【建模教程】-初中教學(xué)數(shù)學(xué)建模感悟

----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)感悟數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)課程應(yīng)體現(xiàn)“問題情境——建立數(shù)學(xué)模型——理解、應(yīng)用與拓展”，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程．初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)宜低起點(diǎn)、小步子、多活動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)晶，是高度概括的數(shù)學(xué)理論．?dāng)?shù)學(xué)建模教學(xué)要重視數(shù)學(xué)知識(shí)，更應(yīng)突出數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，在獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感、態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展．初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；建模教學(xué)步和發(fā)展[1]．[2][2]從廣義來說，數(shù)學(xué)建模伴隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程．?dāng)?shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)與應(yīng)用都屬于數(shù)學(xué)建模的范疇．?dāng)?shù)學(xué)建模的基本過程大致為：實(shí)際問題數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)模型實(shí)際問題數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)解解釋與檢驗(yàn)實(shí)際問題的解一、初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)宜低起點(diǎn)、小步子、多活動(dòng)過去數(shù)學(xué)建模只作為高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)和部分計(jì)算機(jī)專業(yè)的課程．初中----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----數(shù)學(xué)建模教學(xué)和高校的數(shù)學(xué)建模教學(xué)有很大的不同，初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)一般根據(jù)初中學(xué)生的身心發(fā)展水平、已經(jīng)掌低起點(diǎn)，就是根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)有水平，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，降低教學(xué)的起點(diǎn)，以便全體學(xué)生都能真正進(jìn)入到教學(xué)活動(dòng)中去．小步子，就是按照由易到難，由淺入深，由單一到綜合，由簡單到復(fù)雜的原則，安排層次分明，但梯度較小的教學(xué)情境，分散教學(xué)難點(diǎn)，突出教學(xué)重點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生沿著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的臺(tái)階拾級(jí)而上，最終達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)的要求．多活動(dòng)，就是恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)問題情境，引領(lǐng)學(xué)生動(dòng)眼看、動(dòng)腦想、動(dòng)口說、動(dòng)手做，引領(lǐng)學(xué)生開展自[1]銷售中的盈虧問題的建模教學(xué)1、背景問題某商店在某一時(shí)間以每件 60元的價(jià)格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧?（人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊第104頁）2、數(shù)學(xué)建模（1）問題分析x6025%，那么這件衣服的利潤是多少元？②假設(shè)一件衣服的進(jìn)價(jià)是y元，以60元賣出，賣出后虧損25%，那么這件衣服的利潤是多少元？（2）模型建立問題1 你認(rèn)為銷售價(jià)與進(jìn)價(jià)之間具有怎樣的關(guān)系時(shí)是盈利的？----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----歸納 盈利：銷售價(jià)＞進(jìn)價(jià)問題2 你認(rèn)為銷售價(jià)與進(jìn)價(jià)之間具有怎樣的關(guān)系時(shí)是虧損的？歸納 虧損：銷售價(jià)＜進(jìn)價(jià)問題3 你認(rèn)為銷售價(jià)與進(jìn)價(jià)之間具有怎樣的關(guān)系時(shí)不虧不?歸納 不盈不虧：銷售價(jià)＝進(jìn)價(jià)問題4 你發(fā)現(xiàn)利潤、銷售價(jià)、進(jìn)價(jià)之間有怎樣的關(guān)系？歸納 利潤＝銷售價(jià)－進(jìn)價(jià)問題5 你發(fā)現(xiàn)利潤、進(jìn)價(jià)、利潤率之間有怎樣的關(guān)系？歸納 利潤＝進(jìn)價(jià)×利潤率問題6 你發(fā)現(xiàn)銷售價(jià)、進(jìn)價(jià)、利潤率之間有怎樣的關(guān)系？