建筑力學(xué) 第章 扭轉(zhuǎn)

第6章扭轉(zhuǎn)[內(nèi)容提要]本章主要介紹了扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸橫截面上扭矩的計(jì)算、扭矩圖的畫法和應(yīng)力分布及其計(jì)算；闡述了圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件及其應(yīng)用。6.1扭轉(zhuǎn)的概念工程中經(jīng)常利用軸的轉(zhuǎn)動(dòng)來傳遞動(dòng)力，如圖6-1。這時(shí)的軸需要承受傳遞動(dòng)力時(shí)作用其上的多個(gè)力偶，這些力偶將使軸的任意兩橫截面繞軸的軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，或者說兩橫截面間產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)角，稱為扭轉(zhuǎn)角，如圖6-2所示。這種變形為扭轉(zhuǎn)變形。這種現(xiàn)象即為扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象。扭轉(zhuǎn)變形是構(gòu)件的基本變形形式之一。圖6-1圖6-2本章主要討論圓截面直桿（統(tǒng)稱圓軸）的扭轉(zhuǎn)問題。6.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的扭矩及扭矩圖6.2.1扭矩如圖6-3所示圓軸，在兩端垂直于軸線的平面內(nèi)作用一對(duì)力偶M。采用截面法，假想從m-m截面截開，取左邊一段為分離體。圖6-3設(shè)截面上的內(nèi)力為T，由靜力學(xué)中力偶系平衡條件有T＝M，即截面上的內(nèi)力一定為力偶，我們將這個(gè)內(nèi)力偶稱為扭矩。由于力偶有不同的轉(zhuǎn)向，為了統(tǒng)一表達(dá)截面上不同轉(zhuǎn)向的扭矩，對(duì)扭矩的轉(zhuǎn)向和扭矩值正負(fù)號(hào)之間的關(guān)系有著如下規(guī)定：以右手四指指向扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，當(dāng)右手大姆指指向橫截面外法線方向時(shí)扭矩值為正，反之為負(fù)。該規(guī)定稱之為右手螺旋法則。如圖6-4所示。圖6-4扭矩的單位與力偶矩相同，常用牛頓·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。6.2.2扭矩圖如果有多個(gè)外力偶分別作用于軸上不同的位置，則不同橫截面上的扭矩值也不相同。我們將不同截面上的扭矩值計(jì)算出來，并將其值沿軸線畫于圖上，就形成了扭矩圖，它是扭轉(zhuǎn)問題的內(nèi)力圖。下面我們通過一個(gè)例子來說明扭矩圖的畫法【例6-1】一軸受三個(gè)外力偶M1＝10kN·m、M2＝40kN·m、M3＝30kN·m，其轉(zhuǎn)向如圖6-5(a)所示，請(qǐng)畫出該軸的扭矩圖。圖6-5(a))(c)(d)(b解：1、用m-m截取軸的左側(cè)一段如圖6-5(b)所示，由T1＋10＝0有T1＝-10(kN·m)；2、用n-n截取軸的左側(cè)一段如圖6-5(c)所示，由T2＋10-40＝0有T2＝30(kN·m)；3、將計(jì)算的扭矩值畫于軸線上，如圖6-5(d)。6.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的截面應(yīng)力分布為了分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上應(yīng)力分布規(guī)律，與分析受拉（壓）桿件時(shí)一樣，從實(shí)驗(yàn)入手。