黃昆版固體物理學(xué)課后答案解析答案

:Word行業(yè)資料分享-可編輯版本-雙擊可刪=《固體物理學(xué)》習(xí)題解答黃昆原著韓汝琦改編（陳志遠(yuǎn)解答，僅供參考）第一章晶體結(jié)構(gòu)1.1、解：實(shí)驗(yàn)表明，很多元素的原子或離子都具有或接近于球形對(duì)稱結(jié)構(gòu)。因此，可以把這些原子或離子構(gòu)成的晶體看作是很多剛性球緊密堆積而成。這樣，一個(gè)單原子的晶體原胞就可以看作是相同的小球按點(diǎn)陣排列堆積起來的。它的空間利用率就是這個(gè)晶體原胞所包含的點(diǎn)的數(shù)目口和小球體積V所得到的小球總體積nVnV與晶體原胞體積Vc之比，即：晶體原胞的空間利用率，x=-VVc（1）對(duì)于簡立方結(jié)構(gòu)：（見教材P2圖1-1）4a=2r，V=—兀r3，Vc=a3，n=1344兀r3 兀r3TOC\o"1-5"\h\z? 3 3兀?..x= = =-=0.52a3 8r3 64\:3（2）對(duì)于體心立方：晶胞的體對(duì)角線BG=v3a=4rna= x3n=2,Vc=a34 4c2x—兀r32x—兀r3 ：3；.x= 3 = = =--k~0.68a3 4.；3「 8（―r）3（3）對(duì)于面心立方：晶胞面對(duì)角線BC=、；2a=4r,na=2v2rn=4，Vc=a3444x—Kr3 4x—Kr3=—00.746Y3 3=—00.746a3(2v2r)3x= a3(2v2r)3（4）對(duì)于六角密排：a=2r晶胞面積：S=6xSaabo=6x勺"=323a2‘8?一-‘8?一-『一a=3V2a3=24七2r3\3晶胞的體積：V=SxC=—a2x2TOC\o"1-5"\h\zn=1212x-+2x-+3=6個(gè)6 2乙4 .6x3Kr3 <2x= =——= 兀~0.742442r3 6（5）對(duì)于金剛石結(jié)構(gòu)，晶胞的體對(duì)角線BG=t3a=4x2rna=-8L<3n=8,Vc=a3二二二二二二二二Word行業(yè)資料分享一可編輯版本--雙擊可刪====二二二二二二二二Word行業(yè)資料分享一可編輯版本--雙擊可刪====8x—兀r3

38x—兀r3

3a383-^r33V3v'3k6出0.341.2、試證：六方密排堆積結(jié)構(gòu)中c=(8)1/2出1.633a3證明：在六角密堆積結(jié)構(gòu)中，第一層硬球A、B、。的中心聯(lián)線形成一個(gè)邊長a=2r的正三角形，第二層硬球N位于球ABO所圍間隙的正上方并與這三個(gè)球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即圖中NABO構(gòu)成一個(gè)正四面體?！?.3、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。證明：(1)面心立方的正格子基矢(固體物理學(xué)原胞基矢)：〈4=2G+k)

