數(shù)學(xué)《課堂講義》湘教版一講義：專題2 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 2.1.2 第2課時 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用［學(xué)習(xí)目標]1.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)的關(guān)系.2。能運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決一些問題．［知識鏈接］1．函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)恒過點(0，1)，當a＞1時，單調(diào)遞增，當0＜a＜1時，單調(diào)遞減．2．復(fù)合函數(shù)y＝f（g(x）)的單調(diào)性：當y＝f(x)與u＝g(x）有相同的單調(diào)性時，函數(shù)y＝f(g(x））單調(diào)遞增，當y＝f(x)與u＝g(x)的單調(diào)性相反時，y＝f(g（x)）單調(diào)遞減，簡稱為同增異減．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．函數(shù)y＝ax與y＝a－x(a＞0,且a≠1）的圖象關(guān)于y軸對稱．2．形如y＝af(x)（a＞0，且a≠1)函數(shù)的性質(zhì)（1）函數(shù)y＝af（x）與函數(shù)y＝f(x）有相同的定義域．（2)當a＞1時，函數(shù)y＝af(x)與y＝f（x)具有相同的單調(diào)性；當0＜a＜1時，函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f（x)的單調(diào)性相反．3．形如y＝kax(k∈R，且k≠0,a＞0且a≠1）的函數(shù)是一種指數(shù)型函數(shù)，這是一種非常有用的函數(shù)模型．4．設(shè)原有量為N，每次的增長率為p,經(jīng)過x次增長，該量增長到y(tǒng)，則y＝N(1＋p)x（x∈N）.要點一利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小例1比較下列各組數(shù)的大?。海?)1。9－π與1。9－3；(2）0。7與0.70。3;(3)0.60。4與0。40.6。解（1）由于指數(shù)函數(shù)y＝1。9x在R上單調(diào)遞增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1。9－3.（2）因為函數(shù)y＝0。7x在R上單調(diào)遞減，而2－eq\r（3）≈0。268＜0.3，所以0。7＞0。70.3.(3)因為y＝0.6x在R上單調(diào)遞減,所以0。60.4＞0.60。6；又在y軸右側(cè),函數(shù)y＝0。6x的圖象在y＝0。4x的圖象的上方,所以0。60。6＞0。40.6，所以0.60。4＞0.40。6.規(guī)律方法1。對于底數(shù)相同但指數(shù)不同的兩個冪的大小的比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷．2．對于冪值，若底數(shù)不相同,則首先考慮能否化為同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進第三個數(shù)(如0或1等）分別與之比較，借助中間值比較．跟蹤演練1已知a＝0。80.7，b＝0.80.9，c＝1。20.8，則a，b，c的大小關(guān)系是（)A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b答案D解析先由函數(shù)y＝0.8x判斷前兩個數(shù)的大小，再用“1"作為中間量比較1.20。8與其他兩個數(shù)的大?。c二指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性例2判斷f（x)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,3）））的單調(diào)性，并求其值域．解令u＝x2－2x，則原函數(shù)變?yōu)閥＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，3））)u。∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在（－∞，1］上遞減，在[1，＋∞）上遞增,又∵y＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，3)）)u在(－∞，＋∞)上遞減，∴y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3）))在（－∞，1]上遞增，在[1,＋∞）上遞減．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1,∴y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u,u∈［－1，＋∞)，∴0＜eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，3)))u≤eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，3)））－1＝3，∴原函數(shù)的值域為(0，3]．