如圖6-6(a)所示，實(shí)驗(yàn)前，在一圓軸表面上作許多平行的縱向線和圓周線。然后在兩端加一對(duì)力偶，橡膠圓軸即發(fā)生了變形，如圖6-6(b)所示。我們觀察到的結(jié)果是：圖6-61、原來的縱向線都傾斜了同一個(gè)角度γ，變成螺旋線，原來的矩形格子都變成了平行四邊形。2、圓周線仍保持原來形狀，各圓周線之間距離不變，只相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度（即扭矩角）。3、圓軸的直徑?jīng)]發(fā)生改變。由此可以推出：1、圓軸扭轉(zhuǎn)后，縱向纖維沒有伸長(zhǎng)(縮短)，橫截面上的正應(yīng)力σ＝0，由此我們假設(shè)任一橫截面上的各點(diǎn)在變形前后仍處于同一個(gè)平面上。2、表面上的小矩形變成平行四邊形，表明相鄰兩橫截面發(fā)生相互錯(cuò)動(dòng)，屬剪切變形。剪切變形的程度以γ角來表示。γ稱為切應(yīng)變。3、由于圓軸的直徑?jīng)]發(fā)生改變，我們可以假設(shè)內(nèi)部各點(diǎn)到軸線的距離變形前后保持不變，扭轉(zhuǎn)變形時(shí)的各點(diǎn)只以各自到軸線的距離為半徑沿圓周位移。4、圓軸橫截面上存在切應(yīng)力，它的方向沿著圓周切線方向，即垂直于橫截面圓半徑。通過大量材料的力學(xué)試驗(yàn)，并經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析得知：在彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)變?chǔ)门c切應(yīng)力τ之間可以認(rèn)為存在直線比例關(guān)系。稱為剪切虎克定律，即τ＝Gγ(6-1)式中G稱為剪切彈性模量。常用材料的G值也可從有關(guān)手冊(cè)中查到。橫截面上的切應(yīng)力τ的分布規(guī)律，可從分析橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)變?chǔ)弥?。由于圓截面變形后仍為圓平面，平面上直徑仍為一直線，只是由原來位置轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，如圖6-7(a)所示。從圖中可以看到橫截面外沿的圓周處的點(diǎn)移動(dòng)得最大，也就是圖6-7(b)所示表面上的切應(yīng)變?chǔ)米畲蟆A心處（即軸線位置）的點(diǎn)沒有移動(dòng)，切應(yīng)變?chǔ)脼榱?。其余各點(diǎn)移動(dòng)的大小與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，即沿直徑各點(diǎn)的切應(yīng)變?chǔ)门c該點(diǎn)到圓心距離ρ成正比。因此沿直徑各點(diǎn)的切應(yīng)力τ，由剪切虎克定律可知，也與該點(diǎn)到圓心距離ρ成正比，方向與半徑垂直。實(shí)心圓軸的橫截面上切應(yīng)力分布如圖6-7(b)所示，空心圓軸的橫截面上切應(yīng)力分布如圖6-7(c)所示。圖6-7(a)(b)(c)由此可推出圓截面上任一點(diǎn)切應(yīng)力τ的計(jì)算公式（推導(dǎo)從略）可表達(dá)為(6-2)式中T為橫截面上所受扭矩；ρ為橫截面任一點(diǎn)至圓心的距離；Ip稱為橫截面對(duì)形心的極慣性矩。它是一個(gè)只由截面尺寸和形狀決定的幾何常量。簡(jiǎn)單圖形的極慣性矩可從相關(guān)工具書中查到。對(duì)于實(shí)心圓軸，有(6-3)式中D為圓截面直徑。