必修四講義精練第9章93等比數(shù)列

9．3等比數(shù)列第一課時等比數(shù)列的概念[讀教材·填要點]1．等比數(shù)列一般地，假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，這樣的數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示．(q≠0)．也就是說，當(dāng)n≥2時，假如eq\f(an,an－1)＝q，那么數(shù)列{an}稱為等比數(shù)列，q稱為數(shù)列{an}的公比．2．等比中項假如在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．由等比中項的定義可知：eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)?G2＝ab?G＝±eq\r(ab).[小問題·大思維]1．以下給出的兩個數(shù)列是否為等比數(shù)列．(1)1,1,1,1，…；(2)0,1,2,4,8.[提示](1)為等比數(shù)列，為常數(shù)列，(2)不是等比數(shù)列，在等比數(shù)列中an≠0.2．假設(shè)G2＝ab，那么a，G，b肯定成等比數(shù)列嗎？[提示]不肯定，例如0,0,2，滿意G2＝a·b但不是等比數(shù)列．等比數(shù)列定義的應(yīng)用觀看下面幾個數(shù)列，其中是等比數(shù)列的有哪些？(1)數(shù)列1,1,2,4,8,16,32,61；(2)數(shù)列{an}中，eq\f(a2,a1)＝2，eq\f(a3,a2)＝2；(3)常數(shù)列a，a，…，a，…；(4)在數(shù)列{an}中，eq\f(an＋1,an)＝1，其中n∈N＋.[解](1)不符合等比數(shù)列的定義，故不是等比數(shù)列．(2)不肯定是等比數(shù)列，當(dāng)數(shù)列{an}只有3項時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列；當(dāng)數(shù)列{an}的項數(shù)超過3項時，不肯定符合等比數(shù)列的定義．(3)不肯定是等比數(shù)列，當(dāng)常數(shù)列各項都為0時，它不是等比數(shù)列；當(dāng)常數(shù)列各項不為0時，是等比數(shù)列．(4)是等比數(shù)列．等比數(shù)列的定義用數(shù)學(xué)式子表示出來就是對任意n∈N＋，有eq\f(an＋1,an)＝q，那么數(shù)列{an}就是等比數(shù)列．解決此類問題要精確?????理解等比數(shù)列的定義，留意“每一項與前一項的比〞的含義：一是強(qiáng)調(diào)挨次，二是強(qiáng)調(diào)相鄰；此外等比數(shù)列中不含“0〞項，公比q也不能為0，eq\f(an＋1,an)(n∈N＋)均為同一個常數(shù)，這樣的數(shù)列才是等比數(shù)列．1．推斷以下數(shù)列是否為等比數(shù)列(1)2,2,2,2，(2)0,3,32,33，…(3)1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，解：(1)所給數(shù)列是以首項為2，公比為1的等比數(shù)列；(2)由于0不能作除數(shù)，所以所給數(shù)列不是等比數(shù)列；(3)所給數(shù)列是以首項為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．等比數(shù)列的判定數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2－an，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．[解]∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.∴an＋1＝eq\f(1,2)an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝eq\f(1,2)an知an≠0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).∴{an}是等比數(shù)列．證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，常用方法是(1)定義法：要證明一個數(shù)列{an}是等比數(shù)列，只要證明對于任意自然數(shù)n，eq\f(an＋1,an)都等于同一個常數(shù)即可．,(2)中項法：對于一個數(shù)列，除了首項和末項(有窮數(shù)列)外，任何一項都是它的前后兩項的等比中項，那么此數(shù)列即為等比數(shù)列．2．等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比為q，且bn＝an＋1－an，推斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列？說明理由．解：∵等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比為q，∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0)，假設(shè)q＝1，那么an＝1，bn＝an＋1－an＝0，∴{bn}是各項均為0的常數(shù)列，不是等比數(shù)列．假設(shè)q≠1，由于eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝eq\f(qn＋1－qn,qn－qn－1)＝eq\f(qnq－1,qn－1q－1)＝q，∴{bn}是首項為b1＝a2－a1＝q－1，公比為q的等比數(shù)列．等比中項的應(yīng)用三個正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于15，假如它們分別加上1,3,9就成等比數(shù)列，求這三個數(shù)．[解]設(shè)所求之?dāng)?shù)為a－d，a，a＋d，那么由題設(shè)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝15，,a＋32＝a－d＋1a＋d＋9.))解此方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,d＝－10.))又三個數(shù)為正數(shù)，∴d＝2∴所求三數(shù)為3,5,7.1．此類問題一般設(shè)成等差數(shù)列的數(shù)為未知數(shù)，然后利用等比數(shù)列的學(xué)問建立等式求解．另外，對此題假設(shè)設(shè)所求三數(shù)為a，b，c，那么列出三個方程求解，運(yùn)算過程冗繁，因此，在計算過程中，設(shè)的未知數(shù)個數(shù)應(yīng)盡可能少．2．等比中項G＝±eq\r(ab)在解決問題時常常用G2＝ab.但任意兩個數(shù)間未必存在等比中項．,3．a(chǎn)，－eq\f(3,2)，b，－eq\f(243,32)，c這五個數(shù)成等比數(shù)列，求a，b，c的值．解：∵b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(243,32)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))6，∴b＝±eq\f(27,8).當(dāng)b＝eq\f(27,8)時，ab＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2，解得a＝eq\f(2,3)；bc＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(243,32)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))10，解得c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))7.同理，當(dāng)b＝－eq\f(27,8)時，a＝－eq\f(2,3)，c＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))7.綜上所述，a，b，c的值分別為eq\f(2,3)，eq\f(27,8)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))7或－eq\f(2,3)，－eq\f(27,8)，－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))7.