哥尼斯堡七橋問題

哥尼斯堡七橋問題

哥尼斯堡七橋問題

現(xiàn)今的加里寧格勒，舊稱哥尼斯堡，是一座歷史名城。在十八、十九世紀(jì)，那里是東普魯士的首府，曾經(jīng)誕生和培育過許多偉大的人物。著名的哲學(xué)家，古典唯心主義的創(chuàng)始人康德，終生沒有離開過哥尼斯堡一步!二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，德國的希爾伯特也出生于此地。

哥城景致迷人，碧波蕩漾的普累格河，橫貫其境。在河的中心有一座美麗的小島。普河的兩條支流，環(huán)繞其旁匯成大河，把全城分為下圖所示的四個(gè)區(qū)域：島區(qū)(A)，東區(qū)(B)，南區(qū)(C)和北區(qū)(D)。

著名的哥尼斯堡大學(xué)，傍倚于兩條支流的河旁，使這一秀色怡人的區(qū)域，又增添了幾分莊重的韻味!有七座橋橫跨普累格河及其支流，其中五座把河岸和河心島連接起來。這一別致的橋群，古往今來，吸引了眾多的游人來此散步。

早在十八世紀(jì)以前，當(dāng)?shù)氐木用癖銦嶂杂谝韵掠腥さ膯栴}：能不能設(shè)計(jì)一次散步，使得七座橋中的每一座都走過一次，而且只走過一次?

這便是著名的哥尼斯堡七橋問題。

這個(gè)問題后來變得有點(diǎn)驚心動(dòng)魄：說是有一隊(duì)工兵，因戰(zhàn)略上的需要，奉命要炸掉這七座橋。命令要求當(dāng)載著炸藥的卡車駛過某座橋時(shí)，就得炸毀這座橋，不許遺漏一座！

如果有興趣，完全可以照樣子畫一張地圖，親自嘗試嘗試。不過，要告訴大家的是,想把所有的可能線路都試過一遍是極為困難的！因?yàn)楦鞣N可能的線路有=5040種。要想一一試過，真是談何容易。正因?yàn)槿绱?，七橋問題的解答便眾說紛紜：有人在屢遭失敗之后，傾向于否定滿足條件的解答的存在；另一些人則認(rèn)為，巧妙的答案是存在的，只是人們尚未發(fā)現(xiàn)而已，這在人類智慧所未及的領(lǐng)域，是很常見的事！科技館里的模型

問題的魔力，竟然吸引了天才的歐拉(Euler。1707---1783)。這位年輕的瑞士數(shù)學(xué)家，以其獨(dú)具的慧眼，看出了這個(gè)似乎是趣味幾何問題的潛在意義。

公元1736年，29歲的歐拉向圣彼得堡科學(xué)院遞交了一份題為《哥尼斯堡的七座橋》的論文。論文的開頭是這樣寫的：

“討論長短大小的幾何學(xué)分支，一直被人們熱心地研究著。但是還有一個(gè)至今幾乎完全沒有探索過的分支。萊布尼茲最先提起過它，稱之：“位置的幾何學(xué)”。這個(gè)幾何學(xué)分支討論只與位置有關(guān)的關(guān)系，研究位置的性質(zhì)；它不去考慮長短大小，也不牽涉到量的計(jì)算。但是至今未有過令人滿意的定義，來刻劃這門位置幾何學(xué)的課題和方法……”接著，歐拉運(yùn)用他那嫻熟的變換技巧，如同下圖，把哥尼斯堡七橋問題變?yōu)樽x者所熟悉的，簡單的幾何圖形的“一筆畫”問題：即能否筆不離紙，一筆畫但又不重復(fù)地畫完以下的圖形？

不難發(fā)現(xiàn)：右圖中的點(diǎn)A、B、C、D，相當(dāng)于七橋問題中的四塊區(qū)域；而圖中的弧線，則相當(dāng)于連接各區(qū)域的橋。

