數(shù)學《學案導學與隨堂筆記》人教A版4-4學案：第二講　參數(shù)方程 三 含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學習目標1。理解并掌握直線的參數(shù)方程。2.能夠利用直線的參數(shù)方程解決有關問題．知識點直線的參數(shù)方程思考1如圖，直線l過定點M0(x0,y0)且傾斜角為αeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（α≠\f（π，2)))，那么直線的點斜式方程是什么？答案y－y0＝tanα（x－x0）．思考2在思考1中,若令x－x0＝tcosα(t為參數(shù)),那么直線l的參數(shù)方程是什么？答案eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝x0＋tcosα，，y＝y(tǒng)0＋tsinα)）（t為參數(shù)）．梳理（1)直線的參數(shù)方程①過點M0（x0,y0），傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα）)(t為參數(shù));②由α為直線的傾斜角知，當0<α〈π時，sinα〉0。（2)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義參數(shù)t的絕對值表示t對應的點M到M0的距離．①當eq\o(M0M，\s\up6（→）)與e（直線的單位方向向量）同向時,t取正數(shù)；②當eq\o(M0M，\s\up6（→))與e反向時,t取負數(shù)，當M與M0重合時,t＝0.（3)重要公式：設A，B是直線上任意兩點，它們對應的參數(shù)分別為tA，tB，則|AB|＝|tB－tA｜＝eq\r(tB＋tA2－4tA·tB）.類型一直線的參數(shù)方程與普通方程的互化例1（1）化直線l1的普通方程x＋eq\r（3)y－1＝0為參數(shù)方程，并說明｜t｜的幾何意義；（2)化直線l2的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－3＋t,,y＝1＋\r(3)t）)(t為參數(shù)）為普通方程，并求傾斜角,說明|t｜的幾何意義．解(1）直線l1與x軸交于點M0（1，0），又k＝tanα＝－eq\f（\r(3）,3)，∴cosα＝－eq\f（\r（3)，2),sinα＝eq\f(1,2）,∴直線l1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1－\f(\r（3），2)t，,y＝\f（1，2）t))(t為參數(shù))．|t｜表示t對應的點M(x，y)到M0的距離．(2)方程組變形為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋3＝t，①,y－1＝\r（3）t，②))①代入②消去參數(shù)t，得直線的點斜式方程y－1＝eq\r(3)（x＋3),可得k＝tanα＝eq\r（3)，傾斜角α＝eq\f（π，3),普通方程為eq\r（3)x－y＋3eq\r(3)＋1＝0。又∵①②兩式平方相加，得（x＋3)2＋（y－1）2＝4t2，∴｜t|＝eq\f（\r(x＋32＋y－12），2)，｜t|是定點M1（－3,1)到t對應的點M（x，y)的有向線段eq\o(M1M，\s\up6(→))的長的一半．反思與感悟(1)一條直線可以由定點M0（x0,y0）,傾斜角α(0≤α〈π)惟一確定，直線上動點M(x，y)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα,，y＝y(tǒng)0＋tsinα)）（t為參數(shù))，這是直線參數(shù)方程的標準形式,特別地，當α＝eq\f(π,2）時,直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝x0,,y＝y(tǒng)0＋t))（t為參數(shù)）．（2)直線參數(shù)方程的形式不同，參數(shù)t的幾何意義也不同，過定點M0(x0,y0)，斜率為eq\f(b，a)的直線的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，，y＝y(tǒng)0＋bt）)(a、b為常數(shù)，t為參數(shù))．跟蹤訓練1已知直線l:eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－\r（3)＋\f（\r(3）,2)t，，y＝2＋\f（1,2)t）)（t為參數(shù)）．（1）分別求t＝0,2，－2時對應的點M(x，y）；（2)求直線l的傾斜角；（3）求直線l上的點M(－3eq\r（3）,0)對應的參數(shù)t，并說明t的幾何意義．解（1）由直線l：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)＋\f（\r（3),2）t,，y＝2＋\f（1，2）t））(t為參數(shù))知，當t＝0,2，－2時,分別對應直線l上的點（－eq\r（3)，2），（0，3），（－2eq\r（3），1）．（2）方法一化直線l：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－\r（3)＋\f(\r(3),2）t,，y＝2＋\f（1,2）t）)（t為參數(shù)）為普通方程為y－2＝eq\f（\r（3），3）(x＋eq\r(3）），設直線l的傾斜角為α，則k＝tanα＝eq\f(\r（3）,3）(0≤α<π),解得α＝eq\f（π,6)。故直線l的傾斜角為eq\f（π,6）。方法二易知直線l:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3）＋tcos\f(π,6），,y＝2＋tsin\f(π,6)）)（t為參數(shù)），則直線l過定點M0(－eq\r（3），2)，且傾斜角為eq\f(π，6)，故直線l的傾斜角為eq\f（π，6)。