人教A版選擇性必修第一冊(cè)231兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)232兩點(diǎn)間的距離公式課件

2.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)2.3.2兩點(diǎn)間的距離公式第二章2.32023內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).2.會(huì)根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系.3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式,并能靈活應(yīng)用.4.了解坐標(biāo)法的解題步驟.5.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1.直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)與其方程Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)的解有什么樣的關(guān)系?提示:直線l上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足直線方程,也就是說(shuō)直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是其方程的解.反之,直線l的方程的每一個(gè)解都表示直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo).2.已知兩條直線l1與l2相交,如何用代數(shù)方法求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)?提示:兩條直線的方程組成方程組,方程組的解就是這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.由兩條直線的方程組成的方程組,若方程組有唯一解,說(shuō)明兩條直線是什么位置關(guān)系?若無(wú)解或有無(wú)數(shù)組解呢?提示:若方程組有唯一解,則兩條直線相交,此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo);若方程組無(wú)解,則兩條直線平行;若方程組有無(wú)數(shù)組解,則兩條直線重合.4.直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時(shí)為0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時(shí)為0)的位置關(guān)系如表所示.5.直線x-2y+3=0與直線2x-y+3=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(

)A.(-1,1) B.(1,-1)C.(1,1) D.(-1,-1)答案:A二、兩點(diǎn)間的距離公式②當(dāng)P1P2∥x軸,即y1=y2時(shí),|P1P2|=|x2-x1|.③當(dāng)P1P2∥y軸,即x1=x2時(shí),|P1P2|=|y2-y1|.4.已知點(diǎn)M(2,1),N(-1,5),則|MN|等于(

)答案:A【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)若由兩條直線的方程組成的方程組有解,則兩條直線相交.(×)(2)若兩條直線的斜率都存在且不相等,則兩條直線相交.(√)(3)若兩條直線的斜率一個(gè)存在,另一個(gè)不存在,則兩條直線相交.(√)(5)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),當(dāng)P1P2⊥x軸時(shí),|P1P2|=|x2-x1|.(×)合作探究釋疑解惑探究一兩直線的交點(diǎn)問(wèn)題【例1】

判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系.如果相交,求出交點(diǎn)的坐標(biāo):(1)l1:2x-y=7,

l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0,

l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0,

l2:y=-2x+3.分析:通過(guò)聯(lián)立方程,解方程組確定解的個(gè)數(shù),判定直線的位置關(guān)系.反思感悟

方程組有唯一解,說(shuō)明兩條直線相交;方程組無(wú)解,說(shuō)明兩直線沒(méi)有公共點(diǎn),即兩條直線平行;方程組有無(wú)數(shù)組解,說(shuō)明兩條直線重合.【變式訓(xùn)練1】

若三條直線x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0相交于一點(diǎn),則k的值是(

)答案:B探究二直線系方程【例2】

(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,0)和兩條直線l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0的交點(diǎn)的直線方程;(2)求證:不論m取何實(shí)數(shù),直線(3m+1)x-(2m-1)y+3m-1=0都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn),并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).分析:(1)法一:求出交點(diǎn)坐標(biāo),應(yīng)用兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線方程;法二:設(shè)所求直線方程為x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再將x=1,y=0代入求出λ,即得所求直線方程.(2)法一:對(duì)m取特殊值,得到兩條直線的方程,定點(diǎn)即為兩條直線的交點(diǎn);法二:將方程整理為關(guān)于m的方程,由方程的解為全體實(shí)數(shù),求出定點(diǎn).故直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,0),(0,1),由兩點(diǎn)式可得所求直線的方程為x+y-1=0.解法二:∵直線l2不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,∴設(shè)所求的直線方程為x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,λ∈R.(2)證法一:令m=0,得x+y-1=0,①令m=1,得4x-y+2=0,②證法二:方程可化為(x+y-1)+m(3x-2y+3)=0.反思感悟

經(jīng)過(guò)兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交點(diǎn)的直線方程可寫(xiě)為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,λ∈R(它不能表示直線l2).反之,當(dāng)直線的方程寫(xiě)為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0時(shí),直線一定經(jīng)過(guò)直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn).【變式訓(xùn)練2】

(1)經(jīng)過(guò)直線2x+3y+8=0和直線x-y-1=0的交點(diǎn),且與直線x+2y=0垂直的直線方程為

.