歸納 銷售價(jià)－進(jìn)價(jià)＝進(jìn)價(jià)×利潤率（3）模型求解25%x0.25x60x0.25xx48．25%y元，那么它的利潤就是0.25x元，根據(jù)銷售價(jià)、進(jìn)價(jià)和利潤之間的關(guān)系，列方程60y0.25yy80．xy＝48＋80＝128＞120，所以賣出這兩件衣服總的是盈利的．（4）模型應(yīng)用應(yīng)用1 “打折銷售”是商家進(jìn)行促銷活動(dòng)的常用手法之一，商家常常將“打折銷售”說成是“虧本大甩賣．電器商場的一種新型電子產(chǎn)品按每件60050%．在促銷活動(dòng)中該電子產(chǎn)品按標(biāo)價(jià)的七折售出，商場賣出該電子產(chǎn)品虧本了嗎？說說你的理由．應(yīng)用2 某件商品進(jìn)價(jià)為250元，按標(biāo)價(jià)的九折銷售時(shí)，利潤為15.2%，這件商品的標(biāo)價(jià)是多少？應(yīng)用3 一商場將每臺(tái)彩電先按進(jìn)價(jià)提高40%標(biāo)出售價(jià)，然后廣告宣傳----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----80%300元，則經(jīng)銷這種商品的利潤?應(yīng)用4 某件商品進(jìn)價(jià)是3000元，標(biāo)價(jià)為4500元，商場規(guī)定該商品售出時(shí)利潤率不低于5%．那么售貨員在出售該商品時(shí)最多可以打幾折？2個(gè)小問題進(jìn)行分析，降低教學(xué)的起點(diǎn)，以便全體學(xué)生從課堂教學(xué)的一開始都能真正進(jìn)6個(gè)小問題帶動(dòng)學(xué)生拾級(jí)而上，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中探索規(guī)律4二、初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)突出數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)晶，是高度概括的數(shù)學(xué)理論．?dāng)?shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的反映和體現(xiàn)，它貫穿在知識(shí)的汲取、儲(chǔ)存、加工、運(yùn)用的全過程．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，認(rèn)識(shí)問題和解決問題，都是知識(shí)與方法相互作用的結(jié)果[2]圓周角定理的建模教學(xué)1、背景問題----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----（1）1ACB、ADB是⊙OAB所對(duì)的兩個(gè)圓周角，C在圓周上的位置，這時(shí)圓周角的度數(shù)有沒有變化？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？（2）ABAOB的度數(shù)，?（91頁）2、模型建立（1）模型猜想同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半．（2）驗(yàn)證猜想問題1 你選擇先證明“同弧所對(duì)的圓周角相等，還是先證明“弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半”？說說你的理由？歸納 選擇先證明“弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對(duì)的圓心角的C問題2 按照?qǐng)A心與圓周角的位置關(guān)系，變動(dòng)C在圓周上的位置時(shí)所得到許多個(gè)圓周角可以分成幾種情況？歸納 按照?qǐng)A心與圓周角的位置關(guān)系，圓周角分三種情況（1）圓心在圓周角的一邊上（2）圓心在圓周角的內(nèi)部（3）圓心在圓周角的外部．問題3 在這三種情況中，你選擇先證明哪一種情況？說說你的理由．歸納 選擇先證明“圓心在圓周角一邊上”的．因?yàn)榇藭r(shí)AC為圓的直徑，這是一種特殊情況．5----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----問題4 如圖2 所示，圓心在圓周角的一條邊 AC上，你怎樣證明----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----ACB

1AOB？2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----歸納 轉(zhuǎn)化為證明AOB2ACB．問題5 如圖3 所示，圓心O在圓周角ACB的內(nèi)部，你怎樣證明----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----ACB

1AOB？2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----歸納C的直徑CDO在圓周角的內(nèi)部”的情況轉(zhuǎn)化為“圓心在圓周角的一條邊上”的情況來證明．問題6 如圖4 所示，圓心O在圓周角ACB的外部，你怎樣證明----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----ACB

