新教材人教A版必修第二冊(cè)第8章841平面學(xué)案

8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解平面的概念，把握平面的畫法及表示方法．(難點(diǎn))2．能用符號(hào)語(yǔ)言描述空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．(重點(diǎn))3．能用圖形、文字、符號(hào)三種語(yǔ)言描述三個(gè)公理，理解三個(gè)公理的地位與作用．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1．通過(guò)對(duì)平面有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培育直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．通過(guò)平面根本性質(zhì)的應(yīng)用，培育規(guī)律推理、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．安靜的湖面、海面，生活中的課桌面、黑板面，一望無(wú)垠的草原給你什么樣的感覺(jué)？問(wèn)題：(1)生活中的平面有大小之分嗎？(2)幾何中的“平面〞是怎樣的？學(xué)問(wèn)點(diǎn)1平面平面的描述性概念幾何里所說(shuō)的“平面〞，就是從生活中一些物體中抽象出來(lái)的．平面是向四周無(wú)限延展的畫法水平放置常把平行四邊形的一邊畫成橫向豎直放置常把平行四邊形的一邊畫成豎向記法(1)用希臘字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角內(nèi)(2)用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱，如平面ABCD(3)用代表平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱，如平面AC，平面BD1．一個(gè)平面能否把空間分成兩局部？[提示]由于平面是無(wú)限延展的，所以一個(gè)平面能把空間分成兩局部．1．以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是________．(填序號(hào))(1)平面的外形是平行四邊形；(2)任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面；(3)兩個(gè)平面相交的畫法中，一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮住時(shí)，被遮局部的線段應(yīng)畫成虛線或不畫；(4)三角形、圓、平行四邊形都可以表示平面．(3)(4)[(1)不正確．平面常用平行四邊形表示，但不是平行四邊形，平面是無(wú)限延展的．(2)不正確．平面圖形與平面是兩個(gè)不同的概念，平面圖形具有大小、面積等屬性，而平面那么沒(méi)有，平面是無(wú)限延展的，不行度量的．(3)正確．符合直觀圖畫法的規(guī)那么．(4)正確．三角形、圓、平行四邊形都是平面圖形，都可以表示平面．]學(xué)問(wèn)點(diǎn)2點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系文字語(yǔ)言表達(dá)圖形語(yǔ)言表達(dá)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)點(diǎn)A在直線l上A∈l點(diǎn)B在直線l外B?l點(diǎn)A在平面α內(nèi)A∈α點(diǎn)P在平面α外P?α直線l在平面α內(nèi)l?α直線l不在平面α內(nèi)l?α平面α與β相交于直線lα∩β＝l2．如圖，點(diǎn)A________平面ABC；點(diǎn)A________平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________．[答案]∈??BC學(xué)問(wèn)點(diǎn)3平面的根本領(lǐng)實(shí)及推論(1)根本領(lǐng)實(shí)：根本領(lǐng)實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)根本領(lǐng)實(shí)1過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α根本領(lǐng)實(shí)2假如一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α根本領(lǐng)實(shí)3假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)根本領(lǐng)實(shí)1的推論．①②③推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(圖①)．推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面(圖②)．推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面(圖③)．2．(1)如何理解根本領(lǐng)實(shí)1中的“有且只有一個(gè)〞？(2)兩個(gè)不重合的平面可能存在有限個(gè)公共點(diǎn)嗎？(3)假如兩個(gè)不重合的平面有很多個(gè)公共點(diǎn)，那么這些公共點(diǎn)有什么特點(diǎn)？[提示](1)這里的“有〞是說(shuō)圖形存在，“只有一個(gè)〞是說(shuō)圖形唯一，本公理強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性兩個(gè)方面，因此“有且只有一個(gè)〞，必需完整地使用，不能僅用“只有一個(gè)〞來(lái)代替“有且只有一個(gè)〞，否那么就沒(méi)有表達(dá)存在性．確定一個(gè)平面中的“確定〞是“有且只有一個(gè)〞的同義詞，也就是存在性和唯一性這兩個(gè)方面的，這個(gè)術(shù)語(yǔ)今后學(xué)習(xí)中會(huì)常常消失．(2)不能．要么沒(méi)有公共點(diǎn)，要么有很多個(gè)公共點(diǎn)．(3)這些公共點(diǎn)落在同一條直線上．3．空間任意四點(diǎn)最多可以確定平面的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4D[空間任意四點(diǎn)最多可以確定平面的個(gè)數(shù)是4，例如空間任意四點(diǎn)為三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)時(shí)，可以確定平面ABC，平面ABD，平面ACD，平面BCD．]類型1立體幾何三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化【例1】用符號(hào)表示以下語(yǔ)句，并畫出圖形．(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點(diǎn)A，B；(2)點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C，點(diǎn)C不在直線AB上．[解](1)用符號(hào)表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．(2)用符號(hào)表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先認(rèn)真觀看圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．(2)要留意符號(hào)語(yǔ)言的意義．如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈〞或“?〞，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?〞或“?〞．(3)由符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要留意實(shí)線和虛線的區(qū)分．