[隨堂體驗落實]1．下面有四個結(jié)論：①由第1項起乘相同常數(shù)得后一項，這樣所得到的數(shù)列肯定為等比數(shù)列；②常數(shù)列b，…，b肯定為等比數(shù)列；③等比數(shù)列{an}中，假設(shè)公比q＝1，那么此數(shù)列各項相等；④等比數(shù)列中，各項與公比都不能為零．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C由等比數(shù)列的定義可知①②不正確，③④正確．2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前三項分別為eq\r(2)，eq\r(3,2)，eq\r(6,2)，那么該數(shù)列的第四項為()A．1 B．eq\r(8,2)C.eq\r(9,2) D.eq\r(12,2)解析：選Aq＝eq\f(\r(3,2),\r(2))＝2－eq\f(1,6)，∴a4＝eq\r(6,2)·2－eq\f(1,6)＝1.3．等差數(shù)列{an}的公差為2，假設(shè)a1，a3，a4成等比數(shù)列，那么a2等于()A．－4 B．－6C．－8 D．－10解析：選B由得∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d2＝a1a1＋3d，,d＝2，))解得a1＝－8，∴a2＝－8＋2＝－6.4．在等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a5＝24，那么a8＝________.解析：∵eq\f(a5,a2)＝q3＝eq\f(24,3)＝8，∴q＝2，a8＝a5·q3＝24×8＝192.答案：1925．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝eq\f(1,3)(an－1)(n∈N＋)．(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．解：(1)由S1＝eq\f(1,3)(a1－1)，得a1＝eq\f(1,3)(a1－1)，∴a1＝－eq\f(1,2).又S2＝eq\f(1,3)(a2－1)，即a1＋a2＝eq\f(1,3)(a2－1)，得a2＝eq\f(1,4).(2)證明：當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,3)(an－1)－eq\f(1,3)(an－1－1)，得eq\f(an,an－1)＝－eq\f(1,2)，又eq\f(a2,a1)＝－eq\f(1,2)，所以{an}是首項為－eq\f(1,2)，公比為－eq\f(1,2)的等比數(shù)列．[感悟高手解題]假設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋a，證明數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列．[證明]當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2＋a；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋a)－(2n－1＋a)＝2n－2n－1＝2n－1，所以eq\f(a3,a2)＝eq\f(a4,a3)＝…eq\f(a2,a1)＝eq\f(2,2＋a)，假設(shè)eq\f(2,2＋a)＝2，那么a＝－1.所以當(dāng)a＝－1時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列；當(dāng)a≠－1時，數(shù)列{an}不是等比數(shù)列．一、選擇題1．在等比數(shù)列{an}中，a4＝8a1，那么公比q為()A．2 B．3C．4 D．8解析：選A∵eq\f(a4,a1)＝eq\f(a3q,a1)＝eq\f(a2q2,a1)＝eq\f(a1q3,a1)＝8，∴q3＝8，∴q＝2.2．互不相等的正實數(shù)a，b，c(a>1，b>1，c>1)成等比數(shù)列，那么log2a，log2b，log2c為()A．等差數(shù)列B．等比數(shù)列C．既為等差數(shù)列，又為等比數(shù)列D．不能確定關(guān)系解析：選A由題意，得b2＝ac，而log2a＋log2c＝log2ac＝log2b2＝2log2b.∴l(xiāng)og2a，log2b，log2c成等差數(shù)列．3．設(shè)a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，其公比為2，那么eq\f(2a1＋a2,2a3＋a4)的值為()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C.eq\f(1,8) D．1解析：選A∵公比為2，∴a2＝2a1，a3＝4a1，a4＝8a1，∴eq\f(2a1＋a2,2a3＋a4)＝eq\f(2a1＋2a1,8a1＋8a1)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).4．假設(shè)a，b，c成等比數(shù)列，m是a，b的等差中項，n是b，c的等差中項，那么eq\f(a,m)＋eq\f(c,n)＝()A．4 B．3C．2 D．1解析：選C由得b2＝ac,2m＝a＋b,2n＝b＋c，∴eq\f(a,m)＋eq\f(c,n)＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2c,b＋c)＝eq\f(2ab＋ac＋ac＋bc,a＋bb＋c)＝eq\f(2ab＋2ac＋bc,ab＋b2＋ac＋bc)＝eq\f(2ab＋2ac＋bc,ab＋2ac＋bc)＝2.二、填空題5.eq\r(2)＋1與eq\r(2)－1兩數(shù)的等比中項是________．解析：G2＝(eq\r(2)＋1)(eq\r(2)－1)＝1，∴G＝±1.答案：±16．公差不為零的等差數(shù)列{an}的其次、三、六項構(gòu)成等比數(shù)列，那么公比為________．解析：a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，∴d(d＋2a1)＝0，∵d≠0，∴d＝－2a1，∴q＝eq\f(a3,a2)＝eq\f(a1＋2d,a1＋d)＝eq\f(－3a1,－a1)＝3.答案：37．等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，那么eq\f(a3＋a6＋a9,a4＋a7＋a10)＝________.解析：∵a1，a3，a9成等比數(shù)列，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，即d(d－a1)＝0，∵d≠0，∴d＝a1，∴eq\f(a3＋a6＋a9,a4＋a7＋a10)＝eq\f(3a6,3a7)＝eq\f(a1＋5d,a1＋6d)＝eq\f(6d,7d)＝eq\f(6,7).答案：eq\f(6,7)8．假設(shè)k,2k＋2,3k＋3是等比數(shù)列的前3項，那么第4項為________．解析：∵k,2k＋2,3k＋3成等比數(shù)列，∴(2k＋2)2＝k(3k＋3)，即k2＋5k＋4＝0，∴k＝－1或k＝－4，當(dāng)k＝－1時，k,2k＋2,3k＋3不成等比數(shù)列；當(dāng)k＝－4時，前三項為－4，－6，－9，∴q＝eq\f(3,2)，∴第4項為－9×eq\f(3,2)＝－eq\f(27,2).答案：－eq\f(27,2)三、解答題9．?dāng)?shù)列{lgan}是等差數(shù)列，求證：{an}是等比數(shù)列．證明：設(shè)數(shù)列{lgan}的公差為d，依據(jù)等差數(shù)列定義，得lgan＋1－lgan＝d，所以lgeq\f(an＋1,an)＝d，所以eq\f(an＋1,an)＝10d(常數(shù))，所以{an}是一個以10d為公比的等比數(shù)列．10．設(shè)x，y，z∈R,3x,4y,5z成等比數(shù)列，且eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，eq\f(1,z)成等差數(shù)列，求eq\f(x,z)＋eq\f(z,x)的值．解：由題意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4y2＝3x·5z，①,\f(2,y)＝\f(1,x)＋\f(1,z)，②))由②得y＝eq\f(2xz,x＋z).