大學(xué)物理下冊(cè)課后習(xí)題答案

習(xí)題八

8-1電量都是g的三個(gè)點(diǎn)電荷，分別放在正三角形的二個(gè)頂點(diǎn).試問：(1)

在這三角形的中心放一個(gè)什么樣的電荷，就可以使這四個(gè)電荷都達(dá)到平衡

(即每個(gè)電荷受其他三個(gè)電荷的庫侖力之和都為零)？(2)這種平衡與三角形

的邊長有無關(guān)系？

解：如題8-1圖示

(1)以Z處點(diǎn)電荷為研究對(duì)■象，由力平衡知：/為負(fù)電荷

(2)與三角形邊長無關(guān).

題8-1圖題8-2圖

8-2兩小球的質(zhì)量都是相，都用長為/的細(xì)繩掛在同一點(diǎn)，它們帶有相同電

量，靜止時(shí)兩線夾角為2。，如題8-2圖所示.設(shè)小球的半徑和線的質(zhì)量都可

以忽略不計(jì)，求每個(gè)小球所帶的電量.

解：如題8-2圖示

Tcos。=mg

TsinO=f；=1q,

4兀(21sin0)2

解得q=21sin6,4在o^gtan。

8-3根據(jù)點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式E當(dāng)被考察的場點(diǎn)距源點(diǎn)電荷很近(r

4在ok

-0)時(shí)，則場強(qiáng)一8,這是沒有物理意義的，對(duì)此應(yīng)如何理解？

解：后=—^德僅對(duì)點(diǎn)電荷成立，當(dāng)尸TO時(shí)，帶電體不能再視為點(diǎn)電

4?！?

荷，再用上式求場強(qiáng)是錯(cuò)誤的，實(shí)際帶電體有一定形狀大小，考慮電荷在帶

電體上的分布求出的場強(qiáng)不會(huì)是無限大.

8-4在真空中有N,8兩平行板，相對(duì)距離為d,板面積為S,其帶電量分

2

別為+4和.則這兩板之間有相互作用力/,有人說/=q,，又有人

4雁

2

說，因?yàn)?=qE,E=2,所以/=幺.試問這兩種說法對(duì)嗎?為什么?

./■到底應(yīng)等于多少？

解：題中的兩種說法均不對(duì).第一種說法中把兩帶電板視為點(diǎn)電荷是不對(duì)

的，第二種說法把合場強(qiáng)￡=一9二看成是一個(gè)帶電板在另一帶電板處的場強(qiáng)

￡()S

也是不對(duì)的.正確解答應(yīng)為一個(gè)板的電場為E=」一，另一板受它的作用

2e0S

,這是兩板間相互作用的電場力.

8-5一電偶極子的電矩為?=場點(diǎn)到偶極子中心0點(diǎn)的距離為人矢量產(chǎn)

與『的夾角為氏（見題8-5圖），且尸>>/.試證質(zhì)的場強(qiáng)E在z?方向上的分

量心和垂直于r的分量E,分別為

廣pcos6psm.0

紇

4碼廠

證：如題8-5所示，將力分解為與尸平行的分量psin6和垂直于尸的分量

psine.

r?I

二場點(diǎn)尸在r方向場強(qiáng)分量

_PCOS0

''27t￡o尸3

垂直于r方向，即。方向場強(qiáng)分量

題8-5圖題8-6圖

8-6K/=15.0cm的直導(dǎo)線AB上均勻地分布著線密度△=5.0x10*C?《的

正電荷.試求：（1）在導(dǎo)線的延長線上與導(dǎo)線B端相距q=5.0cm處P點(diǎn)的場強(qiáng);

⑵在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點(diǎn)相距由=5.0cm處。點(diǎn)的場強(qiáng).

