中考第一輪復(fù)習(xí)第講銳角三角函數(shù)

第二十三講銳角三角函數(shù)一、特殊角的三角函數(shù)值:α30°45°60°sinα____________cosα____________tanα____________1二、直角三角形中的邊角關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系:________.(2)兩銳角之間的關(guān)系:_____________.(3)邊角之間的關(guān)系:sinA=cosB=___,sinB=cosA=___,tanA=___,tanB=___.a2+b2=c2∠A+∠B=90°三、解直角三角形的應(yīng)用1.仰角和俯角:如圖1,在同一鉛垂面內(nèi)視線和水平線間的夾角,視線在水平線_____的叫做仰角,在水平線_____的叫做俯角.圖1上方下方2.坡度(坡比)和坡角:如圖2,通常把坡面的鉛直高度h和__________之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母__表示,即i=___;坡面與_______的夾角叫做坡角,記作α.所以i=__=tanα.3.方位角:指北或指南的方向線與目標方向所成的小于90°的角叫做方位角.圖2水平寬度li水平面【思維診斷】(打“√”或“×”)1．銳角三角函數(shù)是一個比值.()2．銳角三角函數(shù)中，角度是自變量.()3．直角三角形各邊長擴大3倍，其正弦值也擴大3倍.()4．由cosα＝得銳角α＝60°.()√√×√5．銳角α的正弦值隨角度的增大而增大.()6．銳角α的余弦值隨角度的增大而增大.()7．坡比是坡面的水平寬度與鉛直高度之比.()8．解直角三角形時，必須有一個條件是邊.()√××√熱點考向一銳角三角函數(shù)概念【例1】(2014·巴中中考)在Rt△ABC中，∠C=90°,sinA=則tanB的值為()【思路點撥】先由sinA＝表示出Rt△ABC中∠A的對邊與斜邊長，再由勾股定理求出另一條直角邊長，利用銳角三角函數(shù)的定義求解.【自主解答】選D.∵sinA=∴設(shè)BC=5x，AB=13x，【規(guī)律方法】根據(jù)定義求三角函數(shù)值的方法1.分清直角三角形中的斜邊與直角邊.2.正確地表示出直角三角形的三邊長，常設(shè)某條直角邊長為k(有時也可以設(shè)為1)，在求三角函數(shù)值的過程中約去k.3.正確應(yīng)用勾股定理求第三條邊長．4.應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義，求出三角函數(shù)值．

【真題專練】1.(2014·湖州中考)如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=則BC的長是()A．2B．8C．2D.4【解析】選A.因為所以解得BC=2.2.(2014·威海中考)如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，O都在格點上，則∠AOB的正弦值是()【解析】選D.作AC⊥OB于點C，【變式略訓(xùn)練】如圖,∠晌AO霞B是放揭置在棋正方爺形網(wǎng)裁格中贈的一球個角,則co封s∠貍AO澤B的值釋是.【解析】連接AC．由忍網(wǎng)格斃圖知負△AO面C是等腰垂直角及三角猜形，沸設(shè)小特正方撐形的溫邊長為1，則∴co堅s∠A兇OB＝答案戲：3.算(2煌01墳4·汕尾純中考)在Rt縮慧△A秩BC中，家∠C=拴90墳°，若則co蓋sB的值地是(辯)【解析】選B.在Rt洗△A俗BC中，極∠C=坡90堪°,所以熱點雕考向體二特殊上角三踏角函俘數(shù)值叫的計境算【例2】(2典01慶3·重慶盤中考)計算6t槳an血4鬧5°呆-2葡co俯s售60輛°的結(jié)資果是(垂)A.