河南省濟(jì)源市平頂山市許昌市2022屆高三第二次質(zhì)量檢測（二模）數(shù)學(xué)（文）Word版含解析

平頂山許昌濟(jì)源2021—2022學(xué)年高三第二次質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【1題答案】【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，再求兩集的交集【詳解】由，得，所以，因?yàn)?，所以，故選：B2.若，則的虛部為（）A. B. C. D.【2題答案】【答案】D【解析】【分析】由求出復(fù)數(shù)，從而可求出其虛部.【詳解】由得，故的虛部為，故選：D.3.若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則（）A.－4 B.－1 C.1 D.4【3題答案】【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出、的值，進(jìn)而求出和的值，由此可得出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和，則，求得，，那么故選：C.4.搭載神州十三號(hào)載人飛船的長征二號(hào)F遙十三運(yùn)載火箭，精準(zhǔn)點(diǎn)火發(fā)射后約582秒，進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射取得圓滿成功．據(jù)測算：在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：m/s）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg）、火箭的質(zhì)量m（除燃料外，單位：kg）的函數(shù)關(guān)系是．當(dāng)火箭的最大速度為11.5km/s時(shí)，約等于（）（參考數(shù)據(jù)：）A.313 B.314 C.312 D.311【4題答案】【答案】B【解析】【分析】先將火箭的最大速度化為，然后代入給出的表達(dá)式中，即可求出答案.【詳解】火箭的最大速度為11.5km/s,即所以，所以即故選：B5.已知，，則（）A. B.12 C.－12 D.【5題答案】【答案】C【解析】【分析】先求出和，利用二倍角公式求出，直接代入即可求解.【詳解】因?yàn)?，，解得：，所?所以所以.故選：C6.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【6題答案】【答案】D【解析】【分析】先得到，進(jìn)而由得到答案.【詳解】定義域?yàn)镽，且，又，所以，所以.故選：D7.右圖是一張“春到福來”的剪紙窗花，為了估計(jì)深色區(qū)域的面積，將窗花圖案放置在邊長為的正方形內(nèi)，在該正方形內(nèi)隨機(jī)生成個(gè)點(diǎn)，恰有個(gè)點(diǎn)落在深色區(qū)域內(nèi)，則此窗花圖案中深色區(qū)域的面積約為（）A. B. C. D.【7題答案】【答案】B【解析】【分析】設(shè)此窗花圖案中深色區(qū)域的面積為，根據(jù)幾何概型的概率公式可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】設(shè)此窗花圖案中深色區(qū)域的面積為，由幾何概型的概率公式可得，解得.故選：B.8.已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.【8題答案】【答案】A【解析】【分析】由表示圓可得，點(diǎn)A（1，2）在圓C外可得，求解即可【詳解】由題意，表示圓故，即或點(diǎn)A（1，2）在圓C：外故，即故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或即故選：A9.已知函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖像交于A，B，C三點(diǎn)，則的面積是（）A.2 B. C. D.4【9題答案】【答案】A【解析】【分析】先求出于A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，得出是等腰三角形，進(jìn)而求出面積.【詳解】，則，令，即或或，解得：，，，不妨設(shè)，，，則為等腰三角形，故選：A10.“中國天眼”射電望遠(yuǎn)鏡的反射面的形狀為球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓面為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高，球冠面積，其中R為球的半徑，為球冠的高），設(shè)球冠底的半徑為r，周長為C，球冠的面積為S，則當(dāng)，時(shí)，（）A. B. C. D.【10題答案】【答案】B【解析】【分析】作出示意圖，根據(jù)條件先求出r，然后根據(jù)并結(jié)合勾股定理求出R，進(jìn)而得到答案.【詳解】如示意圖，根據(jù)題意，，由勾股定理可得，聯(lián)立方程解得.于是.故選：B.11.過雙曲線的下焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交拋物線于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【11題答案】【答案】D【解析】【分析】先設(shè)雙曲線的上焦點(diǎn)為，則，因?yàn)閽佄锞€為，所以為拋物線的焦點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，又可得E為FP的中點(diǎn)，所以O(shè)E為的中位線，得到，再設(shè)，由得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率．【詳解】設(shè)雙曲線的上焦點(diǎn)為，則拋物線為，為拋物線的焦點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，，則為FP的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，則為的中位線．．，．切圓O于E，．．設(shè)，則，．由點(diǎn)在拋物線上，則在直角中，即，整理得即，又，所以故選：D．12.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【12題答案】【答案】A【解析】【分析】記，利用導(dǎo)數(shù)證明出，令時(shí)，證明出；記，利用導(dǎo)數(shù)證明出，令時(shí)，.即可得到結(jié)論.【詳解】記，則.令，解得：；，解得：；所以在單減，在單增.所以，即.當(dāng)時(shí)，有，即.記，則.令，解得：；，解得：；所以在單增，在單減.所以，即.當(dāng)時(shí)，有，即.所以.故選：A【點(diǎn)睛】指、對(duì)數(shù)比較大?。海?）結(jié)構(gòu)相同的，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；（2）結(jié)構(gòu)不同的，尋找“中間橋梁”，通常與0、1比較.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為______．【13題答案】【答案】3【解析】【分析】由題意，即，要使得最大，即直線與可行域相交，且截距最小，數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】由題意，即，要使得最大，即直線與可行域相交，且截距最小，畫出可行域如圖所示：如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過與的交點(diǎn)時(shí)，截距最小即最大，故的最大值為故答案為：314.設(shè)向量，滿足，，與的夾角為60°，則______．【14題答案】【答案】【解析】【分析】首先可得的值，然后利用可算出答案.【詳解】因?yàn)橄蛄?，滿足，，與的夾角為60°，所以所以故答案為：15.設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則______．【15題答案】【答案】【解析】【詳解】因?yàn)闉閿?shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)也滿足，所以所以所以所以故答案為：16.已知P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且不在坐標(biāo)軸上，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是的角平分線上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是______．【16題答案】【答案】【解析】【分析】設(shè)在第一象限，延長交的延長線于點(diǎn)，連接，然后可得，推導(dǎo)出（其中為的橫坐標(biāo)），從而，由可知，由此能夠得到的取值范圍．