對(duì)于空心圓軸，有(6-4)式中D、d分別為空心圓截面的外徑與內(nèi)徑，α為內(nèi)外徑之比，即IP的單位長(zhǎng)度是四次方，常用mm4。由(6-7)式可知最大切應(yīng)力τmax在圓周處，即在ρ=R處。R為圓截面半徑，R=D/2。于是(6-5)令Wp=IP/R，稱為抗扭截面系數(shù)，上式可改寫為(6-6)Wp的單位為長(zhǎng)度的三次方，常用mm3。它是一個(gè)可以衡量截面尺寸和形狀抗扭能力的參數(shù)，其值相關(guān)工具書中查到。直徑為D的圓截面的計(jì)算公式為(6-7)6.勵(lì)3毛圓軸忘扭轉(zhuǎn)糠時(shí)的赤強(qiáng)度胞計(jì)算6.堤1.散1持強(qiáng)度探條件為了紙保證脈圓軸刮安全歐正常培工作法，軸泛內(nèi)最毯大切獲應(yīng)力嫂不應(yīng)鏈超過車材料雪容許躬應(yīng)力群[τ考]，塑即：(6搖-8庸)稱為啦圓軸賄扭轉(zhuǎn)絞時(shí)的叨強(qiáng)度傘條件值。式中縮慧[τ不]為堂扭轉(zhuǎn)井時(shí)材宏料的雕許用脊切應(yīng)眨力，取可由睜相關(guān)殘工具折書中撕查到豪。在視靜荷衛(wèi)載作嚷用下紅，同活一材墨料扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)址的許伏用切昌應(yīng)力尊[τ暈]與孟其拉伐伸時(shí)螞的許秋用應(yīng)席力[嶼σ]紛之間已關(guān)系緒為：對(duì)于層塑性級(jí)材料仔[品τ]慶=（訓(xùn)0.蔬5~糠0.裙6）介[σ匹]對(duì)于港脆性橋材料吹[愈τ]骨=（厚0.蠢8~答1.臉0）幼[σ撥]強(qiáng)度欲條件尺式(惡6-孫6)朽，可位以進(jìn)鞠行以常下三臭個(gè)方喘面的屯計(jì)算驚：【例首6-晌2】丈一實(shí)妙心圓趟軸直露徑為貪10石0m織m，忙受三卡個(gè)外腦力偶祥M1＝1絡(luò)0畝kN左·m犁、M2＝4筒0偽kN若·m搖、M3＝3慨0運(yùn)kN視·m竭，其載轉(zhuǎn)向丈如圖武6-氧8(岡a)蛇所示倘，已海知該鳴軸所戰(zhàn)用材上料的嚷許可禁切應(yīng)躁力值堆[τ睜]=慘16謹(jǐn)0M商Pa溪，請(qǐng)衛(wèi)計(jì)算拔出它傘的最戲大應(yīng)棕力值敢，并域校核井該軸匪強(qiáng)度籠。(a覽)(b辱)圖6耀-8解：傷根據(jù)土本題扶條件怒，可方繪出識(shí)其軸恨的扭刷矩圖兼，如糖圖6承—8咐(b斗)所愧示。天其最緞大應(yīng)專力值示出現(xiàn)碰在到貓橫截混面外酸沿的勞圓周紛上，遇其切彩應(yīng)力斃值的盤計(jì)算決可用貼公式筋(6接-6月)解改出：由公潛式(商6-夏8)勁，有可見竿，該卡軸的姑強(qiáng)度反符合樂要求滑。由公違式(酸6-駐8)遇，有可見睬，該溜軸的夢(mèng)強(qiáng)度效符合恨要求板。請(qǐng)注莫意：1、牌計(jì)算攜式中鮮列出伸的物是理單舍位應(yīng)冤為：扭矩啟的單章位T應(yīng)為廈（N勺·m驕）或借者（趕N·淹mm紛）；者抗扭筆截面耍模量膛Wp的單悠位為碑m3或m溪m3；切盯應(yīng)力氏的物格理單晨位則粗為帕話(MP朗a)或抽兆帕恩(MP舟a)。2、以計(jì)算表過程蜜中列感出物逢理單著位的梅目的駕是給撇同學(xué)肺作分軌析示戚范的嚴(yán)，真鵝正計(jì)漲算其日切應(yīng)哄力時(shí)膠，不扭必在班中間懸過程蜘內(nèi)加縫注物終理單梳位，住只需邁在計(jì)相算結(jié)丸果后乎加注顧切應(yīng)尸力的竄物理革單位獻(xiàn)帕(Pa)或滑兆帕理(MP腳a)?！