代入①消去y，得16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2xz,x＋z)))2＝15xz，∴eq\f(x＋z2,xz)＝eq\f(64,15)，即eq\f(x,z)＋eq\f(z,x)＝eq\f(34,15).其次課時等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)[讀教材·填要點]1．等比數(shù)列的遞推公式與通項公式等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q(q≠0)，填表：遞推公式通項公式eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)an＝a1qn－12．等比數(shù)列的項與序號的關(guān)系以及性質(zhì)兩項關(guān)系多項關(guān)系通項公式的推廣：an＝am·qn－m(m，n∈N＋)項的運(yùn)算性質(zhì)：假設(shè)m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，那么am·an＝ap·aq[小問題·大思維]1．?dāng)?shù)列{an}，an＝5·2n－1，那么數(shù)列的公比q等于多少？[提示]q＝eq\f(an＋1,an)＝eq\f(5·2n,5·2n－1)＝2.2．假如等比數(shù)列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)，那么am·an＝aeq\o\al(2,k)是否成立？[提示]成立，由am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，∴am·an＝aeq\o\al(2,1)qm＋n－2，aeq\o\al(2,k)＝aeq\o\al(2,1)q2k－2，∵m＋n＝2k，∴am·an＝aeq\o\al(2,k).等比數(shù)列通項公式及應(yīng)用(1){an}為等比數(shù)列，且a5＝8，a7＝2，該數(shù)列的各項都為正數(shù)，求an；(2)假設(shè)等比數(shù)列{an}的首項a1＝eq\f(9,8)，末項an＝eq\f(1,3)，公比q＝eq\f(2,3)，求項數(shù)n；(3)假設(shè)等比數(shù)列{an}中an＋4＝a4，求公比q.[解](1)由得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q4＝8，,a1q6＝2，,an>0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,2)，,a1＝128.))∴an＝128×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－8.(2)由an＝a1·qn－1，得eq\f(1,3)＝eq\f(9,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3，得n＝4.(3)∵an＋4＝a4q(n＋4)－4＝a4qn，又an＋4＝a4，∴qn＝1，∴當(dāng)n為偶數(shù)時，q＝±1；當(dāng)n為奇數(shù)時，q＝1.1．在等比數(shù)列通項公式an＝a1qn－1中，含有首項a1，第n項an，公比q，項數(shù)n四個量，假如知道其中的三個，便可求出另外一個．2．利用通項公式的變通形式an＝amqn－m計算可簡化解題步驟，提高解題速度．3．在通項公式計算中，常常使用函數(shù)與方程的思想，整體思索．1．?dāng)?shù)列{an}為等比數(shù)列，(1)假設(shè)a3＝2，a2＋a4＝eq\f(20,3)，求數(shù)列{an}的通項公式；(2)假設(shè)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，那么q≠0.a2＝eq\f(a3,q)＝eq\f(2,q)，a4＝a3q＝2q，∴eq\f(2,q)＋2q＝eq\f(20,3).解得q＝eq\f(1,3)或q＝3.當(dāng)q＝eq\f(1,3)時，a1＝18，∴an＝18×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝2×33－n.當(dāng)q＝3時，a1＝eq\f(2,9)，∴an＝eq\f(2,9)×3n－1＝2×3n－3.綜上，當(dāng)q＝eq\f(1,3)時，an＝2×33－n；當(dāng)q＝3時，an＝2×3n－3.(2)法一：由于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，③,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，④))由eq\f(④,③)得q＝eq\f(1,2)，從而a1＝32.又an＝1，所以32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.法二：由于a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝eq\f(1,2).由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用(1)在各項均為正的等比數(shù)列{an}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比數(shù)列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的兩個根，求a7.[解](1)∵{an}為等比數(shù)列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝aeq\o\al(2,8)，a3·a5＝aeq\o\al(2,4)，∴a6·a10＋a3·a5＝aeq\o\al(2,8)＋aeq\o\al(2,4)＝41，a4·a8＝4，∴(a4＋a8)2＝41＋2×4＝49，且an>0，∴a4＋a8＝7.(2)∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的兩個根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＋a9＝\f(18,7)，,a5·a9＝1，))∴a5，a9為正數(shù)．又∵aeq\o\al(2,7)＝a5·a9＝1，且a7＝a5·q2>0，∴a7＝1.在等比數(shù)列中，假設(shè)m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，那么有am·an＝ap·aq，特殊地，假設(shè)m＋n＝2p，那么am·an＝aeq\o\al(2,p).這一性質(zhì)是等比數(shù)列最常用的性質(zhì)，在應(yīng)用時，要和等差數(shù)列的這一類似性質(zhì)區(qū)分開．第(2)題是一個很簡單出錯的題目，出錯主要是由于不知道如何推斷a7的符號．應(yīng)當(dāng)這樣考慮：由于a7＝a5·q2，所以a7與a5同號，又由根與系數(shù)的關(guān)系定理可知a5，a9都為正數(shù)，因此，a7>0.2．等比數(shù)列{an}中，a2·a6·a10＝1，求a3·a9的值．解：法一：依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)a2·a10＝a3·a9＝aeq\o\al(2,6)，由a2·a6·a10＝1得aeq\o\al(3,6)＝1，故a6＝1，∴a3·a9＝aeq\o\al(2,6)＝1.法二：依據(jù)等比數(shù)列的通項公式得：a2·a6·a10＝(a1q)(a1q5)(a1q9)＝aeq\o\al(3,1)·q15＝(a1q5)3＝1，∴a1q5＝1，∴a3·a9＝(a1q2)(a1q8)＝(a1q5)2＝1.等比數(shù)列的實際應(yīng)用從盛滿a(a＞1)升純酒精的容器里倒出1升然后添滿水搖勻，再倒出1升混合溶液后又用水添滿搖勻，如此連續(xù)下去，問：第n次操作后溶液的濃度是多少？假設(shè)a＝2時，至少應(yīng)倒幾次后才能使酒精的濃度低于10%?[解]設(shè)開頭的濃度為1，操作一次后溶液濃度a1＝1－eq\f(1,a)，操作n次后溶液的濃度為an，那么操作n＋1次后溶液的濃度為an＋1＝aneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))，從而建立了遞推關(guān)系．∴{an}是以a1＝1－eq\f(1,a)為首項，公比為q＝1－eq\f(1,a)的等比數(shù)列．