向量的幾何表示及加減和數(shù)乘運算

向量的幾何表示及加減和數(shù)乘運算演示文稿目前一頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點優(yōu)選向量的幾何表示及加減和數(shù)乘運算目前二頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點向量的物理背景與概念向量:既有大小,又有方向的量.思考:時間,路程,功是向量嗎?速度,加速度是向量嗎?數(shù)量:只有大小,沒有方向的量.

向量的兩要素:方向、大小目前三頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點由于實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng),所以數(shù)量常常用數(shù)軸上的一個點表示,如3,2,-1,…而且不同的點表示不同的數(shù)量.o-1231數(shù)量的幾何表示目前四頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點向量的幾何表示對于向量,我們常用帶箭頭的線段來表示,線段按一定比例(標(biāo)度)畫出,它的長度表示向量的大小,箭頭表示向量的方向.向量是圖形,不能比較大小.目前五頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點有向線段:有向線段的三個要素:A(起點)B(終點)以A為起點,B為終點:帶有方向的線段有向線段的長度:ABAB起點、方向、長度目前六頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點向量的幾何表示:用有向線段表示.A(起點)B(終點)或向量的文字表示:aABa向量的大小AB向量的長度AB向量的模ABABa或目前七頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點長度等于1個單位的向量,叫做單位向量.長度為0的向量叫做零向量,零向量的方向是可以任意的0記作.目前八頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點長度相等且方向相同的向量.相等向量:ABCD通過平移后重合的二個向量與起點無關(guān)或記作ab=abAB=CD單位向量是相等向量嗎？目前九頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點//ab方向相同或相反的非零向量平行向量:在同一直線上或通過平移后在同一直線上的二個向量記作abOc平行向量又稱為共線向量即兩向量所在的直線平行或重合abc目前十頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點規(guī)定零向量與任一向量平行,即對于任意向量,a都有//a0ab方向相反且長度相等的兩個向量相反向量:記作b=-ab=a目前十一頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點與相等的是:如圖,設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中與向量、、相等的向量.ABFCDEO與相等的是:與相等的是:OAOBOCOACBDODCEOABEDFOOBOC目前十二頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點根據(jù)下列條件,分別判斷四邊形ABCD的形狀:(1)//(2)=(3)=且||=

||梯形或平行四邊形平行四邊形菱形ADBCADBCABDCABAD若=,ADBC則ABCD構(gòu)成平行四邊形?目前十三頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點如圖:△ABC的三邊均不相等,E,F,D分別是AC,AB,BC的中點.(1)寫出與共線的向量;(2)寫出與的模大小相等的向量;(3)寫出與相等的向量;ABCEFD(1)(2)(3)EFEFEFFEBDDBDCCDBCCBFEBDDBDCCDDBCD目前十四頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點力的合成F1F2F2F1ABDCF1+F2目前十五頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點向量的加法aba+bABCD平行四邊形法則目前十六頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點abAabBCa+b三角形法則+=ABBCAC目前十七頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點如圖:已知平行四邊形ABCD中,++=()

BCDCBAABCDA.B.C.D.BDDBBCCB目前十八頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點兩種特例(兩向量平行)ABCba+b方向相同方向相反ABCa+babababa用文字表達上述結(jié)果目前十九頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點baba+abba+babacc如圖,已知,,,請作出+,+,+,+(+),(+)+.abcabbabcabcabc+ab+bca+(b+

c)(a+b)+c目前二十頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點向量加法的運算律交換律:a+b=b+a結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)目前二十一頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點想一想1.若兩向量互為相反向量,則它們的和為什么?2.零向量和任一向量的和為什么?a+(-a)=