飾4柱B抗.4筑C.籮5蠅D.攝5【思路揉點撥】將co粒s60屋°，ta柿n具45雜°的值痰分別拉代入心計算慚，即養(yǎng)可得菊出答符案．【自主憑解答】選D.蒸6t縣an遣4肅5°洋-2附co千s違60串°=執(zhí)6×危1-詞2×胡=6而-1醉=5儀.【規(guī)律羨方法】熟記米特殊鵝角的您三角吳函數(shù)騎值的登兩種個方法1.按值澇的變崇化：30駛°，45軋°,容60膠°角的搞正余蓮弦的效分母插都是2,正弦的能分子籠分別寬是出余霞弦的辭分子悅分別草是純正給切分優(yōu)別是2.特殊午值法愈：(1摔)在直映角三甘角形賭中，促設(shè)30址°角所塘對的蓮直角結(jié)邊為1,那么紛三邊惡長分恥別為1,牽2陸.(滑2)在直貧角三潔角形織中，搬設(shè)45言°角所罵對的直農(nóng)角邊地為1,那么兄三邊子長分柄別為解再根其據(jù)銳亡角三濱角函畜數(shù)的定義極推導(dǎo)寸即可.【真題掌專練】1.設(shè)(2油01來4·天津黃中考)co罰s60扇°的值基等于(每)【解析】選A.苗co侵s60圍°=2.增(2謊01挨4·涼山膜州中孫考)在△AB遍C中，常若|co蒼sA-優(yōu)|+撇(1賺-t寧an民B巾)2=0柿,則∠C的度帽數(shù)是(慰)A.以45妻°崇B.瘋60祝°督C溝.7牌5°綠D.腐10華5°【解析】選C.由題呼意得蘭，co承sA-查=0解,1淹-t鄭an于B年=0，co蠅sA=肅,ta遲n賄B=舍1,渡∠A久=6貞0°毯,∠責(zé)B=嶄45通°,故∠C=杠18煉0°鍬-∠嚇A-賴∠B不=7并5°丘.【方法欄技巧】銳角荒三角博函數(shù)切值的枯應(yīng)用(1澡)已知謎特殊突角，腔求相選應(yīng)角幻玉的三陵角函枯數(shù)值.(2黨)根據(jù)媽特殊與角的舊三角紅函數(shù)個值，悉求相惑應(yīng)銳鈴角的成度數(shù)魄．(3奴)1榜5°，75賓°角的栽三角挨函數(shù)界值，桿可通率過構(gòu)侍造含30捉°角或45勇°角的錯直角鄉(xiāng)豐三角全形求載出．3.框(2市01暖4·白銀黑中考)△自AB沾C中，駁∠A，∠B都是本銳角辨，若si美n惑A則∠C=振__媽__網(wǎng)_.【解析】因為掘所以孩∠A=榆60曾°，∠B=袖60慨°，所以欺∠C=繪60蛇°.答案可：60京°4.檔(2憶01少3·齊齊緞哈爾怪中考)請運鈴用你派喜歡艘的方撕法求ta肆n研75筒°＝__淚__猛_．【解析】如圖看，作齊△BC妻D(zhuǎn)，使文∠C＝90棍°，∠DB訓(xùn)C＝30性°，延長CB到A，使AB＝BD，連吼接AD．∵AB＝BD，∴男∠A＝∠AD乳B．∵∠DB踢C＝30照°＝2∠號A，∴∠A＝15逆°，∠AD伙C＝75貼°．設(shè)CD＝x(縱x≠夸0)，則AB＝BD＝2C逗D＝2x，答案終：2＋5.共(2庭01澤4·賀州叉中考)計算振：【解析】原式=熱點戴考向訂三解直晨角三駝角形【例3】(2偏01乞3·常德峽中考)如圖乖，在△AB蓮C中，AD是BC邊上眠的高耗，AE是BC邊上海的中遍線，娘∠C＝45艷°，si搶n陜B＝AD＝1．(1哭)求BC的長.(2睛)求ta縫n優(yōu)∠D宿AE的值穩(wěn)．【解題雀探究】(1劑)求BC的長鏟的兩慨個思根考:①圖中漲有直薯角三寸角形慮嗎?若有,請寫買出來.提示:圖中拴的直勤角三各角形榮分別步是Rt憲△A淡BD鉤,R朗t△先AD喊C,君Rt礎(chǔ)△A彼DE.②能求血出BD梨,D棚C的長愉嗎?提示:分別還在Rt駐△A內(nèi)BD跪,R遞t△原AD截C中,求BD貨,D死C的長.(2劉)求ta滿n∠哨DA弓E值的突兩個擴思考:①∠墾DA解E在哪尺個直叮角三扒角形做中?提示:在Rt艙△A飼ED中.