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．用符號(hào)語(yǔ)言表示以下語(yǔ)句，并畫出圖形：(1)三個(gè)平面α，β，γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC．[解](1)符號(hào)語(yǔ)言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示：如圖①．(2)符號(hào)語(yǔ)言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示：如圖②．類型2點(diǎn)、線共面問(wèn)題【例2】如圖，：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α．[解]∵PQ∥a，∴PQ與a確定一個(gè)平面β．∴直線a?β，點(diǎn)P∈β．∵P∈b，b?α，∴P∈α．又∵a?α，∴α與β重合．∴PQ?α．解決點(diǎn)線共面問(wèn)題的根本方法eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．求證：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)．[解]：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求證：直線AB，BC，AC共面．證明：法一：由于AC∩AB＝A，所以直線AB，AC可確定一個(gè)平面α．由于B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC?α．因此直線AB，BC，AC都在平面α內(nèi)，所以直線AB，BC，AC共面．法二：由于A不在直線BC上，所以點(diǎn)A和直線BC可確定一個(gè)平面α．由于B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB?α．同理AC?α，故直線AB，BC，AC共面．法三：由于A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，所以A，B，C三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面α．由于A∈α，B∈α，所以AB?α，同理BC?α，AC?α，故直線AB，BC，AC共面．類型3點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題【例3】如圖，平面α，β，且α∩β＝l．設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β．求證：AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn))．1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)A1C∩平面ABC1D1＝E．能否推斷點(diǎn)E在平面A1BCD[提示]如圖，連接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1∵A1C?平面A1BCD1∴E∈平面A1BCD1．2．上述問(wèn)題中，你能證明B，E，D1三點(diǎn)共線嗎？[提示]由于平面A1BCD1與平面ABC1D1交于直線BD1，又E∈BD1，依據(jù)根本領(lǐng)實(shí)3可知B，E，D1三點(diǎn)共線．[證明]由于梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰．所以AB，CD必定相交于一點(diǎn)．設(shè)AB∩CD＝M．又由于AB?α，CD?β，所以M∈α，M∈β．所以M∈α∩β．又由于α∩β＝l，所以M∈l．即AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn))．本例變?yōu)椋喝缦聢D，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，假如EF，GH交于一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在直線BD上．[證明]假設(shè)EF，GH交于一點(diǎn)P，那么E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，又由于EF?平面ABD，GH?平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由根本領(lǐng)實(shí)3可得P∈BD．所以點(diǎn)P在直線BD上．1．證明三點(diǎn)共線的方法(1)首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，依據(jù)根本領(lǐng)實(shí)3可知，這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上．(2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在此直線上．2．證明三線共點(diǎn)的步驟(1)首先說(shuō)明兩條直線共面且交于一點(diǎn)．(2)說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)在另兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)平面相交．(3)得到交線也過(guò)此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn)．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．三個(gè)平面α，β，γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝α，γ∩α＝b，假設(shè)直線a和b不平行，求證：a，b，c三條直線必相交于同一點(diǎn)．[證明]如圖，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ．∵直線a和b不平行，∴a，b必相交．設(shè)a∩b＝P，那么P∈a，P∈b．∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α．又α∩β＝c，∴P∈c．故a，b，c三條直線必相交于同一點(diǎn)．1．以下空間圖形畫法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()ABCDD[遮擋局部應(yīng)畫成虛線或不畫，故D錯(cuò)．]2．假如點(diǎn)A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在平面α內(nèi)，那么可以表示為()A．A?a，a?α，B∈αB．A∈a，a?α，B∈αC．A?a，a∈α，B?αD．A∈a，a∈α，B∈αB[點(diǎn)A在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在平面α內(nèi)，表示為A∈a，a?α，B∈α．]3．以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A．鏡面是一個(gè)平面B．一個(gè)平面長(zhǎng)10m，寬5mC．一個(gè)平面的面積是另一個(gè)平面面積的2倍D．全部的平面都是無(wú)限延展的D[鏡面可以抽象成平面，但不是平面，所以選項(xiàng)A不正確；平面沒(méi)有大小，所以選項(xiàng)B和選項(xiàng)C都不正確，應(yīng)選D．]4．不重合的三條直線，假設(shè)相交于一點(diǎn)，最多能確定________個(gè)平面．3[三條直線相交于一點(diǎn)，最多可確定3個(gè)平面，如下圖，直線a，b，c相交于點(diǎn)A，直線a，b確定平面α，直線b，c確定平面β，直線a，c確定平面γ，共3個(gè)平面．]5．如圖，D，E是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，平面