【建模教程】-數(shù)學(xué)建模題目及答案-數(shù)學(xué)建模100題

----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----09級(jí)數(shù)模試題1.把四只腳的連線(xiàn)呈長(zhǎng)方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有（15分）解：對(duì)于此題，如果不用任何假設(shè)很難證明，結(jié)果很可能是否定的。因此對(duì)這個(gè)問(wèn)題我們假設(shè)：（1）地面為連續(xù)曲面（2）長(zhǎng)方形桌的四條腿長(zhǎng)度相同（3）相對(duì)于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長(zhǎng)的（4）方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地。那么，總可以讓桌子的三條腿是同時(shí)接觸到地面?，F(xiàn)在，我們來(lái)證明：如果上述假設(shè)條ABCDB,CDxxababAD0x。容易看出當(dāng)四條腿尚未全部著地時(shí)腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令 f)為AB離地距離之和，g()為D唯一確定。由假設(shè)，f),g)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----均為的連續(xù)函數(shù)。又由假設(shè)（ 3，三條腿總能同時(shí)著地， 故f)g(=0（f(0)0g(0)0若g(0)0，則初始時(shí)刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)，于是問(wèn)題歸結(jié)為：已知f),g()均為的連續(xù)函數(shù)， f(0)0,g(0)0且對(duì)任意有f)g)0，求證存在某一f)g)0。0 0 0 0 0證明：當(dāng)θπAB與CD互換位置，故f0g(0。作)f)g()，顯然)也是的連續(xù)函數(shù)，h(0)f(0)g(0)0而)f)g()0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在，0 ，0 00fg)f)g)00 0 0 0 0fg(0，證畢。0 021000Th，235A，333B，432CTh10（15）xy，Czx+y+z=10；x/10=235/1000；y/10=333/1000；z/10=432/1000；0 x 100 y 100 x 100 y 10----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----0 z 100 z 10解得：x=3y=3z=43580Th2Th豬出售的市場(chǎng)價(jià)格為每公80.1（15）tTh豬（80）可以獲得的z每頭豬投入：5t8-0.1（80+2）元Z=5t（8-0.1（80+2）=-0.2t^2+13t+640=-0.2（t^2-65t+4225/4）+3405/4t=32t=33Zmax=851.25(元)因此，應(yīng)該在第32天過(guò)后賣(mài)出這樣的Th豬，可以獲得最大利潤(rùn)。一奶制品加工廠(chǎng)用牛奶Th123A1，或者在設(shè)備乙上用84A2。根據(jù)市場(chǎng)需求，Th----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----A124A21650480100A1，試為該廠(chǎng)制訂一個(gè)Th（2）331（4）可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元?(5)A130/公斤，應(yīng)否改變Th產(chǎn)計(jì)劃？（15）解：設(shè)：每天ThxA1，yA2，所獲Z加工每桶牛奶的信息表:產(chǎn)品所需時(shí)間產(chǎn)量A112小時(shí)3公斤A284獲利/公斤2416(1) x+y<=5012x 8y 4800y3x0100Z=24*3x+16*4y=72x+64y----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----x=20，y=30Zmax=3360則此時(shí)，Th產(chǎn)Th20ThA1，30ThA2。（2）設(shè)：純利潤(rùn)為W元。W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710(元)>033/(3)若不限定牛奶的供應(yīng)量，則其優(yōu)化條件變?yōu)椋?---宋停云與您分享--------宋停云與您分享----12x 8y 4800 3x 100y 0W=39x+31yx=0，y=60Wmax=1860----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----則最多購(gòu)買(mǎi)60桶牛奶。(4)n(5A130----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----x=0，y=60，Z1max=3840（元）因此，不必改變Th產(chǎn)計(jì)劃。