matlab教程參數(shù)估計(jì)及假設(shè)檢驗(yàn)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)3

參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)壳耙豁?yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容直觀了解統(tǒng)計(jì)描述的基本內(nèi)容。2、假設(shè)檢驗(yàn)1、參數(shù)估計(jì)3、實(shí)例4、作業(yè)目前二頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)一、參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)問題的一般提法設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體，總體分布函數(shù)為F(x,),

其中是未知參數(shù)，現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本目前三頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)

——

估計(jì)未知參數(shù)的值。區(qū)間估計(jì)——

根據(jù)樣本構(gòu)造出適當(dāng)?shù)膮^(qū)間，使它以一定的概率包含未知參數(shù)或未知參數(shù)的已知函數(shù)的真值。目前四頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)（一）點(diǎn)估計(jì)的求法1、矩估計(jì)法

基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩

.設(shè)總體分布含有個(gè)k未知參數(shù)

1

，…，k計(jì)算總體的前k階矩l=1,...,k階矩目前五頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)解此方程組得其根為

分別估計(jì)參數(shù)i，i=1,...,k，并稱其為i的矩估計(jì)。由于樣本的l階矩依概率收斂到總體的l階矩l。所以令目前六頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)2、最大似然估計(jì)法設(shè)總體X有概率密度f(x;)（或分布律

p(x;)),=(1,...,k)。設(shè)X1,...,Xn是來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，x1,...,xn是樣本觀測(cè)值。最大似然估計(jì)的想法是選取參數(shù)i,i=1,...,k，使樣本X1,...,Xn在樣本值x1,...,xn附近取值的概率達(dá)到最大。即構(gòu)造似然函數(shù)或目前七頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)若有參數(shù)=(1,...,k)的取值，使得似然函數(shù)L(1,...,k)達(dá)到最大，則稱它為參數(shù)1,...,k的最大似然估計(jì)。目前八頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)（二）區(qū)間估計(jì)目前九頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)置信區(qū)間的意義樞軸量目前十頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)1、數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間設(shè)樣本

來自正態(tài)母體X~N(,2)(1)方差

2已知,

的置信區(qū)間(2)方差2

未知

,

的置信區(qū)間

目前十一頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)2、方差的區(qū)間估計(jì)

未知時(shí),方差2

的置信區(qū)間為目前十二頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)（三）參數(shù)估計(jì)的命令1、正態(tài)總體的參數(shù)估計(jì)

設(shè)總體服從正態(tài)分布，則其點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)可同時(shí)由以下命令獲得：

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)此命令以alpha為顯著性水平，在數(shù)據(jù)X下，對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。（alpha缺省時(shí)設(shè)定為0.05），返回值muhat是正態(tài)分布的均值的點(diǎn)估計(jì)值，sigmahat是標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值,

muci是均值的區(qū)間估計(jì),sigmaci是標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計(jì).X為矩陣（列為變量）時(shí)，輸出行變量。目前十三頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)例1.給出容量為50的正態(tài)分布N(10,

22)的隨機(jī)數(shù)，并以此為樣本值，給出和

的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì);給出容量為100的正態(tài)分布N(10,

22)的隨機(jī)數(shù)，并以此為樣本值，給出

和

的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì);給出容量為1000的正態(tài)分布N(10,