規(guī)律方法1。關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x）(a＞0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點決定，一是底數(shù)a＞1還是0＜a＜1；二是f（x)的單調(diào)性，它由兩個函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．2．求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u),u＝φ(x)，通過考察f（u）和φ（x）的單調(diào)性,求出y＝f[φ（x)]的單調(diào)性．跟蹤演練2求函數(shù)y＝2的單調(diào)區(qū)間．解函數(shù)y＝2的定義域是R.令u＝－x2＋2x，則y＝2u。當x∈（－∞，1]時，函數(shù)u＝－x2＋2x為增函數(shù)，函數(shù)y＝2u是增函數(shù)，所以函數(shù)y＝2在(－∞，1］上是增函數(shù)．當x∈[1，＋∞）時，函數(shù)u＝－x2＋2x為減函數(shù)，函數(shù)y＝2u是增函數(shù),所以函數(shù)y＝2－x2＋2x在［1，＋∞）上是減函數(shù)．綜上,函數(shù)y＝2的單調(diào)減區(qū)間是［1，＋∞），單調(diào)增區(qū)間是（－∞，1］．要點三指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例3已知函數(shù)f（x）＝eq\f(3x－1,3x＋1）.（1）證明f（x）為奇函數(shù)；(2）判斷f(x)的單調(diào)性，并用定義加以證明;(3）求f（x)的值域．(1）證明由題意知f(x）的定義域為R，f(－x)＝eq\f(3－x－1，3－x＋1)＝eq\f（3－x－1·3x，3－x＋1·3x)＝eq\f(1－3x，1＋3x）＝－f（x）,所以f（x)為奇函數(shù)．(2)解f(x）在定義域上是增函數(shù)．證明如下：任取x∈R，且h＞0,則f（x＋h)－f(x)＝eq\f（3x＋h－1，3x＋h＋1)－eq\f(3x－1,3x＋1)＝(1－eq\f(2,3x＋h＋1))－(1－eq\f（2,3x＋1））＝eq\f（2·3x＋h－3x,3x＋h＋13x＋1)?！選＋h＞x，∴3x＋h－3x＞0，且3x＋h＋1＞0,3x＋1＞0,∴f（x＋h）－f（x）＞0，∴f(x)為R上的增函數(shù)．（3）解f(x）＝eq\f(3x－1，3x＋1）＝1－eq\f(2，3x＋1),∵3x＞0?3x＋1＞1?0＜eq\f(2，3x＋1）＜2?－2＜－eq\f(2，3x＋1）＜0，∴－1＜1－eq\f（2，3x＋1)＜1，即f(x）的值域為（－1，1）．規(guī)律方法指數(shù)函數(shù)是一種具體的初等函數(shù)，常與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等知識點融合在一起,按照原有的單調(diào)性、奇偶性的解決辦法分析、解決問題即可．跟蹤演練3設(shè)a＞0，f（x)＝eq\f（ex，a）＋eq\f(a,ex)是R上的偶函數(shù)．(1）求a的值；（2)求證f（x）在（0，＋∞)上是增函數(shù)．（1）解依題意,對一切x∈R,有f（x)＝f(－x)，即eq\f(ex，a)＋eq\f（a，ex)＝eq\f(1，aex）＋aex，∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a）)）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（ex－\f（1，ex)))＝0對一切x∈R成立．由此得到a－eq\f（1，a）＝0，即a2＝1.又a＞0,∴a＝1。(2)證明設(shè)x∈（0，＋∞),且h＞0，則f（x＋h）－f（x）＝ex＋h－ex＋eq\f（1，ex＋h)－eq\f(1，ex）＝(ex＋h－ex)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(e2x＋h－1，e2x＋h）)),∵x＞0，h＞0,∴ex＋h－ex＞0，又e2x＋h－1＞0，∴f(x＋h）－f（x)＞0,即f(x）在(0，＋∞)上是增函數(shù)。1．函數(shù)y＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）)）1－x的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(－∞，＋∞） B．(0,＋∞）C．（1,＋∞） D．(0,1）答案A解析定義域為R.設(shè)u＝1－x，y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2））)u.∵u＝1－x在R上為減函數(shù)．又∵y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）)）u在（－∞，＋∞）為減函數(shù)，∴y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2））)1－x在(－∞，＋∞）是增函數(shù)，∴選A。2．若eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2））)2a＋1＜eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)))3－2a，則實數(shù)a的取值范圍是(）A．