a=a(i+k)2 2〃/:,「、a——(i+J)3 22兀-—、由倒格子基矢的定義：b―7r(a-xa-)入aa0,—,—2 2i,j,ka aa3 _faaaa2/- -???。―a?(axa)=-,0,-———，axa——,0,————(—l+]+k)1 2 32 24 2 3 2 2 4aaaa入—,—,0—,—,02 22 21234b=2兀x——xa3a2Z-i 2\ 2兀 r-i丁、(—l+J+k)= (_i+J+k)4 a- 2兀---b——(i-j+k).一2a同理可得： 八 即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。2兀-b——(i+j-k)3a所以，面心立方的倒格子是體心立方。a1=2(-l+j+k)(2)體心立方的正格子基矢(固體物理學(xué)原胞基矢)：〈a=ai-j+k)2 2a=a(i+j-k)3 2==Word==Word行業(yè)資料分享--可編輯版本-雙擊可刪二二二二==Word==Word行業(yè)資料分享--可編輯版本-雙擊可刪二二二二由倒格子基矢的定義片不%”)aaTOC\o"1-5"\h\z2， 2\o"CurrentDocument"*.*Q—a?(axa)=—,一_1 2 3 2 2\o"CurrentDocument"a a~, ,2 2\o"CurrentDocument"2a2s2\ 2兀 -t\o"CurrentDocument":.b—2兀x一x一(j+k)———(j+k)1 a3 2 a- 2兀--b———(i+k)一，一2a同理可得： c 即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相同。-2兀-b———(i+j)3a所以，體心立方的倒格子是面心立方。證明倒格子矢量G—hb+hb+hb垂直于密勒指數(shù)為(hhh)的晶面系。11 22 33 123證明:證明:aa—Xh'3G—hb+hb+hb11 22 33G?CA=0利用a?b―2而，容易證明Jh2h3一jj G-CB=0h1h2h3TOC\o"1-5"\h\z所以，倒格子矢量G=hb+hb+hb垂直于密勒指數(shù)為(hhh)的晶面系。11 22 33 123對(duì)于簡單立方晶格，證明密勒指數(shù)為(h,kJ)的晶面系，面間距d滿足：d2=a2；'(h2+k2+12)，其中a為立方邊長；并說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度較大，容易解理。解：簡單立方晶格：a±a±a，a=ai,a=aj,a=ak12 3 1 2 3axa axa axa由倒格子基矢的定義：b=2兀二七一十，b=2兀=七一匕，b=2兀_二2一1a?axa2a?axa3a?axa1 2 3 1 2 3 1 2 3====Word====Word行業(yè)資料分享―可編輯版本--雙擊可刪========Word====Word行業(yè)資料分享―可編輯版本--雙擊可刪====,，尸2兀-尸 2兀r尸2兀尸倒格子基矢：夕二丁“二"j'=-k一.二 .「 ： 一，2兀一.2兀一.2兀一倒格子矢量：G=hb+kb+lb,G-h——i+k——j+1——k1 2 3 aaa晶面族（hkl）的面間距:,2兀 1d—?,— —G h、人J、()2+(—)2+(—)2.■aaaa2d2- (h2+k2+l2)面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格點(diǎn)的密度越大，單位表面的能量越小，這樣的晶面越容易解理。第二章固體結(jié)合2.1、兩種一價(jià)離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)（a-21n2）和庫侖相互作用能，設(shè)離子的總數(shù)為2N?！唇狻翟O(shè)想一個(gè)由正負(fù)兩種離子相間排列的無限長的離子鍵，取任一負(fù)離子作參考離子（這樣馬德隆常數(shù)中的正負(fù)號(hào)可以這樣取，即遇正離子取正號(hào)，遇負(fù)離子取負(fù)號(hào)），用r表示相鄰離子間的距離，于是有a_￡，（±1）_2「1_1 1_1t 2[— + — +…]rrr2r3r4rjij前邊的因子2是因?yàn)榇嬖谥鴥蓚€(gè)相等距離廠的離子，一個(gè)在參考離子左面，一個(gè)在其右面，故對(duì)一邊求和i后要乘2，馬德隆常數(shù)為111a—2[1——+———+...]234X2X3 x4((1+X)-X———+—————+n X3 4...當(dāng)X=1時(shí)，有1—1+1—1+...=/2234n/.a-2/2n、若一晶體的相互作用能可以表示為（、aPu（r）————+——rmrn試求：（1）平衡間距r；0（2）結(jié)合能卬（單個(gè)原子的）；（3）體彈性模量；（4）若取m-2,n-10,r-3A,W-4eV，計(jì)算a及P的值。0解：（1）求平衡間距r0du（r）由—：— -0，有：drr-roWordWord行業(yè)資料分享--可編輯版本--雙擊可刪WordWord行業(yè)資料分享--可編輯版本--雙擊可刪V’nV’n-mIn07man0rm+1 rn+10 0.結(jié)合能：設(shè)想把分散的原子(離子或分子)結(jié)合成為晶體，將有一定的能量釋放出來，這個(gè)能量稱為結(jié)合能(用w表示)(2)求結(jié)合能w(單個(gè)原子的)題中標(biāo)明單個(gè)原子是為了使問題簡化，說明組成晶體的基本單元是單個(gè)原子，而非原子團(tuán)、離子基團(tuán)，或其它復(fù)雜的基元。顯然結(jié)合能就是平衡時(shí)，晶體的勢(shì)能，即umina即：W=-U(r)=+一rmrn

00

(可代入r0值，也可不代入)(3)體彈性模量由體彈性模量公式:r2—0—9V07r0(4)m由體彈性模量公式:r2—0—9V07r0(4)m=2，n=10w=4eV求a、100aU(r)=———+0 r204ario=50代入)

anW=—U(r)=

04a二4eV將r=3A,1eV=1.602x10-19J代入①②0a=7.209x10-38N?m2n0=9.459x10-115N?m2(1)平衡間距r0的計(jì)算晶體內(nèi)能U((1)平衡間距r0的計(jì)算晶體內(nèi)能U(r)=N(-三+22rm rndU平衡條件丁drr=r0(2)單個(gè)原子的結(jié)合能man0八 +——=0rm+1