纠^6-續(xù)3】振一實(shí)叨心圓購(gòu)軸直徐徑為音10各0m蝦m，洽受三愿?jìng)€(gè)外抄力偶凝M1＝1葉0指kN換·m匯、M2＝4鞋0菜kN咐·m慮、M3＝3身0動(dòng)kN堵·m飲，其礎(chǔ)轉(zhuǎn)向億如圖甘6-呈5(羨a)舌所示累，請(qǐng)霧確定船該軸命的許罩可應(yīng)樹力值頌[τ他]。解：精本題撫受扭德情況雹同上島題，裁其軸囑的扭負(fù)矩圖誓如圖凈6—訂5(盒b)啦所示某。其賄應(yīng)力鎮(zhèn)許可蔽值可仗由公打式6括-8抽計(jì)算超：由有：可知徹，所貼選軸欲的材貸料滿疾足即可縫?！纠?-哥4】冰一實(shí)森心圓廉軸受冤三個(gè)甩外力盼偶M1＝1淋0尺kN焰·m地、M2＝4襯0弊kN刻·m番、M3＝3疼0斧kN谷·m援，其脹轉(zhuǎn)向攤?cè)鐖D推6-輔5(陳a)梁所示閑，已終知該舒軸所轎用材柱料的滲許可愿切應(yīng)攏力值努[τ愿]=報(bào)16煩0M炮Pa矮，請(qǐng)惠確定尿該軸惑的直閥徑。解：曠本題陸受扭棒情況需同上龜題，澤其軸畝的扭朝矩圖綠如圖葵6—瓜5(越b)掉所示械。其汽軸的臭直徑感可通鄰過公宗式(詳6-盲9)舌計(jì)算耳：可知儀，軸劉的直嬌徑大來小需瘦大于柏97倘.8茄7m證m?！纠?-戴5】谷一空另心圓撕軸受刮三個(gè)虧外力擺偶M1＝1搭0煮kN心·m飲、M2＝4寫0辰kN悉·m隨、M3＝3景0混kN宏·m激，其這轉(zhuǎn)向陜?nèi)鐖D呼6-搭5(蛙a)爽所示吐，已辭知該釘軸的分內(nèi)外襖徑之到比為材0.使5（擔(dān)即α億=端r/嫂R殖=侵0.探5）稀，所賴用材揀料的市許可匆切應(yīng)吳力值截[τ錦]=脫16印0M擁Pa犯，請(qǐng)地確定影該軸局的外刻徑，本并與淚實(shí)心棍圓軸炊的結(jié)弄果進(jìn)雀行比這較。解：礎(chǔ)本題黃受扭盞情況壁同上限題，盆其軸蔬的扭著矩圖筐如圖昂6—餐5(美b)面所示驅(qū)。其拆軸的濱外徑嶄可通仗過公鋪式(攤6-翠10庫)計(jì)鍬算：可知玩，軸琴的外宏徑大豬小需篇大于堪10島0m騎m。由于閣為空轟心圓懇軸，悔其外椒徑要遍求在廊荷載把條件肆一樣種時(shí)（堵例6省-4恐、例乏6-鑒5）塵比實(shí)搬心圓品軸的啦直徑烏要大嗚，但比是，腿兩軸協(xié)的橫芝截面付積之久比是昆：可見累，滿據(jù)足強(qiáng)含度要鉗求的蕩前提恨下，寇空心臉圓軸揚(yáng)比實(shí)本心圓腹軸省蹄材料鋸20瘦％以標(biāo)上（低本題膨條件辦下）器，其障軸的含自重辭也按拉該比邪率減播少；熟當(dāng)內(nèi)勸外徑捎之比認(rèn)α=惜r晌/R泳越惡大，頑省材貼料、繳減自結(jié)重的陜效果遍越明續(xù)顯。我們家在建倡筑工線程中款常遇明到一判些非染圓截貪面受哥扭構(gòu)釀件，量如矩?fù)P形、財(cái)T形伍、工賊字形毫等截張面。穴這些頸非圓欣截面稿構(gòu)件滾受扭駕轉(zhuǎn)后腸的變勞形以們及應(yīng)云力分探布情丹況與品圓形守截面分構(gòu)件所的不賺同，廈并要騙復(fù)雜猶得多惑。實(shí)驗(yàn)廣表明侍：非添圓截復(fù)面構(gòu)屯件受害扭后奴，橫吹截面逐不再諒保持銹為平倆面。芬如一灶矩形青截面駱構(gòu)件傲受扭鼻轉(zhuǎn)前頁，在姐其表目面在膀畫上謝橫向摔線和層縱向安線如葡圖6醉-9透(a頂)所派示。倉構(gòu)件旨受扭護(hù)轉(zhuǎn)后償，其彼表面干上的焰橫向述線和印縱向叔線都徹變成酒曲線份如圖境6-高9(雨b)權(quán)所示腹，原呢橫截臣面后晶來發(fā)襪生了癢翹曲鋤，變號(hào)成一類個(gè)曲童面，異在這寒種情置況下優(yōu)平面漿假設(shè)角不適灰用，頸因此垃，不上能將泰用于辣圓軸給扭轉(zhuǎn)繳的應(yīng)礎(chǔ)力計(jì)長(zhǎng)算公歸式應(yīng)筑用于應(yīng)非圓推截面虧構(gòu)件案的應(yīng)隔力計(jì)濤算。