創(chuàng)新設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)蘇教第三章第講用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最值

第3講用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值考點(diǎn)梳理(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．1．函數(shù)的最值2．設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下： (1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； (2)求得的f(x)的各極值與__________比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．f(a)，f(b)求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的最值根據(jù)最值定理，求在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)的最值時(shí)，可將過程簡化，即不用判斷導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是極大值還是極小值點(diǎn)，直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可判定最大(小)的函數(shù)值，就是最大(小)值．對(duì)于開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)(定義域?yàn)殚_區(qū)間或半開半閉區(qū)間)求最值時(shí)，除求出函數(shù)的極大值，極小值外，還應(yīng)考慮函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的極限值或畫出函數(shù)的大致圖象，再判定函數(shù)的最大(小)值，否則會(huì)犯錯(cuò)誤．【助學(xué)·微博】考點(diǎn)自測(cè)3．若函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋a在區(qū)間[0,2]上的最大值為5，則a的值為________．答案

55．(2012·蘇州等五市三區(qū)期中考試)已知函數(shù)f(x)＝ex－elnx，則f(x)的最小值為________．

答案

e

(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當(dāng)a2＝4b時(shí)，求函數(shù)f(x)＋g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(－∞，－1]上的最大值．考向一利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值【例1】(2012·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3

＋bx.解(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.∵曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，∴f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.[方法總結(jié)]在解決類似的問題時(shí)，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別．求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得，也可利用函數(shù)的單調(diào)性求得．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值．解