（3）由(2）可知直線l的單位向量e＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f（π,6),sin\f(π,6)））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r(3),2），\f(1,2）)),且M0(－eq\r(3),2)，又已知M（－3eq\r(3），0），∴eq\o（M0M，\s\up6(→))＝(－2eq\r（3），－2)＝－4eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3),2），\f（1,2)））＝－4e，∴點M（－3eq\r(3），0)對應的參數(shù)t＝－4，幾何意義為｜eq\o(M0M,\s\up6(→)）|＝4,且eq\o(M0M,\s\up6(→)）與e方向相反．類型二直線參數(shù)方程的應用eq\x（命題角度1求弦長|AB|問題)例2已知拋物線y2＝8x的焦點為F，過F且斜率為2的直線交拋物線于A，B兩點．（1）求｜AB|；(2）求AB的中點M的坐標及｜FM｜。解拋物線y2＝8x的焦點為F(2，0)，依題意，設直線AB的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2＋\f（1，\r（5）)t，,y＝\f（2，\r(5））t)）（t為參數(shù)），其中cosα＝eq\f（1,\r(5）），sinα＝eq\f（2，\r(5))，α為直線AB的傾斜角．將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2＋\f（1，\r(5）)t，，y＝\f（2，\r（5））t)）代入y2＝8x,整理得t2－2eq\r(5）t－20＝0。設A，B對應的參數(shù)值為t1，t2，則t1＋t2＝2eq\r(5)，t1t2＝－20.(1)|AB｜＝|t2－t1｜＝eq\r（t1＋t22－4t1t2)＝eq\r（2\r（5)2＋80）＝10。(2)設AB的中點為M（x，y），則eq\o(AM，\s\up6（→))＝eq\o(MB,\s\up6（→）)，∴eq\o(FM，\s\up6(→))－eq\o（FA，\s\up6（→））＝eq\o(FB，\s\up6（→))－eq\o（FM，\s\up6（→）)，∴eq\o(FM，\s\up6(→）)＝eq\f(1,2)（eq\o（FA，\s\up6（→))＋eq\o（FB,\s\up6(→)））＝eq\f(t1＋t2,2）e＝eq\r(5)e,故點M對應的參數(shù)為eq\r（5),由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r（5）cosα，,y＝\r(5)sinα））得M（3,2)，｜FM|＝eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f（t1＋t2，2））)＝eq\r(5）.反思與感悟設二次曲線C：F(x，y）＝0,直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))（t為參數(shù)），如果l與C相交于A、B兩點，那么將l的方程代入F(x，y)＝0后，可得at2＋bt＋c＝0，則該方程有兩個不等實數(shù)根t1，t2，此時eq\o(M0A，\s\up6（→)）＝t1e，eq\o（M0B，\s\up6(→）)＝t2e，e＝(cosα,sinα），于是易得以下兩個常見的公式：（1)|AB|＝|t1－t2|；（2）線段AB的中點M對應的參數(shù)t＝eq\f（t1＋t2,2）,且｜M0M|＝eq\f(｜t1＋t2|,2）。跟蹤訓練2直線l通過P0(－4,0），傾斜角α＝eq\f（π，6),l與圓x2＋y2＝7相交于A、B兩點．（1)求弦長｜AB|；（2)求A、B兩點坐標．解（1）∵直線l通過P0（－4,0)，傾斜角α＝eq\f(π，6），∴可設直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－4＋\f（\r(3）,2）t，,y＝\f(t，2).)）代入圓方程，得eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4＋\f(\r(3）,2)t)）2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)t）)2＝7。整理得t2－4eq\r（3)t＋9＝0。設A，B對應的參數(shù)分別為t1和t2，①由根與系數(shù)的關系,得t1＋t2＝4eq\r(3），t1t2＝9,∴|AB｜＝|t2－t1｜＝eq\r（t1＋t22－4t1t2)＝2eq\r(3)。(2）解①得t1＝3eq\r(3)，t2＝eq\r(3)，代入直線參數(shù)方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－4＋\f（\r（3)，2）t,,y＝\f(1,2）t,))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)，\f(3\r（3）,2）)),Beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（5，2），\f(\r(3）,2））)或Aeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f（\r(3)，2)）），Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2），\f(3\r（3),2））)。eq\x（命題角度2求積｜M0A｜·|M0B|問題）例3過點Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r(10），2)，0））作傾斜角為α的直線與曲線x2＋12y2＝1交于點M，N，求｜PM|·｜PN|的最小值及相應的α值．