2018網(wǎng)校概率統(tǒng)計基礎(chǔ)講義

第一章隨機(jī)與概若AB且BA，稱兩相等，記AB。ABABBAABABBAAB1（1）ABA(或B)AB （2）ABBA,ABBA2（1）AAAAAA（2）A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC)3（1）A(AB)A （2）(AB)AABABABABBA4（1）AA 2P(1（歸一性 列，則P(Ak)P(Ak) 3PA1PA4（減法）P(AB)P(A)P(AB)（1）PAB)PAP(BPAB（2）PABC)PAP(BP(CPABPACP(BCPABC ，且P(A)0，則P(B|A)P(AB)P(PA0PABPA)P(B|AP(AB)P(P(AC)P(P(BC)2、三 的獨(dú)立—設(shè)A,BP(BC)四、全概率與Bayes j)nnP(BPAi)P(B|Ai ，P(B)0，則P(A|B)P(Ai)P(B|Ai)。 1PA0.4,PAB0.7 （2 2、設(shè)P(A)P(B)P(C)1,P(AB)P(AC)P(BC)1， A,B,C全不 3、設(shè)兩兩相互獨(dú)立 A,B,C滿足：ABC,P(A)P(B)P(C)1，且2P(ABC)

，則P(A) 4、 A,B滿足P(AB)P(AB)，且P(A)p，則P(B) 1概率與A不發(fā)生B發(fā)生的概率相等，則P(A)

91、設(shè)A,B是兩個隨機(jī)，且0P(A)1,P(B)0,P(B|A)P(B|A)，則 (A)P(A|B)P(A|B) (B)P(A|B)P(A|B)(C)PAB)PA)P(B (D)PAB)PA)P(B2、設(shè)A,B滿足0P(A)1,0P(B)1，且P(A|B)P(A|B)1，則 (B)A,B相互獨(dú)立(C)A,B不相互獨(dú)立； 1、隨量—設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，為定義在上的函數(shù)，對任意（1）0F(x)1 （2）F(x)單調(diào)不減F(x)右連續(xù) （4）F()0,F()1（1）P{Xa}F(a0) （2）P{Xa}F(a)F(a0)（3）P{axbF(bF(a（4）P{aXbF(b0F(a3、離散型隨量的分布律—稱P{Xxi}pi(1in)稱為隨量X的分布律【注解】（1）pi0(1in。（2）p1p2pn1xF(x)f(t)dt，稱f(x)X的密度函數(shù)。x【注解（1）f(x)0 f(x)dx1n1、二項(xiàng)分布—若隨量X的分布律為P{Xk}Ckpk(1p)nk(0kn)，稱隨機(jī)X服從二項(xiàng)分布，記為X~B(n,p。nk2、Poisson分布—若隨量X的分布律為P{Xk}

XX~Gp

,ax 量的密度函數(shù)為f(x)b0,xx

勻分布，記為~U(ab)F(x

axb 量的密度函數(shù)為f(x)

22(x

2(x(x 3、指數(shù)分布—若隨量的密度為f 0,x0,x

0)，稱隨量服從指。11 ,(a)1(a)2 2

b

a

2、設(shè)隨量X的密度函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，其分布函數(shù)為F(x)， (B)F(a)2F(a)1(C)F(a1af(x)dx (D)F(a)1af(x)dx 3、設(shè)X~N(,42),Y~N(,52)，令pP{X4},qP{Y5}，則 (B)對任意實(shí)數(shù)都有pq(C)對個別，才有pq (D)對任意實(shí)數(shù)，都有pq A單調(diào)增大；(B單調(diào)減少；(C保持不變；(D1、設(shè)X~N(,2),方程y24yX0無實(shí)根的概率為1,則 22、設(shè)X~B(2,p),Y~B(3,p),若P{X1}5,則P{Y1} 9（1）X的分布律；（2）20,x0.3,1x 量X的分布函數(shù)為F(x)0.7,1x

Aex,x3、設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)B,0x （1）AB；（2）f(x；（3）P{X4、設(shè)X~U(0,2)，求隨量YX2的概率密度5、設(shè)X~N(0,1)，且YX2，求隨量Y的概率密度

1}31、聯(lián)合分布函數(shù)—設(shè)(X,Y)為二維隨量，稱F(x,y)P{Xx,Yy}為(X,Y)的聯(lián)P{Xxi,Yyj}pij(i1,2,,m,j1,2,,為X,Y P{Xxi}pijpi(i1,2,,m),P{Yyj}pijpj(j1,2,, 、連續(xù)型隨量的聯(lián)合密度函數(shù)—設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨量，若存在 f(x,y)0，使得F(x,y)P{Xx,Yy} xdu

f(uv)dvf(xy)量X,Y fX(x)f(x,y)dy,fY(y)f(x,（1）0F(xy1（2）F(xyxyF(,0,F(,0,F(,0,F(,1。1,(x,y)f(xy f(x,y)

x1

y2112(111

)

