動(dòng)力學(xué)課后思考題答案

1.如圖所示,均質(zhì)圓輪質(zhì)量為m,半徑為R,放在粗糙水平面上,均質(zhì)桿BC質(zhì)量亦為m,長為2R,二者固結(jié)如圖示.開始時(shí)系統(tǒng)靜止,桿BC位于鉛錘位置.設(shè)桿BC受小的擾動(dòng)后倒下,圓盤在地面上作純滾動(dòng),求當(dāng)桿BC運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí),(1)桿BC的角速度的大小;(2)圓輪心C的速度的大小;(3)圓輪心C的加速度的大小;(4)桿上B點(diǎn)的加速度的大小;(5)地面對(duì)圓輪的法向反力和摩擦力的大小.解:(1)由動(dòng)能定理:(2)(3)輪桿組合體運(yùn)動(dòng)到任意位置時(shí)由機(jī)械能守恒可得:選過C水平面為重力勢能零點(diǎn),對(duì)任意位置,系統(tǒng)有兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)當(dāng)=900

時(shí)上式為上式為輪心C加速度大小(4)桿上B點(diǎn)的加速度的大小(5)求地面對(duì)圓輪的法向反力和摩擦力的大小.先求BC桿中心O點(diǎn)的加速度輪心C加速度大小(5)求地面對(duì)圓輪的法向反力和摩擦力的大小.由動(dòng)量定理:x方向:y方向:另解:求解某時(shí)刻的加速度和約束力,還可用達(dá)朗伯原理.BCBC解:系統(tǒng)有兩個(gè)自由度,選x

、為廣義坐標(biāo)2.如圖所示,均質(zhì)圓輪質(zhì)量為m1,半徑為R,放在粗糙水平面上,均質(zhì)桿BC質(zhì)量為m2,長為2R,用鉸鏈連接于輪心C.開始時(shí)系統(tǒng)靜止,桿BC位于鉛錘位置.桿BC受小的擾動(dòng)后倒下,設(shè)圓盤在地面上作純滾動(dòng),求當(dāng)桿BC運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí),(1)桿BC的角速度的大小;(2)圓輪心C的速度的大小;(3)桿BC的角加速度的大小;(4)圓輪心C的加速度的大小;(5)地面對(duì)圓輪的法向反力和摩擦力的大小.由動(dòng)量定理的水平方向投影取系統(tǒng)分析:取圓輪分析:由對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理BC兩式聯(lián)立可得:(1)由系統(tǒng)的動(dòng)能定理:BC當(dāng)=900由(1)式:即VC=0.(2)式可化作:即是即BCBCBC將(1)式兩邊對(duì)t求導(dǎo)當(dāng)BC桿水平時(shí)將(2)式兩邊對(duì)t求導(dǎo)當(dāng)BC桿水平時(shí)上式化簡成:BCBC桿質(zhì)心O的加速度為:由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理:水平方向有:鉛垂方向有:另解:速度及角速度問題同前,加速度問題另解如下:(3)桿BC的角加速度的大小;(4)圓輪心C的加速度的大小;(5)地面對(duì)圓輪的法向反力和摩擦力的大小.解:BC系統(tǒng)有兩個(gè)自由度,選x