∴an＝a1qn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))n，即第n次操作后酒精的濃度是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))n.當(dāng)a＝2時，由an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＜eq\f(1,10)，解得n≥4.故至少應(yīng)操作4次后才能使酒精濃度小于10%.此題是一道有關(guān)濃度的應(yīng)用問題，首先弄清一次操作的含義，其次是列出第n次操作后與第n＋1次操作后溶液濃度間的遞推關(guān)系，即an＋1＝aneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))，然后利用數(shù)列的有關(guān)學(xué)問解決問題．3．某工廠2018年1月的生產(chǎn)總值為a萬元，方案從2018年2月起，每月生產(chǎn)總值比上一個月增長m%，那么到2019年8月底該廠的生產(chǎn)總值為多少萬元？解：設(shè)從2018年1月開頭，第n個月該廠的生產(chǎn)總值是an萬元，那么an＋1＝an＋anm%，∴eq\f(an＋1,an)＝1＋m%.∴數(shù)列{an}是首項a1＝a，公比q＝1＋m%的等比數(shù)列．∴an＝a(1＋m%)n－1.∴2019年8月底該廠的生產(chǎn)總值為a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(萬元)．[隨堂體驗落實]1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比|q|≠am＝a1a2a3a4a5，那么m等于()A．9 B．10C．11 D．12解析：選C在等比數(shù)列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aeq\o\al(5,1)q10＝q10.∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.2．等比數(shù)列{an}的各項為正，公比q滿意q2＝4，那么eq\f(a3＋a4,a4＋a5)的值為()A.eq\f(1,4) B．2C．±eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析：選D∵an>0，∴q＝2，∴eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(a1q21＋q,a1q31＋q)＝eq\f(1,q)＝eq\f(1,2).3．各項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，那么a4a5a6等于()A．5eq\r(2) B．7C．6 D．4eq\r(2)解析：選A∵a1a2a3＝aeq\o\al(3,2)＝5，∴a2＝eq\r(3,5).∵a7a8a9＝aeq\o\al(3,8)＝10，∴a8＝eq\r(3,10).∴aeq\o\al(2,5)＝a2a8＝eq\r(3,50)＝50eq\f(1,3)，又∵數(shù)列{an}各項為正數(shù)，∴a5＝50eq\f(1,6).∴a4a5a6＝aeq\o\al(3,5)＝50eq\f(1,2)＝5eq\r(2).4．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿意a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，那么a4＝________.解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，那么a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，兩式相除，得eq\f(1＋q,1－q2)＝eq\f(1,3)，解得q＝－2，a1＝1，所以a4＝a1q3＝－8.答案：－85．在等比數(shù)列{an}中，a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝eq\f(1,2)，求n的值．解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由于a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，所以q＝eq\f(a4＋a7,a3＋a6)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).由于a4＋a7＝18，所以a4(1＋q3)＝18.所以a4an＝a4qn－4＝16×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－4.令16×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－4＝eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－4＝eq\f(1,32)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5.所以n－4＝5，n＝9.[感悟高手解題]有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，其次個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)．[解]法一：設(shè)四個數(shù)依次為a－d，a，a＋d，eq\f(a＋d2,a)，由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋\f(a＋d2,a)＝16，,a＋a＋d＝12.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝4.))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝9，,d＝－6.))所以，當(dāng)a＝4，d＝4時，所求四個數(shù)為0,4,8,16；當(dāng)a＝9，d＝－6時，所求四個數(shù)為15,9,3,1.故所求四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.法二：設(shè)四個數(shù)依次為eq\f(2a,q)－a，eq\f(a,q)，a，aq(a≠0)．由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a,q)－a＋aq＝16，,\f(a,q)＋a＝12))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝2，,a＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,3)，,a＝3.))所以，當(dāng)q＝2，a＝8時，所求四個數(shù)為0,4,8,16；當(dāng)q＝eq\f(1,3)，a＝3時，所求四個數(shù)為15,9,3,1.法三：設(shè)四個數(shù)依次為x，y,12－y,16－x.由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＝x＋12－y，,12－y2＝y(tǒng)16－x.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝15，,y＝9.))故所求四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.[點評]在解決與等比數(shù)列有關(guān)數(shù)的設(shè)法時常有如下規(guī)律：(1)三個數(shù)成等比數(shù)列時，常設(shè)三個數(shù)a，aq，aq2或eq\f(a,q)，a，aq；(2)四個數(shù)成等比數(shù)列時，常設(shè)四個數(shù)為a，aq，aq2，aq3或eq\f(a,q2)，eq\f(a,q)，a，aq，一、選擇題1．在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，那么a4＋a5的值為()A．16 B．27C．36 D．81解析：選B由a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.2．等比數(shù)列{an}滿意a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，那么a7等于()A．