1 {Yyj}發(fā)生的情況下 {Xxi}發(fā)生的條件概率P{Xxi|Yyj}pj(i1,2,)2、設(shè)P{Xxi}0， {Xxi}發(fā)生的情況下 {Yyj}發(fā)生的條件概率P{Y

|Xxpijj1,2, 1、設(shè)f(y)0，則在“Yy”的條件下，X的條件概率密度為 (x|y)f(x,y)f fY

2、設(shè)f(x)0，則在“Xx”的條件下，Y的條件概率密度為 (y|x)f(x,y)X

fXf

1、定義—設(shè)(X,Y)為二維隨量，若對任意的x,y都有F(x,y)FX(x)FY(y)，稱隨量X,Y相互獨(dú)立。pijpipj(i1,2,j1,2,f(xyfX(xfYy（可以除去有限個點(diǎn)【注解】若(X,Y)為二維連續(xù)型隨量，求(X,Y)的分布或數(shù)字特征時常需要使用聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)，一般有如下三種情況：f(xy（若其中含參數(shù)，用歸一性求出X,YX,Yf(xy)fX(xfYyX的邊緣分布已知，且Yf(xy)fX(xfY|Xy|x。情形一：設(shè)(X,Y)為離散型隨量，Z(X,Y)，則Z為離散型隨 P{XY0}1(C)P{XY0}1；2

P{XY1}1(D)P{XY1}121、設(shè)X,Y為兩個 量，且P{X0,Y0}3,P{X0}P{Y0}4， P{maxX,Y0} 義如下兩個隨量：X

,Y Ae(x2y),x0,y2、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y) （1）A；（2）X,Y的分布函數(shù)；（3）ZX2YP{X2Y1}及P{XY} （1）Zmax{X,Y}Z的密度函數(shù)。（2）Zmin{X,Y}Z第四章隨量的數(shù)字特1XP{Xxkpk(k1,2,EXxkpk EXxf(x)dxP{Xxi,Yyjpij(i1,2,;j1,2,ZX,YEZ(xiyjpiji1j4、二維連續(xù)型隨量的數(shù)學(xué)期望—設(shè)二維連續(xù)型隨量(X,Y)的密度為f(x,y) ZX,YEZdx(xyf(xy)dy1、E(C)C 2、E(kX)kEX 3、E(XY)EXEY4E(aXbYaEXbEY5、若隨量X,Y相互獨(dú)立，則E(XY)EXEY。（一）DXEXEX)2（二）方差的計算—DXEX2(EX)21、D(C)0 2、D(kX)k2DX3、設(shè)隨量X,Y相互獨(dú)立，則D(XY)DXDY，D(aXbY)a2DXb2DY。1X~B(npEXnpDXnpq3X~U(a,bEX

a2

,DX

o4X~N(,2EXDX2。1CovX,YEXEX)(YEY

cov(X,Y)，若

1、Cov(X,X)DX 2、若X,Y獨(dú)立，則Cov(X,Y)03、Cov(X,Y)Cov(Y,X) 4、Cov(aX,bY)abCov(X,Y)5、Cov(aXbYZaCovXZbCov(YZ6DXYDXDY2CovX,Y1、設(shè)隨量X,Y相互獨(dú)立，且DX3,DY2，則D(3X2Y) 2、 量X~E()，則P{X DX} 1 )，則E|XY ,D|XY 2、設(shè)X10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射擊命中概率為0.4EX2 量X的密度為f(x) 1ex22x1，則EX ,DX 6、設(shè)隨量X服從參數(shù)為的泊松分布，且E[(X1)(X2)]1，則 1、設(shè)Y~E(1)

0,Yk(k1,2)1,Y（1）求X1X2的聯(lián)合分布律；（2）EX1X2 1 12、設(shè)X與Y的概率分布為X~ 1,Y~ 1，且P{XY0}1 4 2求X,Y的聯(lián)合分布律 （2）問X,Y是否相互獨(dú)立？為什么

U~U[2,2],X1,U1,U

,Y1,U1X,Y的聯(lián)合分布律 （2）D(XY) 5Xf(x2cos2,0xX4Y3第五章大數(shù)定律與中心極限定理P{|XEX|DXP{|XEX|1DX （車比雪夫大數(shù)定律）設(shè)隨量X1,X2,,Xn,相互獨(dú)立，DXi存在1 1iDXiM0(i1,2,)，則對任意的0，有l(wèi)im X i n n 2（獨(dú)立同分布）XX,X,EXDX2( 則對任意的0，有l(wèi)im

1

n3 的0，有l(wèi)im

1

n4 limP{|1 n

1（Levy-Lindberg中心極限定理）設(shè)隨量序列X1,X2,,Xn,獨(dú)立同分布， ii

x}

xe2dtnp(1limP{Xnnpnp(1

xe2dt1、設(shè)隨量X~E(5)，用 不等式估計P|X5|3} X~N(0,42Y~2,52)X,YP{|XY2|4} 第六章數(shù)理統(tǒng)計基本概念 1 n1、樣本均值—X Xi n

XiX)nn1 n3、樣本的k階原點(diǎn)矩—Ak Xi,k1,2,n1 n4、樣本的k階中心矩—Bk (XiXn

k1,2,定義—設(shè)隨量X1,X2,,Xn相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則稱隨 1）X~2(nEXnDX2n2、t設(shè) 量X~N(0,1),Y~2(n)，且X,Y相互獨(dú)立，則稱 量t n的t分布，記為t~t(n3F（1）定義—設(shè)隨量X~2(m),Y~2(n)，且X 相互獨(dú)立，則稱 FXmmnFF~F(mnY/1F~F(mnF

~F(nm X~N(,2XX,X 21、X~N

X

n 2、X~t(n1)n (n 3、2(XiX)

~(n1)。4

2(Xi

~(n5、ES22。 6、X與S2獨(dú)立。

1 S1n1(XiX

,S2 (XiX)nn

1 S3n1(Xi

,S4 (Xi)nnS3 S4 S3 S4

X；

X

； X； X n S2/n2、設(shè)X1X2X3X4是來自正態(tài)總體X~N(0,4) UaX2