解：如題8-6圖所示

⑴在帶電直線上取線元dx,其上電量dq在P點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)為

dEp=—1——

4K￡0(a-x)

5dx

EP=J啊=W

T3-、)2

-^―[―1-------—]

4?！?。Ja+L

22

2

71￡0(4?-『)

用/=15cm,A=5.0xl0-9Cm-1,a=12.5cm代入得

=6.74x102N-C1方向水平向右

方向如題圖所示

(2)同理dEQ=~--8-6

4兀X4-d2

由于對(duì)稱性\AEQx=0,即百0只有y分量,

dx

EQyT

(―+武/

2兀J/2+4d；

以4=5.0x10-9c.cm，/=15cm,d2=5cm代入得

2

EQ=E&=14.96X10NC-',方向沿y軸正向

8-7一個(gè)半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密廢為A,求環(huán)心處。點(diǎn)的場

強(qiáng).

解：如8-7圖在圓上取=

dq=Ad/=HAd9,它在。點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)大小為

dE=然叱方向沿半徑向外

2

4nc0R

A

貝ijdE=d￡sin9=--------sin8d(p

4?！??；?/p>

-A

d￡=dEcos(〃-(p)=--------cos(pd(p

v4兀

4%區(qū)2I%R

力—A

E-----cos(pQ(p=0

y-3

4ne0R

0

E-E-------,方向沿x軸正向.

xliteaR

8-8均勻帶電的細(xì)線彎成正方形，邊長為/,總電量為17.(1)求這正方形軸

線上離中心為r處的場強(qiáng)E；(2)證明：在尸>>/處，它相當(dāng)于點(diǎn)電荷g產(chǎn)生

的場強(qiáng)E.

解：如8-8圖示，正方形一條邊上電荷(在P點(diǎn)產(chǎn)生物強(qiáng)曲「方向如圖，大

小為

_4(cos4一cos名)

cos%=-cosq

dEp在垂直于平面上的分量da=d￡pcos/?

題8-8圖

由于對(duì)稱性，P點(diǎn)場強(qiáng)沿。尸方向，大小為

4Alr

Ep=4xdE1=

例￡0（/+4

Ep=------------T方向沿°。

4%（產(chǎn)+；）/+'

2

8-9(1)點(diǎn)電荷鄉(xiāng)位于一邊長為a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場中穿

過立方體的一個(gè)面的電通量；(2)如果該場源點(diǎn)電荷移動(dòng)到該立方體的一個(gè)

頂點(diǎn)上，這時(shí)穿過立方體各面的電通量是多少?*⑶如題8-9(3)圖所示，在

點(diǎn)電荷4的電場中取半徑為R的圓平面.q在該平面軸線上的4點(diǎn)處，求:

通過圓平面的電通量.(a=arctanK)

X

解：⑴由高斯定理安百q

立方體六個(gè)面，當(dāng)q在立方體中心時(shí)，每個(gè)面上電通量相等

①eQ

：.各面電通量6。

⑵電荷在頂點(diǎn)時(shí)，將立方體延伸為邊長2。的立方體，使q處于邊長2。的

立方體中心，則邊長2,的正方形上電通量①,q

6￡O

q

對(duì)于邊長”的正方形，如果它不包含4所在的頂點(diǎn)，則*

24金

如果它包含g所在頂點(diǎn)則

⑶?.?通過半徑為R的圓平面的電通量等于通過半徑為YIR2+X2的球冠面

的電通量，球冠面枳*

S=271(/?2+x2)[l-/X]

JR?+X2

①=---1---=[1__X]

￡。4兀(斤+，)2/7/?2+%2

*關(guān)于球冠面積的計(jì)算：見題8-9(c)圖

S427irsina?r4%

=2m2(sin6z-ckr

=27l7"2(l-cosa)

8-10均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm,外半徑10cm,電荷體密度為2X10“c?

求距球心5cm,8cm,12cm各點(diǎn)的場強(qiáng).

解：高斯定理-dS=Zg,EAnr2=Si

工￡0￡0

當(dāng)尸=5cm時(shí)，0=0,E=0

?、47r

r=8cm時(shí)，=p—（r3一埼）

冷（f）

???E=3——--=3.48X104N-C-1,方向沿半徑向外.