64 B．81C．128 D．243解析：選A∵{an}為等比數(shù)列，∴eq\f(a2＋a3,a1＋a2)＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1a7＝1·26＝64.3．等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，且a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列，那么eq\f(a9＋a10,a7＋a8)等于()A．1＋eq\r(2) B．1－eq\r(2)C．3＋2eq\r(2) D．3－2eq\r(2)解析：選C設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列，∴a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q，∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±eq\r(2).∵an>0，∴q>0，q＝1＋eq\r(2).∴eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝q2＝(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2).4．設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，那么下面四個數(shù)列：①{aeq\o\al(3,n)}；②{pan}(p為非零常數(shù))；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}．其中是等比數(shù)列的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D對于①，由于eq\f(a\o\al(3,n＋1),a\o\al(3,n))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)))3＝q3(常數(shù))，所以{aeq\o\al(3,n)}是等比數(shù)列；對于②，由于eq\f(pan＋1,pan)＝eq\f(an＋1,an)＝q(常數(shù))，所以{pan}是等比數(shù)列；對于③，由于eq\f(an＋1·an＋2,an·an＋1)＝eq\f(an＋2,an)＝q2(常數(shù))，所以{an·an＋1}是等比數(shù)列；對于④，由于eq\f(an＋1＋an＋2,an＋an＋1)＝eq\f(anq＋an＋1q,an＋an＋1)＝eq\f(qan＋an＋1,an＋an＋1)＝q(常數(shù))，所以{an＋an＋1}是等比數(shù)列．二、填空題5．等比數(shù)列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，那么a10＝________.解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q；那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝12，,a1q＋a1q3＝30，))兩式相除得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝48，,q＝\f(1,2)，))∴a10＝3×29＝1536或a10＝48×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))9＝eq\f(3,32).答案：1536或eq\f(3,32)6．在1與2之間插入6個正數(shù)，使這8個數(shù)成等比數(shù)列，那么插入的6個數(shù)的積為________．解析：設(shè)這8個數(shù)組成的等比數(shù)列為{an}，那么a1＝1，a8＝2.插入的6個數(shù)的積為a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.答案：87．畫一個邊長為2厘米的正方形，再以這個正方形的對角線為邊畫第2個正方形，以第2個正方形的對角線為邊畫第3個正方形，這樣一共畫了10個正方形，那么第10個正方形的面積等于________平方厘米．解析：這10個正方形的邊長構(gòu)成以2為首項，eq\r(2)為公比的等比數(shù)列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，那么第10個正方形的面積S＝aeq\o\al(2,10)＝22·29＝211＝2048.答案：20488．?dāng)?shù)列－1，a1，a2，－4成等差數(shù)列，－1，b1，b2，b3，－4成等比數(shù)列，那么eq\f(a2－a1,b2)的值是________．解析：∵－1，a1，a2，－4成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，那么a2－a1＝d＝eq\f(1,3)[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b1，b2，b3，－4成等比數(shù)列，∴beq\o\al(2,2)＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.假設(shè)設(shè)公比為q，那么b2＝(－1)q2，∴b2<0.∴b2＝－2，∴eq\f(a2－a1,b2)＝eq\f(－1,－2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答題9．等比數(shù)列{an}同時滿意以下三個條件：①a1＋a6＝11；②a3·a4＝eq\f(32,9)；③三個數(shù)eq\f(2,3)a2，aeq\o\al(2,3)，a4＋eq\f(4,9)依次成等差數(shù)列，試求數(shù)列{an}的通項公式．解：由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a6＝a3a4＝eq\f(32,9).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a6＝11，,a1·a6＝\f(32,9)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,3)，,a6＝\f(32,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(32,3)，,a6＝\f(1,3).))當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,3)，,a6＝\f(32,3)))時q＝2.∴an＝eq\f(1,3)·2n－1.∴eq\f(2,3)a2＋a4＋eq\f(4,9)＝eq\f(32,9)，2aeq\o\al(2,3)＝eq\f(32,9).∴eq\f(2,3)a2，aeq\o\al(2,3)，a4＋eq\f(4,9)成等差數(shù)列，∴an＝eq\f(1,3)·2n－1.當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(32,3)，,a6＝\f(1,3)))時q＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,3)·26－n.∴eq\f(2,3)a2＋a4＋eq\f(4,9)≠2aeq\o\al(2,3)，不符合題意，∴通項公式an＝eq\f(1,3)·2n－1.10．?dāng)?shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通項公式；(2)等差數(shù)列{bn}的各項為正，其前n項和為Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比數(shù)列，求Tn.解：(1)由an＋1＝2Sn＋1可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，兩式相減得an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．又a2＝2S1＋1＝3，且a1＝1，故{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，∴an＝3n－1.(2)設(shè){bn}的公差為d，由T3＝15，可得b1＋b2＋b3＝15，即3b2＝15，可得b2＝5.故可設(shè)b1＝5－d，b3＝5＋d.