.0aa+0=

.a目前二十二頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點3.,,之間的大小關(guān)系何時取得等號?≤a+ba+ba-bbaa+ba+b何時取得等號?≤a+ba-ba+b目前二十三頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點練一練根據(jù)圖示填空ABDEC目前二十四頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進行運輸.如圖,一艘船從長江南岸A點出發(fā),以的速度km/h向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為1km/h向東.(1)試用向量表示江水速度,船速以及船實際航行的速度;(2)求船實際航行的速度的大小與方向.目前二十五頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點船在靜水中的速度為20km/h,江水的速度為10km/h,若要垂直于水流的航線到達對岸,求船行進的方向.2010ABCD目前二十六頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點ABABabcaaABABABABABAB0aa+ba+ba目前二十七頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點向量的減法探究減去一個數(shù)等于加上一個數(shù)的相反數(shù),向量是否也有類似的運算法則呢?相反向量:與向量長度相等、方向相反的向量叫做的相反向量.記作:-規(guī)定:定義:目前二十八頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點已知如何作出注意:差向量“箭頭”指向被減向量OAB目前二十九頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點O作法:在平面內(nèi)任取一點O,連接BA,DC則已知向量,,,,求作向量-,-.ABCD作目前三十頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點B思考:OAOAB當(dāng)向量如何作出////目前三十一頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點在平行四邊形ABCD中,,.用,表示向量,.ABCD思考:若平行四邊形ABCD的對角線AC⊥BD時,則,滿足

.||=|||+|=|-|若,則平行四邊形ABCD為

.矩形目前三十二頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點如圖在任意四邊形ABCD中,E、F分別為AD、BC的中點,若=,=,求.ABCDEF目前三十三頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點設(shè)O是平行四邊形ABCD外一點,

若=,=,=,求.ABCDO設(shè)O是四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點,

若=,求證四邊形ABCD是平行四邊形.目前三十四頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點O平面內(nèi)一點A,B,C,O滿足||=||=||=1,

且∠AOB=∠BOC=∠COA=120?,求|

|.ABCD目前三十五頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點向量與向量有什么關(guān)系?已知非零向量試作出:

++

和(-

)+(-

)+(-

)OABC同理可得:那么向量與向量有什么關(guān)系?向量的數(shù)乘目前三十六頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點(1)向量的方向與的方向相同,向量的長度是的3倍.(2)向量的方向與的方向相反,向量的長度是的3倍實數(shù)l與向量的積是一個向量,記作l,它的長度和方向規(guī)定:(2)當(dāng)l>0時,l的方向與的方向相同；當(dāng)l<0時,l的方向與的方向相反；與共線的單位向量為

.ar||||ar目前三十七頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點實數(shù)與向量的積的運算律:計算(3)(2+3-)–(3-2+)(1)(-3)×4(2)3(+)-2(-)-

目前三十八頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點思考:有且僅有一個實數(shù)l,使得=l

共線向量基本定理為何要求為非零向量?向量與非零向量共線目前三十九頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點共線問題應(yīng)用分析在平行四邊形ABCD中,,.用,表示向量,.ABCDO目前四十頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點目前四十一頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點如圖:已知試判斷與是否共線．ABCDE目前四十二頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點在四邊形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a,b不共線,則四邊形ABCD為()

A.梯形 B.平行四邊形

C.菱形 D.矩形A=2目前四十三頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點設(shè)

,是兩個不共線的向量,判斷:A,B,C三點是否共線?OABC猜想A,B,C三點共線如何說明A,B,C三點共線目前四十四頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點如圖:O為平面上的任意一點,則A,B,C三點共線存在λ,μ,使=λ

+μ

且λ+μ=1OABC(O為平面上任意一點)若則

.目前四十五頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點(2)若G是△ABC的重心,則+=

;在△ABC中,D為BC

的中點,已知=a,則3+2+=

.(1)若D為BC

的中點,則=

;在△ABC中,已知=a,=b.(a+b)(a+b)0△ABC中的中線問題++=

.反之如何?2a目前四十六頁\總數(shù)四十九頁\編于二十三點已知P是△ABC內(nèi)一點,滿足