人教A版高中數(shù)學(xué)選修23學(xué)案24正態(tài)分布

其次章隨機(jī)變量及其分布2.4正態(tài)分布[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)曲線(xiàn)的特征和正態(tài)曲線(xiàn)所表示的意義〔重點(diǎn)〕；2．能借助正態(tài)曲線(xiàn)的圖象理解正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)及意義〔重點(diǎn)〕；3．會(huì)依據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)求隨機(jī)變量在某一區(qū)間的概率〔難點(diǎn)〕.課前自主學(xué)習(xí)研讀提煉思索嘗試【學(xué)問(wèn)提煉梳理】1．正態(tài)曲線(xiàn)與正態(tài)分布〔1〕正態(tài)曲線(xiàn)：函數(shù)，，其中實(shí)數(shù)和為參數(shù)，的圖象為正態(tài)分布密度曲線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線(xiàn)．〔2〕正態(tài)分布：一般地，假如對(duì)于任何實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量滿(mǎn)意，那么稱(chēng)隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作．假如隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，那么記為．溫馨提示：留意區(qū)分參數(shù)和參數(shù)含義：參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估量；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估量．2．正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)及原那么〔1〕正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)①曲線(xiàn)位于軸上方，與x軸不相交；②曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；③曲線(xiàn)在處到達(dá)峰值；④曲線(xiàn)與軸之間的面積為；⑤當(dāng)肯定時(shí)，曲線(xiàn)隨著的變化而沿x軸平移，如下左圖；⑥當(dāng)肯定時(shí)，曲線(xiàn)的外形由確定，越小，曲線(xiàn)越“瘦高〞，表示總體的分布越集中；越大，曲線(xiàn)越“矮胖〞，表示總體的分布越分散，如下右圖．〔2〕原那么正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種狀況在一次試驗(yàn)中幾乎不行能發(fā)生．假設(shè)X～，那么對(duì)任意實(shí)數(shù)，有.特殊地，當(dāng)，，時(shí)有，，.溫馨提示：留意不要弄錯(cuò)參數(shù)和對(duì)正態(tài)曲線(xiàn)變化的影響.【思索嘗試夯基】1．思索推斷〔正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞〕〔1〕函數(shù)中的參數(shù)，的意義分別是樣本的均值與方差.〔〕〔2〕正態(tài)曲線(xiàn)是單峰的，其與軸圍成的面積是隨參數(shù)，的變化而變化的.〔〕〔3〕正態(tài)曲線(xiàn)可以關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).〔〕[解析]〔1〕錯(cuò)，函數(shù)中的參數(shù)，的意義分別是隨機(jī)變量的均值與方差.〔2〕錯(cuò)，正態(tài)曲線(xiàn)是單峰的，其與軸圍成的面積是.〔3〕對(duì)，當(dāng)時(shí)，正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).[答案]〔1〕×〔2〕×〔3〕√2．隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，那么等于()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)[解析]由題意知的均值為2，因此.[答案]D3．設(shè)隨機(jī)變量～，假設(shè)，那么()A.B．C．D.[解析]由～得，所以，即.[答案]C4．正態(tài)分布的概率密度函數(shù)在內(nèi)取值的概率為_(kāi)_______．[解析]由題意可知～，且，，所以.[答案]5．設(shè)隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，假設(shè)，那么.[解析]由正態(tài)分布的性質(zhì)及條件得，，所以.[答案]課堂師生互動(dòng)典例解惑探究突破類(lèi)型1正態(tài)曲線(xiàn)的圖象和性質(zhì)〔自主研析〕【典例1】把一條正態(tài)曲線(xiàn)沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到一條新的曲線(xiàn)C2，以下說(shuō)法中不正確的選項(xiàng)是()A．曲線(xiàn)C2仍舊是正態(tài)曲線(xiàn)B．曲線(xiàn)和曲線(xiàn)C2的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等C．以曲線(xiàn)C2為概率密度曲線(xiàn)的總體的期望比以曲線(xiàn)為概率密度曲線(xiàn)的總體的期望大2D．以曲線(xiàn)C2為概率密度曲線(xiàn)的總體的方差比以曲線(xiàn)為概率密度曲線(xiàn)的總體的方差大2[自主解答]正態(tài)曲線(xiàn)沿著橫軸方向水平移動(dòng)只轉(zhuǎn)變對(duì)稱(chēng)軸位置，曲線(xiàn)的外形沒(méi)有轉(zhuǎn)變，所得的曲線(xiàn)依舊是正態(tài)曲線(xiàn)．