又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由題意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，解得d1＝2，d2＝－10.∵等差數(shù)列{bn}的各項為正，∴d＞0，∴d＝2.∴Tn＝3n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2＋2n.第三課時等比數(shù)列的前n項和[讀教材·填要點]1．等比數(shù)列的前n項和公式量首項、公比與項數(shù)首項、末項與公比公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1,\f(a11－qn,1－q)q≠1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1,\f(a1－anq,1－q)q≠1))2．等比數(shù)列的前n項和的常用性質(zhì)(1)項的個數(shù)的“奇偶〞性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q.①假設(shè)共有2n項，那么S偶∶S奇＝q；②假設(shè)共有2n＋1項，那么S奇－S偶＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠1且q≠－1)．(2)“片斷和〞性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q，前m項和為Sm(Sm≠0)，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…構(gòu)成公比為qm的等比數(shù)列，即等比數(shù)列的前m項的和與以后依次m項的和構(gòu)成等比數(shù)列．(3)“相關(guān)和〞性質(zhì)：Sn＋m＝Sn＋qnSm?qn＝eq\f(Sn＋m－Sn,Sm)(q為公比)．[小問題·大思維]1．如何利用函數(shù)的觀點看等比數(shù)列的前n項和公式？[提示](1)當(dāng)公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式可寫成Sn＝－Aqn＋A的形式．由此可見，特別數(shù)列的等比數(shù)列的前n項和Sn是由關(guān)于n的一個指數(shù)式與一個常數(shù)的和構(gòu)成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)．當(dāng)公比q＝1時，由于a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函數(shù)(常數(shù)項為0的一次函數(shù))．(2)當(dāng)q≠1時，數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖像是函數(shù)y＝－Aqx＋A圖像上的一群孤立的點．當(dāng)q＝1時，數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖像是正比例函數(shù)y＝a1x圖像上的一群孤立的點．2．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn＝A＋Bqn(q≠1)，假設(shè){an}是等比數(shù)列，那么A，B滿意什么關(guān)系？[提示]A＋B＝0.等比數(shù)列前n項和的根本運(yùn)算在等比數(shù)列{an}中，公比為q，前n項和為Sn.(1)a1＝8，an＝eq\f(1,4)，Sn＝eq\f(63,4)，求n；(2)a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8.[解](1)明顯q≠1，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，即eq\f(8－\f(1,4)q,1－q)＝eq\f(63,4)，∴q＝eq\f(1,2).又an＝a1qn－1，即8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\f(1,4)，∴n＝6.(2)法一：由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q5－a1q3＝24，,a1q2·a1q4＝64，))化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q3q2－1＝24，①,a1q3＝±8，②))①÷②，得q2－1＝3(負(fù)值舍去)，∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2.當(dāng)q＝2時，代入①得a1＝1，∴S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝255.當(dāng)q＝－2時，代入①得a1＝－1，∴S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝eq\f(255,3).綜上知S8＝255或S8＝eq\f(255,3).法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)得a3·a5＝aeq\o\al(2,4)＝64，∴a4＝±8.當(dāng)a4＝8時，a6－a4＝24，∴a6＝32，∴q2＝eq\f(a6,a4)＝4.∴q＝±2.當(dāng)a4＝－8時，a6－a4＝24，∴a6＝16.∴q2＝eq\f(a6,a4)＝－2，無解．故q＝±2.當(dāng)q＝2時，a1＝eq\f(a4,q3)＝1，S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝255.當(dāng)q＝－2時，a1＝eq\f(a4,q3)＝－1，∴S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝eq\f(255,3).綜上知S8＝255或S8＝eq\f(255,3).在等比數(shù)列{an}中的五個量a1，q，an，Sn，n中，a1和q是最根本的元素，在條件與結(jié)論間的聯(lián)系不很明顯時，均可用a1和q的方程(組)求解．1．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q<1，前n項和為Sn.a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通項公式．解：由題意知，a1≠0，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝2①,\f(a11－q4,1－q)＝5×\f(a11－q2,1－q)②))由②得，1－q4＝5(1－q2)，那么(q2－4)(q2－1)＝0，所以(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.由于q<1，所以q＝－1或q＝－2.當(dāng)q＝－1時，由①得，a1＝2，那么{an}的通項公式為an＝2×(－1)n－1；當(dāng)q＝－2時，由①得，a1＝eq\f(1,2)，那么{an}的通項公式為an＝eq\f(1,2)×(－2)n－1＝(－1)n－1·2n－2.等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列{an}中，前10項和S10＝10，前20項和S20＝30，求S30.[解]法一：設(shè)公比為q，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q10,1－q)＝10，①,\f(a11－q20,1－q)＝30.②))eq\f(②,①)得1＋q10＝3，∴q10＝2，∴S30＝eq\f(a11－q30,1－q)＝eq\f(a11－q10,1－q)·(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70.法二：S10，S20－S10，S30－S20仍是等比數(shù)列，即10,20，S30－30成等比數(shù)列，∴10×(S30－30)＝202，∴S30＝40＋30＝70.在解決等比數(shù)列前n項和的問題時，利用一些結(jié)論解決會使問題更簡單，如：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…構(gòu)成等比數(shù)列，假設(shè)項數(shù)n為偶數(shù)，eq\f(S偶,S奇)＝q等．2．