0rn+10r=(型)亡

0 ma(-二+2(-二+2rm rnr=(鳴亡

0 mar=r=r0 ..P2。、（3）體彈性模量K二（可）晨匕晶體的體積V=NAr3,A為常數(shù)，N為原胞數(shù)目?、N/aB、晶體內(nèi)能U(r)=—(——十)2rmrndUdUdrNmanP 1 = = ( - ) dVdrdV2rm+1rn+13NAr2d2UNdrdmanP 1 [( - ) 2dVdrrm+1rn+13NAr2a2U29V2m2a+n2PV=V°由平衡條件a2UV=V)V=V0N129V22rm+1m2armrnrna2U29V2m2a+n2PV=V°由平衡條件a2UV=V)V=V0N129V22rm+1m2armrnrn+1manP—+一rmrn001-）二rn0=0，0]nPmarmrna2UN129V2[一mmarmrnV=V)rmrna2Umn9V2(-u)V=V)mn體彈性模量K二U019VNnm29V2rmrn((4)若取m=2,n=10,—ama(m)(n—ama(m)(nPL

(1)( )n-mma=—r10a=r2[A+2W]0r10P=P=1.2義10-95eV-m10，a=9.0義10-19eV-m2第三章固格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)：：Word行業(yè)資料分享-可編輯版本-雙擊可刪：：Word行業(yè)資料分享-可編輯版本-雙擊可刪11 = (211 = (2〃〃)q]3.2、討論N個(gè)原胞的一維雙原子鏈(相鄰原子間距為〃)，其2N個(gè)格波解，當(dāng)加二加時(shí)與一維單原子鏈的結(jié)果一一對(duì)應(yīng)。解：質(zhì)量為/的原子位于2n-l,2n+l,2n+3……；質(zhì)量為加的原子位于2n,2n+2,2n+4……。-E根口=—0(2口—N—R)

牛頓運(yùn)動(dòng)萬程2〃D2〃+l 2n-l]\dpl =—p(2|Ll —|"1 —|LL)2Ti+l 2Ti+l2n+22nN個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程代回方程中得到設(shè)方程的解2n代回方程中得到|L1 = (2〃+l)〃q]271+1(2P-m(B2)A-(2Pcosaq)B=0-(2pcosaq)A+(2p-Mg)B=0A、5有非零解,2p-mCD2-2pcosaq-2pcosaq

20-M32TOC\o"1-5"\h\z(m+M) 4mM 1、32M一丁{即一而即81"2a]2}1sin2aq]2}1sin2aq]2}32=p-——^{1+[1-3__—+mM (m+M)2兩種不同的格波的色散關(guān)系isin2aq]2}(misin2aq]2}32=P2 -{1-[1 -mM (m+M)2一個(gè)q2N.14Paq3=cosv