（1，＋∞） B。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞））C．（－∞，1) D。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－∞,\f(1，2)))答案B解析原式等價于2a＋1＞3－2a,解得a＞eq\f(1,2).3．設(shè)y1＝40.9，y2＝80.48,y3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2））)－1.5，則()A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2答案D解析40.9＝21。8，80。48＝21。44,（eq\f(1，2))－1.5＝21。5，由于y＝2x在R上是增函數(shù),所以21。8＞21.5＞21。44，即y1＞y3＞y2，故選D.4．某種細菌在培養(yǎng)過程中,每20min分裂一次，即由1個細菌分裂成2個細菌,經(jīng)過3h,這種細菌由1個可繁殖成________個．答案512解析3h＝9×20min,即經(jīng)過9次分裂，可分裂為29＝512個．5．已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f（1,2x＋1），若f(x）為奇函數(shù)，則a＝________.答案eq\f（1,2)解析∵函數(shù)f（x)為奇函數(shù)，定義域為R,∴f(0）＝a－eq\f（1，2)＝0.∴a＝eq\f（1,2)。1。比較兩個指數(shù)式值大小的主要方法(1）比較形如am與an的大小,可運用指數(shù)函數(shù)y＝ax的單調(diào)性．(2)比較形如am與bn的大小，一般找一個“中間值c”，若am＜c且c＜bn，則am＜bn；若am＞c且c＞bn，則am＞bn。2．指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)形如y＝af（x)的函數(shù)的單調(diào)性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果兩個函數(shù)y＝au與u＝f（x）的單調(diào)性相同，則函數(shù)y＝af(x)在[m，n］上是增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性相異(即一增一減）,則函數(shù)y＝af（x)在[m，n]上是減函數(shù)．(2）形如ax＞ay的不等式，當a＞1時，ax＞ay?x＞y；當0＜a＜1時,ax＞ay?x＜y。一、基礎(chǔ)達標1．下列判斷正確的是（)A．2。52.5＞2。53 B．0.82＜0.83C．π2＜πeq\r（2） D．0.90。3＞0。90.5答案D解析∵y＝0。9x是減函數(shù)，且0.5＞0。3，∴0。90。3＞0.90。5。2．若函數(shù)f（x)＝3x＋3－x與g（x)＝3x－3－x的定義域為R，則()A．f（x)與g（x）均為偶函數(shù)B．f(x）為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)C.f（x）與g（x)均為奇函數(shù)D．f(x)為奇函數(shù)，g(x）為偶函數(shù)答案B解析f(－x）＝3－x＋3x＝f（x），f（x）為偶函數(shù)，g(－x）＝3－x－3x＝－g(x），g（x)為奇函數(shù)．3．已知f(x)＝a－x(a＞0且a≠1)，且f（－2)＞f（－3)，則a的取值范圍是(）A．(0，＋∞） B．（1，＋∞)C．(－∞，－1) D．（0，1）答案D解析∵－2＞－3，f（－2）＞f(－3)，又f（x）＝a－x＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,a）))x，∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，a）)）－2＞eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,a））)－3，∴eq\f（1,a)＞1，∴0＜a＜1.4．若定義運算f（a*b）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b,a≥b，，a,a＜b，）)則函數(shù)f（3x＊3－x)的值域是（）A．（0，1] B．[1，＋∞）C．（0,＋∞） D．(－∞，＋∞）答案A解析由定義可知該函數(shù)是求a，b中較小的那一個,所以分別畫出y＝3x與y＝3－x＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,3)）)x的圖象,由圖象容易看出函數(shù)f(3x*3－x)的值域是（0，1]．5．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（1，x），x＜0，,\f(1,3）x，x≥0，))則不等式f（x)≥eq\f（1，3)的解集為________．答案{x|0≤x≤1｝解析(1）當x≥0時，由f（x）≥eq\f（1，3)得（eq\f(1，3））x≥eq\f(1,3)，∴0≤x≤1。（2)當x＜0時，不等式eq\f(1，x）≥eq\f（1，3）明顯不成立，綜上可知不等式f（x）≥eq\f(1，3)的解集是｛x|0≤x≤1｝．6．