

Mg=3.+4dc+*二=如+4%+41.7

M.=^CBPC=

M.=有?=30.*口=L50.

%=3。=啊*R=%

3.利用結(jié)點(diǎn)B、C的力矩平衡方程

￡”.=0*.+**+*■=0

BPt(Wa+2flc-1.7=0

EMc=0*.+*B+*b=0

V20A4-9^；+41.7=0

4.求基本未知量

0B=1.15

ec=-4.89

5.計(jì)算桿端彎矩并畫彎矩圖

JfM=43.5kNn>

Mm=T6.9kNm

M0=245kN<m

=-14.7kNm

M?-3.AUS-m

Mn=1.7kNm

Mb=-9.78kNm

JGcny.SSkNin

習(xí)題：用位移法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)并作M圖，各桿線剛度均為i,各桿長(zhǎng)均為/。

q

亂年,一%

A

第三節(jié)位移法求解有側(cè)移的剛架

一、位移法基本方程的建立

現(xiàn)在用如卜圖所示的基本體系建立位移法基本方程。

1.控制附加約束，使結(jié)點(diǎn)位移和A2全部為零，結(jié)構(gòu)處于鎖住狀態(tài)，施加荷載，可求出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力,

同時(shí)在附加約束中產(chǎn)生反力F1P和F2P。這些約束力在原結(jié)構(gòu)中是沒有的。

2.再控制附加約束，使控制點(diǎn)發(fā)生位移如果位移與原結(jié)構(gòu)相同，則附加約束反力完全消失，附加約束

不起作用，基本體系與原結(jié)構(gòu)完全相同。

由此得出基本體系轉(zhuǎn)化為原結(jié)構(gòu)的條件：基本結(jié)構(gòu)在給定荷載以及結(jié)點(diǎn)位移和A2共同作用卜一，附

加約束反力應(yīng)等于零。即

F1=O

F2=0

利用疊加原理進(jìn)行計(jì)算

1.荷載單獨(dú)作用--相應(yīng)的反力F1P和F2P。

2.單位位移Al=l單獨(dú)作用--相應(yīng)的約束力kll和k2E

3.單位位移A2=l單獨(dú)作用--相應(yīng)的約束力k21和k22?

疊加以上結(jié)果即可得到位移法的基本方程

耳=4j|A|=0

瑪=.|A[—0

【例題2】用位移法求解下圖中的超靜定結(jié)構(gòu)，繪出彎矩圖

(1)找出基本未知量，㈣出基本體系

（2）繪出圖，求出自由項(xiàng)

尸》BC

&）。Z：X

4B-60

取B結(jié)點(diǎn)為隔離體，建立力矩平衡方程，得片p=4kN-m

取BC桿為隔離體，建立平衡方程，得尸2P=-6kN-m

（3）繪出"i圖，求出系數(shù)加溫2

俎&11=4i+6i=1Oi

取B結(jié)點(diǎn)為隔離體，建立力矩平衡方程,

取BC桿為隔離體，建立平衡方程，得%2=-1-5,

(3)繪出而2圖，求出系數(shù)&2”422

取B結(jié)點(diǎn)為隔離體，建立力矩平衡方程，得匕2=一1?5,

22—14

取BC桿為隔離體，建立平衡方程，得16

(4)建立基本方程，解出基本未知量

10/A,-1.5ZA+4=0=0.737-

2i

15=><

—1.5zA.H------6=0

1162=7.580-

4i

(5)繪出彎矩圖

M=而白+而242+例2

習(xí)題：用位移法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)并作M圖。E/=常數(shù)。

第六章力矩分配法

本章在考研結(jié)構(gòu)力學(xué)中會(huì)出一道15到25分的大題。本章主要包括轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、分配系數(shù)、傳遞系數(shù)等

基本概念，要求掌握用力矩分配法計(jì)算無(wú)側(cè)移的連續(xù)梁和剛架。

第一節(jié)力矩分配法的基本概念和思路

一、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：表示桿端對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的抵抗能力。

在數(shù)值上=僅使桿端發(fā)生單位轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)需在桿端施加的力矩。

注意：S,6與桿的i（材料的性質(zhì)、橫截面的形狀和尺寸、桿長(zhǎng)）及遠(yuǎn)端支承有關(guān)，而與近端支承無(wú)

關(guān)。

二、分配系數(shù)

在下圖所示的結(jié)構(gòu)中，設(shè)A點(diǎn)有力矩M,求M“B、MAC和MAD

C

如用位移法求解:

MAB：=4幾a=二SAB"

MAC=兒〃=S.c。A

MAD：=3，1血=ZSAD?A

M

此5