假設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為eq\f(1,3)，且a1＋a3＋…＋a99＝60，那么{an}的前100項和為________．解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，那么S100＝X＋Y，由等比數(shù)列前n項和性質(zhì)知：eq\f(Y,X)＝q＝eq\f(1,3)，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.答案：803．一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an}，全部各項之和為偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64，求數(shù)列的通項公式．解：設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，全部奇數(shù)項、偶數(shù)項之和分別記作S奇，S偶，由題意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．由于數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)，所以有q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(1,3).又由于a1·a1q·a1q2＝64，所以aeq\o\al(3,1)·q3＝64，即a1＝12，故所求通項公式為an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1.利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和求數(shù)列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1(a≠0)的前n項和．[解](1)當(dāng)a＝1時，數(shù)列變?yōu)?,3,5,7，…，(2n－1)，那么Sn＝eq\f(n[1＋2n－1],2)＝n2.(2)當(dāng)a≠1時，有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1①aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an②①－②得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)＝1－(2n－1)an＋2·eq\f(a1－an－1,1－a)＝1－(2n－1)an＋eq\f(2a－an,1－a)，又∵1－a≠0，∴Sn＝eq\f(1－2n－1an,1－a)＋eq\f(2a－an,1－a2).綜上可知，當(dāng)a＝1時，Sn＝n2；當(dāng)a≠1時，Sn＝eq\f(1－2n－1an,1－a)＋eq\f(2a－an,1－a2).即Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2a＝1，,\f(1－2n－1an,1－a)＋\f(2a－an,1－a2)a≠1.))1．一般地，假如數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列{anbn}的前n項和時，可采納錯位相減這一思路和方法．要擅長識別題目類型，特殊是當(dāng)?shù)缺葦?shù)列局部項中公比為負(fù)數(shù)的情形更值得留意．2．在寫出“Sn〞與“qSn〞的表達(dá)式時，應(yīng)特殊留意將兩式“錯項對齊〞，以便于下一步精確?????寫出“Sn－qSn〞的表達(dá)式．3．求和公式必需留意公比q≠1這一前提條件，假如不能確定公比q是否為1，應(yīng)分兩種狀況爭論．4．(2017·山東高考){an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2){bn}為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn.S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(bn,an)))的前n項和Tn.解：(1)設(shè){an}的公比為q，由題意知：a1(1＋q)＝6，aeq\o\al(2,1)q＝a1q2.又an＞0，解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.(2)由題意知，S2n＋1＝eq\f(2n＋1b1＋b2n＋1,2)＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.令cn＝eq\f(bn,an)，那么cn＝eq\f(2n＋1,2n)，因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝eq\f(3,2)＋eq\f(5,22)＋eq\f(7,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n－1)＋eq\f(2n＋1,2n)，又eq\f(1,2)Tn＝eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋eq\f(7,24)＋…＋eq\f(2n－1,2n)＋eq\f(2n＋1,2n＋1)，兩式相減得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(3,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n－1)))－eq\f(2n＋1,2n＋1)＝eq\f(3,2)＋1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1－eq\f(2n＋1,2n＋1)＝eq\f(5,2)－eq\f(2n＋5,2n＋1)，所以Tn＝5－eq\f(2n＋5,2n).與等比數(shù)列前n項和有關(guān)的實際問題從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益動身，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此開展旅游產(chǎn)業(yè)，依據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年削減eq\f(1,5)，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估量為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，估計今后旅游業(yè)收入每年會比上年增加eq\f(1,4).設(shè)n年內(nèi)(本年度為第1年)總投入Sn萬元，旅游業(yè)總收入為Tn萬元，寫出Sn，Tn的表達(dá)式．[解](1)第1年投入800萬元，第2年投入800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))萬元，…，第n年投入800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))n－1萬元．所以，n年內(nèi)的總投入Sn＝800＋800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))＋…＋800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))n－1＝4000×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n)).第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))萬元，…，第n年旅游業(yè)收入為400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))n－1萬元．所以，n年內(nèi)的總收入Tn＝400＋400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))＋…＋400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))n－1＝1600×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n－1)).1．增長率、遞減率等實際問題與等比數(shù)列聯(lián)系較大，比方利潤、本錢、效益的增減問題，人口數(shù)量的增長、耕地面積的遞減等．