建筑力學 第章 應力狀態(tài)

第9章應力狀態(tài)[內(nèi)容提要]本章介紹了一點上不同方向的應力分析方法；以及受彎桿件上主應力跡線的分析方法。9.1應力狀態(tài)的概念在分析軸向拉（壓）桿的應力時我們就知道，斜截面上的應力不同于橫截面上的應力，且不同方位斜截面上的應力也是不同的。桿件彎曲的分析結果表明，桿件內(nèi)各點的應力并不相同，其應力值是相應點的坐標函數(shù)，且與所取截面的方位有關。在這里我們將簡單介紹一點的應力情況—一點的應力狀態(tài)。要想知道桿件內(nèi)一點處的應力狀態(tài)，就要分析包含該點的單元體。現(xiàn)以等截面直桿的拉伸為例圖9-1(a)，在桿內(nèi)任意一點A處截取各邊長極小的一立方體，我們稱該立方體為單元體圖9-1(b)。由于該立方體為微立方體，單元體各側面上的應力可近似看成均勻分布，且每一對平行側面上的應力均相等。由于該單元體的前、后側面上的應力為零，我們將單元體圖用平面圖形9-1(c)代替。這種前后側面無應力的單元體，我們即稱該單元體處于平面應力狀態(tài)。該單元體的左、右兩側面是桿件橫截面的一部分，其應力為σ=P/A；該單元體的上、下側面因平行于軸線的縱向平面，平面上沒有應力，這種有四個側面無應力的單元體，我們稱其處于單向應力狀態(tài)。如按圖9-1(d)的方式截取單元體，使其四個側面成為斜截面，則在這四個面上，均有正應力和切應力。其應力值也隨所取斜截面的方位不同而不同。本章主要介紹平面應力狀態(tài)情況。圖9-1現(xiàn)取一處于平面應力狀態(tài)微單元體如圖9-2(a)所示，其應力分量：σx和τxy是外法線與x軸平行的兩個面上的正應力和切應力。σy和τyx是是外法線與y軸平行的兩個面上的正應力和切應力。σx和σy的角標分別表示與軸x和軸y同向。τxy（或τyx)有兩個角標:第一個角標表示切應力作用平面的外法線方向；第二個角標則表示切應力的方向平行于該軸。應力分量σx、σy、τxy均為已知。9.2平面應力分析考慮應力的方向性，應力分量的正負號規(guī)定為：正應力以拉應力為正、壓應力為負；切應力對單元體內(nèi)作用以使單元體順時針轉向為正、反之為負。照此規(guī)定，圖9-2(a)中，σx、σy、τxy均為正，而τyx為負。(b)(a)(d)(c)為體現(xiàn)一般性，取一法線N垂直于y軸的任意斜截面af,其外法線N與x軸的夾角為α,α角以由x軸逆時針轉向外法線N者為正。截面af把單元體分成兩部分，取圖9-2(c)的部分為研究對象，來求任意斜截面上的應力σα和τα。斜截面af上的應力由正應力σα和切應力τα來表示。設af面的面積為微元面積dA,見圖9-2(d)，則ef面和ae面的面積分別是dA·sinα和dA·cosα,把作用于aef部分上的力投影于af面的外法線N軸上和切線方向l軸上，可得9.2.1斜截面上的應力分析∑N＝0σαdA+τxy(dAcosα)sinα-σx(dAcosα)cosα

+τyx(dAsinα)cosα-σy(dAsinα)sinα=0∑l＝0ταdA-τxy(dAcosα)cosα-σx(dAcosα)sinα+τyx(dAsinα)sinα+σy(dAsinα)cosα=0由于(切應力互等定理,推導從略)，聯(lián)立解得上述兩個平衡方程，最后得9-19-2式(9-1）、式(9-2)是斜截面應力的一般公式。由上可見，對于一個微元單元體，當σx、σy和τxy已知時，其斜截面的應力σα和τα隨α角的改變而改變，即σα和τα是角α的函數(shù)。所以我們知道，一點的應力狀態(tài)可由該點處單元體上的已知應力值σx、σy和τxy惟一確定?！纠?-1】一單元體各面應力如圖9-3，試求斜截面上的應力σα和τα。解：已知σx＝100MPa、σy＝50MPa,τxy＝-τyx＝-20MPa圖9-39.2.2主應力與主平面因為σα是α的函數(shù)，所以σα肯定存在極大值和極小值，σα的極大值和極小值均稱為主應力，記作σi(i=1、2、3），主應力的作用面則稱為主平面。設α0面為主平面，經(jīng)過數(shù)學推導有9-3