、為廣義坐標(biāo)BC選過C的水平線為重力勢能零點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒將上式兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù):BC廣義速度必不為零,所以有當(dāng)BC桿水平時(shí)由(I)式由(II)式BC另解:速度問題同前(動(dòng)能定理及廣義動(dòng)量守恒),加速度及約束力的問題可用達(dá)朗貝爾原理.求:(3)桿BC的角加速度的大小;(4)圓輪心C的加速度的大小;(5)地面對(duì)圓輪的法向反力和摩擦力的大小.當(dāng)BC桿水平時(shí)設(shè)圖示瞬時(shí),C點(diǎn)的加速度為a,BC桿的角加速度為.圓盤及BC桿分別為平面運(yùn)動(dòng),將各自的慣性力系向各自的質(zhì)心簡化取系統(tǒng)為研究對(duì)象:再取BC桿為研究對(duì)象代入(6):取整體分析BC3.小球的重量為P,小車的重量為W,系統(tǒng)開始靜止.已知小車上四分之一圓弧面的半徑R,圓弧底端處B距光滑水平地面的高度為h.設(shè)小球自圓弧頂端A沿圓弧面落下.求:(1)小球?qū)⒁x開小車時(shí),小球及小車的速度的大小;(2)自初始時(shí)刻到小球?qū)⒁x開小車的這段時(shí)間內(nèi),小車移動(dòng)的距離和小球運(yùn)動(dòng)的水平距離;(3)自小球離開小車到落地的這段時(shí)間內(nèi),小車移動(dòng)的距離和小球運(yùn)動(dòng)的水平距離;(4)小球?qū)⒁x開小車時(shí),圓弧面對(duì)小球的法向約束力.解:兩個(gè)自由度選廣義坐標(biāo)(變量)x、系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒當(dāng)小球在B點(diǎn)時(shí)由動(dòng)能定理當(dāng)小球在B點(diǎn)時(shí)聯(lián)立求解:(1)小球?qū)⒁x開小車時(shí),小球及小車的速度的大小;(2)自初始時(shí)刻到小球?qū)⒁x開小車的這段時(shí)間內(nèi),小車移動(dòng)的距離和小球運(yùn)動(dòng)的水平距離;(3)自小球離開小車到落地的這段時(shí)間內(nèi),小車移動(dòng)的距離和小球運(yùn)動(dòng)的水平距離;(4)小球?qū)⒁x開小車時(shí),圓弧面對(duì)小球的法向約束力.(1)(2)由質(zhì)心坐標(biāo)守恒(水平方向)小車移動(dòng)的距離:小球移動(dòng)的距離:(3)小車移動(dòng)的距離:小球移動(dòng)的距離:(1符)小球串將要狹離開脹小車除時(shí),小球這及小樓車的吊速度濫的大握小;濱(2鋪)自初愚始時(shí)礦刻到漏小球顛將要燙離開吼小車喚的這認(rèn)段時(shí)鈔間內(nèi),小車鏡移動(dòng)化的距優(yōu)離和版小球船運(yùn)動(dòng)談的水太平距駐離;編(3買)自小敞球離縣開小濃車到扁落地申的這擠段時(shí)通間內(nèi),小車旋移動(dòng)耳的距憤離和釘小球糖運(yùn)動(dòng)信的水社平距測離;飛(芝4)小球吃將要護(hù)離開陳小車忘時(shí),圓弧屋面對(duì)轉(zhuǎn)小球扛的法討向約側(cè)束力.(4四)取小食球分菊析運(yùn)仇動(dòng)及疏受力由此題中此題此時(shí)由4.可在務(wù)地面資上滾被動(dòng)而各不滑輩動(dòng)的保均質(zhì)默細(xì)圓要環(huán)管給質(zhì)量翼為m1,半徑巴為R,管內(nèi)頂裝有培質(zhì)量樹為m的小留珠,管的數(shù)內(nèi)壁等光滑.開始類時(shí)圓隙環(huán)和默小珠彎靜止蠅不動(dòng),小珠恒位于宴圓環(huán)佩的最聾右邊系的地柿方(如圖還示).釋放敢系統(tǒng)榆使小冒珠下言落.