初中數(shù)學(xué)人教八年級(jí)上冊(cè)軸對(duì)稱-等腰三角形的性質(zhì)

1．了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性質(zhì)。2．能運(yùn)用等腰三角形的概念及性質(zhì)解決相關(guān)問題。ABC有兩條邊相等的三角形,叫做等腰三角形.等腰三角形的概念相等的兩條邊叫做腰；另一條邊叫做底邊；底邊與腰的夾角叫做底角。兩腰所夾的角叫做頂角；腰腰底邊頂角底角幾何表達(dá)式：∵AB=AC∴?ABC是等腰三角形

一、知識(shí)回顧溫故而知新思考：如何用尺規(guī)作圖畫等腰三角形呢？

條件AB=ACCA=CBAC=AD

腰

底邊

底角AB、ACBC∠B、∠CCA、CBAC∠A、∠BAC、AD∠ACD、∠ADCDC

圖形頂角∠A∠C∠CAD寫一寫如圖,把一張長方形的紙按圖中虛線對(duì)折,

并剪去綠色部分,再把它展開,得到的△ABC有什么特點(diǎn)?ABCAB=AC等腰三角形探究1上面剪出的等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？ABCD把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線段和角，填入下表：重合的線段重合的角等腰三角形除了兩腰相等以外,你還能發(fā)現(xiàn)它的其他性質(zhì)嗎?AB=ACBD=CDAD=AD∠B=∠C∠ADB=∠ADC∠BAD=∠CAD探究2等腰三角形的兩個(gè)底角相等。ABCD已知：△ABC中，AB=AC求證：∠B=C想一想：1.如何證明兩個(gè)角相等？

議一議：2.如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形？探究3簡稱“等邊對(duì)等角。前提是在同一個(gè)三角形中。已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABC等腰三角形的兩個(gè)底角相等。D證明：作底邊的中線AD，則BD=CDAB=AC(已知)BD=CD(已作)AD=AD(公共邊)∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).在△BAD和△CAD中作底邊上的中線方法一已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABC等腰三角形的兩個(gè)底角相等。D證明：作頂角的平分線AD，則∠1=∠2AB=AC(已知)∠1=∠2(已作)AD=AD(公共邊)∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).作頂角的平分線在△BAD和△CAD中12方法二已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABC等腰三角形的兩個(gè)底角相等。D證明：作底邊的高線AD，則∠BDA=∠CDA=90°AB=AC(已知)AD=AD(公共邊)∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).作底邊的高線在Rt△BAD和Rt△CAD中方法三性質(zhì)1的應(yīng)用格式：∵AB＝AC（已知）∴∠B＝∠C（等邊對(duì)等角）ABCD性質(zhì)2

等腰三角形的頂角平分線與底邊上的中線，底邊上的高互相重合(三線合一)思考：

由△BAD≌△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你還可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

探究4知一線得二線“三線合一”可以幫助我們解決線段的垂直、相等以及角的相等問題。性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合。（通常說成等腰三角形的“三線合一”）性質(zhì)2可分解成下面三個(gè)方面來理解：1、等腰三角形的頂角的平分線，既是底邊上的中線，又是底邊上的高。應(yīng)用格式：∵AB＝AC∠1＝∠2（已知）

∴BD＝DCAD⊥BC（等腰三角形三線合一）2、等腰三角形的底邊上中線，既是底邊上的高，又是頂角平分線。應(yīng)用格式：∵AB＝ACBD＝DC

（已知）

∴AD⊥BC∠1＝∠2

（等腰三角形三線合一）3、等腰三角形的底邊上的高，既是底邊上的中線，又是頂角平分線。應(yīng)用格式：∵AB＝ACAD⊥BC（已知）

∴BD＝DC∠1＝∠2

（等腰三角形三線合一）ABCD21

·→

畫出任意一個(gè)等腰三角形的底角平分線、腰上的中線和高，看看它們是否重合？不重合！三線合一“三線合一”應(yīng)該對(duì)應(yīng)等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線和底邊上的高為什么不一樣?理解三線合一

ABCD

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，其頂角的平分線（底邊上的中線、底邊上的高）所在的直線就是等腰三角形的對(duì)稱軸。性質(zhì)31、在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠B=80°，則∠C=___度，∠A=____度？BCA∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）∵∠B=80°（已知）∴∠C=80°又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形內(nèi)角和為180°）∴∠A=180°－∠B－∠C=20°

展示風(fēng)采2、在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠A=50°則∠B=——度，∠C=——度？展示風(fēng)采CBA∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形內(nèi)角和為180°）∠A=50°（已知）∴∠B=65°∠C=65°ABCD2x2x⌒2x⌒⌒⌒x如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù)。解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等邊對(duì)等角)設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°展示風(fēng)采1、等腰三角形一個(gè)底角為70°,它的頂角為______.2、等腰三角形一個(gè)角為70°,它的另外兩個(gè)角為

__________________.3、等腰三角形一個(gè)角為110°,它的另外兩個(gè)角為___________.（1）頂角度數(shù)+2×底角度數(shù)=180°（2）0°＜頂角度數(shù)＜180°（3）0°＜底角度數(shù)＜90°結(jié)論:在等腰三角形中,40°35°，35°70°,40°或55°,55°看誰最棒

4、已知：如圖，房屋的頂角∠BAC=100o,過屋頂A的立柱ADBC,屋椽AB=AC.求頂架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度數(shù).ABDC∴∠BAD=∠CAD=50°∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相重合）.又∵AD⊥BC，∴∠B=∠C=（180°－∠BAC）÷2=40°解：在△ABC中∵AB=AC，∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）又∵∠BAC=100o看誰最棒5、（1）猜想一下，等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等嗎？如圖將等腰三角形ABC沿對(duì)稱軸折疊，觀察DE與DF的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。ABCDEF已知：在△ABC中，AB=AC.點(diǎn)D

是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F求證：DE＝DF看誰最棒

△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，

DF⊥AC于FDE⊥AB于E.求證：DE＝DFABCDEF

證明：

∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠BED＝∠CFD

又∵D是BC中點(diǎn)（已知）∴BD＝DC∵AB＝AC（已知）

∴∠B＝∠C（等邊對(duì)等角）在△DBE與△DCF中

∠DEB＝∠DFC（已證）

∠B＝∠C（已證）BD＝DC（已證）

∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DE＝DF

方法二：連AD。

∵AB＝AC，BD＝DC（已知）

∴AD是∠BAC的平分線。（等腰三角形三線合一）又∵DE⊥ABDF⊥AC

∴DE＝DF

（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）5、（1）猜想一下，等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等嗎？如圖將等腰三角形ABC沿對(duì)稱軸折疊，觀察DE與DF的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。ABCDEF(2)如果DE、DF分別是AB,AC上的中線或∠ADB,∠ADC的平分線，它們還相等嗎？由等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，利用類似的方法，還可以得到等腰三角形中哪些相等的線段？已知：在△ABC中，AB=AC.點(diǎn)D

是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F求證：DE＝DF看誰最棒

小結(jié)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀愕氖斋@及疑惑1、本節(jié)主要教學(xué)知識(shí)是等腰三角形的兩個(gè)性質(zhì)。等腰三角形的性質(zhì)內(nèi)容應(yīng)用格式性質(zhì)1ABC性質(zhì)2ABC等腰三角形的兩個(gè)底角相等

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線底邊上的高互相重合。∵AB＝AC（已知）

∴∠B＝∠C（等邊對(duì)等角）①∵AB＝AC，∠1＝∠2（已知）

∴BD＝DC，AD⊥BC（三線合一