4neQr

.47r

,?=12cm吐gq=0?。ǔ梢荒?/p>

冷（端-哈）

E=—-------------?4.10xl04N-C-1沿半徑向外.

4n￡0廣

8-11半徑為居和氏2(尺2>與)的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分別

帶有電量2和-7,試求：⑴尸〈與；(2)Rt<r<R2i(3)處各點(diǎn)

的場強(qiáng).

解：高斯定理《后=￥

取同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積S=2m”

則-d5=E2nrl

對(duì)⑴r<R,￡q=O,E=O

(2)7?,<r<R2>q=14

2

:.E=------沿徑向向外

2?！?/p>

(3)r>R2>q=0

￡=0

?8-12圖

8-12兩個(gè)無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為名和。2，

試求空間各處場強(qiáng).

解：如題8-12圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為0與CT?，

_1

兩面間，E=一(cr,-<T2)M

/面外，豆=-------(<7]+(7,)萬

_]_

%面外，E=——(0+。2)萬

2島

n：垂直于兩平面由面指為外面.

8-13半徑為R的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為p，若在球內(nèi)挖去一塊半

徑為及的小球體，如題8-13圖所示.試求：兩球心O與O'點(diǎn)的場強(qiáng)，

并證明小球空腔內(nèi)的電場是均勻的.

解：將此帶電體看作帶正電夕的均勻球與帶電-『的均勻小球的組合，見

題8T3圖(a).

(1)+p球在。點(diǎn)產(chǎn)生電場員°=0，

43

_丁P——

-p球在。點(diǎn)產(chǎn)生電場=」——TOO'

203

4jt￡0d

???o點(diǎn)電場/=——。。'；

3￡od

_:加”—.

(2)+p在O'產(chǎn)生電場Eo，=三——.00'

4?！阰d

-"球在0’產(chǎn)生電場百20，=0

。'點(diǎn)電場后0,=止-記

3%

?，?Ep=Epo+Epo>--^―(r-尸)=O(y-

3436*Q34

腔內(nèi)場強(qiáng)是均勻的.

8-14-電偶極子由q=l.0X10t的兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷組成，兩電荷距離

d=0.2cm,把這電偶極子放在1.0X103N，C'的外電場中，求外電場作用于

電偶極子上的最大力矩.

解：V電偶極子Q在外場E中受力矩

M=pxE

"max=PE=q化代入數(shù)字

-6-35-4

Mmm=1.0xl0x2xl0xl.0xl0=2.0xl0Nm

8-15兩點(diǎn)電荷%=1.5X10'C,42=3.0X10(,相距八=42cm,要把它們之

間的距離變?yōu)椤?25cm,需作多少功？

解：

力=「戶行二=

,

*￡47i￡or4兀與〃廠2

=-6.55x10'J

外力需作的功/'=-/=—6.55x10"j

題8T6圖

8-16如題8-16圖所示，在2,8兩點(diǎn)處放有電量分別為+q,-q的點(diǎn)電荷,

AB間距離為2R,現(xiàn)將另一正試驗(yàn)點(diǎn)電荷外從。點(diǎn)經(jīng)過半圓弧移到。點(diǎn)，

求移動(dòng)過程中電場力作的功.

解：如題8T6圖不

(4外二q

4兀與‘3RR6兀47?

q°q

A=qo(Uo-Uc

6?！?R

8-17如題8-17圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為A的正電荷，兩直

導(dǎo)線的長度和半圓環(huán)的半徑都等于R.試求環(huán)中心。點(diǎn)處的場強(qiáng)和電勢(shì).