2．解等比數(shù)列模型的求和應(yīng)用題時，一是直接運(yùn)用公式求和；二是由特例入手，歸納總結(jié)一般情形，進(jìn)而建立等比數(shù)列求和的模型，再求其和；三是尋求遞推公式，把它轉(zhuǎn)化為遞推數(shù)列的問題．5．某地現(xiàn)有居民住房的總面積為am2，其中需要撤除的舊住房面積占了一半，當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門打算在每年撤除肯定數(shù)量舊住房的狀況下，仍以10%的住房增長率建新住房．(1)假如10年后該地的住房總面積正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)撤除的舊住房總面積x是多少？(2)過10年還未撤除的舊住房總面積占當(dāng)?shù)刈》靠偯娣e的百分比是多少？(保存到小數(shù)點后第1位)解：(1)依據(jù)題意，可知a－x；2年后住房總面積為：a－x)－x2ax－x；3年后住房總面積為：2ax－x)－x3a2xx－x；……10年后住房總面積為：1．110a9x8x－…x－x10a－eq\10－1,1.1－1)x≈a－16x.a－16x＝2a.解得x＝eq\f(3,80)a(m2)．故每年應(yīng)撤除的舊住房總面積為eq\f(3,80)am2.(2)故所求百分比為eq\f(\f(a,2)－\f(3,80)a×10,2a)＝eq\f(1,16)≈6.3%.每年應(yīng)撤除的舊住房面積為eq\f(3,80)am2,10年后還未撤除的舊住房面積占當(dāng)時住房總面積的百分比是6.3%.[隨堂體驗落實]1．等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，假設(shè)a1＝81，a5＝16，那么它的前5項的和是()A．179 B．211C．243 D．275解析：選B設(shè)等比數(shù)列的公比為q，那么由題意，得：16＝81q4，∴q＝eq\f(2,3)，∴S5＝eq\f(81\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5)),1－\f(2,3))＝243×eq\f(211,243)＝211.2．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)，那么數(shù)列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n項和為()A.eq\f(a11－q2n,1－q) B．eq\f(a11－q3n,1－q3)C.eq\f(a\o\al(3,1)1－q3n,1－q3) D.eq\f(a31－q3n,1－q3)解析：選Da3，a6，a9，…，a3n，…仍是等比數(shù)列．公比為q＝eq\f(a6,a3)＝q3，∴Sn＝eq\f(a31－q3n,1－q3).3．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2＋a5＝0，那么eq\f(S5,S2)等于()A．11 B．5C．－8 D．－11解析：選D由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，那么eq\f(S5,S2)＝eq\f(1＋25,1－22)＝－11.4．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比為q，假設(shè)a1＝1，S6＝4S3，那么a4＝________.解析：由題意知q≠1，∴S6＝4S3?eq\f(a11－q6,1－q)＝4·eq\f(a11－q3,1－q)?q3＝3.∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.答案：35．在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.解：∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1an＝128，,a1＋an＝66，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝64，,an＝2，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64.))②將①代入Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，可得q＝eq\f(1,2)，由an＝a1qn－1可解得n＝6.將②代入Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，可得q＝2，由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝eq\f(1,2)或2.[感悟高手解題]設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an≠0(n∈N*)，S1，S2，…，Sn，…成等比數(shù)列，那么數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…成等比數(shù)列嗎？并說明理由．[解]設(shè)a1＝a，那么S1＝a1＝a，∵數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，∴Sn＝a1qn－1＝aqn－1，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝aqn－1－aqn－2＝aqn－2(q－1)，an＋1＝Sn＋1－Sn＝aqn－aqn－1＝aqn－1(q－1)當(dāng)q＝1時，數(shù)列{Sn}為常數(shù)列，此時an＝0與題設(shè)條件an≠0沖突．∴q≠1，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(aqn－1q－1,aqn－2q－1)＝q(n≥2，n∈N*)又eq\f(a2,a1)＝q－1≠q，故數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…不成等比數(shù)列，數(shù)列a2，a3，…an，…成等比數(shù)列．[點評]簡單忽視當(dāng)q＝1時，數(shù)列{Sn}為常數(shù)列而導(dǎo)致錯誤．

一、選擇題1．等比數(shù)列{an}的首項a1＝3，公比q＝2，那么S5等于()A．93 B．－93C．45 D．－45解析：選AS5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(3×1－25,1－2)＝3(25－1)＝3×31＝93.2．在等比數(shù)列{an}中，假設(shè)eq\f(a8,a4)＝2，S4＝4，那么S8的值為()A．12 B．24C．16 D．32解析：選A由eq\f(a8,a4)＝2，得q4＝2，所以S8＝S4＋q4S4＝4＋2×4＝12.3．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項a1＝3，前3項和為21，那么a3＋a4＋a5等于()A．33 B．72C．84 D．189解析：選C由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84.4．在等比數(shù)列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，那么S20等于()A．90 B．70C．40 D．30解析：選C由題意知q≠1(否那么S30＝3S10)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S30＝13S10，,S10＋S30＝140，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S10＝10，,S30＝130.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q10,1－q)＝10，,\f(a11－q30,1－q)＝130，))∴q20＋q10－12＝0.∴q10＝3，∴S20＝eq\f(a11－q20,1－q)＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.二、填空題5．假設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n＋r，那么r的值是________．解析：假設(shè){an}是等比數(shù)列，那么r＝－1.答案：－1