求小禁珠到撇達(dá)最場低位毛置時(shí),圓環(huán)尤管的巧角速景度的朗大小.Om解:由動(dòng)炭能定防理設(shè)圓畜環(huán)的劣角速錦度為,小珠搶相對(duì)育于圓奇環(huán)中興心O的速第度為Vr.由動(dòng)譜量定場理:摩(水平五方向舞投影)取圓體環(huán)分禿析由(2)、(3)可得:由對(duì)嫩其質(zhì)匙心的塞動(dòng)量辛矩定男理:OOm(1爛)、(4欄)聯(lián)立柿可得:mOmgOOm取廣荷義坐梳標(biāo)x、.取過O水平面為重力勢能零點(diǎn)x為循豈環(huán)坐襯標(biāo)由得:由初霸始條塌件,C=往0當(dāng)=900,另解:其中,(其余乳同前)解:5.圖示值質(zhì)量羅為m2的均彩勻圓閱柱輪篇在質(zhì)獎(jiǎng)量為m1的斜桑面上稿作純餃滾動(dòng),斜面嘗可在連光滑發(fā)水平衫面上孝運(yùn)動(dòng),試求孝系統(tǒng)吃在運(yùn)煌動(dòng)時(shí)撐圓柱腔輪心俘及斜欣面的徒加速沸度.分別稈取圓窮柱、熄斜面垃分析事運(yùn)動(dòng)會(huì)及受套力.θ.θ對(duì)圓炭柱由質(zhì)毫心運(yùn)浪動(dòng)定達(dá)理由對(duì)蜓質(zhì)心路的動(dòng)桶量矩怕定理由于攜圓柱暫在運(yùn)甲動(dòng)的款斜面筋上只練滾不弦滑,上式仁化為對(duì)斜經(jīng)面由牛枝頓第赴二定制律(1)(2)(3)(4)對(duì)圓饞柱,以A為基裳點(diǎn)分攀析C點(diǎn)的級(jí)加速慚度沿斜藥面方裝向投達(dá)影有:.θ(1)(2)(3)(4)由兩唇個(gè)物忙體間辮運(yùn)動(dòng)繡學(xué)關(guān)趣系:取C為動(dòng)南點(diǎn),斜面肉為動(dòng)歇系水平方向:鉛垂方向:聯(lián)立什消去ar電.(5)(1仗)、(2陪)、(3渡)、(4拳)、(5孝)式聯(lián)起立可賤得解:雙自伸由度,選廣遞義坐比標(biāo)x1、Sr.

m1g

m2gθsrC選初鼓始時(shí)往圓柱警的C點(diǎn)處持為重背力勢娘能零即點(diǎn)5.圖示畝質(zhì)量島為m2的均裝勻圓即柱輪童在質(zhì)織量為m1的斜狗面上閃作純畝滾動(dòng),斜面克可在愁光滑兵水平尼面上估運(yùn)動(dòng),試求尼系統(tǒng)蹄在運(yùn)苦動(dòng)時(shí)攪圓柱盞輪心儀及斜朽面的炊加速抽度.運(yùn)動(dòng)勺過程貿(mào)中機(jī)鑼械能亂守恒兩邊療對(duì)時(shí)看間t求導(dǎo)孩數(shù)不會(huì)為零所以有聯(lián)立可得:解:雙自庫由度,選廣棵義坐榜標(biāo)x1、Sr.

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m2gθsrC選初疊始時(shí)患圓柱完的C點(diǎn)處位為重窗力勢畜能零悄點(diǎn)5.圖示泊質(zhì)量衡為m2的均漏勻圓直柱輪賺在質(zhì)留量為m1的斜扇面上耗作純判滾動(dòng),斜面棚可在漿光滑館水平德面上駕運(yùn)動(dòng),試求植系統(tǒng)疊在運(yùn)香動(dòng)時(shí)謹(jǐn)圓柱絲式輪心摘及斜音面的拌加速理度.6.均質(zhì)然桿質(zhì)強(qiáng)量為m,長為3R辟,固結(jié)懂在半微徑為R質(zhì)量陪為M的均潑質(zhì)圓慰柱體拋上,桿的紅一端僅與圓鑰柱體撿的中駕心重集合.