解設直線為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r（10)，2）＋tcosα,,y＝tsinα））（0≤α<eq\f(π，2），t為參數(shù))，代入曲線x2＋12y2＝1，并整理得（1＋11sin2α）t2＋(eq\r(10)cosα)t＋eq\f(3,2）＝0.∴t1t2＝eq\f（\f(3，2）,1＋11sin2α），∴｜PM｜·｜PN|＝|t1t2|＝eq\f（\f（3，2）,1＋11sin2α)＝eq\f(3，2＋22sin2α）.∴當sin2α＝1,即α＝eq\f（π,2）時，|PM｜·|PN|取得最小值，且最小值為eq\f（1,8).反思與感悟利用直線的參數(shù)方程，可以求一些距離問題,當求直線上某一定點到直線與曲線交點的距離時，根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解題更為方便．跟蹤訓練3已知直線l經(jīng)過點P(1，1),傾斜角α＝eq\f(π，6)，(1）寫出直線l的參數(shù)方程；(2）設l與圓x2＋y2＝4相交于兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積．解（1）因為直線l過點P(1,1)，傾斜角為eq\f（π,6)，所以直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1＋tcos\f(π,6)，，y＝1＋tsin\f（π,6），）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1＋\f（\r（3），2）t,,y＝1＋\f（1，2)t))為所求．(2)因為點A，B都在直線l上,所以可設它們對應的參數(shù)為t1和t2，則點A，B的坐標分別為Aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3），2)t1,1＋\f（1，2）t1）)，Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r（3)，2）t2，1＋\f(1,2)t2)），把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程x2＋y2＝4，整理得到t2＋（eq\r(3）＋1)t－2＝0，①因為t1和t2是方程①的解，從而t1t2＝－2.所以｜PA｜·｜PB｜＝｜t1t2｜＝|－2｜＝2。類型三直線參數(shù)方程的綜合應用例4已知曲線C1:eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－4＋\f(\r(2）,2)t，,y＝\f（\r（2)，2)t))(t為參數(shù)),C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2＋cosθ,,y＝1＋sinθ））(θ為參數(shù)）．（1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；(2)若曲線C1和C2相交于A,B兩點，求｜AB|。解（1)由曲線C1：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－4＋\f（\r(2),2）t，,y＝\f（\r（2),2）t，））消去參數(shù)t，得y＝x＋4，所以曲線C1表示一條直線．由曲線C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2＋cosθ,,y＝1＋sinθ，)）消去參數(shù)θ,得（x＋2)2＋（y－1）2＝1,所以曲線C2表示以（－2，1)為圓心，1為半徑的圓．（2）方法一圓心C2（－2，1）到直線x－y＋4＝0的距離為d＝eq\f（|－2－1＋4|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2），所以|AB|＝2eq\r（r2－d2)＝2eq\r（1－\f（1，2））＝eq\r(2)。方法二將直線的參數(shù)方程C1：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋\f（\r（2），2）t，，y＝\f（\r（2）,2)t)）(t為參數(shù)）代入曲線C2:(x＋2）2＋(y－1）2＝1，整理得t2－3eq\r(2)t＋4＝0。設A,B對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝3eq\r（2），t1t2＝4，所以｜AB｜＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝eq\r(2)。引申探究1．若點P（－4,0）是曲線C1上的定點,本例其它條件不變，求|PA｜＋｜PB|的值．解由曲線C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosθ，，y＝1＋sinθ）)知，曲線C2是圓(x＋2）2＋(y－1）2＝1。因為點P（－4，0）在圓（x＋2）2＋(y－1）2＝1外，將直線的參數(shù)方程eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－4＋\f(\r（2)，2)t，，y＝\f（\r（2），2）t））代入曲線C2：(x＋2）2＋（y－1)2＝1,得t2－3eq\r（2)t＋4＝0,設A，B對應的參數(shù)為t1,t2，則t1，t2同號，且t1＋t2＝3eq\r(2)，t1·t2＝4,所以|PA｜＋｜PB|＝｜t1｜＋|t2|＝｜t1＋t2｜＝3eq\r（2).2．在探究1條件不變的情況下，求eq\f（1,|PA|）＋eq\f(1，|PB|）的值．解由探究1知，t1＋t2＝3eq\r(2），t1·t2＝4，所以|PA｜＋｜PB｜＝｜t1＋t2|＝3eq\r(2),｜PA|·|PB|＝|t1t2|＝4.