+ \m2當(dāng)M=m時(shí)，鄧'.aq3=sin—-m2兩種色散關(guān)系如圖所示：qa、qa長波極限情況下qf0,sin(今~卜,3=(2 )q與一維單原子晶格格波的色散關(guān)系一致.3.3、考慮一雙子鏈的晶格振動(dòng)，鏈上最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)地為P和10P，兩種原子質(zhì)量相等，且最近鄰原子間距為。/2。試求在q=0,q=?a處的3(q)，并粗略畫出色散關(guān)系曲線。此問題模擬如H2這樣的雙原子分子晶體。XCHOOXW2 2n-32n-l2ii+i211T答：⑴淺色標(biāo)記的原子位于2n-1,2n+1,2n+3……；深色標(biāo)記原子位于2n,2n+2,2n+4第2n個(gè)原子和第2n+1個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程：m[l=—(0+0)旦+p^ +0N2n 1 22n 22n+1 12n-1m[l=—(0+0)旦+0N+0N2n+l 1 22n+1 12n+2 22n體系N個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程N(yùn)方程的解：2N方程的解：2n=Ae[31-(2n)2aq]令32=0/m,32=0/m，將解代入上述方程得:N=^^[31-(2n+1《aq]2n+1TOC\o"1-5"\h\z.1 .1(32+32-32)A-(32e2aq+32eT2做)B=01 2 1 2.1 .1(32eT2aq+32e2aq)A-(32+32-32)B=01 2 1 2A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足：.1 .1(32+32-32), -(32e2aq+32eT2的)1 2 1 2.1 .1(32eT2aq+32e2aq),-(32+32-32)1 2 1 2.1 .1 .1 .1(32+32-32)2-(32e2aq+32eT2aq)(32eT2aq+32e2aq)=01 2 1 2 1 2.1 .1 .1 .1(32+32-32)2-(32e2aq+32eT2aq)(32eT2aq+32e2aq)=01 2 1 2 1 2c 10c -因?yàn)?=0、0=100，令32=32=—,32= =1032得到1 2 0 1m2m0(1132-32)2-(101+20cosaq)34=0兩種色散關(guān)系：32=32(11±j20cosqa+101)當(dāng)q=0時(shí)，32=32(11±1121)，3+32=32=32(11±間)，0當(dāng)q=-時(shí)，aWordWord行業(yè)資料分享--可編輯版本--雙擊可刪WordWord行業(yè)資料分享--可編輯版本--雙擊可刪==Word==Word行業(yè)資料分享--可編輯版本-雙擊可冊(cè)U===(2)色散關(guān)系圖:設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q=0附近的長波極限有3（q）=3。-Aq2求證：f（3）=V—1—（3-3）/2,3<3;f（3）=0,3>3.4兀2A3/2 0 0… 0〈解〉3>3時(shí)，3-3=Aq2>0f（3）=0,3V0n3-3=Aq2nq=A2（3—3）20 0 0 0Vfds 依據(jù)V3（q）=-2Aq,f（3）=-7 r-Jj —，并帶入上邊結(jié)果有q （2兀6V3（q）1qds V1 A1/2V1/ 1=7 x- 4兀\3—3/y —=-7 X—, \3-3?/2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"V3（q） （2兀）2A2 0 （3-3）/2 （2兀AA3/2 0q1 0有N個(gè)相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限比熱正比證明：在k到k+dk間的獨(dú)立振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)于平面中半徑n到n+dn間圓環(huán)的面積2兀ndn,且\o"CurrentDocument"2兀ndn=——kdk=——kdk艮^p（3）= d3貝|2兀 2兀 2兀v2p3s3sJ3,2兀v20

p（，八2 （，八力3 ,力33s廉T}J①力]TTJ [TT,\o"CurrentDocument"B 3D B B2兀v2力2D e3/kT-1p3s（kT） x2dx B XD 2兀v2力2Dex-1pExT，.tC=（——）xT2

v ats第四章能帶理論根據(jù)k=±-狀態(tài)簡并微擾結(jié)果，求出與E及E相應(yīng)的波函數(shù)W及W?,并說明它們的特性.說a 一+ 一+明它們都代表駐波，并比較兩個(gè)電子云分布*|2說明能隙的來源(假設(shè)Vn=V*)。簡并微擾波函數(shù)為W=*(簡并微擾波函數(shù)為W=*(x)+筆(x)<解>令k=+—,k=—一a a[E0（k）-E]A+V*B=0