※6少.4碑非徒圓截匯面構(gòu)旨件的他扭轉(zhuǎn)厲問題(a櫻)(b坐)圖6邀-1暖0非圓儀截面絕構(gòu)件件的扭呀轉(zhuǎn)問掉題需攏要用撈彈性躁力學(xué)著的理秤論和茄方法龜分析嗽、計(jì)暈算。階本節(jié)塞只以姓矩形堵截面萌構(gòu)件煤的一贏些結(jié)內(nèi)果為庸例，頌簡(jiǎn)要弱說明相橫截誰面上紙切應(yīng)則力分棗布的趙情況響。矩形帶截面撕桿扭元轉(zhuǎn)后深，橫啞截面浪上切殖應(yīng)力啞是按義照如最圖6凱-1巾0所旱示的服分布綿規(guī)律噴分布亦的。并切應(yīng)塌力在藏矩形標(biāo)截面套的外梢沿長(zhǎng)扣邊中漂點(diǎn)達(dá)他到最老大值賺，其舉計(jì)算沃公式披為（6零-1善0）式中樂，稱為朋抗扭踐截面腰系數(shù)悠；為一匠個(gè)與仆比值h/彼b有關(guān)呈的系吼數(shù)，景可腸在有漫關(guān)手梳冊(cè)中采查到摟。在承續(xù)受相花同扭在矩的槽情況攏下，倉矩府形截黎面構(gòu)隙件的斯扭轉(zhuǎn)門最大怖切應(yīng)蔬力大旗于相掛同截悄面面蒜積的虧圓截都面構(gòu)撲件的栽扭轉(zhuǎn)術(shù)最大顯切應(yīng)愁力。電通過訊進(jìn)一各步的俊分析汁得知斯，對(duì)底受扭暢轉(zhuǎn)的篇構(gòu)件頸而言劉，圓嘗截面吧是最艇合理善的截雹面。1．鈔圓軸敏扭轉(zhuǎn)大時(shí)的槽扭矩健及扭爆矩圖1）家扭矩愉采富用截袖面法漠，取克一段庸為分照離體銀，由蠻靜力臭學(xué)中禿力偶委系平條衡條聽件可爐求出叼截面既上的距扭矩瞞。對(duì)您扭矩打的轉(zhuǎn)毫向和框扭矩散值正戚負(fù)號(hào)照之間葬的關(guān)肚系按邀右手遣螺旋視法則繁確定較。扭魯矩的路單位伙與力汪偶矩假相同搭，常睬用牛動(dòng)頓·針米（腎N·媽m）?；蚯?jiān)?！べJ米（協(xié)kN紗·m譯）。2）欲扭矩路圖將不鴨同截杰面上炕的扭妨矩值逆計(jì)算舟出來仙，并初將其膨值沿肺軸線雪畫于顫圖上蘋，就像形成醬了扭問矩圖查。小種結(jié)2搜圓軸嬌扭轉(zhuǎn)紡時(shí)的宋截面類應(yīng)力失分布實(shí)心暴圓軸君的橫洗截面剃上切止應(yīng)力遇分布污如圖矛6-根11豎(a吊)所定示，間空心辦圓軸啊的橫話截面賠上切輕應(yīng)力旺分布拾如圖唇6-潤(rùn)11籃(注b)估所示灑。(a段)(b餐)圖6寒-1劍1切應(yīng)壺力τ某的計(jì)它算公謠式為對(duì)于據(jù)實(shí)心啟圓軸對(duì)于殿空心靠圓軸，其水中，IP以的單此位長(zhǎng)撒度是豎四次委方，吉常用描mm僅4。最大絲式切應(yīng)鞠力τ蹲ma痰x在淹圓周呆處令均W蹄p=樂IP亡/R呆，稱蛛為抗精扭截機(jī)面系貿(mào)數(shù)，煤有直徑耍為D雄的圓爺截面嗎的計(jì)瀉算公滿式為3．隊(duì)圓軸蓄扭轉(zhuǎn)粒時(shí)的近強(qiáng)度盞計(jì)算1）揚(yáng)強(qiáng)度逼條件可以倆進(jìn)行槽以下示三個(gè)家方面?zhèn)傻挠?jì)咽算：a、停對(duì)圓劍軸的軟強(qiáng)度議進(jìn)行信校核清。b、李已知?jiǎng)⒉牧系?、截王面尺婚寸時(shí)皇，確姓定圓積軸在歸安全蒙狀態(tài)模下所銜能承粉受的握最大挖容許犁荷載險(xiǎn)。c、丟已知運(yùn)荷載京和材或料時(shí)摸，確魚定圓缸軸截暑面尺魄寸（申直徑倒）?！?扛非伍圓截忘面構(gòu)樂件的所扭轉(zhuǎn)觀問題矩形載截面小桿扭前轉(zhuǎn)后認(rèn)，橫趙截面苗上切細(xì)應(yīng)力盞是按狂照如知圖6苗-1噴0所核示的俘分布疼規(guī)律振分布港的。逼切應(yīng)扭力在茶矩形煤截面役的外裳沿長(zhǎng)樓邊中位點(diǎn)達(dá)票到最天大值顏，其煩計(jì)算偶公式桶為式中，稱為以抗扭