1AOB？2----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----歸納 與證“圓心在圓周角的內(nèi)部”的情況類似作過圓周角的頂點(diǎn)C的直徑CDO在圓周角的外部”的情況轉(zhuǎn)化為“圓心在圓周角的一條邊上”的情況來證明．（3）建立模型②問題 在同圓或等圓中如果兩條弧相等那么它們所對(duì)的圓心角有6----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----怎樣的關(guān)系？想一想，在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心周有怎樣的關(guān)系？③圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角的相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．3、模型應(yīng)用應(yīng)用1 半圓所對(duì)的圓周角等于多少度？說說你的理由．應(yīng)用2 90O的圓周角所對(duì)的弦一定是直徑嗎？為什么？應(yīng)用3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半那么這個(gè)三角形一定是直角三角形嗎？為什么？應(yīng)用4 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等嗎？為什么？應(yīng)用5 已知⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm， ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD、BD的長（圖略．1（次要矛盾將迎刃而解，滲透辯證法思想．“問題2”引領(lǐng)學(xué)生觀察、分析、歸納得出圓心346”在引領(lǐng)學(xué)生驗(yàn)證猜想，突出分類數(shù)學(xué)思想的同時(shí)，突出4個(gè)問題，實(shí)際上是圓周角定理的拓展，體現(xiàn)了公理化思想．圓周角定理的數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----[1]：94．[2][3[J200（7-：4-5[4]毛鴻翔高 明毛鴻翱數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論與實(shí)上海同濟(jì)大學(xué)出版社183－184．----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----Per3D技術(shù)文件Modelingphase中的工作流程和細(xì)節(jié)sapetabspkpmcad中導(dǎo)入幾何信息。（1）注意連梁一定要用梁單元模擬，不要用殼單元。從pkpm中導(dǎo)入的模型如對(duì)于深連梁的處理辦法：（2）所有幾何尺寸不同或配筋不同的構(gòu)件都有分組（前期較粗可以只按照幾何尺寸分組，以便后續(xù)分組導(dǎo)入。（3）用etabs分組導(dǎo)處perform文本時(shí)一定要計(jì)算一下恒載，然后導(dǎo)出文本，并注意修改文本前面不要有空行。（4）perform下建模菜單中的“Elements”new，定義需要導(dǎo)入組中構(gòu)（可與etabs中的分組名一致（5）perform下建模菜單中的“Import/Exportstructuredata”選單元類型，按（vistC盤或其他盤的根目錄下以便尋找skip行填實(shí)際文本的跳過的數(shù)據(jù)行，形成幾何模型。perform下建模菜單中的“Nodes”完成以下工作：（1）在supports中完成邊界約束。（2）massetabsD+0.5L每層數(shù)值按節(jié)點(diǎn)數(shù)分配到（N-m-k。（3）在slaving中定義剛性隔壁：注意要每層一個(gè)剛性隔壁名。perform下建模菜單中的“Loadpatterns”完成以下工作：1elementsloadetabs中的梁荷載。定了Dead和Live兩種工況。（2）自重按照單元組來定義其具有自重（componentproperties中可以定義各----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----組單元的密度。注意延梁不需要定義自重。（3）其他荷載工況是也在此處定義，如靜力風(fēng)、雪等，在后續(xù)分析結(jié)果中也可以進(jìn)行組合。perform下建模菜單中的“Addordeleteframe”完成以下工作：perform下建模菜單中的“componentproperties”完成以下工作：（1）定義柱單元：CISSectionBuildingP-MMoment-Curvature關(guān)系曲線（kN-m的單位）和基本幾何特性。CrossSects中選“ColumnReinforcedconcreteSection”new“Sect_組名”并ok，右側(cè)出現(xiàn)三個(gè)菜單，需填寫前兩個(gè)：在“StiffnessDimension”中填寫柱的幾何尺寸和幾何特性（型鋼柱需從Sn”中抄寫過來，一般柱可讓其自己計(jì)算；在“InelasticStrength”中只填寫“Axial/Bending”CISSectionBuildingP-MPTPCPB2軸（0度）3軸（90度）PB0軸力對(duì)應(yīng)的彎矩。plotP-M關(guān)系曲線。其他選項(xiàng)可不定義。Inelastic中選“P-M2-M3HingeConcreteCurvaturenew菜單，輸入“Hinge_組名”okUseCrossSectionDeformationCapabilities點(diǎn)選yes，右側(cè)需填寫三個(gè)菜單：在“SectionandDimension”中選“Column,ReinforcedconcreteSection”及定義好的“Sect_組名”在“BasicF-DRelationship”PB2（0度3（90度）Moment-CurvaturePBDX；在“Deformation Capabilities”填寫三水準(zhǔn)下的曲率，讀取Moment-Curvature關(guān)系曲線中對(duì)應(yīng)的三個(gè)曲率值。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----Compound中選“FrameMemberCompoundComponentnew菜單，輸入“Com_組名”ok，右側(cè)需填寫兩個(gè)菜單：在“BasicCompounds”CompoundTypeP-M2-M3HingeConcreteCurvatureCompoundName中選已經(jīng)定義好的“Hinge_組名”，在“Tributarylength，proportion”0.02ADD添加；然后再在CompoundTypeColumn,ReinforcedconcreteSectionCompoundName中選已經(jīng)定義好的“Sect_組名”，在“Tributarylength，proportion”ADD（該過程重復(fù)一次CompoundTypeP-M2-M3HingeConcreteCurvatureTypeCompoundName中選已經(jīng)定義好的_組名yproportion0.98，ADD添加。