在正態(tài)曲線(xiàn)沿著橫軸方向水平移動(dòng)的過(guò)程中，始終保持不變，所以曲線(xiàn)的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)〔即正態(tài)密度函數(shù)的最大值〕不變，方差，也沒(méi)有變化．設(shè)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，那么曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸那么為，說(shuō)明期望從變到了，增大了.[答案]D【歸納升華】利用正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)可以求參數(shù)、：〔1〕正態(tài)曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，由此性質(zhì)結(jié)合圖象求；〔2〕正態(tài)曲線(xiàn)在x＝μ處到達(dá)峰值，由此性質(zhì)結(jié)合圖象可求；〔3〕由的大小區(qū)分曲線(xiàn)的胖瘦．[變式訓(xùn)練]假設(shè)一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為.那么該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是．[解析]由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，即.由，得.故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是，.[答案]，.類(lèi)型2正態(tài)分布中的概率計(jì)算【典例2】在一次測(cè)試中，測(cè)量結(jié)果聽(tīng)從正態(tài)分布，假設(shè)在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.2，求〔1〕在(0,4)內(nèi)取值的概率；〔2〕．[解析]〔1〕由于～，對(duì)稱(chēng)軸，畫(huà)出示意圖，由于，所以.〔2〕.【歸納升華】解決求某區(qū)間的概率問(wèn)題，可以利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，畫(huà)出相應(yīng)的正態(tài)曲線(xiàn)圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合把“求某一區(qū)間內(nèi)的概率〞問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“陰影局部面積〞問(wèn)題．[變式訓(xùn)練]假設(shè)隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，P，那么()A．B．C．D．[解析]由隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，得，所以.[答案]C類(lèi)型3正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【典例3】在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成果聽(tīng)從一個(gè)正態(tài)分布，即～．〔1〕試求考試成果位于區(qū)間上的概率是多少？(2)假設(shè)這次考試共有2000名考生，試估量考試成果在間的考生大約有多少人？【解】由于～，所以，.〔1〕由于在區(qū)間內(nèi)取值的概率是，而該正態(tài)分布中，，，于是考試成果位于區(qū)間內(nèi)的概率就是.〔2〕由，，得，.由于變量在區(qū)間內(nèi)取值的概率是，所以考試成果位于區(qū)間內(nèi)的概率是，一共出名考生，所以考試成果在間的考生大約有〔人〕．【歸納升華】解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟記正態(tài)變量的取值位于，，上的概率值，同時(shí)又要依據(jù)的正態(tài)分布確定所給區(qū)間屬于上述三個(gè)區(qū)間的哪一個(gè)．[變式訓(xùn)練]某班級(jí)的一次信息技術(shù)測(cè)驗(yàn)成果近似聽(tīng)從正態(tài)分布，假如規(guī)定低于60分為不及格，求：〔1〕成果不及格的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；〔2〕成果在80～90內(nèi)的同學(xué)占總?cè)藬?shù)的比例．[解]〔1〕設(shè)同學(xué)的得分為隨機(jī)變量，～，那么，.分?jǐn)?shù)在～之間的同學(xué)的比例為，所以不及格的同學(xué)的比例為.即成果不及格的同學(xué)占總?cè)藬?shù)的.〔2〕成果在～內(nèi)的同學(xué)的比例為.即成果在～內(nèi)的同學(xué)占.類(lèi)型4用錯(cuò)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性致誤〔誤區(qū)警示〕【典例4】隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，假如，求．【易錯(cuò)提示】求解時(shí)，假設(shè)不留意結(jié)合圖形對(duì)稱(chēng)性，易錯(cuò)解為.【防范措施】〔1〕由于～，所以對(duì)稱(chēng)軸為，所以與(－1,0)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間應(yīng)為(0,1)，與對(duì)稱(chēng)的區(qū)間為．〔2〕針對(duì)的正態(tài)分布，求某區(qū)間上的取值概率時(shí)，常用如下兩個(gè)公式：①；②.[標(biāo)準(zhǔn)解答]如下圖，由于P，所以.所以，所以.[類(lèi)題嘗試]如下圖是一條正態(tài)曲線(xiàn)．試依據(jù)該圖象寫(xiě)出其函數(shù)解析式，并求出總體隨機(jī)變量的期望和方差．[解]從給出的正態(tài)曲線(xiàn)，可知該正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，最大值是，所以.由，解得.