專題12 圓的基本性質(zhì)-全國(guó)初三數(shù)學(xué)自主招生專題大揭秘（含答案詳解）

專題12圓的基本性質(zhì)一．選擇題（共4小題）1．（2021?黃州區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，已知⊙O上的兩條弦AC和BC互相垂直于點(diǎn)C，點(diǎn)D在弦BC上，點(diǎn)E在弦AC上，且BD＝AE，連接AD和BE，點(diǎn)P為BE中點(diǎn)，點(diǎn)Q為AD中點(diǎn)，射線QP與線段BC交于點(diǎn)N，若∠A＝30°，NQ＝，則DQ的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．42．（2020?郎溪縣校級(jí)自主招生）如圖，將⊙O沿著弦AB翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心O．如果半徑為4，那么⊙O的弦AB長(zhǎng)度為（）A．2 B．4 C．2 D．43．（2020?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，BC＝CD，連接AC．若∠DAB＝50°，則∠B的度數(shù)為（）A．50° B．65° C．75° D．130°4．（2020?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，A、B、C是⊙O上三點(diǎn)，∠ACB＝24°，則∠AOB的度數(shù)是（）A．56° B．68° C．48° D．12°二．填空題（共7小題）5．（2021?江岸區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，以G（0，2）為圓心，半徑為4的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上任意一點(diǎn)，CF⊥AE于F，則線段FG的長(zhǎng)度的最小值為．6．（2021秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，若MN＝1，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為．7．（2020?江漢區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE＝CD，連接BE、AD相交于點(diǎn)P，則線段CP的最小值為．8．（2020?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）⊙O的半徑為5，弦AB＝8，弦CD＝6，AB∥CD，則AC＝．9．（2020?浙江自主招生）平面直角坐標(biāo)系中，⊙O交x軸正負(fù)半軸于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P為⊙O外y軸正半軸上一點(diǎn)，C為第三象限內(nèi)⊙O上一點(diǎn)，PH⊥CB交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，已知∠BPH＝2∠BPO，PH＝15，CH＝24，則tan∠BAC的值為．10．（2020?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，CD＝10，EM＝25，則⊙O的半徑．11．（2020?浙江自主招生）如圖，四邊形BDCE內(nèi)接于以BC為直徑的⊙A，已知：BC＝10，cos∠BCD＝，∠BCE＝30°，則線段DE的長(zhǎng)是．三．解答題（共9小題）12．（2021?江岸區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，已知圓O，弦AB、CD相交于點(diǎn)M．（1）求證：AM?MB＝CM?MD；（2）若M為CD中點(diǎn)，且圓O的半徑為3，OM＝2，求AM?MB的值．13．（2020?武昌區(qū)校級(jí)自主招生）如圖1，AB是⊙O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）若AB＝20，AC＝12，求BD，DE的長(zhǎng)；（2）若F是OA的中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥OA交直線DE于點(diǎn)G，如圖2，若FG＝，tan∠BAD＝，求⊙O的半徑．14．（2020?浙江自主招生）如圖，已知ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，AB＝BD，BM⊥AC于M，求證：AM＝DC+CM．15．（2019?武昌區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作?O交斜邊AC于點(diǎn)D，過圓心O作OE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接DE，OD，DE＝．（1）若AC＝6，求△ODE的面積；（2）若tan∠ACB＝，求AD的長(zhǎng)．16．（2019?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）有一塊正方形田地，中間有一圓池，池與田間間隙有13.75畝，方田四邊到圓的最近距離都是20步，求邊長(zhǎng)，直徑，（240步2＝1畝，π＝3）17．（2018?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，已知⊙O的直徑AB＝10，C、D為上半圓上兩點(diǎn)，AC＝CD，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E（點(diǎn)E在線段AO上），CE＝4．（1）求四邊形ACDB的面積；（2）取CB的中點(diǎn)F，連接DF并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)G，求DG的長(zhǎng)．18．（2017?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，且AD是圓O的直徑，DC與AB的延長(zhǎng)線相交于E點(diǎn)，OC∥AB．（1）求證：AD＝AE；（2）若OC＝AB＝4，求△BCE的面積．19．