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f（3,4)，要使存留污垢不超過原來的1%，則至少要漂洗________次．答案4解析設(shè)原來污垢數(shù)為1個單位，則經(jīng)過第一次漂洗，存留量為原來的eq\f（1，4)；經(jīng)過第二次漂洗，存留量為第一次漂洗后的eq\f(1，4），也就是原來的eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，4))）2，經(jīng)過第三次漂洗,存留量為原來的eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，4）)）3，…，經(jīng)過第x次漂洗,存留量為原來的eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,4)))x，故解析式為y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,4）））x。由題意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，4）））x≤eq\f（1,100)，4x≥100，2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次．7．已知函數(shù)f（x）＝1＋eq\f(2，2x－1)。(1）求函數(shù)f（x)的定義域；（2)證明函數(shù)f（x)在(－∞,0)上為減函數(shù)．(1）解f(x)＝1＋eq\f(2,2x－1)，∵2x－1≠0，∴x≠0.∴函數(shù)f（x）的定義域為{x｜x∈R，且x≠0｝．（2）證明設(shè)任意x∈(－∞，0)，且h＜0，則f(x＋h）－f(x)＝eq\f(2，2x＋h－1）－eq\f（2，2x－1)＝eq\f(22x－2x＋h，2x＋h－12x－1）?！選∈(－∞，0)，且h＜0,∴2x－2x＋h＞0,2x＋h－1＜0,2x－1＜0。∴f(x＋h）－f（x）＞0，即f(x＋h)＞f(x）．∴函數(shù)f（x）在（－∞，0）上為減函數(shù)．二、能力提升8．若函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（ax，x＞1，，4－\f(a，2）x＋2，x≤1))是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．(1，＋∞） B．(1，8）C．(4，8） D．［4,8)答案D解析由題意可知，f(x)在R上是增函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－\f（a,2）＞0，，a＞1，，4－\f（a,2)＋2≤a，）)解得4≤a＜8，故選D.9．已知函數(shù)f(x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x）＝1－2－x，則不等式f(x)＜－eq\f(1,2)的解集是________．答案(－∞，－1）解析當x＜0時，－x＞0，f（－x)＝1－2x＝－f(x），則f(x）＝2x－1。當x＝0時，f(0）＝0，由f(x)＜－eq\f（1，2)，解得x＜－1.10．若函數(shù)f(x)＝eq\r(2x2＋2ax－a－1)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案[－1，0]解析依題意,2x2＋2ax－a－1≥0對x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0。11．一個人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時50%的速度減少．為了保障交通安全,某地交通規(guī)則規(guī)定，駕駛員血液酒精含量不得超過0。08mg/mL，那么喝了少量酒的駕駛員，至少要過幾小時才能駕駛?（精確到1小時）解1小時后駕駛員血液中的酒精含量為0.3（1－50%）mg/mL,…，x小時后其酒精含量為0.3（1－50%)xmg/mL，由題意知0。3（1－50%)x≤0.08，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2））)x≤eq\f(4,15)。采用估算法，x＝1時，eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2))）1＝eq\f(1，2)＞eq\f（4，15),x＝2時,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2））)2＝eq\f(1,4）＝eq\f(4,16）＜eq\f(4,15)。由于eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）)）x是減函數(shù)，所以滿足要求的x的最小整數(shù)為2。故至少要過2小時駕駛員才能駕駛．三、探究與創(chuàng)新12．已知函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3）)).（1)若a＝－1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間;（2)如果函數(shù)f(x）有最大值3，求實數(shù)a的值．解（1）當a＝－1時，f（x）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,3)))，令g(x)