VA+[Eo(^0-E]b=O帶入上式，其中石=Eo(k)+\V|V(x)<0,V<0,從上式得到8=仄,于是nXsm——x取￡=￡,E=￡o(^)-|y||V|A二—V5,得到A=5nXsm——x取￡=￡,E=￡o(^)-|y||V|A二—V5,得到A=5n由教材可知，中及平均為駐波.,rm c2兀波矢左=——時(shí)，電子波的波長)=丁a k2A〃?！獂a在駐波狀態(tài)下，電子的平均速度v(左)為零.產(chǎn)生駐波因?yàn)殡娮?—,恰好滿足布拉格發(fā)射條件，這時(shí)電子波發(fā)生全反射，并與n反射波形成駐波由于兩駐波的電子分布不同，所以對(duì)應(yīng)不同代入能量。,兀寫出一維近自由電子近似，第n個(gè)能帶(n=L2,3)中，簡約波數(shù)左二丁的0級(jí)波函數(shù)。2。＜解＞^*。0= ￡ikx= 4l＜解＞^*。0= ￡ikx= 4l4T一.2jl“73mxe欣ea工2jl/x/mxela?ea1.2jl-—ea4l第一能帶:第二能帶:2兀b=b'^Ab'——a2兀第一能帶:第二能帶:2兀b=b'^Ab'——a2兀即小=—1,(aJL_).2*(x)=kxe2a第三能帶:=-，即爪=1,\|/*(X)=el2aX71m--=0,m=0,V*(x)=2a 卜43、電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能.==Word==Word行業(yè)資料分享-可編輯版本--雙擊可刪======Word==Word行業(yè)資料分享-可編輯版本--雙擊可刪====：：Word行業(yè)資料分享-可編輯版本-雙擊可刪2-m32[b2一(x一na)2],當(dāng)na一b<x<na+b<a<na一bV(x)V(x)=其中d=4b,3是常數(shù).試畫出此勢(shì)能曲線，求其平均值及此晶體的第一個(gè)和第二個(gè)禁帶度.＜解＞(I)題設(shè)勢(shì)能曲線如下圖所示.V(x)=-JaV(x)dx=-Ja-bV(x)dx題設(shè)a題設(shè)a=4b故積分上限應(yīng)為a一b=3b,但由于在tb,3b］區(qū)間內(nèi)V(x)=0,故只需在Lb,b］區(qū)間內(nèi)積分.這時(shí)，n積分.這時(shí)，n=0，于是V=IJV=IJbV(x)dx=m32Jb(b2一x2)dx=a一b 2a一bm321b2xb——x3b2a-b3一b=-m3b2。6(3),勢(shì)能在［-2b,2b］區(qū)間是個(gè)偶函數(shù)，可以展開成傅立葉級(jí)數(shù)V(x)=V+￡0(3),勢(shì)能在［-2b,2b］區(qū)間是個(gè)偶函數(shù)，可以展開成傅立葉級(jí)數(shù)V(x)=V+￡0m二一8，Vcosmm~x,V=—J2bV(x)cosm~xdx=-JbV(x)cosm^-xdx2b m2b0 2bb0 2b第一個(gè)禁帶寬度Eg-二2|V|,以m=1代入上式E=m3之Jb(b2-x2)cos巴dx

1i1 g- bo 2bu利用積分公式Ju2cosmudu=一16m32(musinmu+2cosmu)]——sinmu得m3b2第二個(gè)禁帶寬度E=2VI，以m=2代入上式代入上式g2 2m32f, 兀x,E=——J(b2-x2)cos--dx再次利用積分公式有g(shù)2 bo b2m32b2兀2解：我們求解面心立方，同學(xué)們做體心立方。(1)如只計(jì)及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結(jié)果，晶體中S態(tài)電子的能量可表示成:Es(k)=8-J— J(R)e-汝(&)TOC\o"1-5"\h\zs0 s心=近鄰在面心立方中，有12個(gè)最近鄰，若取尺=0,則這12個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是：m\o"CurrentDocument"乙 乙 乙 乙\o"CurrentDocument"②￡(0,1,1)((0,l,T)((0,T,1)((0,T,T)乙 乙 乙 乙\o"CurrentDocument"乙 乙 乙 乙由于S態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個(gè)方向重疊積分相同，因此/(左)有相同的值，簡單表示為sJ=J(R)。又由于s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱，即①(-r)=<p(r)1s s s??.在近鄰重疊積分—/(衣)」①喈—衣)］。化)—V(衣)l(p(m)數(shù)中，波函數(shù)的貢獻(xiàn)為正s i sL s」力???6〉0。于是，把近鄰格矢尺代入Es出)表達(dá)式得到：s sEs也)=亡—J—J e-ik-RsS0 1 '&=近鄰TT〃—產(chǎn)(k+k)I〉-i0(k~k),〃—產(chǎn)(—左+k),〃—產(chǎn)(—左-k)二匕—J—Je2* 2*—+e2 */+e2%ys0 1cos—(k+%)+cos—(k-k)+cos—(k+左)+cos—(k-k)

2xy 2%y」|_2yz 2yz〃一，(k+k)IQ—i(k—k)IQ—i(—k+k)?n—i(—k—k).n—i(k+k)?〃一產(chǎn)(左—k)?〃一，°(—左+k)?〃一產(chǎn)(一左—k)

十62ycos—(k+%)+cos—(k-k)+cos—(k+左)+cos—(k-k)

2xy 2%y」|_2yz 2yz-8—J—2J<~s0 1cos—(k+k)+cos(左-k2Z% zXJcos(a+0)+cos(a-P)=2cosacosP二￡-J—4/so1ara7arararaT

cos—上cos—左+cos—kcos—左+cos—左cos—二￡-J—4/so12% 2y2y2z2 2%(2)對(duì)于體心立方：有8個(gè)最近鄰，這8個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是:====Word====Word行業(yè)資料分享―可編輯版本--雙