想不到轟動(dòng)一時(shí)的哥尼斯堡七橋問題，竟然與孩子們的游戲，想用一筆畫畫出“串”字和“田”字這類問題一樣。聰明的歐拉，正是在此基礎(chǔ)上，經(jīng)過悉心研究，確立了著名的“一筆畫原理”，從而成功地解決了哥尼斯堡七橋問題。一筆畫原理：一個(gè)圖如果可以一筆畫成，那么這個(gè)圖中奇數(shù)頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是0就是2。下圖逼畫的分兩只雷動(dòng)物梨世界趟的龐決然大憐物，生都可介以用唉一筆檔畫完督成。炎它們德的奇帳點(diǎn)個(gè)鉛數(shù)分間別為0和2。這臘兩張犧圖選漿自《智力啄世界》一刊剃，也歉算一即種別垃有風(fēng)寺趣的餐例子聚。需要袖順便陽提到犁的是掃：既舉然可設(shè)由一園筆畫艱畫成頸的脈債絡(luò)，芹其奇掃點(diǎn)個(gè)羞數(shù)應(yīng)固不多救于兩屢個(gè)，搞那么情，兩悲筆劃概或多鑰筆劃幼能夠傘畫成麻的脈愁絡(luò)，肅其奇攏點(diǎn)個(gè)飽數(shù)應(yīng)忘有怎住樣的貝限制上呢？覺我想歸，聰狼明的朽讀者沫完全緩能自貨行回逗答這百個(gè)問雄題。語一般狀地，番我們遮有：拋含添有2n浙(n女>0獵)個(gè)奇丙點(diǎn)的沃脈絡(luò)模，需阿要n筆劃方畫成總。問牙題在哥魚尼斯米堡七雁橋問憑題中伶再加宰進(jìn)去飯一座艦橋，張會(huì)怎漏么樣射？橡皮盲膜上底的幾合何學(xué)在《哥尼壤斯堡弄七橋》問題國中，旗讀者叼已經(jīng)允看到承了一跳種只削研究帥圖形艱各部鏈分位隸置的鎖相對(duì)每次序你，而徒不考首慮它的們尺喘寸大廁小的奔新幾傲何學(xué)珍。萊眼布尼夢(mèng)茲(L醉ei錘bn釀iz，16也46～17傅16老)和歐的拉為榜這種翻“位評(píng)置幾菌何學(xué)田”的根發(fā)展做奠定鴨了基嘗礎(chǔ)。殼如今先這一驅(qū)新的亞幾何冊(cè)學(xué)，順已經(jīng)洽發(fā)展竄成一塑門重戴要的傭數(shù)學(xué)泰分支——拓?fù)涑蓪W(xué)拓?fù)湔龑W(xué)研覽究的稼課題譜是極仗為有起趣的晌。謙在限拓?fù)鋳Z學(xué)中理人們?cè)信d善趣的跨只是首圖形睜的位茶置而贊不是頌它的幅大小棗。有波人把染拓?fù)浜髮W(xué)說脾成是狹橡皮恢膜上簽的幾覽何學(xué)跟是很鳳恰當(dāng)濱的。療因?yàn)橥嫦鹌ぴ伳ど蠝I的圖雞形，訴隨著疊橡皮皮膜的洲拉動(dòng)嗓，其辱長度膨、曲均直、宵面積潤等等榜都將頑發(fā)生攜變化聾。此趣時(shí)談父論“亭有多伍長？浮”、遮“有晶多大刑？”恭之類切的問梨題，的是毫說無意央義的!不過罷，在諒橡皮姑膜幾蓋何里弱也有蔽一些聞圖形豪的性欺質(zhì)保辱持不景變。捎例如盞點(diǎn)變師化后外仍然喘是點(diǎn)旋；線計(jì)變化犁后依奮舊為距線；個(gè)相交諷的圖帝形絕鈴不因庸橡皮窯的拉礎(chǔ)伸和豎彎曲滾而變滴得不險(xiǎn)相交!拓?fù)浒磳W(xué)正五是研諒究諸諒如此呢類，隆使圖闖形在擴(kuò)橡皮旬膜上撇保持堅(jiān)不變恒性質(zhì)汽的幾邊何學(xué)請(qǐng)大選家思起考：睜“串菌”、首“田滅”兩駐字，捆在橡省皮膜氏上可談變?yōu)閹褪裁绰鋱D形拓?fù)涿軐W(xué)是銷在19世紀(jì)拆末興騙起并慈在20世紀(jì)饞蓬勃凈發(fā)展貍的數(shù)在學(xué)分榆支，雕與近庸世代瞧數(shù)、債近代哲分析均共同傘成為豬數(shù)學(xué)紙的三室大支適柱。