必修二第一章-《空間幾何體的三視圖和直觀圖》一校蔡遠(yuǎn)方

中國領(lǐng)先的個性化教育品牌PAGE精銳教育網(wǎng)站：精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義講義編號學(xué)員編號：年級：課時數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：學(xué)科教師：課題空間幾何體的三視圖和直觀圖授課日期及時段教學(xué)目的1.掌握斜二測畫法畫水平設(shè)置的平面圖形的直觀圖；

2.采用對比的方法了解在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形兩種方法的各自特點；教學(xué)內(nèi)容重難點突破1.一個幾何體的三視圖如下圖所示，那么這個幾何體是（）A．B．C．D．解析：由正視圖可排除A、B、D，選C．2.給出下列四個命題：=1\*GB3①平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點；=2\*GB3②空間圖形經(jīng)過中心投影后，平行線可能變成了相交的直線；=3\*GB3③在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比；=4\*GB3④空間幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式．上述命題中，正確命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4解析：由平行投影和中心投影的概念可知，以上四個命題均正確，選D．3.如下圖，是幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是．解析：利用還原法，根據(jù)三視圖畫出它的立體圖形．本題的立體圖形如上左圖所示，可知正確答案應(yīng)該是5個．填5．4.如下右圖是由四個相同的小立方體組成的立體圖形的正視圖和側(cè)視圖，那么原立體圖形可能是．(把下圖中正確的立體圖形的序號都填在橫線上)．解析：分別作出四個幾何體的正視圖和俯視圖，填=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④．5.如圖，設(shè)所給的方向為物體的正視方向，試畫出它的三視圖．（單位：cm）解：該幾何體的三視圖如下圖所示．6.用三個正方體，一個圓柱，一個圓錐的積木擺成如圖※所示的幾何體，其正視圖為()解析：正視圖的左上方應(yīng)該是一個三角形．選A．7.甲、乙、丙、丁四人分別面對面坐在一個四邊形桌子旁邊，桌上一張紙上寫著數(shù)字“9”，甲說他看到的是“6”，乙說他看到的是“”，丙說他看到的是“”，丁說他看到的是“9”，則下列說法正確的是()A.甲在丁的對面，乙在甲的左邊，丙在丁的右邊B.丙在乙的對面，丙的左邊是甲，右邊是乙C.甲在乙的對面，甲的右邊是丙，左邊是丁D.甲在丁的對面，乙在甲的右邊，丙在丁的右邊解析：易得甲、乙、丙、丁四人位置如下圖所示，選D．例8利用斜二測畫法得到的①三角形的直觀圖一定是三角形；②正方形的直觀圖一定是正方形；③等腰梯形的直觀圖一定是等腰梯形；④平行四邊形的直觀圖一定是平行四邊形．以上結(jié)論正確的是（） A.①② B.①④ C.③④ D.①②③④解析:依據(jù)斜二測畫法的要求，平行于軸的線段，在直觀圖中的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，則正方形的直觀圖不是正方形，等腰梯形的直觀圖不是等腰梯形．故②③錯誤，①④正確，選B．評注:斜二測畫法保持平行性和相交性不變，即平行直線的直觀圖仍是平行直線，相交直線的直觀圖仍是相交直線．例9一個水平放置的平面圖形的斜二側(cè)直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是（）A．B．C．D．解析：如圖，在直觀圖A′B′C′D′中，C′D′＝A′D′＝1、，因此，在原平面圖ABCD中，AB＝、CD＝1，AD＝2．故梯形ABCD的面積．選D．評注:用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形的直觀圖的面積是原圖形面積的倍或．本題可以用該結(jié)論解為：由已知可得等腰梯形的高為、下底長為、其面積為，根據(jù)結(jié)論，有原平面圖形的面積為．例10如圖1，表示水平放置的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則的邊上的高為．圖1圖2解析：如圖2，過作平行于軸，交點為，則在中，==，所以的邊上的高為．填．評注:要求實際圖形的高，需在直觀圖中過頂點作與軸的平行線，求出其長度，再將所求長度變?yōu)閮杀都纯桑鋵嵱山Y(jié)論，原三角形的高是直觀圖中的三角形高的倍即可得到．例11用斜二測畫法作出長為3cm、寬為4cm的矩形的直觀圖．分析：用斜二測畫法，即在已知圖形所在的空間中取水平平面，作軸，軸使，然后依據(jù)平行投影的有關(guān)性質(zhì)逐一作圖．解：（1）在矩形ABCD中取AB、AD所在邊分別為軸與軸，相交于O點（O與A重合），畫對應(yīng)軸、軸使；（2）在軸上取A′、B′使A′B′=AB，在軸上取D′，使A′D′=AD，過D′作D′C′平行軸的直線，且等于DC的長；（3）連結(jié)C′B′，所得的四邊形A′B′C′D′就是矩形ABCD的直觀圖．評注：要盡量運用原有直線為坐標(biāo)軸或圖形的對稱直線為坐標(biāo)軸，或利用圖形的對稱點為原點或原有垂直正交的直線為坐標(biāo)軸．例11畫出底面是正五邊形且側(cè)棱與底面垂直的五棱柱的直觀圖，使底面邊長為3cm側(cè)棱長為5cm．分析：先畫個正五邊形，再利用斜二測畫法作底面為正五邊形的直觀圖，而后沿平行于軸方向平移即可得．解：作法如下： （1）畫軸：畫、、軸，記坐標(biāo)原點為，使； （2）畫底面：建立直角坐標(biāo)系，按軸、軸畫正五邊形的直觀圖； （3）畫側(cè)棱：過各點分別作軸的平行線，并在這些平行線上分別截取，使它們都等于5cm； （4）成圖：順次連結(jié)，并加以整理，去掉輔助線，改被遮擋的部分為虛線，就得到原幾何體的直觀圖．評注：(1)用此方法可以依次畫出棱錐、棱柱、棱臺等多面體的直觀圖；(2)用斜二測畫法作立體圖形的直觀圖，原圖形的高在直觀圖中不變；(3)畫幾何體的直觀圖時，如果不做嚴(yán)格要求，圖形尺寸可以適當(dāng)選取，用斜二測畫法畫圖的角度可以自定，但是要求圖形具有一定的立體感．課堂練習(xí)1、畫出水平放置的等邊三角形的直觀圖.