設(shè)圓紹柱體寒在水載平面盞上只茂滾不還滑,求系敘統(tǒng)的富運(yùn)動(dòng)桑微分吼方程.mgOAC解:選過O點(diǎn)的勺水平君面為害重力冠勢能漢零點(diǎn)一個(gè)脆自由址度,選廣握義坐鴨標(biāo)運(yùn)動(dòng)秧過程狀中系押統(tǒng)的遲機(jī)械旗能守瞧恒mgOAC兩邊盒同時(shí)液對(duì)時(shí)翠間t求導(dǎo)昨數(shù)消去可得:7.在一鐵水平積面上,小球A的速堪度V1=擺6m惡/s很,方向壩與靜鳥止的B球相師切,如圖累示.兩球幣的大要小相搬同,質(zhì)量溜相等,不計(jì)項(xiàng)摩擦.設(shè)碰珠撞的鏈恢復(fù)撐系數(shù)k劃=蜓0.紐奉6如,試求籌碰撞柱后兩依球的罩速度解各是訴多少?解:碰撞希前后懷總動(dòng)神量守畫恒法向峰投影葡有切向投影有由(1澇)、(2萄)可得:切向葬二球艙不受漫力作掃用,各自強(qiáng)動(dòng)量宴守恒碰撞達(dá)后兩群球的聰速度A球B球8.一均份質(zhì)球油半徑戀為R揮=沾0.脾1m旨,以質(zhì)笑心10脊m/井s的速懼度沿砍圖示充斜面挑向下堪作純循滾動(dòng).并與淚一水結(jié)平面?zhèn)上嘧?設(shè)球話與水賞平面雖的碰碼撞是的完全漫彈性洲的.試求:碰撞互后瞬濱時(shí),球心供的速注度和盤球的貢角速帝度.解:碰撞楚前后,對(duì)質(zhì)擦心的牙動(dòng)量沙矩守規(guī)恒角速嫁度不偽變而(A聞C方向芝上速究度投毫影相母等)由即在切詳向投鞠影可刺得:(方向棄如圖)9.均質(zhì)叔實(shí)心筐球半爪徑為r,沿斜記面滾以下如霞圖示,當(dāng)角清速度丹為0時(shí)碰飯到水北平面霸連滾否帶滑,最后球重新微變成旁純滾悠動(dòng).設(shè)碰添撞時(shí)稀球未博從水中平面吳回跳,求球旗在水堡平面兔上純吊滾動(dòng)趨的角秘速度.解:碰撞借為塑激性k閱=慶0設(shè)純壁滾動(dòng)恒時(shí)質(zhì)峰心速覺度為V角速輝度為由動(dòng)沙量定辜理由動(dòng)汗量矩坦定理由(1歪)可得:聯(lián)立(2孔)、(3及)10蝦.剛度省均為k(奸N/晝m)的兩潔個(gè)彈傅簧,一端獨(dú)固定,另一黎端裝糊在相毯互平叼行的帝兩塊圣剛性湊板平磚板A和B上,其間志距為=摘W/枕2k腥.當(dāng)重估為W的物給體突醒然加書在平驅(qū)板A上時(shí),求平特板B的位愛移.平板渡和彈題簧的蒜質(zhì)量墻略去永不計(jì).解:設(shè)平貿(mào)板B的位望移為整個(gè)螞過程,可用緒能量瞧原理營描述乎成整理旦后得:取11蘭.一個(gè)執(zhí)踩高越蹺的稀人,在高訓(xùn)蹺傾草斜的禿過程柱中,仍直修立地財(cái)站在到上面.這可哄簡化島成圖急示的浮模型:不計(jì)莫重量暴的桿AB蓄(即高蜓蹺)由靜浸止開耽始繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)域動(dòng);一個(gè)古代表滔人的倆均質(zhì)齡桿支駛承在D點(diǎn),當(dāng)AB轉(zhuǎn)動(dòng)計(jì)時(shí),其仍晃保持步在鉛的垂位依置.若設(shè)乏高蹺教在由拿靜止集開始議運(yùn)動(dòng)艦時(shí),其A端具盯有微棟小的匠初位載移d,試寫絹出人耳體質(zhì)警心C水平雷加速袋度的奪表達(dá)牧式.解:由質(zhì)狀心運(yùn)蒸動(dòng)定摧理又12腫.質(zhì)量篇均為m的兩息塊板m1和m2由剛董度系門數(shù)為k的彈偵簧連給接,放在哀地板賺上,如圖存示.今在階其刷上方模掉下狐一質(zhì)窄量為m的泥連塊m3.問:泥塊付的高端度為終多少蹲時(shí),方能冊(cè)使上挪面的籮板跳尋起時(shí)辰帶動(dòng)俱下面釋的板?m3km1m2hkm1m2m3m1m3m2kam1m3m2ka解:本問爽題有稀兩個(gè)朵力學(xué)膀過程,蚊(碰撞我和功絡(luò)能原違理)應(yīng)分江開考些慮.由碰撞過程的動(dòng)量守恒(忽略重力沖量)m1m3m2kam1m3m2kam3km1m2設(shè)彈簧壓縮的最大限度為a,則由動(dòng)能定理可得:在爾后至剛使地面對(duì)m2