②如何黑求∠DA瞞E的對毀邊DE的長?提示:先由AE是BC邊上氏的中霸線求撿出CE的長,再由DE在=C祝E-訪CD求得DE的長.【嘗試披解答】(1閑)∵暖AD是BC邊上驅(qū)的高樹，∴∠AD枝B＝∠AD崇C＝90飾°．在Rt決△A彎BD中，si蓋n債B＝AD＝1，∴AB＝3．∴BD＝在Rt樣△A竄DC中，標∠C＝45看°，∴CD＝AD＝1．∴BC＝BD＋CD＝(2煩)∵艘AE是BC邊上槐的中咳線，【規(guī)律震方法】解直餅角三世角形巖的三艦點注濱意1.解直牲角三赤角形霧時,要盡票量用貓到已悄知條究件的電數(shù)據(jù),防止夾“積寒累誤說差”.2.遵守榜“有套弦(斜邊)用弦(正弦劇、余讓弦),無弦廳用切(正切),寧乘道勿除泉”的暈原則,提高賊解題座的正烘確性.3.必要悔時,畫出夕圖形抵幫助范分析.【真題維專練】1.淺(2爬01考4·孝感哈中考)如圖,在?AB僅CD中,對角棕線AC扒,B克D相交羊成的心銳角索為α,若AC教=a,祖BD=b扭,則?AB偽CD的面箏積是()A.ab拉si探nαB.畝ab點si牛nαC.看ab壞co消sαD.ab探co踏sα【解析】選A.作DE遭⊥A揮C，垂姨足為E，∵四呆邊形AB圾CD是平帖行四垃邊形露，BD期=b，2.跟(2興01洞4·蘇州娃中考)如圖,在△AB魂C中,A駛B=茂AC型=5規(guī),BC我=8慮.若∠BP擱C=兄∠B騙AC稿,則ta壞n∠給BP甚C=.【解析】如圖抽所示天，過沒點A作AE巷⊥B化C于點E.∵A阿B=孕AC倘=5棍,∴B勻E=僚BC膀=鵲×衡8=述4,∠B脖AE擋=嗚∠碰BA幸C,∵∠健BP旬C=驕∠B給AC樓,∴書∠B仇PC欣=∠宅BA盼E.在Rt黎△B內(nèi)AE中，房誠由勾面股定徐理得答案點：3.梨(2偉01賊3·荊門僵中考)如圖,在Rt緒△A妙BC中,∠A裕CB途=9四0°編,D是AB的中禁點,過D點作AB的垂退線交AC于點E,痰BC廟=6判,s樣in山A=宏,則DE纖=.【解析】在Rt雜△A妥BC中，申∠C＝90蝴°，BC＝6，∴AB＝10，∵D是AB的中齊點，循∴AD＝AB＝5．∵柳△AD弟E∽所△A俗CB，答案斑：4.索(2獲01際4·重慶堆中考)如圖針，△AB掠C中，AD另⊥B鍛C，垂足里為點D，若BC漏=1杏4，AD扶=1住2，ta絨n∠避BA村D=求si望n紛C的值夜．【解析】∵AD扒⊥B水C,智∴t射an狹∠B良AD=∵ta鍵n∠脹BA頓D=系A(chǔ)D收=1紙2,∴B縣D=病9,藝∴C容D=捐BC語-B牢D=鵲14藍-9氏=5痰.在Rt的△A肥DC中，妨由勾晃股定期理,得熱點羨考向炸四解直霉角三跨角形劑的應(yīng)向用【例4】(2墾01串4·南充嶄中考)馬航MH排37系0失聯(lián)結(jié)后,我國朝政府翅積極險參與兔搜救.某日,我兩著艘專托業(yè)救狗助船A，B同時絹收到竟有關(guān)芒可疑誤漂浮浩物的稿訊息戚，可南疑漂匪浮物P在救崖助船A的北捆偏東53播.5惑0°方向伯上，嘴在救眨助船B的西菊北方摟向上鑒，船B在船A正東著方向14困0海里庫處.(參考弊數(shù)據(jù)洗：si骨n偵36歷.5領(lǐng)°≈己0.捎6,虛co踢s背36走.5筆°≈擊0.送8,雞ta佳n銅36委.5繡°≈坊0.面75拼).(1賀)求可怨疑漂鏡浮物P到A，B兩船遠所在糊直線段的距西離.(2林)若救捷助船A、救妄助船B分別屢以40海里/時，30海里/時的蚊速度拖同時禍出發(fā)刷，勻詳速直就線前拋往搜扶救，米試通攻過計字算判嶄斷哪棉艘船講先到計達P處.【思路或點撥】(1壘)過點P作PE冠⊥A表B于點E,在Rt礦△A格PE中求PE即可.(2互)在Rt貪△B蓋PE中,求出BP鍬,分別仗計算童出兩碌艘船據(jù)需要港的時主間,即可師作出塌判斷.【自主部解答】(1之)如圖牧所示誼，過翅點P作PE色⊥A柄B于點E.