不等式證明之放縮法

不等式證明-----放縮法靈寶五高高二數(shù)學(xué)組2021/5/91教學(xué)目標(biāo)結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法——放縮法；了解放縮法的思考過程、特點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：會用放縮法證明問題；了解放縮法的思考過程.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.2021/5/92一.復(fù)習(xí)1.直接證明的兩種基本證法：綜合法和分析法2.這兩種基本證法的推證過程和特點(diǎn)：由因?qū)Ч麍?zhí)果索因3、在實(shí)際解題時，兩種方法如何運(yùn)用？（1）通常用分析法提供思路，再由綜合法寫過程（2）“兩邊湊”綜合分析法2021/5/93

反證法：

假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，經(jīng)過正確的推理,引出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤,從而間接證明原命題成立,這樣的的證明方法叫反證法。反證法的思維方法：正難則反2021/5/94反證法的證明過程：否定結(jié)論——推出矛盾——肯定結(jié)論，即分三個步驟：反設(shè)—?dú)w謬—存真反設(shè)－－假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真.歸謬－－從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果.存真－－由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立.2021/5/95

在證明不等式過程中，有時為了證明的需要，可對有關(guān)式子適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小，實(shí)現(xiàn)證明。例如：要證b<c,只須尋找b1使b<b1且b1≤c(放大)要證b>a,只須尋找b2使b>b2且b2≥a(縮小)

這種證明方法,我們稱之為放縮法。放縮法的依據(jù)就是傳遞性。放縮法2021/5/96放縮法

1、一般從不等式的結(jié)構(gòu)形式可觀察出放縮的可能性。

2、放縮時應(yīng)放縮適度

3、放縮的一般方法：2021/5/97常用的方法①添加或舍去一些項(xiàng)②將分子或分母放大（或縮小）③應(yīng)用“糖水不等式”④利用基本不等式⑤利用函數(shù)的單調(diào)性⑥利用函數(shù)的有界性⑦絕對值不等式⑧利用常用結(jié)論2021/5/98(2)放縮法的注意事項(xiàng)①舍去或加上一些項(xiàng)，如:②將分子或分母放大(縮小)，如:

特別注意：放大或縮小時注意要適當(dāng)，必須目標(biāo)明確，合情合理，恰到好處，且不可放縮過大或過小。2021/5/99幾個常用的一些放縮結(jié)論：2021/5/9102021/5/9112021/5/9122021/5/913

法１：

證明：在時，顯然成立.當(dāng)時，左邊

2021/5/914法２：法３：函數(shù)的方法2021/5/9152021/5/916例4:巳知：a、b、c∈，求證：略解2021/5/917【例】設(shè)

求證：【證明】練習(xí)書29頁2題2021/5/918補(bǔ)充例題:2021/5/9192021/5/920【練習(xí)】已知a＞0,b＞0,c＞0,a+b＞c.求證：【分析】本題若通分去分母，運(yùn)算量較大，考慮到a＞0,b＞0可先試試分式的放縮.2021/5/921【證明】∵a＞0,b＞0,∴只需證：而函數(shù)

在(0,+∞)上遞增，且a+b＞c,∴f(a+b)＞f(c).即∴原不等式成立.2021/5/922練習(xí)：設(shè)x＞0,y＞0,若則A、B的大小關(guān)系為_______.【解析】∵x＞0,y＞0,答案：A＜B2021/5/923練習(xí)：設(shè)

則()(A)M=1(B)M＞1(C)M＜1(D)M≥