四邊形面積二等分問題

待修改待修改待修改待修改待修改濉溪縣新城初級(jí)中學(xué)沈源四邊形面積二等分問題2014.11.16對(duì)于任意四邊形ABCD，如圖。MN我們可以任作一條直線MN交四邊形的兩邊于M、N兩點(diǎn)，則直線MN把四邊形ABCD分成兩部分?，F(xiàn)在把直線MN向右平移細(xì)心的你一定會(huì)發(fā)現(xiàn)：開始時(shí)是左邊的面積較小，后來是右邊的面積較小，在此過程中，必存在一個(gè)位置，直線MN移動(dòng)到此位置時(shí)，把四邊形ABCD分成面積相等的左、右兩部分。如何找到這個(gè)位置?請(qǐng)往下看。如圖，已知任意四邊形ABCD，求作一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。（1）連結(jié)AC;解：（3）取AC的中點(diǎn)E,（2）連結(jié)BD,（5）連結(jié)DF.則直線DF把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。BADCEF（4）作EF∥BD交BC于點(diǎn)F；

●連結(jié)BE、DE,交點(diǎn)為G;證明：S△ABE

=S△ACE

∴E

為AC的中點(diǎn),∵S△ADE

=S△DCE

∴S△ABE

+S△ADE

=S△ACE+S△DCE

EF∥BD∵∴S△BDF

=S△BDE

S△BGF=

S△DGE

∴∴S四邊形BADG+S四邊形BADG+S△BGF=

S△DGE

S五邊形BADEF=S四邊形DCFE=∴S四邊形ABCD=S五邊形BADEF=S四邊形BADFS四邊形ABCD∴∴直線DF把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。已知任意四邊形ABCD，求作一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。

因?yàn)樗倪呅问侨我馑倪呅?，所以，我們不妨可以先考慮特殊四邊形，分三種情況:（1）對(duì)角線互相平分的四邊形，如圖（1）：此時(shí)，由于四邊形是中心對(duì)稱圖形，所以，過對(duì)角線交點(diǎn)的任意一條直線都可以把四邊形分成面積相等的兩部分（2）一條對(duì)角線過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形，

四邊形ABCD中，P為AC的中點(diǎn)，Q為BD的中點(diǎn)，P、Q不重合。此時(shí)BD平分四邊形ABCD。如圖（2）：注意:左圖BD>AC,右圖BD<AC。在這兩個(gè)圖中，除了BD,CE、AF也都能平分四邊形ABCD.

現(xiàn)在的問題是：能不能過四邊形ABCD的邊上的任意一點(diǎn)作直線，把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分？答案是肯定的。過A、B、C、D、E、F肯定能做自不必說了。A、B、C、D、E、F之外呢？過四邊形ABCD的邊上的任意一點(diǎn)R求作直線RS，把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。（1）（2）連結(jié)RC，作ES∥RC交CD于S，連結(jié)RS，如圖（1）。則RS即為所求。連結(jié)RD，作BS∥RD交CD于S，連結(jié)RS，如圖（2）。則RS即為所求。此為R在E、B之間時(shí)，S必在C、D之間。（1）（2）此為R在F、B之間時(shí)，S必在A、D之間。連結(jié)RD，作BS∥RD交AD于S，連結(jié)RS，如圖（1）。則RS即為所求。連結(jié)RD，作BS∥RD交AD于S，連結(jié)RS，如圖（2）。則RS即為所求。（1）（2）當(dāng)R在F、C之間時(shí)，S必在A、E之間。連結(jié)RA，作FS∥RA交AB于S，連結(jié)RS，如圖（1）。則RS即為所求。連結(jié)RE，作CS∥RE交AB于S，連結(jié)RS，如圖（2）。則RS即為所求。

綜上所述，一條對(duì)角線過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形，過每一個(gè)頂點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。這樣的直線共三條，這三條直線把四邊形的邊分成六條線段。過這六條線段中每條線段上的每一點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。所以，過這樣的四邊形的邊上的任意一點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分。（3）對(duì)角線都不過另一條對(duì)角線的中點(diǎn)的四邊形如圖（3）：四邊形ABCD中，P為BD的中點(diǎn)，Q為AC的中點(diǎn)。

由例題可知：過四邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都有一條直線把四邊形分成面積相等的兩部分，這樣的直線有四條。這四條直線把四邊形的邊分成八條線段，且每條直線都把原四邊形分成一個(gè)三角形和一個(gè)小四邊形。圖（3）中的AE、BF、CG、DH都能把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分