解：(D由于電荷均勻分布與對(duì)稱性，和段電荷在。點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)

互相抵消，取d/=Rd。

則dq=A/?d。產(chǎn)生。點(diǎn)dE如圖，由于對(duì)稱性，O點(diǎn)場強(qiáng)沿J軸負(fù)方向

八J阻=E慧:“sc

1八

A

[sin(--)-sin-]

4HE0R22

-A

2nenR

(2)Z8電荷在。點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)，以。8=0

q=「金「金」ln2

2

同理CD產(chǎn)生4ln2

一4%

兀尺2A

半圓環(huán)產(chǎn)生

4KE0R4￡O

U°=U/U/U廣

27r

8-18一電子繞一帶均勻電荷的長直導(dǎo)線以2X10'm?s'的勻速率作圓周運(yùn)

動(dòng).求帶電直線上的線電荷密度.（電子質(zhì)量機(jī)o=9.IX10"kg,電子電量

e=l.60X1019C）

解：設(shè)均勻帶電直線電荷密度為％,在電子軌道處場強(qiáng)

電子受力大小

V

=m一

2兀尸

=12.5X1OT3Cm-

8-19空氣可以承受的場強(qiáng)的最大值為￡=30kV?cmT,超過這個(gè)數(shù)值時(shí)空氣

要發(fā)生火花放電.今有一高壓平行板電容器，極板間距離為d=0.5cm,求此

電容器可承受的最高電壓.

解：平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場

t/=Ed=1.5xlO4V

8-20根據(jù)場強(qiáng)E與電勢(shì)U的關(guān)系E=,求下列電場的場強(qiáng)：（1）點(diǎn)電

荷q的電場；（2）總電量為q,半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)；*（3）偶

極子p=q/的r?/處（見題8-20圖）.

解：（1）點(diǎn)電荷。=一幺O-F-0---題8-20圖

4ji￡0r

=—^--r0%為r方向單位矢量.

dr4it￡0r

（2）總電量4,半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)電勢(shì)

U2

22

4HE0^R+X

dU-_qx

2232

取i47t￡0(T?+x)

⑶偶極子萬=〃■在r>>/處的一點(diǎn)電勢(shì)

q111qlcos。

U=

47tfr2

4無￡。(r——cos。)(1+—cos^)o

dU_pcosd

3

dr27t￡or

1dU_psind

3

rHO4jts()r

8-21證明：對(duì)于兩個(gè)無限大的平行平面帶電導(dǎo)體板（題8-21圖）來說，（1）相

向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相反；（2）相背的兩面上，

電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相同.

證：如題8-21圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體4、8的四個(gè)平面均勻帶電的電荷面密度

依次為G，<7,,<73,<74

題8-21圖

（1）則取與平面垂直且底面分別在4、8內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時(shí)，有

但達(dá)=(%+%”=。

cr2+cr3=0

說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號(hào)相反；

(2)在N內(nèi)部任取一點(diǎn)尸，則其場強(qiáng)為零，并且它是由四個(gè)均勻帶電平面產(chǎn)

生的場強(qiáng)疊加而成的，即

歷%_Q

又V%+%=0

二。|=%

說明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號(hào)相同.

8-22三個(gè)平行金屬板A,8和C的面積都是200cm,/和3相距4.0mm,A

與。相距2.0mm.B,C都接地，如題8-22圖所示.如果使Z板帶正電3.0

X107C,略去邊緣效應(yīng)，問8板和C板上的感應(yīng)電荷各是多少？以地的電勢(shì)

為零，則N板的電勢(shì)是多少？

解：如題8-22圖示，令/板左側(cè)面電荷面密度為0,右側(cè)面電荷面密度為

卜CA卜LB

題8-22圖

⑴丁UAC=UAB,即

,,E4cd4c=EABdAB

?歷_EK_%_?

??———乙

%EABdjc

且(7,+CT,--

12s

得

23S'13s

2

而=_/s=_]</，=-2xio-7c

qc

[8=—6>S=—lx10C

(2)U*=E"d/c=%d“=2.3x103V

當(dāng)

8-23兩個(gè)半徑分別為舄和一(K＜色)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼

帶電“，試計(jì)算：

(1)外球殼上的電荷分布及電勢(shì)大小；

(2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時(shí)外球殼的電荷分布及

電勢(shì)；

*(3)再使內(nèi)球殼接地，此時(shí)內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢(shì)的改變

量.