【詳解】由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，延長交的延長線于點(diǎn)，連接，由于在的角平分線上，可知，所以△與全等，則，再由，知，，（其中為的橫坐標(biāo)），，由可知，由橢圓的方程知，的取值范圍是，．故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17—21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，且滿足．（1）求角C的大小；（2）若，求的面積．【17~18題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可轉(zhuǎn)化為，即，結(jié)合，可得解；（2）由，，化簡可得，結(jié)合可得，利用正弦定理可得，再利用面積公式即得解【小問1詳解】由題意，，結(jié)合正弦定理故又，故故，即，又【小問2詳解】由題意，又故即，又由，代入可得：18.近年來，隨著社會(huì)對(duì)教育的重視，家庭的平均教育支出增長較快，隨機(jī)抽樣調(diào)查某市2015~2021年的家庭平均教育支出，得到如下折線圖．（附：年份代碼1~7分別對(duì)應(yīng)的年份是2015~2021）．經(jīng)計(jì)算得，，，，．（1）用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，求出相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01），并指出是哪一層次的相關(guān)性？（2）建立y關(guān)于t的回歸方程；（3）若2022年該市某家庭總支出為10萬元，預(yù)測該家庭教育支出約為多少萬元？附：（i）相關(guān)系數(shù)：；相關(guān)系數(shù)時(shí)相關(guān)性較強(qiáng)，時(shí)相關(guān)性一般，時(shí)相關(guān)性較弱．（ii）線性回歸方程：，其中，【18~20題答案】【答案】（1）相關(guān)性較強(qiáng)（2）（3）5.5萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)題干數(shù)據(jù)計(jì)算，代入相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算，即得解（2）根據(jù)題干數(shù)據(jù)，分別計(jì)算，即得解（3）代入，可利用（2）中的回歸方程估計(jì)家庭教育支出百分比，計(jì)算即得解【小問1詳解】故相關(guān)性較強(qiáng)【小問2詳解】【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，故家庭教育支出為萬元19.如圖，內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，平面ABC，，．（1）證明：平面平面ADE；（2）求三棱錐A－CBE體積的最大值．【19~20題答案】【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】分析】（1）首先證明平面，然后得到平面即可；（2），然后求出的最大值即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因?yàn)閮?nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，所以，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)樗倪呅蜠CBE為平行四邊形，所以，所以平面，因?yàn)槠矫鍭DE，所以平面平面ADE，【小問2詳解】因?yàn)槠矫鍭BC，，所以平面ABC，所以，所以當(dāng)最大時(shí)，三棱錐A－CBE體積最大，設(shè)，則所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以三棱錐A－CBE體積的最大值為.20.如圖，圓與拋物線相交于點(diǎn)、、、，且．（1）若拋物線的焦點(diǎn)為，為其準(zhǔn)線上一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，求拋物線的方程；（2）設(shè)與相交于點(diǎn)，與組成蝶形（如圖所示的陰影區(qū)域）的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大值．【20~21題答案】【答案】（1）（2），的最大值為.【解析】【分析】（1）可設(shè)點(diǎn)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，則、，，將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得的最大值.【小問1詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，所以，，，則，可得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：根據(jù)圓與拋物線的對(duì)稱性，四邊形是以軸為對(duì)稱軸的等腰梯形，不妨設(shè)，、第一象限，設(shè)點(diǎn)、，則、，，聯(lián)立，消去可得，則關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等的正根，所以，解得，依據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)在軸上，可設(shè)點(diǎn)，由得，所以，，解得，所以，點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的最小值為M，求證：．【21~22題答案】【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）函數(shù)定義域是，求得導(dǎo)函數(shù)，這里是正數(shù)，引入，利用它的單調(diào)性，得其有唯一零點(diǎn)，是的唯一極小值點(diǎn)，即，由把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)得新函數(shù)的最大值不大于1，證得結(jié)論成立．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，的定義域是，，設(shè)，，則在單調(diào)遞增，且所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】由（1）得的定義域是，，令，則，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，故存在，使得．?dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；故時(shí)，取得最小值，即，由，得，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，即時(shí)，取最大值1，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求最值，證明不等式．解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得最值．只是對(duì)含有參數(shù)的最值問題，需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對(duì)導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性及唯一性等，由于零點(diǎn)的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對(duì)函數(shù)的最值又需引入新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作．本題考查了學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算求解能力，屬于難題．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，PQ中點(diǎn)為M，A（1，0），求的值．【22~23題答案】【答案】（1）直線的普通方程為，曲線C的直角坐標(biāo)方程為；（2）8.【解析】【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可；（2）直線的參數(shù)方程也可表示為（為參數(shù)），然后利用的幾何意義求解即可.【小問1詳解】由可得，即直線的普通方程為，由可得，所以，即所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為【小問2詳解】直線的參數(shù)方程也可表示為（為參數(shù)），將其代入可得