由公式（9-3)可以求出相差900的兩個角度α0，可見兩個主平面互相垂直。式(9-3)為確定主平面方位的公式。兩個互相垂直主平面上的正應力，一個為最大，記為，一個為最小，記為，其值分別由式9-4計算。9-4兩個互相垂直主平面上的切應力為零，即9-5在使用這些公式時，如σx＞σy，則式(9-3)確定的兩個角度α0中，用絕對值小的α0角度，來決定所在的平面。上式中的α1應有相差900的兩個值，說明切應力的最大值和最小值所在平面亦為兩個互相垂直的平面。由公式（9-6）及公式（9-3），有9.2.3切應力極大值、極小值及其所在平面

通過推導，同樣可以確定最大和最小切應力（即切應力極值），以及它們所在的平面。α=α1時，平面上的切應力達到極值，則有

也就是說，最大切應力平面和最小切應力平面與主平面之間為450的夾角。將式(9-6)代入式(9-2)的τα式，切應力極值為所以，我們可以推出9-7需要指出的是：τmax和τmin是兩個數(shù)值相等，而正負號不同的切應力。在最大切應力的作用面上，其正應力值一般不為零。即9-8圖9-4【例9-2】求圖9-4(a)所示梁內(nèi)K點處的主應力與主平面，最大切應力及其作用面，并均在單元體上畫出。已知此點處的σx＝-60MPa，σy=0，τxy＝-30MPa。解：(1）確定K點單元體的主平面，由式(9-3)，得α0＝-22.50,α0+900=67.50即，三個主應力分別為：σ1＝12.5MPa，σ2＝0，σ3＝-72.5MPa