所以eq\f(1,｜PA|）＋eq\f(1,｜PB|）＝eq\f（｜PA|＋｜PB｜，｜PA｜·｜PB｜)＝eq\f（3\r(2)，4).反思與感悟(1)參數(shù)方程中一個確定的參數(shù)值對應著曲線上一個確定的點，由參數(shù)方程求曲線交點坐標時，可以通過方程組求出參數(shù)值，再根據(jù)參數(shù)值得出交點坐標．(2）解題時如果涉及求直線被曲線截得的線段的長度或者直線上的點與曲線交點之間線段長度的和、乘積等，都可以利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義加以解決．跟蹤訓練4已知直線l：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝5＋\f（\r（3），2)t,，y＝\r（3）＋\f（1,2）t））(t為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ。（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2）設點M的直角坐標為(5，eq\r(3）），直線l與曲線C的交點為A，B，求｜MA|·|MB｜的值;(3)求eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\f(1,|MA｜)－\f（1，|MB|）））的值．解(1)曲線C的極坐標方程ρ＝2cosθ化為直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.(2)將eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝5＋\f（\r(3)，2）t,，y＝\r（3）＋\f（1，2）t）)代入x2＋y2－2x＝0,得t2＋5eq\r(3)t＋18＝0。設這個方程的兩個實根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義可知，|MA|·|MB｜＝｜t1t2|＝18.(3）由(2)知t1，t2為同號，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|MB|－｜MA|））＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|t2|－|t1｜）)＝|t2－t1｜＝eq\r（t1＋t22－4t1t2)＝eq\r（3)，∴eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f(1,｜MA|）－\f（1,｜MB|）))＝eq\f(\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(|MB｜－｜MA｜）），|MA｜·｜MB｜)＝eq\f(\r（3），18）.1．直線eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2＋3t，，y＝－1＋t)）（t為參數(shù))上對應t＝0，t＝1兩點間的距離是()A．1 B.eq\r（10）C．10 D．2eq\r(2）答案B解析因為題目所給方程不是參數(shù)方程的標準形式，參數(shù)t不具有幾何意義，故不能直接由1－0＝1來得距離，應將t＝0,t＝1分別代入方程得到兩點坐標（2，－1）和（5,0),由兩點間距離公式來求出距離，即eq\r（2－52＋－1－02）＝eq\r（10）。2．直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－3＋tcosα,，y＝2＋tsinα)）（t為參數(shù),α＝eq\f(π，6））不經(jīng)過（)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D3．若直線l1:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－2t，，y＝2＋kt））(t為參數(shù))與直線l2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝s，,y＝1－2s））(s為參數(shù))垂直,則k＝________。答案－1解析由－eq\f（k，2）·（－2）＝－1,得k＝－1。4．設直線l過點A（2,－4），傾斜角為eq\f（5π,6），則直線l的參數(shù)方程為________．答案eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcos\f(5π,6），，y＝－4＋tsin

\f(5π，6））)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f（\r（3)，2)t，,y＝－4＋\f(1，2)t))解析∵α＝eq\f（5π，6），∴cosα＝－eq\f（\r（3）,2），sinα＝eq\f(1,2),∴l(xiāng)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2－\f（\r(3)，2)t,,y＝－4＋\f(1，2）t））(t為參數(shù))．5．一直線過P0(3,4),傾斜角α＝eq\f(π，4),求此直線與直線3x＋2y＝6的交點M與P0之間的距離．解設直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3＋\f(\r（2)，2）t,,y＝4＋\f(\r（2),2)t,))將它代入已知直線3x＋2y－6＝0，得3eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(\r（2)，2）t）)＋2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(4＋\f（\r(2),2)t))＝6，解得t＝－eq\f（11\r（2)，5），∴｜MP0|＝|t|＝eq\f(11\r（2），5).1．