于是正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是，．總體隨機(jī)變量的期望是，方差是.[課堂小結(jié)]1．正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ就是隨機(jī)變量X的均值，它可以用樣本的均值去估量，參數(shù)σ就是隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，它可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估量．2．對(duì)于有關(guān)正態(tài)分布的計(jì)算問(wèn)題，要記住正態(tài)總體取值在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)的概率值，將所給問(wèn)題轉(zhuǎn)化到上述區(qū)間內(nèi)解決，同時(shí)要留意對(duì)稱(chēng)性的運(yùn)用和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．課后演練提升A級(jí)根底穩(wěn)固一、選擇題1．設(shè)隨機(jī)變量～，那么()A．4B．2C.eq\f(1,2)D．1[解析]由于～，所以，所以.[答案]D2．設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖象如下圖，那么有()A．，B．，C．，D．，[解析]反映的是正態(tài)分布的平均水平，是正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，由圖可知；反映的正態(tài)分布的離散程度，越大，越分散，曲線(xiàn)越“矮胖〞，越小，越集中，曲線(xiàn)越“瘦高〞，由圖可知.[答案]A3.〔2015山東高考〕某批零件的長(zhǎng)度誤差〔單位：毫米〕聽(tīng)從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間〔3,6〕內(nèi)的概率為〔附：假設(shè)隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，那么,.〕(A)(B)(C)(D)[解析]，答案選(B)4．假設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，在區(qū)間和內(nèi)取值的概率分別為，那么，的關(guān)系為()A．B．C．D．不確定[解析]由正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性及題意知：，，所以曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以.[答案]C5．某批材料的個(gè)體強(qiáng)度聽(tīng)從正態(tài)分布，現(xiàn)從中任取一件，那么取得的這件材料的強(qiáng)度高于182但不高于218的概率為()A．0.9973B．0.6826C．0.8413D[解析]由題意知，，，，由，答案應(yīng)選B.[答案]B二、填空題6．設(shè)～，那么的值為_(kāi)_______．[解析]由題意可知，，，故.[答案]7．正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間里的概率和落在區(qū)間里的概率相等，那么這個(gè)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)_______．[解析]由題意知區(qū)間與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，由于區(qū)間和區(qū)間關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望為.[答案]8．工人制造的零件尺寸在正常狀況下聽(tīng)從正態(tài)分布，在一次正常的試驗(yàn)中，取個(gè)零件，不屬于這個(gè)尺寸范圍的零件可能有個(gè).[解析]由于，所以不屬于區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)約為個(gè)．[答案]三、解答題9．設(shè)～，試求：〔1〕；〔2〕．[解]由于～，所以，.〔1〕.〔2〕由于，所以.10．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果聽(tīng)從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．假設(shè)ξ在內(nèi)取值的概率為，試求〔1〕在內(nèi)取值的概率．〔2〕在(2，＋∞)內(nèi)取值的概率．〔3〕在(0，＋∞)內(nèi)取值的概率．[解]在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果聽(tīng)從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)，正態(tài)分布圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，由于，在(0,1]內(nèi)取值的概率為，所以，隨機(jī)變量ξ在內(nèi)取值的概率等于在(0,1]內(nèi)取值的概率，也為，即(1)隨機(jī)變量在(0,2]內(nèi)取值的概率為.(2)又因正態(tài)分布圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，得在(1，＋∞)內(nèi)取值的概率為，結(jié)合隨機(jī)變量在內(nèi)取值的概率為，可求得在(2，＋∞)內(nèi)取值的概率為.(3)在(0，＋∞)內(nèi)取值的概率為.B級(jí)力量提升1．以表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間(－∞，x)內(nèi)取值的概率，假設(shè)隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，那么概率等于()A． B．C． D．[解析]設(shè)，那么．[答案]B2．據(jù)抽樣統(tǒng)計(jì)，在某市的公務(wù)員考試中，考生的綜合評(píng)分聽(tīng)從正態(tài)分布