22)的隨機(jī)數(shù)，并以此為樣本值，給出和

的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì).命令:X1=normrnd(10,2,50,1);[mu1,sigm1,muci1,sigmci1]=normfit(X1)X2=normrnd(10,2,100,1);[mu2,sigm2,muci2,sigmci2]=normfit(X2)X3=normrnd(10,2,1000,1);[mu3,sigm3,muci3,sigmci3]=normfit(X3)目前十四頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)例2.中國(guó)改革開放30年來的經(jīng)濟(jì)發(fā)展使人民的生活得到了很大的提高，不少家長(zhǎng)都覺得這一代孩子的身高比上一代有了明顯變化。下面數(shù)據(jù)是近期在一個(gè)經(jīng)濟(jì)比較發(fā)達(dá)的城市中學(xué)收集的17歲的男生身高（單位：cm），若數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布，計(jì)算學(xué)生身高的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)和置信水平為0.95的區(qū)間估計(jì)。170.1,179,171.5,173.1,174.1,177.2,170.3,176.2,175.4,163.3,179.0,176.5,178.4,165.1,179.4,176.3,179.0,173.9,173.7173.2,172.3,169.3,172.8,176.4,163.7,177.0,165.9,166.6,167.4174.0,174.3,184.5,171.9,181.4,164.6,176.4,172.4,180.3,160.5166.2,173.5,171.7,167.9,168.7,175.6,179.6,171.6,168.1,172.2目前十五頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)例3.產(chǎn)生正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)作為樣本值，計(jì)算區(qū)間估計(jì)的覆蓋率。寫出fugailv.m文件。functionfugailv(mu,sigm,n,m,alpha)X=normrnd(mu,sigm,m,1);[Mu,Sigm,Muci,Sigmci]=normfit(X,alpha);muratio=0;sigmratio=0;fori=1:nX=normrnd(mu,sigm,m,1);[Mu(i),Sigm(i),muci,sigmci]=normfit(X,alpha);endforj=1:nif(Mu(j)>=Muci(1))&&(Mu(j)<=Muci(2))muratio=muratio+1;endif(Sigm(j)>=Sigmci(1))&&(Mu(j)<=Sigmci(2))sigmratio=sigmratio+1;endendmuratio=muratio/nsigmratio=sigmratio/n目前十六頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)[muratio,sgmratio]=fugailv(0,1,1000,200,0.05)[muratio,sgmratio]=fugailv(10,2,2000,500,0.01)[muratio,sgmratio]=fugailv(4,6,5000,400,0.025)目前十七頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)2、其它分布的參數(shù)估計(jì)(1).取容量充分大的樣本（n>50），按中心極限定理，它近似地服從正態(tài)分布；(2).使用Matlab工具箱中具有特定分布總體的估計(jì)命令.10[muhat,muci]=expfit(X,alpha)-----

在顯著性水平alpha下，求指數(shù)分布的數(shù)據(jù)X的均值的點(diǎn)估計(jì)及其區(qū)間估計(jì).20[lambdahat,lambdaci]=

poissfit(X,alpha)-----

在顯著性水平alpha下，求泊松分布的數(shù)據(jù)X的參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)及其區(qū)間估計(jì).30[phat,pci]=weibfit(X,alpha)-----

在顯著性水平alpha下，求Weibull分布的數(shù)據(jù)X的參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)及其區(qū)間估計(jì).目前十八頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)函數(shù)名參數(shù)估計(jì)對(duì)應(yīng)的參數(shù)調(diào)用格式mle極大似然估計(jì)phat=mle(‘dist’,data)[phat,pci]=mle(‘dist’,data)[phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha)[phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha,pl)normlike對(duì)數(shù)正態(tài)似然函數(shù)L=normlike(params,data)normfit正態(tài)分布

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)目前十九頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)函數(shù)名參數(shù)估計(jì)對(duì)應(yīng)的參數(shù)調(diào)用格式poissfit泊松分布lambdahat=poissfit(X)[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X)unifit均勻分布[ahat,bhat]=unifit(X)[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X)[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X,alpha)[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X,alpha)目前二十頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)函數(shù)名參數(shù)估計(jì)對(duì)應(yīng)的參數(shù)調(diào)用格式weibfit威布爾分布weiblike威布爾對(duì)數(shù)似然函數(shù)logL=weiblike(params,data)[logL,info]=weiblike(params,data)phat=weibfit(X)[phat,pci]=weibfit(X)[phat,pci]=weibfit(X,alpha)目前二十一頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)說明：命令mle的調(diào)用格式中：[phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha,p1)只用于二項(xiàng)分布，其中p1為試驗(yàn)次數(shù)例4.rv=binornd(20,0.75,1,10)%產(chǎn)生10個(gè)二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)參數(shù)為20和0.75[p,pci]=mle('binomial',rv,0.05,20)rv=12141813121416151816p=0.7400pci=[0.6734，0.7993]目前二十二頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)例5.生成指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)100個(gè)，假設(shè)均值參數(shù)真值為0.5,以此為樣本值，給出參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)命令:r=exprnd(0.5,100,1);[lamta,lamtaci]=expfit(r);[lamta,lamtaci]=expfit(r,0.01);結(jié)果:lamta=0.4579lamtaci=0.3799，0.5627lamta=0.4579lamtaci=0.3587，0.6015目前二十三頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)3.不常用分布的參數(shù)估計(jì)（極大似然估計(jì)）此類問題一般歸結(jié)為無約束最優(yōu)化問題。無約束最優(yōu)化問題的一般形式：參數(shù)的極大似然估計(jì)就是取目標(biāo)函數(shù)為的無約束最優(yōu)化問題。目前二十四頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)方法：①最速下降法②Newton(牛頓）法及其修正的方法。③共軛方向法和共軛梯度法④變尺度法（擬牛頓法）等等詳見北京大學(xué)出版社高惠璇編著《統(tǒng)計(jì)計(jì)算》P359------P379目前二十五頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)二、假設(shè)檢驗(yàn)

