連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

2.4~2.5連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度小結(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義概率密度的性質(zhì)三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過(guò)給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.

下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.如果X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x)

為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為概率密度.一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義有,使得對(duì)任意實(shí)數(shù)

,

對(duì)于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在上連續(xù)二、概率密度的性質(zhì)12

f(x)xo面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某r.vX的概率密度的充要條件利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2,(x1<x2),

若f(x)在點(diǎn)x

處連續(xù),則有

故X的密度f(wàn)(x)在x這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則對(duì)f(x)的進(jìn)一步理解:若不計(jì)高階無(wú)窮小，有表示隨機(jī)變量X

取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個(gè)高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.

f(x)xoa(1)連續(xù)型r.v取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即這是因?yàn)檎?qǐng)注意:當(dāng)時(shí)得到(2)對(duì)連續(xù)型r.vX,有由P(B)=1,不能推出

B=?由P(A)=0,不能推出1.均勻分布則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X

～U(a,b)三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量若r.vX的概率密度為：記作公交馳線路上兩梳輛公捐共汽啟車前歷后通拍過(guò)某片汽車迎停車堪站的你時(shí)間汁，即絹乘客積的候赤車時(shí)孩間等.均勻顏分布紅常見(jiàn)勻于下鋼列情絲式形：如在鋪數(shù)值唉計(jì)算鑒中，島由于項(xiàng)四舍納五幟入，包小數(shù)躲點(diǎn)后款某一濟(jì)位小催數(shù)引仗入的制誤差憶；例2某公攻共汽密車站限從上登午7時(shí)起峽，每15分鐘錫來(lái)一舟班車鉆，即7:授00，7:純15，7:及30霜,纖7來(lái):4儉5等時(shí)拋刻有彩汽車筐到達(dá)全此站晝，如紹果乘奔客到龍達(dá)此絞站時(shí)裕間X是7:講00到7:于30之間組的均休勻隨脅機(jī)變叼量,試求伙他候聞車時(shí)鞋間少蘆于5分鐘喝的概檔率.解依題呼意，X～U(睛0,節(jié)3墓0蛾)以7:吳00為起點(diǎn)0，以沉分為掩單位為使孔候車美時(shí)間X少于5分鐘順，乘能客必扇須在7:嶄10到7:匠15之間仆，或協(xié)在7:牙25到7:宴30之間簡(jiǎn)到達(dá)臺(tái)車站.所求在概率旦為：即乘認(rèn)客候羅車時(shí)幫間少器于5分鐘饑的概錢率是1/讓3.從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即

7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，指數(shù)丙分布敏常用腎于可鴨靠性黎統(tǒng)計(jì)火研究醋中，狹如元昨件的國(guó)壽命畝.2邀.指數(shù)燥分布若危r臂.vX具有早概率站密度為常數(shù),則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.若X服從租參數(shù)保為的指數(shù)妥分布,擋則其分布祖函數(shù)為事實(shí)燈上,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),3.正態(tài)去分布若連炸續(xù)型坦r爪.污vX的概率糾密度瘡為記作其中和(>0)都是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布或高斯分布.事實(shí)撓上,則有曲線關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少,在取得最大值；x=μ

σ為f(x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；當(dāng)x→∞時(shí)，f(x)→0.f(x)以x軸為漸近線根據(jù)塔對(duì)密借度函纖數(shù)的雄分析圣，也娃可初副步畫戲出正康態(tài)分爹布的劉概率惹密度幻玉曲線鐮圖.決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布

的圖形特點(diǎn)

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是正態(tài)紹分布玻的分變布函舌數(shù)正態(tài)貧分布舅由它態(tài)的兩假個(gè)參載數(shù)μ和σ唯一扮確定襲，袍當(dāng)μ和σ不同丘時(shí)，慢是不窗同的透正態(tài)禮分布燒。標(biāo)準(zhǔn)臟正態(tài)喂分布下面允我們蒸介紹董一種聽(tīng)最重政要的料正態(tài)激分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標(biāo)準(zhǔn)粉正態(tài)茫分布的性煤質(zhì):事實(shí)形上,標(biāo)準(zhǔn)眾正態(tài)堆分布洽的重鵲要性在于西，任大何一召個(gè)一鍬般的予正態(tài)礙分布款都可歐以通昂過(guò)線磚性變把換轉(zhuǎn)企化為枕標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坑分布.定理1證Z的分曾布函嫌數(shù)為則有根據(jù)拔定理1,只要趕將標(biāo)扒準(zhǔn)正水態(tài)分秩布的勿分布如函數(shù)鴿制成晨表，店就可富以解飽決一蓮般正小態(tài)分沒(méi)布的逢概率艇計(jì)算翻問(wèn)題.于是書末躲附有盜標(biāo)準(zhǔn)炭正態(tài)掘分布孤函數(shù)構(gòu)數(shù)值趴表，姻有了饞它，鄉(xiāng)豐可以洽解決拋一般巖正態(tài)損分布賴的概還率計(jì)金算查淹表.正態(tài)更分布系表當(dāng)x<鳴0時(shí),表中撐給的熔是x>0時(shí),Φ(x)的值濫.若若X～N(0枝,1潑),~N(0,1)

則由標(biāo)袖準(zhǔn)正監(jiān)態(tài)分鹿布的置查表及計(jì)算訊可以擁求得肝，這說(shuō)調(diào)明，X的取委值幾臥乎全達(dá)部集僚中在[-3,秘3]區(qū)間內(nèi)，駝超出屢這個(gè)迎范圍慶的可慶能性遣僅占抽不到0.碑3%.當(dāng)X～N(0叢,1緞)時(shí)，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974

3準(zhǔn)則將上塑述結(jié)耳論推和廣到鹽一般他的正用態(tài)分恰布,可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”.~N(0,1)

時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)設(shè)若數(shù)滿足條件則稱點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn).解P(X≥者h(yuǎn))≤農(nóng)0.榜01或P(X<h)≥0.儀99，下面標(biāo)我們螺來(lái)求馳滿足英上式?jīng)]的最詳小的h.看一劑個(gè)應(yīng)彼用正質(zhì)態(tài)分糊布的華例子:例公共搶汽車蠟車門此的高渠度是平按男傲子與吵車門衰頂頭腎碰頭朵機(jī)會(huì)木在0.嚇01以下斥來(lái)設(shè)菜計(jì)的.設(shè)男載子身醫(yī)高X～N(17闊0,62),問(wèn)車符門高哈度應(yīng)過(guò)如何王確定?設(shè)車閃門高符度為hcm,按設(shè)真計(jì)要糾求因?yàn)閄～N(17仿0,62),故P(X<h)=查表得(2.33)=0.9901>0.99因而=2.33,即

h=170+13.98184設(shè)計(jì)曬車門料高度位為18桶4厘米沉?xí)r，囑可使男子低與車群門碰傾頭機(jī)會(huì)導(dǎo)不超園過(guò)0.曠01.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.所以.這一舍節(jié)，雅我們鴉介紹減了連范續(xù)型