解：畫法，如圖：

(1)在三角形ABC中，取AB所在直線為x軸，AB邊的高所在直線為y軸；畫出相應(yīng)的軸和軸，兩軸交于點，且使；

(2)以為中點，在軸上取，在軸上??；

(3)連接、，并擦去輔助線軸和軸，便獲得正△ABC的直觀圖△.

斜二測畫法的作圖技巧：

1.在已知圖中建立直角坐標(biāo)系，理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都行，但實際作圖時，一般建立特殊的直角坐標(biāo)系，盡量運用原有直線為坐標(biāo)軸或圖形的對稱軸為坐標(biāo)軸，以線段的中點或圖形的對稱點為原點；

2.在原圖中平行于軸和軸的線段在直觀圖中仍然平行于軸和軸，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點再連線，畫端點時利用與坐標(biāo)軸平行的線段；

3.畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要再畫一條與平面垂直的軸，平行于軸的線段長度保持不變.

舉一反三：

【變式1】等腰梯形ABCD，上底邊CD=1，腰，下底AB=3，按平行于上下底邊取x軸，則直觀圖的面積是多少？

思路點撥：由平面圖準(zhǔn)確的畫出直觀圖是解題的關(guān)鍵；

解：

1.以等腰梯形的下底邊所在直線為x軸，以過D點的高所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系；過C點做垂直于AB的直線與AB相交于點E；∵DC=1，，AB=3，∴AO=OE=EB=DO=1；

2.建立坐標(biāo)系，，在軸上取，且，，在軸上取線段；過點做；連接和，則梯形為等腰梯形ABCD的直觀圖；

3.過點做垂直于下底邊的垂線段，則△為等腰直角三角形，斜邊，所以梯形的高；

4.梯形面積.