(2)不論m為何實(shí)數(shù),直線l:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒過(guò)一定點(diǎn),則此定點(diǎn)坐標(biāo)為

.

由點(diǎn)斜式得y+2=2(x+1),即2x-y=0.(方法二)由題意可設(shè)所求的直線方程為2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,λ∈R,即(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0.由題意得2+λ+2(3-λ)=0,解得λ=8.故所求的直線方程為10x-5y=0,即2x-y=0.(2)直線l的方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5可化為m(x+2y-1)-x-y+5=0.則此定點(diǎn)坐標(biāo)為(9,-4).答案:(1)2x-y=0

(2)(9,-4)探究三兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用【例3】

在直線l:3x-y+1=0上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到A(1,-1),B(2,0)兩點(diǎn)的距離相等.分析:解答本題有兩種思路:(1)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)(x,y),由點(diǎn)P在直線上和|PA|=|PB|,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式建立關(guān)于x,y的方程,解方程組得點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)由|PA|=|PB|知點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,再解由兩條直線的方程組成的方程組得交點(diǎn)P的坐標(biāo).解法一:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).由點(diǎn)P在直線l上和點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離相等建立方程組解法二:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).A(1,-1),B(2,0)兩點(diǎn)連線所得線段的垂直平分線方程為x+y-1=0,①已知3x-y+1=0,②所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1).反思感悟

利用坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可以求平面上任意兩個(gè)已知點(diǎn)間的距離.反過(guò)來(lái),已知兩點(diǎn)間的距離也可以根據(jù)條件求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).【變式訓(xùn)練3】

已知點(diǎn)A(4,12),P為x軸上的一點(diǎn),且點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離等于13,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.

解得x=-1或x=9.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,0)或(9,0).答案:(-1,0)或(9,0)【思想方法】

【典例】

如圖,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是邊BC上異于點(diǎn)B,C的任意一點(diǎn),求證:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.審題視角:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,設(shè)出各頂點(diǎn)的坐標(biāo),應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式證明.證明:以邊BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,邊BC所在直線為x軸,建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(0,a),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).由題意知,B(-b,0).由兩點(diǎn)間的距離公式,得|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2.∵|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.方法點(diǎn)睛

1.用“坐標(biāo)法”解決平面幾何問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵要結(jié)合圖形的特征,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.坐標(biāo)系建立的是否合適,會(huì)直接影響問(wèn)題能否方便解決.建系的原則主要有兩點(diǎn):(1)讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,這樣便于運(yùn)算;(2)如果條件中有互相垂直的兩條直線,可考慮將它們作為兩坐標(biāo)軸;如果圖形為中心對(duì)稱圖形,可考慮將中心作為原點(diǎn);如果圖形為軸對(duì)稱圖形,可考慮將對(duì)稱軸作為坐標(biāo)軸.2.利用“坐標(biāo)法”解決平面幾何問(wèn)題的基本步驟:第一步:建立坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示有關(guān)的量;第二步:進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算;第三步:把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.【變式訓(xùn)練】

已知在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,對(duì)角線為AC和BD.求證:|AC|=|BD|.證明:以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),邊OB所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)B(a,0),C(b,c),則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(a-b,c).隨堂練習(xí)1.直線3x+4y-2=0與直線2x+y+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是(

)A.(2,2) B.(2,-2)C.(-2,2) D.(-2,-2)所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2).答案:C2.經(jīng)過(guò)直線l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交點(diǎn),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為(

)A.19x-9y=0 B.9x+19y=0C.19x-3y=0 D.3x+19y=0答案:D3.已知點(diǎn)A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5答案:C4.不論a為何實(shí)數(shù),直線l:(a+2)x-(a+1)