解：(1)內(nèi)球帶電+q；球殼內(nèi)表面帶電則為一夕，外表面帶電為+q，旦均

勻分布，其電勢(shì)

題8-23圖

U==

泉2近4兀尸24?！辍；?/p>

⑵外殼接地時(shí)，外表面電荷+夕入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為

_q.所以球殼電勢(shì)由內(nèi)球+夕U內(nèi)表面一q產(chǎn)生：

u=—%--------&-=o

4兀&&4?！?)&

⑶設(shè)此時(shí)內(nèi)球克帶電中:為q；則外光內(nèi)表向帶電腦為一■,外殼外表面帶

電量為一4+，（電荷守恒），此時(shí)內(nèi)球殼電勢(shì)為零，且

q'q'?q+q'

UA

4jt￡,7?

0l4HEQR24HE0R2

得q7

“2

外球殼上電勢(shì)

_q'q'-q+q,_（R「R』q

176-----------------------------------------1-------------------=-----------------Z-

4HE（）R24?！辏ǎ?4nEnR24兀￡（）的

8-24半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距為

d=3火處有一點(diǎn)電荷+q,試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量.

解：如題8-24圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為/,則球接地時(shí)電勢(shì)。。=0

由電勢(shì)疊加原理有：

4二號(hào)小。

，q

得q=-----

3

8-25有三個(gè)大小相同的金屬小球，小球1,2帶有等量同號(hào)電荷，相距甚遠(yuǎn),

其間的庫侖力為五（）.試求:

（1）用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1,2后移去，小球1,2之間的庫

侖力；

（2）小球3依次交替接觸小球1,2很多次后移去，小球1,2之間的庫侖力.

解：由題意知

47i￡or-

⑴小球3接觸小球1后，小球3和小球1均帶電

小球3再與小球2接觸后，小球2與小球3均帶電

，3

qF

,此時(shí)小球1與小球2間相互作用力

3

q'q"8

F[=

4兀/

(2)小球3依次交替接觸小球1、2很多次后，每個(gè)小球帶電量均為名.

3

22

W4

二小球1、2間的作用力月=i=一=一乙

*8-26如題8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S,相距為d,分別

維持電勢(shì)U/=U，UB=°不變.現(xiàn)把一塊帶有電量4的導(dǎo)體薄片平行地放在

兩極板正中間，片的面積也是S,片的厚度略去不計(jì).求導(dǎo)體薄片的電勢(shì).

解：依次設(shè)/,C,8從上到下的6個(gè)表面的面電荷密度分別為0,<72,

%，%，%，4如圖所示?由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持=U

可得以下6個(gè)方程

題8-26圖

歷+(T,="'=1C°U=%"

'2SS°d

q

6+/=%=-加

56sd

cr2+cr3=0

%+%=o

0=%+%+%+%+(76

q

解得

a--(J-￡°u__

“一2d2S

，-一。c一_叩才+行q

所以C8間電場

■Eod2E0S

—建=匆+券)

注意：因?yàn)?。片帶電，所以Uc/g,若C片不帶電，顯然

8-27在半徑為與的金屬球之外包有一層外半徑為夫2的均勻電介質(zhì)球殼，

介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)為金屬球帶電0.試求:

(1)電介質(zhì)內(nèi)、外的場強(qiáng)；

(2)電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢(shì)；

⑶金屬球的電勢(shì).

解：利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理弧

(1)介質(zhì)內(nèi)(及＜，＜/?2)場強(qiáng)

力=4汽同=4"3

4Tir4nE0￡rr

介質(zhì)外&<與)場強(qiáng)

n_Qrp_Qr

)_4兀產(chǎn)外_4兀￡/

(2)介質(zhì)外&>“)電勢(shì)

介質(zhì)內(nèi)因＜，＜兄)電勢(shì)

(7=［月內(nèi)df+「瓦卜,df

=—+=

47iE0errR24JC￡07?2

4n￡0￡rrR2

(3)金屬球的電勢(shì)

U=1%d"工瓦卜擊

二「2Qdr?pQdr

22

L47t￡0￡rrh47t￡or

4兀&R2

8-28如題8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對(duì)介電常數(shù)為

￡,.的電介質(zhì).試求：在有電介質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分極板上自由電荷血密度

的比值.