在冷卻過(guò)程中，物體的溫度在任何時(shí)刻變化的速率大致正比于它9818℃的水池38℃，假定沒(méi)有感到水變熱，問(wèn)雞蛋達(dá)20℃，（15）解：題意沒(méi)有感到水變熱，即池水中水溫不變。TdT/dttT1T-T1由題意有：T-T1=kdT/dt 其中k為比例常) (1)方程(1)化為 ：dt=kdT/（T-T1） （2）對(duì)（2）兩邊同時(shí)積分之后并整理一下就得到：t=k*ln（T-T1）+Ck5k5ln20ln80所以，還需8.（mi。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----設(shè)每份報(bào)紙的購(gòu)進(jìn)價(jià)為，零售價(jià)為，退回價(jià)為，應(yīng)該自然地假設(shè)。這就是說(shuō)，報(bào)童售出一份報(bào)紙賺，退回一份報(bào)紙賠。報(bào)童如果每天購(gòu)進(jìn)的報(bào)紙?zhí)?，不夠賣(mài)的，會(huì)少；如果購(gòu)進(jìn)太多，賣(mài)不完，將要賠（15）解：設(shè)：bacn。nnnna、b、crn?；炯僭O(shè)1、假設(shè)報(bào)童現(xiàn)在要與報(bào)社簽定一個(gè)長(zhǎng)期的訂購(gòu)合同，所以要確定每日的訂購(gòu)量n。2rbac。3、假設(shè)每日的定購(gòu)量是n。4、報(bào)童的目的是盡可能的多。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----建立模型rnrnrnn由常識(shí)可以知道賣(mài)報(bào)紙只有、不不賠錢(qián)、賠錢(qián)會(huì)有三種結(jié)果?，F(xiàn)在用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)式表示這三種結(jié)果。1、。又可分為兩種情況:①r>n，則最終收益為(a-b)n (1)②r<n，則最終收益為(a-b)r-(b-c)(n-r)>0整理得：r/n>(b-c)/(a-c) (2)2、由(2)式容易得出不不賠錢(qián)。r/n=(b-c)/(a-c)(3)3、賠錢(qián)。r/n<(b-c)/(a-c)(4)模型的求解----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----首先由(1nnrnrnn(4n最后重點(diǎn)分析(2)式。r(a-c)無(wú)法表示一個(gè)顯而易見(jiàn)的意義，所以現(xiàn)在把它放入a>b>ca-c>a-b，而(a-b)恰好是賣(mài)一份報(bào)紙賺得的錢(qián)。然后采用放縮法，(2)式中的(a-c)換成(a-b)，得到r/n<(b-c)/(a-b) (5)不等式依然成立。由(5)式再結(jié)合(1)式可知收益與n正相關(guān)，所以要想使訂購(gòu)數(shù)n的份數(shù)越多，報(bào)童每份報(bào)紙賠錢(qián)(b-c)與(a-b)的比值就應(yīng)越小。當(dāng)報(bào)社與報(bào)童簽訂的合同使報(bào)童每份報(bào)紙賠錢(qián)與之比越小，訂購(gòu)數(shù)就應(yīng)越多。談?wù)勀銓?duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)，你認(rèn)為數(shù)學(xué)建模過(guò)程中哪些步驟是關(guān)（10）----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----簡(jiǎn)單地說(shuō)：數(shù)學(xué)模型就是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)表述。更確切地說(shuō)：數(shù)學(xué)模型就是對(duì)于一個(gè)特定的對(duì)象為了一個(gè)特定目數(shù)學(xué)建模的幾個(gè)過(guò)程模型準(zhǔn)備：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對(duì)象的各種信息。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題。（估計(jì)）。模型分析：對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----數(shù)學(xué)模型論文模型名稱(chēng)：減肥計(jì)劃—節(jié)食與運(yùn)動(dòng)學(xué)號(hào)：101004115系別：基礎(chǔ)科學(xué)系姓名：張吉言上課時(shí)間：周一晚6：00是否下學(xué)期上課：是----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)[摘要]減肥能量 進(jìn)食活動(dòng)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----一、問(wèn)題重述BMI）體重（單位：kg）除以身高（m）的平方，規(guī)定BMI18.5252530對(duì)東方人的特點(diǎn)，擬將上規(guī)定中的25改為24.30改為29。各種減肥食品、藥物或是健美中心如雨后春筍般出現(xiàn),現(xiàn)在我們也利用減肥的基本原二、模型分析通常,當(dāng)體內(nèi)能量守恒被破壞時(shí)就會(huì)引起體重的變化。