拓?fù)鋲W(xué)已看在物靈理、牲化學(xué)閃、生橋物一后些工境程技熟術(shù)中病得到婦越來踐越廣闊泛的仔應(yīng)用荒。拓耳撲學(xué)顏主要蕉研究承幾何兼圖形狹在一慌對(duì)一拼的雙直方連碧續(xù)變箭換下蹈不同適的性岸質(zhì)，哨這種愧性質(zhì)愧稱為現(xiàn)“拓遮撲性汪質(zhì)”籌。以下松我們揚(yáng)將復(fù)忍雜的堵拓?fù)涑釋W(xué)知沒識(shí)應(yīng)候用到其簡單批的游竄戲中乞，使逐觀眾慢在游伸戲中香了解嬸拓?fù)渑茖W(xué)的麻特性堆，并木學(xué)習(xí)哈到相謠關(guān)知喝識(shí)?！皟?nèi)壞部”陳與“油外部酷”一條巷頭尾娛相連聲且自薪身不壺相交蔬的封右閉曲喝線，帶把橡博皮膜芬分成遍兩個(gè)厭部分籍。如超果我棟們把兼其中喇有限廣的部稀分稱逼為閉憲曲線紙的“兇內(nèi)部嗽”，瞇那么流另一蹲部分赤便是守閉曲步線的曠“外站部”拿。從緒閉曲翁線的米內(nèi)部播走到拋閉曲頸線的何外部秤，不熄可能嚴(yán)不通笛過該剝閉曲才線。迷因此窩，無瞇論你妥怎樣南拉扯正橡皮撞膜，劃只要嫌不切販割、劉不撕勿裂、睛不折社疊、歸不穿樣孔，住那么洪閉曲懶線的羽內(nèi)部須和外勵(lì)部總此是保刪持不聾變的!“內(nèi)猾部”行與“塔外部競”是犬拓?fù)溟_學(xué)中筐很重的要的糧一組釘概念以下鑰有趣絲式的故她事，烈將增駝加你諸對(duì)這懲兩個(gè)偏概念遮的理艦解：傳說石古波饅斯穆認(rèn)罕默節(jié)德的核繼承恨人哈濱里發(fā)積，有棋一位面才貌逗雙全尋的女圍兒。飽姑娘緞的智叫慧和炊美貌匪，使蘭許多鮮聰明敬英俊害的小鍋伙子馳為之氧傾倒隔，致將使求構(gòu)婚者吵的車男馬絡(luò)規(guī)繹不名絕。世哈里餡發(fā)決蒸定從萄中挑搖選一亭位才掩智超遇群的佩青年鳥為婿忽。于健是便規(guī)出了新一道僻題目荷，聲膀明說碰：誰翠能解屋出這昏道題御，便技將女怖兒嫁地給誰編！哈里液發(fā)的播題目怪是這圈樣的辮：請(qǐng)嫩用線駝把下愁圖中留寫有率相同呀數(shù)字半的小戚圓圈燃連接蹦起來努，但臟所連介的線紙不許代相交掀，也燒不許淡與圖健中的斥線相龜交上述也問題金的解早決，砌似乎潑不費(fèi)挽吹灰法之力右。但脈實(shí)際課上求咽婚者鞏們?nèi)识汲藨倥d而稀來，或敗興耀而去威！設(shè)據(jù)劫說后步來哈累里發(fā)碌終于蛇醒悟錄，發(fā)舍現(xiàn)自熄己所圓提的我問題惕是不甚可能沃實(shí)現(xiàn)歸的，蜘因而薯后來煤又改廚換了紹題目哥。也婦有的姥說，讓哈里久發(fā)固汗執(zhí)已制見，贈(zèng)美麗襲的公優(yōu)主因鋤此終徑生未憶嫁。怨事情鴿究竟把如何由，現(xiàn)雞在自貿(mào)然無貫從查幣考。哈里架發(fā)的燦失算慎，卻分是可馳以用詞拓?fù)渫磳W(xué)的際知識(shí)解加以心證明綁的。皂其所暑需之巡壽概念虛，只慘有“態(tài)內(nèi)部論”與排“外舉部”粘兩個(gè)狗。事順實(shí)上垂，我腦們很拖容易拘用線改把①槳一①漢、②傷一②尼連起酷來。號(hào)明眼暑的讀逝者可處能已數(shù)經(jīng)發(fā)搬現(xiàn)：霜我們帽得到催了一愉條簡賽單的遵閉曲膏線，迫這條出曲線猜把整舟個(gè)平信面分私為內(nèi)內(nèi)部(陰影影部分)和外掏部兩樹個(gè)區(qū)貍域。鬼其中勉一個(gè)跟③在訊內(nèi)部辛區(qū)域獄，而潛