(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)與f′(x)的變化情況如下：【訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex.x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．(2)當(dāng)k－1≤0，即k≤1時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增．所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)＝－k；當(dāng)0＜k－1＜1，即1＜k＜2時(shí)，由(1)知f(x)在[0，k－1)上單調(diào)遞減，在(k－1,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1；當(dāng)k－1≥1，即k≥2時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.綜上所述f(x)在[0,1]上的最小值為(1巨)若k＝e，試鹿確定其函數(shù)f(x)的單渴調(diào)區(qū)益間；(2稍)若k>0，且竭對(duì)于倆任意x∈R，f(|x|)頂>0恒成洗立，模試確襲定實(shí)球數(shù)k的取撞值范誰圍．解(1盡)由k＝e，得f(x)＝ex－ex，所悔以f′(x)＝ex－e.由f′(x)>參0，得x>1，即f(x)的單義調(diào)增虛區(qū)間絞為(1，＋∞)；由f′(x)<帥0，得x<1即f(x)的單象調(diào)減真區(qū)間欠為(－∞，1)．(2登)由題旬設(shè)可劇知f(x)>云0對(duì)任坊意x≥0恒成蟲立．即f(x)mi津n>0械(x≥0)．由f′(x)＝ex－k＝0，得x＝lnk.考向遲二函數(shù)憲最值貫的應(yīng)自用【例2】濫(茄20元12斯·江蘇著徐州闊二模)已知列函數(shù)f(x)＝ex－kx，x∈R.①當(dāng)k∈(0攏,1料]時(shí)，f′(x)＝ex－k>1－k≥0(x>0并)，此時(shí)f(x)在[0，＋∞)上單秋調(diào)遞錦增，蔥故f(x)≥f(0驚)＝1>油0，符鴨合題續(xù)意．②當(dāng)k∈(1，＋∞)時(shí)，lnk>0舉.當(dāng)0<x<l傭nk時(shí)，f′(x)<觸0，f(x)在(0，lnk)上單陷調(diào)遞漠減；當(dāng)x>l團(tuán)nk時(shí)，f′(x)>萄0，f(x)在(l礦nk，＋∞)上單掃調(diào)遞膜增．年故當(dāng)x＝lnk時(shí)，f(x)取極狗小值捆，即膛為最距小值f(l燭nk)．由題普意，薪得f(l定nk)＝k－klnk>0又k>1，所族以1<k<e掌.綜上邊，得k的取凱值范燙圍是(0，e)．[方法肚總結(jié)]函數(shù)湯最值迫可以膝用來垮解決悼不等投式恒腐成立哥問題配，又輩可以肚討論墻函數(shù)代在給團(tuán)定區(qū)醋間上陰的單厭調(diào)性譜，求川參數(shù)燈的取封值范臨圍等烘類問持題．(1逆)求f(x)在區(qū)耀間(0，＋∞)上的灶最小掠值；(2叉)證明凡：對(duì)留任意m，n∈(0，＋∞)，都樂有f(m)≥g(n)成立泉．(1惜)求f(x)的單羅調(diào)區(qū)階間；(2裁)若a＝1，k為整葉數(shù)，紐奉且當(dāng)x＞0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0，求k的最暑大值涉．解(1崖)f(x)的定捏義域潮為(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，則f′(x)＞0，所系以f(x)在(－∞，＋∞)上單耍調(diào)遞縱增；暈若a＞0，則布當(dāng)x∈(－∞，lna)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(l穩(wěn)na，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，所頓以，f(x)在(－∞，lna)上單劣調(diào)遞中減，宰在(l最na，＋∞)上單像調(diào)遞叼增．考向慣三函數(shù)駱最值擱的綜餅合應(yīng)伏用【例3】嘗(揮20芽12變·新課墊標(biāo)全韻國)設(shè)函藏?cái)?shù)f(x)＝ex－ax－2.由(1鬧)知，標(biāo)函數(shù)h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上單針調(diào)遞曠增．染而h(1葬)＜0，h(2功)＞0，所宿以h(x)在(0，＋∞)上存筒在唯腿一的揪零點(diǎn)梢．故g′(x)在(0，＋∞)上存宣在唯旋一的溝零點(diǎn)卡．設(shè)互此零膏點(diǎn)為α，則α∈(1伍,2么)．當(dāng)x∈(0，α)時(shí)，g′(x)＜0；當(dāng)x∈(α，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0.所以g(x)在(0，＋∞)上的斑最小倆值為g(α)．又逗由g′(α)＝0，可債得eα＝α＋2，所錯(cuò)以g(α)＝α＋1∈(2謙,3薯)．由于態(tài)①式粱等價(jià)壇于k＜g(α)，故敵整數(shù)k的最刑大值旅為2.[方法壞總結(jié)]應(yīng)通眾過一雅些典蒙型例活題的紋分析濃提高條分析齊問題烏和解艱決問終題的妙能力寄．解慚題時(shí)呈要善垮于把殖復(fù)雜之的、田生疏羞的、鞠非規(guī)裂范化尸的問麥題轉(zhuǎn)謝化為陳簡單當(dāng)?shù)摹⒛甘煜げ傻?、郵規(guī)范柳化的元問題循來解付決．【訓(xùn)練3】已知亡函數(shù)f(x)＝xlnx.(1節(jié))求函嘆數(shù)f(x)在[1奪,3靜]上的斤最小穿值；若僅惕考查流函數(shù)奶極值熔與最惑值問吩題，笨往往往較簡僚單，梯但是妄一般擇高考霜中出寸現(xiàn)的躺問題侮都是悼綜合裙性問勵(lì)題．將綜棒合性章問題耗進(jìn)行池分解濤或轉(zhuǎn)君化，圍是解泳這類結(jié)問題越的基財(cái)本思早路，危所以德掌握揪轉(zhuǎn)化村方法訓(xùn)是關(guān)萍鍵．規(guī)范劍解答5函數(shù)厘極值(最值)綜合致性問狡題的螞求解芬方法(1溝)函數(shù)f(x)的最杰大值炸為|2a－b|＋a；(2幕)f(x)＋|2a－b|＋a≥0.[審題啟路線美圖]況(1訊)用導(dǎo)矛數(shù)法嶄求f(x)在[0撕,1瓶]上的程最大向值；(2落)轉(zhuǎn)化眉為f(x)＋|2a－b|＋a≥2a(2x3－2x＋1)≥0，用悔導(dǎo)數(shù)俘法求默證g(x)＝2x2－2x＋1的最雷小值g(x)mi設(shè)n>0厘