【變式2】正方形的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是多少？

思路點撥：由直觀圖畫原圖的過程與原圖畫直觀圖的過程相反，即

1.直觀圖中平行于軸和軸的線段在原圖中分別為平行于軸和軸的線段；

2.直觀圖中平行于軸的線段，在原圖中保持長度不變；平行于軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼膬杀?

解：

1.建立平面直角坐標(biāo)系，在x軸上?。?/p>

2.為正方形的對角線，且在軸上，則，所以在y軸上取；

3.取，且平行于x軸；

4.連接AB、CO，所得圖形OABC即為直觀圖的原圖；四邊形OABC為平行四邊形；

5.因為，，由勾股定理，BA=3，所以平行四邊形OABC周長為8.

例2、一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，試建立容器的容積V與底邊邊長x的函數(shù)關(guān)系式.

解：如圖，在中，，，

所以，.

3、一個正三棱柱的三視圖如圖所示，求這個正三棱柱的表面積.

解：由三視圖知正三棱柱的高為2mm.

由左視圖知正三棱柱的底面三角形的高為.

設(shè)底面邊長為a，則，∴.

∴正三棱柱的表面積為

.五、課堂小結(jié)1.用來表示空間圖形的平面圖形叫作空間圖形的直觀圖；

2.用斜二測畫法畫平面圖形的步驟：

(1)建系：在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系，畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的軸和軸，兩軸交于點，且使(或)；

(2)位置關(guān)系：已知圖形中平行于軸和軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于軸和軸的線段；

(3)長度規(guī)則：已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?

六、課后作業(yè)A組1.下列關(guān)于斜二測畫法畫直觀圖說法，不正確的是（）A．在實物圖中取坐標(biāo)系不同，所得的直觀圖有可能不同B．平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標(biāo)軸C．平行于坐標(biāo)軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變D．斜二測坐標(biāo)系取的角可能是135°解析：平行于軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼亩种?，選C．2.如圖所示的直觀圖表示的平面圖形為（）A.等腰直角三角形 B.銳角三角形C.非等腰直角三角形 D.不能確定解析：與軸平行，可判定平面圖形為直角三角形，但非等腰直角三角形，選C．3.已知的平面直觀圖是邊長為的正三角形，那么原的面積為．解析：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，正三角形的邊長是原三角形的底邊長，如圖，過作軸的平行線與軸交于點，則；又是原的高的直觀圖，所以=，故．填．4.下列說法中:①角的水平放置直觀圖一定是角；②相等的角在直觀圖中仍然相等；③兩條相交直線的直觀圖可能平行；④水平放置的正方形的直觀圖可能是梯形；⑤)互相垂直的兩條直線的直觀圖仍然互相垂直．其中正確的是．解析:對于①，角在直觀圖中仍是角，只不過是大小變了；對于②，相等的角在直觀圖中未必相等；對于③，相交直線的直觀圖仍然相交；對于④，水平放置的正方形的直觀圖是平行四邊形；對于⑤互相垂直的兩條直線的直觀圖變成夾角為的兩條相交直線．填①．5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正六邊形，請畫出相應(yīng)空間圖形的直觀圖．解析:(1）畫軸：畫、、軸，記坐標(biāo)原點為，使，．（2）畫底面：建立直角坐標(biāo)系，按軸、軸畫正六邊形的直觀圖．（3）畫側(cè)棱：過各點分別作軸的平行線，并在這些平行線上分別截取，使它們長度相等，如圖(1)．（4）成圖：順次連結(jié)，并加以整理，去掉輔助線，將被遮擋的部分為虛線，就得到正六棱柱的直觀圖，如圖(2)．(1)(2)B組1.在斜二測畫法中，與坐標(biāo)軸不垂直的線段的長度在直觀圖中（）A.變大 B.變小 C.可能不變 D.一定改變解析:由斜二測畫法的畫圖規(guī)則知，選C．2.如圖所示，是水平放置的的直觀圖，則在的三邊及中線AD中，最長的線段是()A.AB B.AD C.BC D.AC解析:由斜二測畫法的畫圖規(guī)則知為直角三角形，且為斜邊，選D．