自主專家筆試指導數(shù)學zzzs

組合數(shù)學主要研究滿足一定條件的組態(tài)（也稱組合模型）的存在、計數(shù)以及構造等方面的問題.組合數(shù)學的主要內容有組合計數(shù)、組合設計、組合優(yōu)化等.相對而言，組合問題更有區(qū)分度，更能考查出考生的想法，所以近幾年的高考與自主招生考試，均把組合部分列為重點考查的內容之一，在數(shù)量上占有較大的比例題，組合計數(shù)理論是組合數(shù)學中一個最基本的研究方向，主要研究滿足一定條件的安排方式的數(shù)目及其計數(shù)問題.SSS計算它所含元的個數(shù)就加，所以，如何計的問題長期以一直是人關.從考慮問題；在總數(shù)中減去A不出現(xiàn)的個數(shù)得到A出現(xiàn)的個數(shù)4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花， A B C D15種不同方法。然后再把下圖粘成圓形即可，下面解決兩端元素相同的情況。在這種情況下我們15種不同方法，然后再把最下圖粘成圓環(huán)形，把兩端的兩格粘在一起看成一個格即可，綜上，共有4(1515)120種方法。第二類：3區(qū)和6區(qū)、2區(qū)和5區(qū)、1區(qū)、4區(qū)各栽花。共有43215120種。2.(2012年)紅藍兩色車、馬、棋子各一枚，將這六枚棋子排成一列，其中每對同字的棋子中，均為紅色棋子，藍色棋子在后，則不同的排列方式有（C）A36 B60 C90 D1203.（2004高中數(shù)賽）設三位數(shù)nabc，若以a，b，c為三條邊的長可以構成一個等腰（含等邊）三n有（C）A.45 B.81 C.165 D.2164.（2012年）已知6

50x2xx,x

10個數(shù)中，等于-6的數(shù)共有（ A B C D789789 多的元素個數(shù)為6+5+1=12個．軍是一支南方球隊.（注：每場比賽獲勝隊得1分，負隊得0分解：xx92x92x所有球隊總得分為

2x9x 2x9x4，北方球隊總得分為 2x9x4 南方球隊內部比賽總得分

，北方球隊內部比賽總得分

xx1

x 1116 1因為 2x9(x4)為整數(shù)，所以x6或x8 2x92x當x6時，所有球隊總得分為C2x9

南方球隊內部比賽總得分 105，北方球隊內部比賽總得分C2 分超過11分,故冠軍在南方球隊中.當x8時,所有球隊總得分為

南方球隊內部比賽總得分 136,北方球隊內部比賽總得分C2 北方勝南方得分=30-28=2,北方球隊最高得分=7+2=9,9×17=153270,所以南方球隊中至少有一支得分超過9分,故冠軍在南方球隊中.任意一個元素的任意兩個數(shù)位的數(shù)字之和不等于9（0,9（1,8（2,7（3,6（4,5，B（1）兩位數(shù)有C222A2C1272 三位數(shù)有C323A3C222A2432 少要從一個數(shù)對中取出兩個數(shù)，則該兩個數(shù)字之和為9，。四位數(shù)有C424A4C323A3 1,2,3的四位數(shù)有3C323A35761081 的規(guī)則重新裝入集裝箱中，將貨物依次取出，依次放入集裝箱中，集裝箱體積都是1，且每個集裝箱最多放兩（0.5，0.5）,（0.7，0.33個集裝箱去裝它們，問在的情況時需多少個集裝箱．解：要199個集裝箱1，記它們的體積為a1a2a200，則a1a2a3a4a199a200100，，因此至多需要199個集裝箱.0.5002,0.5003,0.5004,…,0.5100,0.5000.4999,0.4998,0.4997,…,0.4901,0.490. n記k(A)為r1(A)，r2(A)，…，rm(A)，c1(A)，c2(A)cnA中的最小值A，求kA1111cab k(A)的最大值∴kA若kA1則|c1A||a1|a11ab0ababc∴c1abab0kA1 ，an。對i