由題尚意，箭得∠PA口E=那36狹.5域°，∠PB后A=班45鉆°，設(shè)PE桿=x海里軌，則BE揚=P之E=善x海里.∵A淺B=迎14奮0海里錢，∴AE邀=(夢14羊0-質(zhì)x)海里.在Rt掉△P短AE中，解得x=澆60海里.所以載可疑加漂浮猴物P到A，B兩船況所在嘴直線賴的距僻離為60海里.(2榨)在Rt巧△P栗BE中，PE做=6禮0海里弦，∠PB縮慧E=甚45顏°,則BP嘗=艇≈8何4.彈8(海里),B船需扯要的現(xiàn)時間嚇為：≈2陶.8成3(小時),在Rt辜△P權(quán)AE中，=si柜n∠屈PA運E，∴AP廊=PE體÷s油in某∠P竿AE=6蘇0÷眠0.挑6=奶10蛛0(海里),∴A船需笑要的達時間補為:1貼00臣÷4斬0=雞2.鹽5.宅∵2援.8底3＞2.凡5,雹∴A船先既到達.【規(guī)律留方法】直角礦三角捐形解始決實屈際問蛾題的倍方法1.利用瓶直角蒸三角矮形或書構(gòu)造膚直角訓(xùn)三角放形解浴決實柴際問擔(dān)題,一般燙先把苗實際及問題虛轉(zhuǎn)化贈為數(shù)還學(xué)問土題,若題睬中無惱直角漂三角唇形,需要田添加展輔助魔線(如作痛三角毒形的即高等)構(gòu)造軌直角侮三角傘形,再利絞用解籌直角鐵三角垃形的食知識仇求解.2.解直姑角三群角形淡時結(jié)代合圖食形分占清圖卵形中藏哪個冊三角拘形是肌直角潑三角妙形,哪條怨邊是猾角的俊對邊丈、鄰扶邊、怨斜邊.此外醬正確樸理解病俯角虹、仰饑角等拴名詞題術(shù)語庭是解元答此汽類題堆目的樓前提.【真題蔑專練】1.定(2世01燈4·臺州沙中考)如圖,某翼枯裝飛躁行運清動員民從離覆水平擊地面奇高AC菌=5笨00鋪m的A處出暮發(fā),沿著賺俯角湊為15完°的方胡向,直線研滑行16齊00米到克達D點,然后伯打開猴降落核傘以75辟°的俯卵角降崖落到馳地面遺上的B點,求他遮飛行鍋的水濾平距倦離BC由(結(jié)果寄精確住到1m凈).逢(參考未數(shù)據(jù):s晴in稅15袖°≈贏0炕.2例6,絹co語s1桶5°之≈0劇.9支7,混ta曉n1挎5°角≈0煉.2漠7)【解析】過點D作DE織⊥A央C，作DF靠⊥B色C，垂噴足分穴別為E，F(xiàn).∵A晉C⊥榜BC，∴挺四邊勺形EC聯(lián)FD為矩蜓形，∴EC忙=D將F.在Rt葉△A管DE中，亡∠AD全E=悟15遣°，AD憤=1家6諷00，∴AE慘=AD消si某n∠待AD逃E=1甲6舒00帖si皺n姨15崖°，DE沉=AD招co舉s∠魄AD刺E=1鈔6距00辦co扁s脊15童°.∵E海C=麗AC因-A刑E，∴DF釣=5臣00葬-1噸6立00吊si或n循15矮°.在Rt降△D賠BF中，BF迅=DF期ta死n∠灣FD嚇B=EC承ta杰n15吊°.∴B擴C=響CF憑+B脾F=榜1羊60小0c蔑os辨1明5°樂+(占50閱0-亮1覺60喜0s肢in過1勇5°假)t年an幫1霉5°≈1據(jù)5首75婚.答：鋤運動即員水刻平飛傷行的稱距離占為1特57鳥5米.2.組(2宇01陽4·聊城寄中考)美麗莊的徒艙駭河車宛如煉一條柔玉帶把穿城搭而過,沿河輩兩岸宅的濱眉河大眉道和呀風(fēng)景校帶成照為我素市的潮一道革新景王觀.在數(shù)厘學(xué)課叨外實鹿踐活和動中,小亮碎在河辟西岸示濱河灑大道懇一段AC上的A,罪B兩點晉處,利用脂測角乒儀分用別對斬東岸朗的觀蘭景臺D進行胖了測牧量,分別惠測得便∠DA剖C=泰60巡壽°,棕∠D徒BC宏=7田5°質(zhì),又已府知AB港=1獸00米,求觀稻景臺D到徒候駭河骨西岸AC的距沙離約程為多何少米(精確嗽到1米).借(t語an潛60壯°≈態(tài)1.晴73樓,恨ta難n7資5°洲≈3膜.7撲3)【解析】作DF須⊥A鐘C，垂狗足為壇點F，設(shè)DF易=h憲.在Rt似△D誼FA中，即觀啟景臺D到徒墾駭河言西岸AC的距透離約進為32鳥3米.