的反力為零時(shí),由動(dòng)能定理得:由已知條件可得:m3km1m2hkm1m2m3m1m2m3k考慮資運(yùn)動(dòng)邪過程唉的機(jī)錢械能促守恒,還可婦有如缸下的褲思路:m1m3m2m3m1k由動(dòng)能定理:將已知條件代入可得:及AMmO13灶.質(zhì)量彎為m的小復(fù)環(huán)可斷沿質(zhì)估量為M半徑傾為R的大懼圓環(huán)揭運(yùn)動(dòng).開始悟時(shí),系統(tǒng)易靜止傲于光股滑的蜘水平承面上,如圖童所示.現(xiàn)在僅突然怒給小篩環(huán)一宮初速煉度V0,試證彈明:大環(huán)六將作啟平動(dòng),并求源大圓列環(huán)中渠心相每對(duì)于鞋系統(tǒng)往的質(zhì)哲心的惑運(yùn)動(dòng)惹軌跡.不計(jì)窮大環(huán)此和小獨(dú)環(huán)之魂間的泛摩擦.由于雄小環(huán)形在運(yùn)侄動(dòng)以切后對(duì)洲大環(huán)汽的力竿始終脊指向因大環(huán)廊的質(zhì)(中)心,大環(huán)構(gòu)所受玻的力頸對(duì)其堤質(zhì)心菠的矩托始終棗為零.初始樹大環(huán)熟又無師角速鼻度,因而憑大環(huán)剖對(duì)其愿質(zhì)心沈的動(dòng)攏量矩減始終貝為零(即守族恒),所以掠大危環(huán)的煙角速沿度為解零.如此,大環(huán)包只作果平動(dòng).C由系統(tǒng)的動(dòng)量守恒可得系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng):運(yùn)動(dòng)戰(zhàn)過程習(xí)中,系統(tǒng)檢的質(zhì)滑心到勢大環(huán)撈的質(zhì)寨心O的距懇離及稈到小剛環(huán)m的距鐮離始閣終都律是不扔變的,所以,大環(huán)掛中心疲及小燃環(huán)相繡對(duì)系加統(tǒng)的右質(zhì)心C的運(yùn)名動(dòng)軌捐跡都技是圓昂弧.大環(huán)中心O相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心C的軌跡是以為半徑的圓弧.由質(zhì)心坐標(biāo)公式可得:14棵.設(shè)有棟兩個(gè)氧重物W0和W1,以柔丸軟而還不可馳伸長摘的輕扣繩相綠連,繩長俱為l.若將扮重物W0自W1的上碑面以默初速V0豎直什上拋(開始挽時(shí)圖款中的x模=疫0)似,燦W1放在驗(yàn)地面哪上.求重惱物W0上拋勞的最境大的改距離H.W0W1x解:由于值初速五以字摸母表壁示,據(jù)題通意而考分情乖況討宣論.當(dāng)則當(dāng)在繩子拉直時(shí)有:在二物具有共同速度V2時(shí)有此后上升高度為總高度為:或?yàn)?15葵.均質(zhì)家桿OA效=l,質(zhì)量規(guī)為m簡,可繞O作定倦軸轉(zhuǎn)賴動(dòng).圖示屢瞬時(shí)阿其角遵速度裙等于普零,角加第速度籮為.若將客桿的凡慣性今力系亭向A點(diǎn)簡健化,則主脈矩的姑大小跡應(yīng)為效多少?解:先將蹦慣性刮力系盞向O點(diǎn)簡匠化.再將黨此慣款性力烈系向A點(diǎn)簡絲式化最后堵結(jié)果互應(yīng)為:16尋.質(zhì)量循為