對(duì)總體X的分布律或分布參數(shù)作某種假設(shè)，根據(jù)抽取的樣本觀察值，運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分析方法，檢驗(yàn)這種假設(shè)是否正確，從而決定接受假設(shè)或拒絕假設(shè).統(tǒng)計(jì)推斷的另一類重要問題是假設(shè)檢驗(yàn)問題。在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式，但不知其參數(shù)的情況，為了推斷總體的某些未知特性，提出某些關(guān)于總體的假設(shè)。目前二十六頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)1.參數(shù)檢驗(yàn)：如果總體的分布函數(shù)類型已知，這時(shí)構(gòu)造出的統(tǒng)計(jì)量依賴于總體的分布函數(shù)，這種檢驗(yàn)稱為參數(shù)檢驗(yàn).參數(shù)檢驗(yàn)的目的往往是對(duì)總體的參數(shù)及其有關(guān)性質(zhì)出明確的判斷.2.非參數(shù)檢驗(yàn)：如果所檢驗(yàn)的假設(shè)并非是對(duì)某個(gè)分布的參數(shù)作出明確的判斷，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)不依賴于總體的分布類型，這種檢驗(yàn)叫非參數(shù)檢驗(yàn).如判斷總體分布類型的檢驗(yàn)就是非參數(shù)檢驗(yàn).目前二十七頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟是：①根據(jù)實(shí)際問題提出原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1，即說明需要檢驗(yàn)的假設(shè)的具體內(nèi)容。②選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)木芙^域.③根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值，看其是否落入拒絕域中，從而在檢驗(yàn)水平條件下對(duì)拒絕或接受原假設(shè)H0作出判斷

.目前二十八頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)（一）參數(shù)檢驗(yàn)1、單個(gè)正態(tài)總體X~N(,2)均值檢驗(yàn)--------方差

2已知時(shí)采用

z檢驗(yàn)------方差

2未知，采用t

檢驗(yàn)?zāi)壳岸彭?yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)目前三十頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)2、單個(gè)正態(tài)總體方差檢驗(yàn)------2目前三十一頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)3、兩個(gè)正態(tài)總體N(1,12)和N(2,22)均值檢驗(yàn)（1）已知選取統(tǒng)計(jì)量（2）方差未知，檢驗(yàn)選取統(tǒng)計(jì)量目前三十二頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)（2）方差未知，檢驗(yàn)選取統(tǒng)計(jì)量當(dāng)|t|>t

1/2(n1+n2-2)時(shí)拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。-----t

1/2

(n1+n2-2)為t分布t

(n1+n2-2)的下測(cè)1/2分位數(shù)，n1為來自總體N(1,12)

的樣本的容量，n2是來自總體N(2,22)的樣本的容量。目前三十三頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)4、兩個(gè)正態(tài)總體方差檢驗(yàn)?zāi)壳叭捻?yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)5、參數(shù)檢驗(yàn)的計(jì)算機(jī)命令10z檢驗(yàn)（1）