（2015?青羊區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，連接EB交OD于點(diǎn)F．（1）求證：OD⊥BE；（2）若DE＝，AB＝，求AE的長(zhǎng)．20．（2016?黃岡校級(jí)自主招生）如圖，在⊙O中，弦CD垂直于直徑AB．M是OC的中點(diǎn)，AM的延長(zhǎng)線交⊙O于E，DE交BC于N．求證：BN＝CN．專題12圓的基本性質(zhì)參考答案與試題解析一．選擇題（共4小題）1．【解答】解：連接AB，OP，OQ，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴AB為直徑，∵P為BE的中點(diǎn)，Q為AD的中點(diǎn)，∴OP∥AC，OP＝AE，OQ∥BD，OQ＝BD，∴OP⊥OQ，∴∠POQ＝90°，∵BD＝AE，∴OP＝OQ，∴∠OPQ＝∠OQP＝45°，∵∠A＝30°，∴∠CDA＝60°，∴∠NDQ＝120°，∴∠OQA＝120°，∴∠NQD＝15°，∴∠DNQ＝45°，過點(diǎn)Q作QM⊥BC交BC于M，則△NQM為等腰直角三角形，∵NQ＝2，∴MQ＝2，在Rt△DMQ中，∠MDQ＝60°，∴DQ＝＝4，故選：D．2．【解答】解：如圖；過O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，連接OA；則AD＝BD，由折疊的性質(zhì)得：OD＝CD，在Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4；根據(jù)勾股定理得：AD＝＝＝2，∴AB＝2AD＝4；故選：D．3．【解答】解：∵BC＝CD，∴＝，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠DAB＝50°，∴∠CAB＝×50°＝25°，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣25°＝65°，故選：B．4．【解答】解：∵∠AOB和∠ACB是同弧所對(duì)的圓心角和圓周角，∴∠AOB＝2∠ACB，∵∠ACB＝24°，∴∠AOB＝48°，故選：C．二．填空題（共7小題）5．【解答】解：連接AC，過點(diǎn)G作GM⊥AC于M，連接AG、MF、GF，如圖所示：∵G（0，2），∴OG＝2，GO⊥AB，∴OA＝OB＝AB，∵⊙G半徑為4，∴AG＝CG＝4，∴∠GCA＝∠GAC，在Rt△OAG中，sin∠OAG＝＝＝，OA＝＝2，∴∠OAG＝30°，AB＝2OA＝4，∴∠AGO＝90°﹣30°＝60°，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC＝60°，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴OA＝AC，∴AC＝2OA＝4，MG＝AG＝×4＝2，∵∠AFC＝90°，∴點(diǎn)F在以AC為直徑的⊙M上，∵GM⊥AC，∴AM＝CM，∴MF＝AC＝2，當(dāng)點(diǎn)F在MG的延長(zhǎng)線上時(shí)，F(xiàn)G的長(zhǎng)度的最小，最小值為：FM﹣MG＝2﹣2，故答案為：2﹣2．6．【解答】解：作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接OM、ON、ON′、MN′，則MN′與AB的交點(diǎn)即為PM+PN的最小時(shí)的點(diǎn)，PM+PN的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N是弧MB的中點(diǎn)，∴∠BON＝∠MOB＝×40°＝20°，由對(duì)稱性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB+∠N′OB＝40°+20°＝60°，∴△MON′是等邊三角形，∴MN′＝OM＝OB＝AB＝＝4，∴△PMN周長(zhǎng)的最小值＝1+4＝5，故答案為：5．7．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵AE＝CD∴BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，∴∠APE＝∠CBE∠ABE＝∠ABC，∴∠APE＝60°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖，連接OC交⊙O于N，則OC⊥AB，根據(jù)圓周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝30°，AF＝＝，∴OA＝＝2，∴OC＝2OA＝4，當(dāng)點(diǎn)P與N重合時(shí)，CP的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，故答案為：2．8．【解答】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖①，過點(diǎn)O作OF⊥CD，垂足為F，交AB于點(diǎn)E，連接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB＝8，CD＝6，∴AE＝4，CF＝3，∵OA＝OC＝5，∴由勾股定理得：EO＝3，OF＝4，∴EF＝OF﹣OE＝1，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，連接AC，則CH＝EF＝1，AH＝（AB﹣CD）＝1，∴AC＝＝，②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖②，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，反向延長(zhǎng)OE交AD于點(diǎn)F，連接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB＝8，CD＝6，∴AE＝4，CF＝3，∵OA＝OC＝5，∴EO＝3，OF＝4，∴EF＝OF+OE＝7，同法可得AC＝5，③當(dāng)C，D位置交換時(shí)，可得AC＝5或7故答案為：或5或7．9．