有限元基礎(chǔ)三

2.3廣義坐標有限單元法的一般格式常用二維單元3結(jié)點單元6結(jié)點單元4結(jié)點單元8結(jié)點單元常用三維單元2.3.1選擇單元位移函數(shù)的一般原則原則1：廣義坐標的個數(shù)應(yīng)與單元結(jié)點自由度數(shù)相等否則待定廣義坐標無法以單元結(jié)點位移來表示。例如：3結(jié)點三角形單元有6個自由度，因此其廣義坐標個數(shù)只能是6，每個方向3個。

u=1+2x+3y

v=4+5x+6y原則2：多項式中常數(shù)項和坐標的一次項必須完備例：u=1+2x+3y

v=4+5x+6y目的：確保所選位移模式能反映單元的剛體位移和常應(yīng)變特性原則3：多項式選取應(yīng)由低階到高階，盡量選取完全多項式對于平面問題：一次完全多項式：x,y二次完全多項式：x2,xy,y2三次完全多項式：x3,x2y,xy2,y3若由于項數(shù)限制不能選取完全多項式時，選擇的多項式應(yīng)具有坐標對稱性。且一個方向的次數(shù)不應(yīng)超過完全多項式的次數(shù)。如二次：xy三次：x2y,xy22.3.2廣義坐標有限元的一般格式1.以廣義坐標為待定參數(shù)，給出單元內(nèi)位移uu=(2.3.1)對于二維問題3結(jié)點三角形單元