，an的最小值記為Bi，diAiBi。設d1，d2 ，dn1是公差大于0的等差數(shù)列，且d10，明a1，a2， 證明：先證明an最小。假設a1最小，則d1a1min{a2,a3,,an}0，與條件假設ak(1kn1最小，則dkmax{a1a2ak1min{ak1ak2an由以上可知：an最小。 假設am(1mn1是第一個使得amam1dmam1an，dm1am1an，所以dmdm1與條件dkakan，所以dk1dka1kakd2.（2013年 ）已知有mn個實數(shù)，排列成mn階數(shù)陣，記作aij 遞增的，即對任意的i123、、m，當j1j2時，都有aijaij.現(xiàn)將aij 上到下遞增的順序排列形成一個新的mn階數(shù)陣記作aij即對任意的j123、、n當i1i2時，都有aijaij.試判斷aij 中每一行的n個數(shù)的大小關系，并說明理由. aij中每一行的ni123m，都有aijaij1，其中j123、、n1.假設a/pq，a/p(q1)是 中第一組使得a 的數(shù)字，則數(shù)陣 中，第q1列的aij p( ij

1(q1) 共個數(shù)都比

ap(q1)

a

ij鄰的一列中（第q列）的數(shù)分別都小于p個數(shù)中的每個數(shù)，則a 中的這p個數(shù)都小于a/，又因這pij ij aij的第p1行，與假設 。所以對于任意i123、、m，都有aijai(j1)，即數(shù)陣aij中每一行的n個數(shù)從左到右都是遞增的 1（2013年）在66的表中停放3輛完全相同的紅色和三輛完全相同的黑色車，每一行每一列只停一輛 A B C D6664種選擇。三輛紅色車的位置選定后，黑色車的位置有3！=6種選擇。所以共有C36546144006 ）A B C D5555設A1,2,,10，若“方程x2bxc0滿足b,cA，且方程至少有一根aA就稱該方程為“漂 亮方程當一根為-2時，有3個滿足題意的“漂亮方程”.共有12個，故選C. A． n3n50C r62r2

44r，由于0r3r1n13C已知兩個實數(shù)集合A={a1,a2,…,a100}與B={b1,b2,…,b50}，若從A到B的映射f使得B中的每一個元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，則這樣的映射共有( C

CC

C

CC

,第i組的元素在f之下的象都是bi(i=1,2,…,50)，這樣的f滿足題設要求，每個這樣的分組都一一對應滿足則這樣的映射共有C49，故選D6（2004年交大）已知a,b,c為三角形三邊的長且均為正整數(shù)，若b=n，且abc，則滿足條件三角形 .（用n表示）綜上，所求三角形的個數(shù)為12 nn(n1)個27（2003 C1C2

2n解：分發(fā)數(shù)位 2n11。 8（2000年交大聯(lián)讀班）從自然數(shù)1至100中任取2個相乘，其結果有3的倍數(shù)的情況有 所以取法總數(shù)為C1C1C1C22739343333（m,n)為“簡單的”有序數(shù)對，m+n稱為有序數(shù)對（m,n)的值，那么值為1942的“簡單的 位是1。所以兩個數(shù)的百位只能在9-0，8-1，7-2，6-3，5-4，4-5，3-6，2-7，1-8，0-9中選取一組，兩個數(shù)的十位只能在4-0，3-1，2-2，1-3，0-4中選取選取一組，兩個數(shù)的個 99 【解析】1開頭的數(shù)字共有C470個；2開頭的數(shù)字共有C43510022 設坐標平面內有一個質點從原點出發(fā)，每次沿坐標軸向正方向或負方向跳動1個單位，經(jīng)過10次跳動質點落在點2,4處，則質點不同的運動方法共有 x軸正方向平移了a個單位，沿負方向平移by軸正方向平移了c個單位，沿負方向平移d個單位，據(jù)題意有： ab

ab

ab

ab cd 4abcd 108 107 106C2C6C2+C3C108 107 106方程2x1x2x3x103的非負整數(shù)多少組解：因為02x13x1x10x119當x11時，則必有某個xi1(2i10)，其余xj1(2j10,ij)，這樣的 當x10時，分三種情形：99（1）有某個xi3(2i10)，則其余xj0(2j10,ij)，這樣 有C19組9（2）xi2(2i10)xj1(2j10,ijxk0(2j10ki,j，這樣的有C1C172組；9xi