解：如題8-28圖所示，充滿電介質(zhì)部分場強(qiáng)為22,真空部分場強(qiáng)為瓦，自

由電荷面密度分別為與0rl

由[方正=2夕。得

而D、—￡°￡1,D2—2

「口U

8-29兩個(gè)同軸的圓柱面，長度均為/,半徑分別為居和&(火2>/)，且

l?R2-R],兩柱面之間充有介電常數(shù)￡的均勻電介質(zhì).當(dāng)兩圓柱面分別帶等

量異號(hào)電荷。和-。時(shí)，求:

⑴在半徑r處(8<，?<&=,厚度為dr,長為/的圓柱薄殼中任一點(diǎn)的電

場能量密度和整個(gè)薄殼中的電場能量；

⑵電介質(zhì)中的總電場能量；

(3)圓柱形電容器的電容.

解：取半徑為r的同軸圓柱面(S)

則4?而=2nrlD

當(dāng)（與＜尸＜尺2）時(shí)，工q=Q

D=-^~

2?！?/p>

D2Q2

⑴電場能量密度w----=---------

2E8兀2夕2/2

薄殼中27r

AW—wdv——&p2夕2/2rdrl—°船"0]

(2)電介質(zhì)中總電場能量

Rr,?1*202drQ-.R,

W=\dW7=———=-^-ln—

J'飆4it￡rl4nel7?,

⑶電容：：W=^~

2C

一2%-ln（&/RJ

*8-30金屬球殼Z和8的中心相距為r,Z和8原來都不帶電.現(xiàn)在Z的

中心放一點(diǎn)電荷小,在8的中心放一點(diǎn)電荷/，如題8-30圖所示.試求：

（1）/對(duì)弦作用的庫侖力，生有無加速度;

⑵去掉金屬殼8，求名作用在紜上的庫侖力，此時(shí)%有無加速度?

解：（1）小作用在%的庫侖力仍滿足庫侖定律，即

1

47c島r2

但夕2處于金屬球殼中心，它受合力為零，沒有加速度.

⑵去掉金屬殼8,小作用在以上的庫侖力仍是F=_華，但此時(shí)％

4?！辏ǎ﹔

受合力不為零，有加速度.

A

5

B止

AB

G

一

題8-30圖題8-31圖

8-31如題8-31圖所示，G=0.25//F,C2=0.15//F,C3=0.20//F.C,±

電壓為50V.求：UAB.

解：電容G上電量

9=GL

電容。2與G并聯(lián)。23=。2+。3

其上電荷。23=9

.以Gd25x50

..3=—=------=---------

。23。2335

25

力8=%+。2=50（1+百）=86V

8-32。和。2兩電容器分別標(biāo)明"20。pF、500V”和“300pF、900V",把它

們串聯(lián)起來后等值電容是多少?如果兩端加上1000V的電壓，是否會(huì)擊穿?

解：（1）G與。2串聯(lián)后電容

―巫_=200x300soPF

C,+C2200+300

⑵串聯(lián)后電壓比

——=——二—,而。］+t/2=i000

U2G212

U,=600V,t/2=400V

即電容G電壓超過耐壓值會(huì)擊穿，然后。2也擊穿?

8-33將兩個(gè)電容器G和02充電到相等的電壓。以后切斷電源，再將每一

電容器的正極板與另一電容器的負(fù)極板相聯(lián).試求：

(1)每個(gè)電容器的最終電荷：

⑵電場能量的損失.

解：如題8-33圖所示，設(shè)聯(lián)接后兩電容器帶電分別為4,%

yJ+Cic，%

題8-33圖

CCU

/+%=7io-,20=P-2

則《

%。2。2

u、=u]

解得⑴7,=———■-U———■-U

c,2c,+c

+c22

⑵電場能量損失

G+02

8-34半徑為&=2.0cm的導(dǎo)體球，外套有一同心的導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)、外半

徑分別為“=4.0cm和&=5.0cm,當(dāng)內(nèi)球帶電荷0=3.0X10'C時(shí)，求：

(1)整個(gè)電場儲(chǔ)存的能量；

⑵如果將導(dǎo)體殼接地，計(jì)算儲(chǔ)存的能量；

⑶此電容器的電容值.