單元體如圖9-4(b)所示，最大主應力σ1沿67.50方向。(3)最大切應力可由式（9-8）直接得出τmax的作用面與主平面互成450,τmax的方向應使單元體有沿σ1方向產(chǎn)生拉伸變形的趨勢，具體如圖9-4(b)所示。(2)計算主應力，由式（9-4），得【例檢9-至3】農(nóng)討論朝圓軸壁扭轉嗓時的夾應力宣狀態(tài)謎，并攏分析挪鑄鐵債試件撲受扭厘時的雕破壞隱現(xiàn)象礦。解：圓軸帥扭轉遭時，幅橫截藏面的慘邊緣呢處切孤應力酸為最番大，葉其數(shù)嗽值為在圓螺軸的漸表層則，按脅圖9鑰-5停（a抖)所研示方模式取社出單代元體睛AB把CD針，對于悶純剪粉切狀狹態(tài)下傻的情援況，居單元烏體各嶺面上沸的應杏力如誓圖9-滲5（椒b）坑所示啊，圖9健-5α0＝4輝50和濕13芝50以上存結果褲表明臣，從雖x軸痛為起擊點量剖起，街由α0＝4李50（順靈時針初方向掃）所墳確定榜的主我平面輩上的谷主應聽力為佳σma沙x＝τ匯，而永由α0＝1首350所確宣定的逢主平觀面上欲的主搬應力訊為σmi盞n＝-臭τ,豪按主臥應力山的記犯號規(guī)致定，σ1＝σma趨x＝τ澆,σ2＝0肺,σ3＝σmi伯n＝-禍τ所以命，純貝剪切里時的捎兩個犧主應蟲力的護絕對夏值相饅等，帥即切灰應力遭τ，森但其勇中一膝個為許拉應傲力，型一個案為壓旋應力即。圓域截面暈鑄鐵驢試件厲扭轉臣時，撞表面迷各點矩σma撫x所在媽的主權平面嗎聯(lián)成巡壽傾角閥為4喉50的螺字旋面鋤圖9低-5親(a廟)，做由于肥鑄鐵鍬抗拉辦強度喬低，妻試件謹將沿繼這一裹螺旋單面拉率伸而嬌發(fā)生借斷裂撒破壞簽，如堅圖9源-5鵝(c缸)所勾示。圖9謹-6肌(a惡)所鴿示矩東形截碧面梁怪，設咬任意恒截面翻n-雙n上晴的MZ＞O追，F(xiàn)S＞0頂，楊取出它五個慢點1妻、2鼻、3雪、4羞,喬5，輪可求賢出n束-n辛截面僵上五議個點儉的正臉應力扮σx和切婚應力鬼τxy,這少五個凡點的殘單元犯體如州圖9龜-6弟(b量)各所示恨。其職中1摘、5吳兩點健為主北應力句狀態(tài)唐，其險余三染點為鑄非主陵應力京狀態(tài)那，通貓過式潔(9霞-3職)、免式(吊9-缸4)仍，可慘求出夫它們幻玉的主據(jù)應力狼和主雙平面冶,如額圖9時-6隊(c躺)所其示。由于從梁上武各點旅處均威存在釋由正您交的禍主拉滋應力件和主違壓應忌力構狗成的桿主應旱力狀爛態(tài)。哲在全荷梁內(nèi)綿形成燭主應吸力場朗。為轟了能淘直觀搞地表參示梁啄內(nèi)各蒜點主明應力愁的方翁向，晚我們畜可以剩用兩皺組互輔為正底交的隸曲線斯描述因主應陣力場初。其申中一胞組曲梢線上送每一預點的魔切線掌方向啟是該冒點處豆主拉統(tǒng)應力巧方向徒（用爆實線票表示匪）；惠而另互一組矛曲線獻上每育一點櫻的切洪線方鬼向是涌該點荷處主柴壓應恰力方而向（丟用虛賠線表筍示）胡。這肆兩組株曲線憤稱為烏梁的范主應慘力跡略線，未前者刊為主澤拉應京力跡吐線，蓮后者忙為主癥壓應才力跡痛線。9.丘3乏梁的憂主應烈力和溫主應趴力跡晌線(a磚)圖9滾-6主應密力跡型線使仁復雜卵的應脫力狀國況形態(tài)象化瓣了，芽如受舌均布續(xù)荷載米的矩裝形截集面簡經(jīng)支梁撈，它燈的主闖應力后跡線義具有雹下述眾特點沒：1．校梁頂回與梁郊底處渾，σx≠0穿,τxy＝τyx＝0尿，梁頂柳（受穿壓）錢處：癢σ1＝σma建x＝0忠,見α01＝9維00（實腎線鉛湯垂）梁底困（受盟拉）陽處：輝σ3＝σmi盜n＝0伴,少α02＝9惹00（虛盼線鉛要垂）2.唯中性舍軸處橡，只沙有τxy＝τ湊,站σx=0劣，裂有兩股種情命況（遣取y撒軸朝誓下時勺）：1）號當截而面上詢FS＞0得，有收σ1＝σma稅x＝τ茂，α01＝4扁50（實襲線）姓；σ3＝σmi浸n＝－券τ＜員0，軟α02＝1撿350（虛沃線）2）無當截爐面上丸FS＜0御，有意σ1＝σma淹x＝τ訪，α01＝1溪350（實惑線）商；σ3＝σmi齒n＝－聾τ＜少0，掘α02＝4剃50（虛皂線）3.窮從圖賴9-榜7可角知，餓主拉振應力澡跡線睡（實豆線）采必垂扯直于唱梁頂汗而平丹行于抖梁底抹；主晶壓應罵力跡昨線（箭虛線咸）必敘垂直允于梁竟底而街平行守于梁鏟頂。圖9-7主應掙力跡請線分左析在派工程鮮設計腥中是替有實帳用價舟值的駱，如普鋼筋港混凝直土梁疏內(nèi)的鋼主要接受力繳鋼筋兆大致趴上是私按主唯拉應晚力跡鞋線配爪置的棍，如候圖9供-8煙。圖9僅-8由于雄荷載清和約期束的芳不同抽，梁駛的其英主應狐力跡圈線也孫完全泡不一辛樣。貢圖9映-9異給出櫻了幾姨種類惹荷載腔作用窮下梁杠的主膊應力刑跡線卻。圖9孩-9小前結1、坡平面罰應力光狀態(tài)典:比斜截悅面應塑力的撕一般腹公式（1將）兩栽個互氏相垂脂直主紅平面閘上的黎正應曉力，勿一個擦為最李大，捆記為谷，一務個為找最小漏，記寺為，城其值蜂分別干為2、觀主應枯力與導主平療面（2致）兩虛個互笛相垂溫直主犯平面塵上的賀切應膏力為住零，赴即3、腥切應莫力極狂大值俘、極籮小值紀及其征所在叮平面（1奶）最陶大切暑應力閣平面帳和最蹈小切境應力班平面辦與主委平面蒙之間瓶為4譯50的夾桂角。（2醋）切遇應力稍極值代為即（3隱）τma愁x和τmi瞎n是兩疾個數(shù)匪值相族等，廁而正枯負號突不同陽的切茅應力景。（4精）在減最大煤切應桶力的款作用貓面上緒，其桶正應臉力值吸一般貫不為阻零。4、懼梁的作主應晃力和漠主應討力跡揚線主拉田應力沒跡線寸（實庭線）崗必垂浴直于遞梁頂融而平宇行于沖梁底迷；主壓薄應力慮跡線斧（虛填線）豎必垂禁直于立梁底錦而平炊行于禮梁頂途。思考副題9-誰1糟什么距一點允的應溫力狀口態(tài)？9-丈2仁什么管是單廈向應醒力狀腔態(tài)和下平面翠應力昂狀態(tài)薯？9-總3關梁受遺橫力束彎曲遙時，朗梁頂蕉、梁敬底、角梁軸蒙線處閉的點懲各處摟于何朝種應傳力狀隔態(tài)？習題9-痰1雄圖示塌應力擁狀態(tài)配，試筑求出砍指定瘦斜截五面