組,已知集合S{X|X(x,x ,x),xN*,i1, ,n}(n ,bnann anRAB之間的距離為dAB|aibi（Ⅰ）當n5A12,12,a5)B2,4,2,1,3)．若d(AB7，求a5（）（）AB,CSn，且0ABBC，則d(ABd(B,Cd(A,C（ⅱ）AB,CSn，且d(ABd(B,C)d(A,C．是否一定0ABBC？（Ⅲ）記I ,1)Sn．若A，BSn，且d(I,A)d(I,B)p，求d(A,B)的最大值5（Ⅰ）解：當n5時，由dAB|aibi|7|12||24||12||21||a53|7|a53|2．由aN*，得a1，或a5． （Ⅱ（?。? 因為0，使ABBC所以0，使得(b1a1,b2a2 即0，使得biai(cibi)，其中i1,2, ,n．所以biai與cibi(i1, dABd(B,C|aibi||bici

(|biai||cibin|ciai|d(A,C)（ⅱ）AB,CSn，且d(ABd(B,C)d(A,C，此時不一定0ABBC．反例如下：取A ,1)，B(1,2,1,1,,1)，C(2,2, ,1)則dA,B)1d(B,C)2d(A,C)3，顯然d(A,B)d(B,C)d(A,C)因為AB(0,1,0, ,0)，BC(1,0,1,0, ,0)所以不存在ABBCn（Ⅲ）解法一：因為dAB|biai設biai(i1, ,n)中有m(mn)項為非負數(shù)，nm項為負數(shù)不妨設i1, ,m時biai0im1m nbiai0n所以dAB|biai[(b1b2 a2 d(I,A)d(I,B)p 所以(ai1)(bi1)，整理得ai n d(A,B)|biai|2[b1b2

bm(b1b2 (pn)(nm)1pm又a1a2 amm1m所以d(A,B)2[b1b2 bm(a1a2 2[(pm)m]2pdAB2p對于A ,1,p1)，B(p ,1)，有A，BSn，且d(I,A)d(I,B)pd(A,B)2p解法二xyR，則有|xy||x||y|．證明：因為|x|x|x||y|y|y|， 所以(|x||y|xy|x||y|，即|xy||x||y 所以dAB|biai||bi1)1ai n(|bi1||1ai |ai1||bi1|2p 上式等號成立的條件為ai1，或bi1，所以dAB)2p對于A ,1,p1)，B(pd(A,B)2p

,1)，有ABSnd(I,Ad(IBpAxxn!nnN，B是AN求證：無法從B1na1a1d，則naa1，此時n!nn(modd)，故n!n可寫為a1(n1)d的形式，即在這個等差數(shù)列中，但n!nB，。故無法從B中取出一個等差數(shù)列。1假設7kA，顯然k1.令n!n7k，即n[(n1)!1]7k。由于7為素數(shù)，故存在正整數(shù)i，使得n7i，所以(n1)!17ki若i1，則(n1)!能被7整除，(n1)!1也能被7整除，但它們是相鄰自然數(shù)，不可能，故；若i1，則n7，直接驗證7!7不在等比數(shù)列中。由以上可知，等比數(shù)列中無ASn{(x1x2 x

,

是正整數(shù)1, ,

}(n2)，函數(shù)g(x)1,x big(aia1g(aia2 g(aiai1i 為排列a1,a2

（Ⅰ）當n6時，寫出排列3,5,1,46,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3證明：若a1a2an和a1a2,,anSnSna1a2an，定義變換a1a2,,an從左