解：如圖，內(nèi)球帶電0,外球殼內(nèi)表面帶電-。，外表面帶電0

(1)在r＜R］和7?2＜尸＜火3區(qū)域

后=0

在與〈八＜%時(shí)

4?！?尸

r＞火3時(shí)

4TI￡0F

.,.在為＜r＜/?2區(qū)域

%=

Q。2"_爐11

!

18兀//87if0&R2

在r＞&區(qū)域

%=總。

：.總能量%=%+%,=-^―(-——-+—)

'28兀鳥與R2R3

=1.82X1()TJ

(2)導(dǎo)體殼接地時(shí)，只有與＜r(凡時(shí)2=上二丁，憶=0

4兀尸

n211

%=%=*_(-------)=1.01xl()TJ

8?！?)R[R2

2W11

⑶電容器電容C=-——47t￡/(-------)

Q20&&

=4.49x10*p

習(xí)題九

9-1在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn)月的數(shù)值是否都相等?為何不把作用于運(yùn)動(dòng)電

荷的磁力方向定義為磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向？

解：在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn)月的數(shù)值一般不相等.因?yàn)榇艌鲎饔糜谶\(yùn)動(dòng)電

荷的磁力方向不僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度月的方向有關(guān)，而且與電荷速度方向有關(guān),

即磁力方向并不是唯一由磁場決定的，所以不把磁力方向定義為月的方向.

叫"2

II

dL--------jc

題9-2圖

9-2(1)在沒有電流的空間區(qū)域里，如果磁感應(yīng)線是平行直線，磁感應(yīng)強(qiáng)度月

的大小在沿磁感應(yīng)線和垂直它的方向上是否可能變化(即磁場是否一定是均

勻的)？

(2)若存在電流，上述結(jié)論是否還對(duì)？

解：(1)不可能變化，即磁場一定是均勻的.如圖作閉合回路abed可證明

瓦=瓦

Jdi=B、da-B,bc=從。＞,1=。

=瓦

⑵若存在電流，上述結(jié)論不對(duì).如無限大均勻帶電平面兩側(cè)之磁力線是平

行直線，但月方向相反，即AH瓦.

9-3用安培環(huán)路定理能否求有限長一段載流直導(dǎo)線周圍的磁場？

答：不能，因?yàn)橛邢揲L載流直導(dǎo)線周圍磁場雖然有軸對(duì)稱性，但不是穩(wěn)恒電

流，安培環(huán)路定理并不適用.

9-4在載流長螺線管的情況下，我們導(dǎo)出其內(nèi)部8=〃?！?,外面8=0,所

以在載流螺線管

外面環(huán)繞周(見題9-4圖)的環(huán)路積分

日月外?“=()

但從安培環(huán)路定理來看，環(huán)路L中有電流I穿過，環(huán)路積分應(yīng)為

4島?d，=〃o/

這是為什么？

解：我們導(dǎo)出8內(nèi)=4?！?,6外=0有一個(gè)假設(shè)的前提，即每匝電流均垂直于

螺線管軸線.這時(shí)圖中環(huán)路L上就一定沒有電流通過，即也是

4月外?d，=M)Z/=0,與《瓦卜(，=4()(7=0是不矛盾的.但這是導(dǎo)

線橫截面積為零，螺距為零的理想模型.實(shí)際上以上假設(shè)并不真實(shí)存在，所

以使得穿過L的電流為/，因此實(shí)際螺線管若是無限長時(shí)，只是月外的軸向

分量為零，而垂直于軸的圓周方向分量8工=幺"，尸為管外一點(diǎn)到螺線管軸

12m

題9-4圖

9-5如果一個(gè)電子在通過空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，能否肯定這個(gè)區(qū)域中沒有

磁場?如果它發(fā)

生偏轉(zhuǎn)能否肯定那個(gè)區(qū)域中存在著磁場？

解：如果一個(gè)電子在通過空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，不能肯定這個(gè)區(qū)域中沒有

磁場，也可能存在互相垂直的電場和磁場，電子受的電場力與磁場力抵消所

致.如果它發(fā)生偏轉(zhuǎn)也不能肯定那個(gè)區(qū)域存在著磁場，因?yàn)閮H有電場也可以

使電子偏轉(zhuǎn).