u=1+2x+3y

v=4+5x+6y2.用單元結(jié)點位移表示廣義坐標慣用的單元結(jié)點位移排列是

ae=[u1

v1

u2

v2

]T為清楚地表明求解廣義坐標的過程，可暫時采用另一表示方法=[u1

u2v1

v2]T將單元結(jié)點坐標代入位移模式(2.3.1)得：(2.3.2)對于二維問題由(2.3.2)式解出(2.3.3)對于二維問題為的伴隨矩陣其中3.以單元結(jié)點位移ae表示單元位移函數(shù)u將(2.3.3)式代入(2.3.1)式，得(2.3.4)對于二維問題將結(jié)點位移改為一般排列順序ae，則有(2.3.5)4.以單元結(jié)點位移ae表示單元應(yīng)變和應(yīng)力應(yīng)變：(2.3.6)應(yīng)力：由彈性變形產(chǎn)生的應(yīng)力當(dāng)有初應(yīng)力和初應(yīng)變時，應(yīng)力的一般表達式為(2.3.7)5.用最小位能原理建立離散體系的結(jié)點平衡方程系統(tǒng)總位能的離散形式(2.3.8)將，，u等代入，并以結(jié)構(gòu)結(jié)點位移a來表示單元結(jié)點位移ae，即ae＝Ga則系統(tǒng)總位能為：（2.3.9）總位游能的挺變分橋p＝0燃，得晉有限錢元求牽解方咐程K格a＝P（2訂.3閘.1型0）其中K攀＝楚GTKeG（2估.3鞏.1惰1）（2拳.3辭.1飼2）方程膚（2叢.3路.1翼0）志中載虹荷項泊：（2抖.3綿.1票3）其中（2絲式.3枯.1代4）6.全引入肥強制情邊界婆條件褲7岔.海解飲方程券得到?jīng)Q結(jié)點重位移臺8學(xué).徑進遵行必競要的屯輔助炊計算廣義蓮坐標也有限繼元可蓬能產(chǎn)殃生的途困難腔：當(dāng)位脹移函趨數(shù)選風(fēng)擇不逗恰當(dāng)愁時，A-1可能占不存械在，莖使得殊求解嗎廣義雙坐標慕成為不可圖能。當(dāng)單你元結(jié)叨點較史多時皺，求肌解廣組義坐淹標的過窩程太洽復(fù)雜余。2.架4滅有怪限元呈解的濾性質(zhì)繞和收永斂性2.身4.鳳1副有賄限元喊解的裕收斂陳準則以一斯個標饞量場躲函數(shù)碼為例孩討論碌：微分抗方程電A()董＝疊L（）＋刷b＝角0相應(yīng)經(jīng)的泛墨函為假定中包垂含和它奪直至m階的型各階奶導(dǎo)數(shù)民，若m階導(dǎo)臣數(shù)非善零，浪則近透似函判數(shù)狡至戲少必飛須是m次多菊項式壯。若捕取p次完鄉(xiāng)豐全多去項式舟為試早探函屑數(shù)，已則必糊須滿缺足p≥m，這勺時降及腳其各平階導(dǎo)芽數(shù)為湊：收斂屆準則抹1先：完側(cè)備性覆要求如果西出現(xiàn)貼在泛帆函中箏的場貞函數(shù)扣的最碎高階郊導(dǎo)數(shù)序是m階，碌則有候限元累解收進斂的杠條件漂之一鳥是單近元內(nèi)島場函俘數(shù)的廣試探告函數(shù)揚至少膊是m次完讓全多悠項式汗?；虺苏哒f武，試氧探函駱數(shù)中挖必須永包含星本身晌和直功至m階導(dǎo)井?dāng)?shù)為萬常數(shù)趨的項懸。單元付的插醉值函號數(shù)滿霧足上竊述要顏求時芬，稱瘋單元塘是完備策的。收斂毛準則憲2忙：協(xié)體調(diào)性鍬要求如果悠出現(xiàn)恒在泛管函中銷的最灑高階債導(dǎo)數(shù)耀是m階，慣則試返探函抖數(shù)在腐單元府交界慰面上味必須晝具有Cm-1連續(xù)廟性，幻玉即在尿相鄰蟲單元款的交運界面睡上應(yīng)掙有函強數(shù)直壁至m-1逼階晉的連堵續(xù)導(dǎo)兔數(shù)。當(dāng)單龜元的爛插值榆函數(shù)厭滿足坐上述夕要求睬時，賽我們澆稱單消元是協(xié)調(diào)網(wǎng)的。當(dāng)選甚取的梨單元抄既完匙備又釀協(xié)調(diào)珠時，擔(dān)有限顛元解稻是收漿斂的妻，即鏟當(dāng)單比元的氏尺寸儀趨于嫂零時忘，有貫限元對解趨全于真狐解。這種泄單元泄稱為爐是協(xié)調(diào)槐元。需要身指出按，在陳某些挎情況療下，刺可以臉放松膠對協(xié)腸調(diào)性泰的要金求，跪只要膜這種手單元理能通憲過分張片試糖驗，粉有限郊元解扛仍然編可以環(huán)收斂因于正下確的碰解答肺。這鳴種單情元稱跳為非協(xié)遍調(diào)元。2.仁4.準2槳收煙斂準禮則的陳物理辰意義以平須面問揪題為騾例，民泛函中出執(zhí)現(xiàn)的幼是位納移u和v及其俱一階涉偏導(dǎo)剖數(shù)，xyxy，因臣此m＝地1。收斂奔準則劉1琴要私求插宏值函當(dāng)數(shù)至洲少是x、y的一承次完伐全多赤項式刊。u＝1+2x+3yv＝4+5x+6y這樣禽才能主保證逢由此芹構(gòu)成悅的有捷限元必解能尚夠反島映單扁元的淹剛體黨位移碧和常顏應(yīng)變品狀態(tài)誘。收斂跌準則軌2資要弟求位也移函廈數(shù)在侮單元焦交界帽處具筐有C0連續(xù)筆性。旗即要習(xí)求位燙移函采數(shù)本休身在胃單元結(jié)交界鈔處連欲續(xù)。如果偶位移膀不連擋續(xù)，恥將出曬現(xiàn)兩離個問紙題：不連誤續(xù)位廳移將亂導(dǎo)致諷無限督大應(yīng)侵變，沸從而火使應(yīng)誕變能占增大渠。位移冊不連沈續(xù)意召味著廉出現(xiàn)險裂縫態(tài)或相甚互嵌城入。梁單糾元，犧泛函兼中出饒現(xiàn)以4營階導(dǎo)太數(shù)，這即m＝40痕階導(dǎo)蛙數(shù)，穩(wěn)即位勒移本再身表筍示梁釋的撓仍度；1隊階導(dǎo)偶數(shù)表凡示梁近的轉(zhuǎn)罵角，撞或梁扎軸線汁的傾咸角2蜘階導(dǎo)飛數(shù)表擺示梁賊的軸格線曲藍率或植彎矩3失階導(dǎo)傷數(shù)表衫示梁魂的剪丟力4遠階導(dǎo)爽數(shù)表移示梁瘦的載加荷集個度2.才4.貼3撓收羨斂速鳴度和必精度擾估計位移蜜場函殘數(shù)的遙精確喉解總攔可以滋在域蕩內(nèi)一臉點的淋領(lǐng)域端內(nèi)展安開成馳一個抄多項飲式：在尺附寸為h的單畝元內(nèi)乳，如坡果插堂值函覆數(shù)采鼻用p階完悄全多攤項式即，則主它能紡擬合塊上式骨直到訴第p階，順所以漁誤差磨為O(hp+1)。例如房誠：3刻結(jié)族點三甜角形陸單元威，p=藝1，角則u的誤亂差為O(h2)。萍當(dāng)單嫌元尺井寸減桌半時芒，誤塊差是沒前次飛網(wǎng)格滿的(爆1/舞2)2=婆1/胞4。誤差濾估計與解況析解物相比盡、與幟同類伶問題侍相比不同握單元廳尺寸鬼的解都相比對于魄協(xié)調(diào)碰元，辨如已鴉知收季斂速轎度為O(hr)，因則可泄由下織式預(yù)哲測精仔確解余：對于睡3矩結(jié)亞點三悶角形隨單元舌，如r=2春，n=飯2，蔽則可妖推得牢：u＝踢(咬4u2—u1)醒/儀3離散段誤差請與截虛斷誤喝差離散孝誤差并是有典限元究方法子本身弊的誤醬差截斷位誤差每和舍估入誤象差是栗計算輝機有扣效位緒數(shù)造導(dǎo)成的船誤差結(jié)構(gòu)悄的病句態(tài)和內(nèi)網(wǎng)格蛋畸形訪會嚴妖重擴進大截戲斷誤眠差和吳舍入藥誤差往的影遺響。2.駁4.訪4您位既移有盾限元轎解的讀下限承性質(zhì)系統(tǒng)諸總位宮能由變劇分P=惱0得有宅限元復(fù)求解扶方程湯：K容a=P代入讀總位只能式紗得：即在演平衡災(zāi)狀態(tài)探下，歉系統(tǒng)毛總位肌能等嘩于負鼻的應(yīng)景變能匆。因此叢，當(dāng)P→Pm竟in時，U→Uma究x在有駝限元奧解中由于自：則有即因為所以可見莖近似魔解暑在姿總體鋪上不哀大于碌真解歲a椅。即您解具宋有下錦限性