完成柱的塑性鉸的定義。SelfWeight中定義單位長度的密度，注意長度單位。（2）定義梁單元：CISSectionBuildingMoment-Curvature（一kN-m的單位）和基本幾何特性。CrossSects中選“BeamReinforcedconcreteSection”new菜單，輸入“Sect_組名”并ok，右側(cè)出現(xiàn)三個(gè)菜單，需填寫第一個(gè)：在“StiffnessDimension”中填寫梁的幾何尺寸和幾何特性（型鋼梁需從Sn中抄寫過來，一般柱可讓其自己計(jì)算；同時(shí)要主要連梁、邊梁和中梁的放大系數(shù)。Inelastic中選“MomentHinge,Curvaturenew“Hinge_組名”okUseCrossSectionDeformationCapabilitiesyes，右側(cè)需填寫三個(gè)菜單：在“SectionandDimension”中選“Beam,ReinforcedconcreteSection”及定義好的“Sect_組名”在“BasicF-DRelationship”FUDXMoment-Curvature關(guān)系曲線中均可以讀出；在“Deformation Capabilities”填寫三水準(zhǔn)下的曲率，讀取----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----Moment-Curvature關(guān)系曲線中對(duì)應(yīng)的三個(gè)曲率值（第一水準(zhǔn)一般取彈性1.521.5235）Compound中選“FrameMemberCompoundComponentnew菜單，輸入“Com_組名”ok，右側(cè)需填寫兩個(gè)菜單：在“BasicCompounds”CompoundTypeMomentHinge,CurvatureCompoundName中選已經(jīng)定義好的“Hinge_組名“Tributarylengtproportion”0.02ADDCompoundTypeBeam,ReinforcedconcreteSectionCompoundName中選已經(jīng)定義好的“Sect_組名”，在“Tributarylength，proportion”中輸入0.5，點(diǎn)擊ADD（該過程重復(fù)一次CompoundTypeMomentHinge,CurvatureCompoundName中選已經(jīng)定義好的“Hinge_組名”，在“Tributarylength，proportion”0.98ADD添加。完成梁的塑性鉸的定義。SelfWeightYL不需填該項(xiàng)。3）定義墻單元（關(guān)鍵是定義混凝土、鋼筋和剪切材料的本構(gòu)：Material中選鋼筋材料“InelasticConcreteMaterial”new菜單，輸入代“C60”ok，在StrainCapacitiesStrengthLoss中ShapeofRelationshipTrilinear。右側(cè)需填寫三個(gè)菜單：BasicRelationship中定義混凝土的彈性模量、本構(gòu)關(guān)系圖中對(duì)于的壓應(yīng)力和應(yīng)變值，具體可參算例?？刹橐?guī)范確定各數(shù)值。StrengthLoss中定義本構(gòu)關(guān)系中的壓應(yīng)變，具體可參算例。為保障計(jì)算的收斂可以不考慮混凝土的強(qiáng)度損失。StrainCapacities中定義三水準(zhǔn)混凝土的應(yīng)變，具體可參算例。Material中選混凝土材料“InelasticSteelMaterial,Non-Buckling”new并ok，在StrainCapacities和StrengthLossyesBasicRelationship中定義鋼筋的彈性模量、極限應(yīng)力和應(yīng)變（與本構(gòu)關(guān)系圖對(duì)應(yīng)，可查規(guī)范。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----StrengthLoss中定義本構(gòu)關(guān)系中的拉應(yīng)變，具體可參算例?？梢詴翰豢紤]。StrainCapacities中定義三水準(zhǔn)鋼筋的應(yīng)變，具體可參算例。Material中選彈性剪切材料“ElasticShearMaterialforawall”new菜單，輸入代表剪切材料的名稱“ShearMaterial”ok，在右側(cè)菜單只需要填（非線性剪切材料定義后費(fèi)機(jī)時(shí)，不易收斂）CrossSects中選“ShearWallInelasticSectionnew菜單，輸入“Sect_組名”AutoSizeok，在右側(cè)菜單中直接選已經(jīng)定義好的混凝土和鋼筋材料作為剪力墻纖維束，同時(shí)填寫墻厚度、纖維數(shù)量（4~8為宜，模33個(gè)纖維數(shù)，以簡便考慮邊緣約束構(gòu)件的作用。Compound中選“ShearWallCompoundComponent”new菜單，輸入“Com_組名”并ok，右側(cè)填寫基本信息即可。4）定義連梁單元（關(guān)鍵是定義一個(gè)剪切鉸，但沒有定型的剪切骨架曲線：Inelastic中選“ShearHinge,DisplacementnewShearHingeokUseCrossSectioDeformationCapabilitiesStrengthLossShapeofRelationshipE-P-P。右側(cè)需填寫三個(gè)菜單，具體可參算例。Compound中選“FrameMemberCompoundComponentnew菜單，輸入“Com_組名”ok，右側(cè)填寫基本信息即可，特別需要在中間加一個(gè)剪力鉸。（5）定義彈性梁：方法同上，只需要定義其彈性特性。perform下建模菜單中的“Elements”將裝配好的特性賦予給構(gòu)件組使其形成單元。先選組，然后在Properties中點(diǎn)擊“AssignComponent”按鈕，選取裝配類型ChoosecomponenttypeAssign按鈕完成特性賦值。將各個(gè)構(gòu)件定義局部坐標(biāo)系，否則后續(xù)不給計(jì)算。p