9-6已知磁感應(yīng)強(qiáng)度8=2.0Wb?ni”的均勻磁場，方向沿x軸正方向，

如題9-6圖所示.試求：（1）通過圖中abed面的磁通量；（2）通過圖中優(yōu)先面

的磁通量；（3）通過圖中。如面的磁通量.

解：如題9-6圖所示

⑴通過abed面積Sj的磁通是

R=夙，=2.0x0.3x0.4=0.24Wb

⑵通過6吩面積S2的磁通量

嗎=月5=o

⑶通過華燈面積S3的磁通量

--4

03=5S3=2xO.3xO.5xcos0=2x0.3x0.5xy=0.24Wb（或曰

-0.24Wb)

題9-7圖

9-7如題9-7圖所示，AB、為長直導(dǎo)線，與。為圓心在。點(diǎn)的一段圓

弧形導(dǎo)線，其半徑為若通以電流/,求。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

解：如題9-7圖所示，。點(diǎn)磁場由48、BC.C。三部分電流產(chǎn)生.其中

AB產(chǎn)生月1=0

CD產(chǎn)生B,=",方向垂直向里

212火

CD段產(chǎn)生83=1%（5淪90°—5足60°）=找（1—等），方向J.向

4兀一一一‘、’、一

2

里

，舔=用+&+曷='^^'（1—+W），方向J"向里.

9-8在真空中，有兩根互相平行的無限長直導(dǎo)線口和乙2,相距0.1m，通有

方向相反的電流，/|=20.A,A=10A，如題9-8圖所示.A,8兩點(diǎn)與導(dǎo)線在

同一平面內(nèi).這兩點(diǎn)與導(dǎo)線心的距離均為5.0cm.試求4,8兩點(diǎn)處的磁感

應(yīng)強(qiáng)度，以及磁感應(yīng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)的位置.

Z,=20A

Z2=10A

\*B題9-8圖

解：如題9-8圖所示，BA方向垂直紙面向里

______p=1.2x10-4

BAT

2^-(0.1-0.05)2^-x0.05

⑵設(shè)月=0在人外側(cè)距離人為廠處

——四=0

則

2萬(r+0.1)2.

解得r=0.1m

題9-9圖

9-9如題9-9圖所示，兩根導(dǎo)線沿半徑方向引向鐵環(huán)上的B兩點(diǎn),并在

很遠(yuǎn)處與電源相連.已知圓環(huán)的粗細(xì)均勻，求環(huán)中心。的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

解：如題9-9圖所示，圓心。點(diǎn)磁場由直電流和臺(tái)8及兩段圓弧上電

流/|與所產(chǎn)生，但/8和臺(tái)8在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為零。且

/i_電阻用_。

12一電阻R1一2兀一。

產(chǎn)生及方向，紙面向外

B=(2--8)

1ITT

，2產(chǎn)生月2方向■紙面向里

B-e

2-2火2萬

B］」（2兀一8）、

B2~120

有月0=月［+月2=0

9-10在一半徑7?=1.0cm的無限長半圓柱形金屬薄片中，自上而下地有電

流/=5.0A通過，電流分布均勻.如題9T0圖所示.試求圓柱軸線任一點(diǎn)P處

的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

題9-10圖

解：因?yàn)榻饘倨瑹o限長，所以圓柱軸線上任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向都在圓

柱截面上，取坐標(biāo)如題9-10圖所示，取寬為d/的一無限長直電流

dl=—dl,在軸上P點(diǎn)產(chǎn)生d月與R垂直，大小為

TIR

2?；?成