命題左新視殼角銳角撞三角皇函數(shù)派的閱憑讀理叛解題【例】(2躲01董4·遂寧銹中考)如圖,根據(jù)爸圖中俯數(shù)據(jù)絕完成乳填空,再按要求泥答題:si香n2A1+s壺in2B1=;s東in2A2+s字in2B2=;si湖n2A3+s崗in2B3=.(1誼)觀察糞上述甚等式,猜想:在Rt古△A斯BC中,∠看C=役90勇°,都有si除n2A+捎s母in2B=.(2縱)如圖厭④,在Rt牌△A查BC中,∠獎C=兆90蝦°,拔∠A東,∠鬧B,送∠C的對錄邊分考別是a,醋b,訊c,利用舊三角兼函數(shù)捏的定宴義和搶勾股籌定理,證明理你的對猜想.(3掙)已知:∠垃A+齒∠B遭=9孔0°糊,且si拒nA=求si廣nB.【審題濾視點】創(chuàng)新點(1)以閱讀理解題的形式出現(xiàn)(2)綜合運用銳角三角函數(shù)概念、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形等知識切入點第(1)題通過類比得到sin2A+sin2B=1.第(2)題,銳角三角函數(shù)的定義→求sinA,cosA→計算sin2A+cos2A→結(jié)論.第(3)題,sin2A+sin2B=1→sinB=→計算得出結(jié)果【自主鑄解答】(1喚)1奴.(2高)在Rt餃△A烈BC中，鑼∠C=緞90歇°.∴si串n2A+散si齡n2B=∵∠AD燭B=暑90漏°，∴BD2+A耽D2=A租B2，∴si耐n2A+疫co興s2A=羅1.(3崖)∵著si芬n2A+蜂si談n2B=傘1，【規(guī)律理方法】銳角陽三角磚函數(shù)副中的牌幾個狗重要達關(guān)系脊式1.若∠A為銳紋角，鋤則有si懼n(提90談°－A)禁=co趴sA，co縱s(鋤90弱°－A)=s悔in影A貪.2.平方閃關(guān)系壞：同錄一個盟角的渾正弦度和余勺弦的新平方緣瑞和等叫于1，即si傷n2A+肺co析s2A=發(fā)1.3.正余猾弦與啟正切駝之間于的關(guān)貓系：暑一個流角的游正切才值等職于這據(jù)個角浴的正弦銀值與捕余弦績值的積比，繳即殲或si鞠n春A=掩ta幅nA·礦co脅sA.4.正切斃之間制的關(guān)鋼系：ta槍nA·朱ta畢nB=族1(己∠A能+∠落B=李90被°)閥.【真題炭專練】1.疾(2愚01軌4·宜賓馳中考)規(guī)定si荒n(疑-x狡)=啞-si嘉nx，co縱s(幣-x)=co潮sx，si未n(護x+股y)=眾si瀉nx·華co價sy+飛co塞sx·蘿si土ny，據(jù)吹此判霸斷下惹列等澇式成立的愁是__汪__輩__招__騾_(寫出鞏所有構(gòu)正確暫的序?qū)捥?.①c染os姑(-茂60浙°)親=②si雄n弱75胞°=③si蘋n烘2x墨=2s誦inx·朗co內(nèi)sx；④si煉n(時x-煤y)=產(chǎn)si演nx·綢co童sy-已co狐sx·鋪si喜ny.【解析】①c寶os培(-潔60胞°)孔=co笑s60錯°=命題胸錯誤王；②si羨n卡75營°=s對in懇(3瘋0°賠+4策5°青)=槐si耕n澡30跪°·脆co誓s4鵝5°焰+c鴉os來3良0°跟·s額in壁4黃5°=故命齡題正遇確.③s衛(wèi)in交2失x=領(lǐng)si壯nx·肥co底sx+拔co因sx·鮮si按nx=喘2s鍬inx·亮co跪sx，故命公題正撿確；④si結(jié)n(跨x-質(zhì)y)=si米nx挽·c客os爬(-華y)濤+c誘os宮x·首si抖n(恭-y)=si并nx料·c員osy-co悼sx·母si偵ny，故察命題巡壽正確妨．答案銅：②③眉④2.石(2蚊01發(fā)3·湛江損中考)閱讀浴下面條的材夾料：先完膽成閱善讀填乏空，甜再按糊要求膏答題些：則si彈n230陳°＋co游s230拆°=_犧__腹_；①則si尊n245陰°＋co棉s245恐°=_濾_