命令ztest函數(shù)（2）功能：給定方差條件下進(jìn)行正態(tài)總體均值得檢驗(yàn)（3）語法：h=ztest(x,m,sigm);h=ztest(x,m,sigm,alpha);[h,sig,ci]=ztest(x,m,sigm,alpha,tail);h=1,則拒絕原假設(shè)，h=0,則接收原假設(shè)（4）描述：ztest(x,m,sigm)在0.05水平下進(jìn)行Z檢驗(yàn)，以確定服從正態(tài)分布的樣本均值是否為m，sigm為給定的標(biāo)準(zhǔn)差h=ztest(x,m,sigm,alpha)給出顯著水平控制參數(shù)alpha，[h,sig,ci]=ztest(x,m,sigm,alpha,tail)允許指定是進(jìn)行單側(cè)檢驗(yàn)還是雙側(cè)檢驗(yàn)。目前三十五頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)tail參數(shù)可以有下面幾個(gè)取值：?tail=0（為默認(rèn)設(shè)置）指定備擇假設(shè)?tail=1指定備擇假設(shè)?tail=-1指定備擇假設(shè)sig為與Z統(tǒng)計(jì)量相關(guān)的p值。ci為均值真值的1-alpha置信區(qū)間。（5）應(yīng)用實(shí)例目前三十六頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)例6、生成100個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，假設(shè)均值和標(biāo)準(zhǔn)差的觀測(cè)值與真值之間沒有差異，進(jìn)行檢驗(yàn)。過程如下：x=normrnd(0,1,1,100);[h,sig,ci]=ztest(x,0,1)結(jié)果：h=0sig=0.6317ci=[-0.14810.2439]目前三十七頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)例7、某批礦砂的5個(gè)樣品中的鎳含量，經(jīng)測(cè)定為（%）

3.253.273.243.263.24設(shè)測(cè)定值總體服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為0.04，問在0.01水平上能否接受假設(shè)：這批鎳含量的均值為3.25。過程如下：x=[3.253.273.243.263.24];[h,sig,ci]=ztest(x,3.25,0.04,0.01)結(jié)果：h=0sig=0.9110ci=[3.20593.298]目前三十八頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)例8、下面列出的是某工廠隨機(jī)選取的20只部件的裝配時(shí)間

9.810.410.69.69.79.910.911.19.610.210.39.69.911.210.69.810.510.110.59.7設(shè)總體服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，問在0.05水平上能否認(rèn)為裝配時(shí)間的均值顯著的大于10。

需檢驗(yàn)H0:

10,H1:>10過程如下：x=[9.810.410.69.69.79.910.911.19.610.210.39.69.911.210.69.810.510.110.59.7]；[h,sig,ci]=ztest(x,10,0.4,0.05,1)結(jié)果：h=1sig=0.0127ci=[10.0529inf]拒絕原假設(shè)目前三十九頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)20單個(gè)樣本的t檢驗(yàn)（1）

命令ttest函數(shù)（2）功能：未知方差條件下進(jìn)行正態(tài)總體均值得檢驗(yàn)（3）語法：h=ttest(x,m);h=ttest(x,m,alpha);[h,sig,ci]=ttest(x,m,alpha,tail);h=1,則拒絕原假設(shè)，h=0,則接收原假設(shè)（4）格式的使用和參數(shù)的取值含義與ztest大致相同（5）應(yīng)用實(shí)例目前四十頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)例9、測(cè)得一批剛件20個(gè)樣品的屈服點(diǎn)（單位：T/mm2）為：

4.985.115.205.115.005.614.885.275.385.205.465.275.234.965.355.155.354.775.335.54設(shè)屈服點(diǎn)服從正態(tài)分布，在0.05水平上，檢驗(yàn)該樣本的均值是否為5.20，的假設(shè)檢驗(yàn)。

需檢驗(yàn)H0:

=5.20,H1:5.20過程如下：x=[4.985.115.205.115.005.614.885.275.385.205.465.275.234.965.355.155.354.775.335.54]；m=mean(x)[h,sig,ci]=ttest(x,5.20,0.05)結(jié)果：m=5.2075h=0sig=0.8796ci=[5.10525.3098]目前四十一頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)30兩個(gè)樣本的t檢驗(yàn)（1）

命令ttest2函數(shù)（2）功能：兩個(gè)樣本均值差異的t檢驗(yàn)（3）語法：[h,significance,ci]=ttest2(x,y);[h,significance,ci]=ttest2(x,y,alpha);[h,significance,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail);h=1,則拒絕原假設(shè)，h=0,則接收原假設(shè)（4）格式的使用和參數(shù)的取值含義與ttest大致相同（5）應(yīng)用實(shí)例目前四十二頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)例10、對(duì)兩種不同的水稻品種A,B分別統(tǒng)計(jì)了8個(gè)地區(qū)的單位面積產(chǎn)量（單位：kg）品種A：8687569384937579