經(jīng)過點M0(x0，y0），傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝x0＋tcosα，，y＝y(tǒng)0＋tsinα）)(t為參數(shù))．其中t表示直線l上以定點M0為起點,任意一點M(x,y)為終點的有向線段eq\o（M0M,\s\up6（→）)的數(shù)量,可以為正、為負，也可以為零．2．直線l：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝x0＋tcosα，，y＝y(tǒng)0＋tsinα））（t為參數(shù)）與二次曲線C交于兩點A，B，A，B對應的參數(shù)為t1，t2.則｜AB｜＝｜t1－t2｜.但|M0A｜＋｜M0B|與｜AB|不完全相同，當t1與t2異號時，｜M0A|＋|M0B|＝|AB|＝|t1－t2｜;當t1與t2同號時，|M0A｜＋｜M0B|＝｜t1＋t2|≠|AB｜.3．要注意區(qū)別直線參數(shù)方程是否為標準形式,若不是標準形式，則參數(shù)t就不具有相應的幾何意義．課時作業(yè)一、選擇題1．若直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1＋2t，，y＝2－3t)）(t為參數(shù)）,則直線的斜率為（)A。eq\f（2,3) B．－eq\f（3，2)C.eq\f（3,2) D．－eq\f（2,3）答案B解析直線eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝2－3t）)的普通方程為y＝－eq\f（3,2）x＋eq\f（7，2)，所以直線的斜率為－eq\f（3，2).2．直線eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，，y＝－2＋tsinα)）(α為參數(shù)，0≤a<π)必過點（）A．（1，－2) B．(－1,2)C．(－2,1） D．（2，－1)答案A解析當t＝0時，eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1，，y＝－2，))所以直線必過點(1，－2)．3．已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1＋tsin\f(π，6）,,y＝2－tcos\f(π,6）)）（t為參數(shù)），則直線l的傾斜角α為(）A。eq\f（π，6） B.eq\f（π,3）C。eq\f（5π，6) D。eq\f(2π，3)答案D解析∵eq\f（y－2，x＋1）＝eq\f（－tcos\f（π,6)，tsin\f(π,6）)＝－eq\r（3)，∴tanα＝－eq\r（3）。又0≤α<π,∴α＝eq\f(2π，3）。4．直線eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋tcos50°,,y＝3－tsin40°)）（t為參數(shù))的傾斜角α等于()A．40° B．50°C．－45° D．135°答案D解析根據(jù)tanα＝eq\f(－sin40°，cos50°）＝－1，得傾斜角為135°.5．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝x0－3λ，，y＝y(tǒng)0＋4λ)）(λ為參數(shù)）與eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，，y＝y(tǒng)0＋tsinα））(t為參數(shù)）表示同一條直線，則λ與t的關系是（)A．λ＝5t B．λ＝－5tC．t＝5λ D．t＝－5λ答案C解析由x－x0,得－3λ＝tcosα，由y－y0，得4λ＝tsinα,消去α的三角函數(shù)，得25λ2＝t2，得t＝±5λ，借助于直線的斜率，可排除t＝－5λ，所以t＝5λ。6．直線eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1＋\f(1，2)t，，y＝－3\r(3)＋\f(\r(3）,2）t）)（t為參數(shù)）和圓x2＋y2＝16交于A、B兩點，則AB的中點坐標為（）A．(3,－3) B．（－eq\r(3),3)C．（eq\r（3），－3） D．（3，－eq\r(3))答案D解析將x＝1＋eq\f（t,2）,y＝－3eq\r（3）＋eq\f（\r(3），2)t代入圓方程,得eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f(t，2）))2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－3\r（3)＋\f(\r（3），2）t）)2＝16，∴t2－8t＋12＝0，則t1＝2，t2＝6，因此AB的中點M對應參數(shù)t＝eq\f(t1＋t2，2)＝4，∴x＝1＋eq\f（1,2）×4＝3，y＝－3eq\r（3)＋eq\f(\r(3）,2）×4＝－eq\r(3),故AB中點M的坐標為(3，－eq\r（3）)．二、填空題7．已知直線l1：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1＋3t，，y＝2－4t))（t為參數(shù)）與直線l2：2x－4y＝5相交于點B，且點A（1，2)，則|AB｜＝________。答案eq\f(5，2)解析將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1＋3t，，y＝2－4t））代入2x－4y＝5,得t＝eq\f（1，2)，則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5，2）,0)）.又A(1,2），所以｜AB｜＝eq\f(5，2)。8．直線eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2＋\f(\r(2）,2)t，，y＝－3－\f(\r(2)，2)t)）（t為參數(shù)）上到點M(2，－3）的距離為eq\r（2)且在點M下方的點的坐標是________．