過四邊形ABCD的邊上的任意一點(diǎn)R求作直線RS，把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分。連結(jié)RD，作HS∥RD交CD于S，連結(jié)RS，如圖（3）則RS即為所求。當(dāng)點(diǎn)R在B、H之間時(shí)，點(diǎn)S必在F、D之間，R從B移動(dòng)到H時(shí)，S從F移動(dòng)到D。連結(jié)RD，作HS嚷∥R側(cè)D交CD于S，連柳結(jié)RS，如刪圖（3）則RS即為營所求哈。當(dāng)點(diǎn)R在H、E之間壟時(shí)，吼點(diǎn)S必在D、A之間董，R從H移動(dòng)著到E時(shí)，S從D移動(dòng)纏到A。連結(jié)RA，作ES沉∥R閥A交AB于S，連歡結(jié)RS，如懂圖（3）則RS即為枕所求省。當(dāng)點(diǎn)R在E、C之間億時(shí)，筍點(diǎn)S必在A、G之間偉，R從E移動(dòng)休到C時(shí)，S從A移動(dòng)妨到G。連結(jié)RG，作CS饅∥R既G交AB于S，連狗結(jié)RS，如藍(lán)圖（3）則RS即為裂所求忙。當(dāng)點(diǎn)R在C、F之間抄時(shí)，舌點(diǎn)S必在G、B之間濤，R從C移動(dòng)見到F時(shí)，S從G移動(dòng)罵到B。此時(shí)拌我們貿(mào)會(huì)發(fā)剝現(xiàn)線訪段CF和線腿段GB長度褲不一觀定相摸等，扇但兩傳條線射段上蒼的點(diǎn)斯卻存策在一線一對(duì)介應(yīng)的補(bǔ)關(guān)系榮，這賽屬于使數(shù)學(xué)乒中引臣進(jìn)無禁限的傘概念司以后亮引發(fā)允的一奮個(gè)新侍的悖冤論。繡這個(gè)柏問題烤有待定于人擁們進(jìn)欠一步移去研壯究，母在這向里就提不討綱論了圖。綜上蕩所述愈沒有歷一條斤對(duì)角金線過撇另一猴條對(duì)稈角線破的中滲點(diǎn)的鍋四邊銳形，姜過每只一個(gè)五頂點(diǎn)畝都有蒜一條板直線勿把四擱邊形辯分成喘面積載相等陜的兩欲部分粗。這籃樣的殘直線盤共四警條，御這四框條直泰線把蔽四邊籮形的項(xiàng)邊分他成八良條線郊段。萌過這井八條廟線段歡中每食條線摔段上恰的每瘡一點(diǎn)喇都有覆一條壤直線航把四川邊形播分成開面積慮相等煙的兩者部分哭。所拔以，疲過這瘦樣的岸四邊羞形的緊邊上籮的任芽意一曠點(diǎn)都氧有一偉條直根線把污四邊珠形分漆成面固積相寄等的格兩部晃分。我要爭說明亦的是六：過援四邊龜形的勵(lì)邊上頭的任拋意一焦點(diǎn)都虧能作嗽一條例直線誘把四孤邊形霜分成煩面積鉛相等局的兩添部分割。為哭了作者出這才樣的躬直線井，只斜要先尿作出檢過頂援點(diǎn)且有能把喉四邊灣形面搏積二尺等分閃的四權(quán)條直冰線及禾其與芒四邊缺形的勵(lì)邊的辜交點(diǎn)醉，弄糞明白繭這些斥交點(diǎn)費(fèi)把四眾邊形貍的邊臺(tái)分成抬了哪筐些線脖段，月然后膚確定搏所給爭的任線意點(diǎn)慘所在祝的線歉段，泊再就擠近構(gòu)控造梯陰形，失（這跡個(gè)梯矩形一抱定要塘以四顯邊形音的一爭個(gè)頂夸點(diǎn)與啊過這御個(gè)頂牧點(diǎn)且雜能把旨四邊鼻形面名積二壓等分擊的直燙線與帽四邊糠形的訊邊的鏈交點(diǎn)屑所連困的線醉段為液一條析對(duì)角蓮線，展而所闊求作板的直坐線就餓是過凱已知都的任予意點(diǎn)謠的梯摟形的部另一銷條對(duì)疾角線烈所在挑的直統(tǒng)線。鐘）最下后，估畫出釋梯形版的另鏈一條廁對(duì)角廈線就錦是所遠(yuǎn)求現(xiàn)在參做個(gè)酒練習(xí)騙：如圖裕，已搞知任勤意五狠邊形AB差CD蠢E，求作扒直線AF，把森五邊榴形AB愧CD分成奶面積阿相等寇的兩林部分乖。解：如圖勢(shì)：取BE的中億點(diǎn)O,連結(jié)AO域;