品種B:8079589177827666要求檢驗(yàn)兩個(gè)水稻品種的單位面積產(chǎn)量之間是否有顯著差異？過程如下：x=[8687569384937579];y=[8079589177827666];[h,significance,ci]=ttest2(x,y)結(jié)果：h=0significance=0.3393ci=-6.423617.4236目前四十三頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)（二）非參數(shù)檢驗(yàn)1.Jarque-Bera檢驗(yàn)（1）

數(shù)學(xué)原理：

Jarque-Bera檢驗(yàn)是評(píng)價(jià)X服從正態(tài)分布的假設(shè)是否成立。該檢驗(yàn)基于樣本偏度和峰度，樣本偏度接近于0，樣本峰度接近于3?；诖藰?gòu)造一個(gè)包含2

統(tǒng)計(jì)量：

JB=n(g1^2+(g2-3)^2/4)/6（n為樣本容量）

Jarque和Bera證明了在正態(tài)性假定下，JB漸進(jìn)的服從自由度為2的2分布，若JB超過了12(2),即2(2)的下測(cè)1分位數(shù),則拒絕正態(tài)分布零假設(shè),反之,接受零假設(shè)。目前四十四頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)（2）函數(shù)名稱：jbtest（3）語法：H=jbtest(x);H=jbtest(x,alpha);[H,p,jbstat,cv]=jbtest(x,alpha);H=1,則拒絕服從正態(tài)，H=0,則接收服從正態(tài)（4）alpha為顯著水平，p為p值，jbstat為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，cv為確定是否拒絕原假設(shè)的的臨界值。目前四十五頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)（5）應(yīng)用實(shí)例例11、對(duì)下列數(shù)據(jù)確定其是否服從正態(tài)分布。459362624542509584433748815505

612452434982640742565706593680

9266531644877346084281153593844

527552513781474388824538862659

77585975549697515628954771609

402960885610292837473677358638

699634555570844166061062484120

447654564339280246687539790581

621724531512577496468499544645

764558378765666763217715310851目前四十六頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)2.總體分布的χ2檢驗(yàn)法總體X的樣本觀測(cè)值為x1,x2,…,xn,考慮如下檢驗(yàn)問題：H0:X的分布函數(shù)為F(x),這里F(x)為已知的分布函數(shù)在實(shí)數(shù)軸上取k個(gè)分點(diǎn)t1,t2,…,tk,得到互不相交的區(qū)間設(shè)樣本觀測(cè)值為x1,x2,…,xn落入第i個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù)為vi,其頻率為vi/n.目前四十七頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)如果H0成立，由給定的分布函數(shù)F(x),可以計(jì)算X落在每個(gè)小區(qū)間的概率為：其中考慮統(tǒng)計(jì)量目前四十八頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)Pearson在1900年證明了如下定理：設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，當(dāng)H0成立時(shí)，上述給出的χ2的極限分布為χ2(k)，k為分點(diǎn)個(gè)數(shù),其中F(x)中不含有未知參數(shù),vi稱為實(shí)際頻數(shù)，npi為理論頻數(shù)。由此定理可得：給定顯著性水平α，查χ2分布表可得臨界值χ2α(k),當(dāng)χ2>χ2α(k)時(shí)，則拒絕H0，認(rèn)為總體X的分布函數(shù)與F(x)有顯著差異。若χ2≤χ2α(k)，不能拒絕H0。目前四十九頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)當(dāng)總體F(x)中含有未知參數(shù)θ1,θ2,…,θr時(shí),則需要先利用數(shù)據(jù)對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)（通常采用極大似然估計(jì)），此時(shí)有如下定理：設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，且F(x)中含有r個(gè)未知參數(shù)當(dāng)H0成立時(shí)，上述給出的χ2的極限分布為χ2(k-r),r為參數(shù)個(gè)數(shù).此方法對(duì)離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量均適用。由此定理可得：給定顯著性水平α，查χ2分布表可得臨界值χ2α(k-r),當(dāng)χ2>χ2α(k-r)時(shí)，則拒絕H0，認(rèn)為總體X的分布函數(shù)與F(x)有顯著差異。若χ2≤χ2α(k-r)不能拒絕H0。目前五十頁(yè)\總數(shù)五十七頁(yè)\編于十四點(diǎn)例12：盧瑟福在2608個(gè)等時(shí)間間隔