人們通過(guò)飲食吸收熱量，一部分用于代謝和運(yùn)動(dòng)消耗，若有剩余則轉(zhuǎn)化為脂肪存儲(chǔ)起來(lái)，導(dǎo)致體重的增加。如果要想體重減少，必須使吸收的熱量小于消耗的熱量，從而使機(jī)體代謝存儲(chǔ)的脂肪。這可以通過(guò)減少攝入和增加消耗來(lái)實(shí)現(xiàn)，即減少進(jìn)食量，增加運(yùn)動(dòng)量。但每天的進(jìn)食不僅提供能量，還提供人體必需的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)，所以進(jìn)食量不能過(guò)少。這里，以天為單位，來(lái)計(jì)算人體的代謝變化，選用離散事件模型——差分方程來(lái)討論。三、模型假設(shè)根據(jù)上述分析，參考有關(guān)生理數(shù)據(jù)，作出以下簡(jiǎn)化假設(shè)：8000kcal1kg；200kcal至320kcal之間，且因人而異，這相當(dāng)于體重70kg的人每天消耗2000kcal-3200kcal;運(yùn)動(dòng)一起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；為了安全與健康，每周體重減少不宜超過(guò) 1.5kg，每周吸收熱量不要小于10000kcal；四、基本模型kw(k)kc（ka=1/8000（kg/kcal（因人而異，則在不考慮運(yùn)動(dòng)情況下體重變化的基本方程為w(k1)w(k)c(k1)w(k)k=0,1,2……若增加運(yùn)動(dòng)，只需將改為由運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和形式而定。ck1)wk)ck1)wk)時(shí)，可維持體重。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----五、減肥計(jì)劃的提出某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變。現(xiàn)欲減肥至75千克。1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（10000；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。六、減肥計(jì)劃的制定不運(yùn)動(dòng)情況下兩階段的減肥計(jì)劃1c=20000kcalw=100kg不變，由式得----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----w=w+ac-bw,b=ac/w=20000/8000/100=0.025相當(dāng)于每周每公斤體重消耗20000/100=200kcal。2）第一階段要求體重每周減少 b=1kg，吸收熱量減至下限 cw(k)–w(k)-w(0)-bk，由模型（1）式可得

min

=10000kcal,即----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----c(k1)1a

w(k)ba

bw(0)a

(1k)----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----將a，，b的數(shù)值代入，并考慮下限cc(k1)12000 200kc 10000min得k<=10,即第一階段共10周，按照

，有min----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----c（k+1）=12000-200k，k=0,1,2，……，9吸收熱量，可使體重每周減少1kg，至第10周末體重達(dá)到90kg。----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----3）第二階段要求每周吸收熱量保持下限cw(k+1)=(1-)w(k)+ac

min

,由基本模型（1）可得----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----min為得到體重減至75kg，將此式遞推可得 w(kn))nw(k)ac 1) )n1min----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----(1)nw(k)ac

/acmin

/min----宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享--------宋停云與您分享----已知w(k)90，要求w(kn)75，再以 a,,c

的數(shù)值代入，給出----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----750.975n(9050)50 得到n=19,即每周吸收熱量保持下限周體重可減至75kg增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量跑步 跳舞 乒乓 自行車(chē)(中速) 游泳(50米/分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9記表中熱量消耗，每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，為利用基本模型，只需將改為t，即----宋停云與您分享--------宋停云與您分享----w(k1)w(k)ac(k1)(t)w(k)試取t