【解答】解：設(shè)PB交⊙O于點(diǎn)N，連接PA，延長(zhǎng)PB、AC交于點(diǎn)M，∵AB是直徑，PH⊥CB∴∠ANP＝90°＝∠ACB＝∠H，∴MC∥PH，由圓的對(duì)稱性可得，PA＝PB，∠BPO＝∠APO＝∠APB，∵∠BPH＝2∠BPO，∴∠BPH＝∠APB，∴△PHB≌△PNA（AAS），∴PN＝PH＝15，由MC∥PH得，∠HPB＝∠M＝∠APM，∴AM＝AP＝PB，∵AN⊥PM，∴PM＝2PN＝30，由△PHB∽△MCB，∴＝＝，設(shè)MC＝a，BC＝b，MB＝c，則HB＝24﹣b，PB＝30﹣c，∴＝＝，∴＝＝sinM＝sin∠HPB，∴cos∠HPB＝在Rt△PHB中，PH＝15，∴PB＝＝＝25，HB＝sin∠HPB?PH＝20，∴BC＝24﹣20＝4，MB＝30﹣25＝5，則MC＝＝3，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝AM﹣MC＝25﹣3＝22，∴tan∠BAC＝＝＝，故答案為：．10．【解答】解：連接OC，∵M(jìn)是⊙O弦CD的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理：EM⊥CD，又CD＝10則有：CM＝CD＝5，設(shè)圓的半徑是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝52+（25﹣x）2，解得：x＝13，故答案為：13．11．【解答】解：過B作BF⊥DE于F．在Rt△CBD中，BC＝10，cos∠BCD＝，∴BD＝8．在Rt△BCE中，BC＝10，∠BCE＝30°，∴BE＝5．在Rt△BDF中，∠BDF＝∠BCE＝30°，BD＝8，∴DF＝BD?cos30°＝4．在Rt△BEF中，∠BEF＝∠BCD，即cos∠BEF＝cos∠BCD＝，BE＝5，∴EF＝BE?cos∠BEF＝3．∴DE＝DF+EF＝3+4，故答案為：3+4．三．解答題（共9小題）12．【解答】解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴，即AM?MB＝CM?MD．（2）連接OM、OC．∵M(jìn)為CD中點(diǎn)，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM?MB＝CM?MD．∴AM?MB＝?＝5．13．【解答】解：（1）如圖1，連接BC，OD交于點(diǎn)N，∵DE⊥AE，∴∠E＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠BCE＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AE，∴∠NDE＝90°，∵∠BCE＝∠E＝90°，∴四邊形DECN是矩形，∴∠CND＝90°，∴OD⊥BC，∴BN＝CN＝BC，DE＝NC，Rt△ABC中，AB＝20，AC＝12，∴BC＝＝＝16，∴DE＝BN＝CN＝8，∵O是AB的中點(diǎn)，∴ON是△ABC的中位線，∴ON＝AC＝6，Rt△BDN中，且ON＝6，DN＝4，BN＝8，∴BD＝＝＝4；（2）如圖2，設(shè)FG與AD交于點(diǎn)H，過點(diǎn)G作GM⊥HD，垂足為M，tan∠BAD＝＝設(shè)BD＝3x，AD＝4x，則AB＝5x，∵F為OA的中點(diǎn)，∴AF＝x，∵GF⊥AB∴∠AFH＝90°∵tan∠BAD＝∴FH＝AF?tan∠BAD＝＝x，同理得：AH＝＝＝x，HD＝AD﹣AH＝4x﹣x＝x，由（1）知：∠HDG+∠ODA＝90°，在Rt△HFA中，∠FAH+∠FHA＝90°，∵∠OAD＝∠ODA，∠FHA＝∠DHG，∴∠DHG＝∠HDG，∴GH＝DG，MH＝MD，∴HM＝HD＝＝x，在Rt△HGM中，HG＝＝＝x，∵FH+GH＝，即＝，解得：x＝，∴⊙O的半徑為＝8．14．【解答】證明：在MA上截取ME＝MC，連接BE，∵BM⊥AC，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE，∵AB＝BD，∴＝，∴∠ADB＝∠BAD，而∠ADB＝∠BCE，∴∠BCE＝∠BAD，又∵∠BCD+∠BAD＝180°，∠BEA+∠BCE＝180°，∴∠BEA＝∠BCD，∵∠BAE＝∠BDC，∴△ABE≌△DBC，∴AE＝CD，∴AM＝AE+EM＝DC+CM．15．【解答】解：（1）連接BD，如圖，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∵OE∥AC，O點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝DE＝，在Rt△ABC中，AB＝＝4，∴OD＝2，在△ODE和△OBE中，，∴△ODE≌△OBE（SSS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴S△ODE＝×2×＝；（2）在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，BC＝2DE＝2，∵tan∠C＝＝，∴設(shè)BD＝x，則CD＝2x，∴BC＝＝x，∴x＝2，解得x＝2，∴BD＝2，∵∠C+∠A＝90°，∠A+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴tan∠ABD＝，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝＝，∴AD＝BD＝×2＝1．16．【解答】解：由題意，設(shè)圓池直徑為m，方田邊長(zhǎng)為40步+m．方田面積減去水池面積為13.75畝，∴（40+m）2﹣（）2?π＝13.75×240．解得：m＝20．即圓池直徑20步那么：方田邊長(zhǎng)為40步+20步＝60步．17．【解答】（1）解：過點(diǎn)C作CI⊥BD于I，連接OC．∵AB＝10，CE⊥AB，CE＝4，∴OE＝＝＝3，∴BE＝OE+OB＝8，AE＝OA﹣OE＝2，∵AC＝＝2，BC＝＝＝4，∴S△ACB＝?AC?BC＝20，∵AC＝CD，∴＝，∴∠CBE＝∠CBI，∵∠CEB＝∠CIB＝90°，BC＝BC，∴△BCE≌△BCI（AAS），∴CI＝CE＝4，BE＝BI＝8，∵∠AEC＝∠CID＝90°，AD＝CD，CE＝CI，∴Rt△CEA≌Rt△CID（HL），∴AE＝ID＝2，∴BD＝BI﹣DI＝6，∴S△BCD＝?BD?CI＝12，∴S四邊形ABDC＝S△ABC+S△CBD＝20+12＝32．（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．∵S△BCD＝?BC?DH＝12，BC＝4，∴DH＝，在Rt△CDH中，CH＝＝＝，∵CF