答案(3，－4)解析直線參數(shù)方程的標準式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(\r（2),2）t，,y＝－3＋\f(\r（2)，2）t))(t為參數(shù))，則M對應的參數(shù)為t＝－eq\r(2），∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(\r（2），2）×－\r(2)＝3，,y＝－3＋\f(\r（2),2)×－\r(2)＝－4，))∴點M的坐標為（3，－4）．9．已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，,y＝1＋t）)（t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ＝4eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ〉0，\f(3π,4)<θ〈\f(5π,4))),則直線l與曲線C的交點的極坐標為________．答案（2，π)解析因為直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－1＋t，,y＝1＋t，）)所以直線l的普通方程為y＝x＋2.因為曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ＝4eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(ρ>0，\f(3π，4）〈θ〈\f(5π，4））），可得曲線C的直角坐標方程為x2－y2＝4（x〈0）．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4x〈0，，y＝x＋2，))解得交點坐標為（－2，0）,所以交點的極坐標為（2，π）．10．已知直線l:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t,,y＝1＋4t))（t為參數(shù)）,圓C的極坐標方程為ρ＝2cosθ,則圓心C到直線l的距離為________．答案eq\f(3\r(5),5)解析直線l的普通方程為2x－y＋1＝0，圓ρ＝2cosθ的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0,即(x－1)2＋y2＝1，圓心為(1，0)．故圓心到直線的距離為eq\f（|2－0＋1|,\r（22＋－12）)＝eq\f(3\r(5)，5）.三、解答題11．已知直線l過點A(－2,3)，傾斜角為135°，求直線l的參數(shù)方程，并且求直線上與點A距離為3eq\r（2）的點的坐標．解直線l1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－2＋tcos135°，,y＝3＋tsin135°)）（t為參數(shù)），即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2－\f（\r(2）,2）t，,y＝3＋\f（\r(2），2）t.))①設直線上與點A距離為3eq\r（2）的點為B,且點B對應的參數(shù)為t,則｜AB|＝|t|＝3eq\r(2).所以t＝±3eq\r(2)。把t＝±3eq\r(2）代入①，得當t＝3eq\r(2)時，點B在點A的上方，點B的坐標為(－5，6)；當t＝－3eq\r(2）時，點B在點A的下方，點B的坐標為(1,0)．12．已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1＋4cosθ，,y＝2＋4sinθ）)（θ為參數(shù)），直線l經(jīng)過定點P（3,5)，傾斜角為eq\f(π,3）.(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標準方程;（2)設直線l與曲線C相交于A，B兩點,求｜PA|·｜PB｜的值．解(1）曲線C:（x－1）2＋（y－2）2＝16，直線l：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3＋\f（1,2）t，,y＝5＋\f（\r(3)，2)t）)（t為參數(shù)）．(2)將直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程,可得t2＋（2＋3eq\r(3）)t－3＝0，設t1，t2是方程的兩個根，則t1t2＝－3，所以|PA|｜PB|＝｜t1|｜t2|＝|t1t2｜＝3。13．在極坐標系中，已知圓心Ceq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（3,\f(π，6)）)，半徑r＝1.(1)求圓的直角坐標方程；(2)若直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1＋\f（\r(3),2)t，,y＝\f（1,2）t））(t為參數(shù)）與圓交于A，B兩點，求弦AB的長．解(1）由已知得圓心Ceq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3)，2），\f（3，2))），半徑為1,圓的方程為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(3\r(3）,2))）2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(y－\f（3,2））)2＝1,即x2＋y2－3eq\r(3）x－3y＋8＝0，(2)由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f（\r(3),2）t,，y＝\f（1，2)t