高考數(shù)學(xué)輪復(fù)習(xí)難點(diǎn)突破教學(xué)案難點(diǎn)不等式恒成立問題

縱觀近幾年高考對(duì)于不等式綜合問題的察看，主要有三類問題：恒建立問題、能建立問題以及恰建立問題，要修業(yè)生有較強(qiáng)的推理能力和正確的計(jì)算能力，才能順利解答．從實(shí)質(zhì)授課來看，這部分知識(shí)能力要求高、難度大，是學(xué)生掌握最為單薄，看到就頭疼的題目．剖析原因，除了這類題目的下手確實(shí)不易之外，主假如學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，致使于碰到近似的題目便產(chǎn)生懼怕心理．本文就高中階段出現(xiàn)這類問題加以種類的總結(jié)和方法的商議．不等式恒建立問題新課標(biāo)下的高考越來越重視對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)的察看，恒建立問題即是一個(gè)察看學(xué)生綜合素質(zhì)的很好路子，它常以函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識(shí)點(diǎn)為載體，浸透著換元、化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思想的靈便性、創(chuàng)立性等方面起到了積極的作用．近幾年的數(shù)學(xué)高考取屢次出現(xiàn)恒建立問題，其形式漸漸多樣化，但都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)密不可以分．解決高考數(shù)學(xué)中的恒建立問題常用以下幾種方法：①函數(shù)性質(zhì)法；②主參換位法；③分別參數(shù)法；④數(shù)形結(jié)合法；⑤消元轉(zhuǎn)變法．下面我就以近幾年高測(cè)試題為例加以剖析．1．1函數(shù)性質(zhì)法一、一次函數(shù)——單一性法圖1（1）二、二次函數(shù)——利用鑒別式、韋達(dá)定理及根的散布求解有以下幾種基本種類：種類1：設(shè)f(x)ax2bxc(a0).（1）f(x)0在xR上恒建立a0且0；（2）f(x)0在xR上恒建立a0且0．種類2：設(shè)f(x)ax2bxc(a0).（1）當(dāng)a0時(shí)，f(x)0在x[,]上恒建立bbb,2a或2a或2af()00f()0.f(x)0在x[,]上恒建立f()0,f()0.（2）當(dāng)a0時(shí)，f(x)0在x[,]上恒建立f0,f0.bbb,f(x)0在x[,]上恒建立2a或2a或2af()00f()0.例2（2012蚌埠二中測(cè)試）已知不等式mx24mx40對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒建立．則m取值范圍是（）A．1,0B．1,0C．,10,D．1,0思路剖析：由不等式mx24mx40對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒建立，知m0或m0,16m0.16m2由此能求出m的取值范圍．例3(08年江西卷理12)．已知函數(shù)fx2mx224mx1,gxmx，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f(x)與g(x)的值最罕有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．0,2B．0,8C．2,8D．,0思路剖析：f(x)與g(x)的函數(shù)種類，直接受參數(shù)m的影響，∴第一要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，爾后轉(zhuǎn)換成不等式的恒建立的問題利用函數(shù)性質(zhì)及圖像解題．三、其余函數(shù)：f(x)0恒建立f(x)min0（注：若f(x)的最小值不存在，則f(x)0恒建立f(x)的下界大于0）；f()x0恒建立f(x)max0（注：若f(x)的最大值不存在，則f(x)0恒建立f(x)的上界小于0）．例4（2013年高考重慶卷文）設(shè)0,不等式8x2(8sin)xcos20對(duì)xR恒建立,則a的取值范圍為____________.例5（2013年高考浙江卷文）設(shè)a,b∈R,若x≥0時(shí)恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,則ab等于______________.例6（2013年上海高考數(shù)學(xué)試題文）設(shè)常數(shù)a0,若9xa2a1對(duì)所有正實(shí)數(shù)x建立,則a的取值范圍為x________.【答案】[1,)5例7（07年重慶卷理20)已知函數(shù)f(x)ax4lnxbx4c(x0)在x1處獲取極值3c，其中a，b為常數(shù)．1）試確定a，b的值；2）討論函數(shù)f(x)的單一區(qū)間；（3）若對(duì)隨意x0，不等式f(x)2c2恒建立，求c的取值范圍．思路剖析：f(x)2c2恒建立，即f(x)min2c2，要解決本題重點(diǎn)是求f(x)min，x0例8（08天津文21）．設(shè)函數(shù)f(x)x4ax32x2b(xR)，其中a,bR．（Ⅲ）若對(duì)于隨意的a2，2，不等式f(x)1在11，上恒建立，求b的取值范圍．（節(jié)選）思路剖析：f(x)1，即f(x)1，，，x，，要解決本題重點(diǎn)是求．maxa2211f(x)max例9（09年全國(guó)卷II文21）設(shè)函數(shù)f(x)1x3(1a)x24ax24a，其中常數(shù)a1．3（II）若當(dāng)x0時(shí)，f(x)0恒建立，求a的取值范圍．（節(jié)選）思路剖析：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，由恒建立條件得出不等式條件進(jìn)而求出a的范圍．1．2分別參數(shù)法——極端化原則若所給的不等式能經(jīng)過恒等變形使參數(shù)與主元分別于不等式兩頭，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笾髟瘮?shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍．利用分別參數(shù)法來確定不等式fx,0（xD，為實(shí)參數(shù)）恒建立中參數(shù)的取值范圍的基本步驟：（1）將參數(shù)與變量分別，即化為gfx（或gfx）恒建立的形式；（2）求fx在xD上的最大（或最小）值；（3）解不等式gf(x)max(或gfxmin)，得的取值范圍．適用題型：（1）參數(shù)與變量能分別；（2）函數(shù)的最值易求出．例10（2013新課標(biāo)卷Ⅰ理11）已知函數(shù)f(x)x22x,x0，若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是ln(x1),x0A.(,0]B.(,1]C.[-2,1]D.[-2,0]例11（07年山東卷文15)當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式x2mx40恒建立，則m的取值范圍是．（1）當(dāng)

a,b

知足什么條件時(shí)，

f(x)獲取極值

?（2）已知

a

0，且

f(x)

在區(qū)間

(0,1]上單一遞加，試用

a表示出

b的取值范圍．思路剖析：本題雖有三個(gè)變量

x，a，b，而

x的范圍已知，最后要用

a表示出

b的取值范圍，∴能夠?qū)看作一個(gè)已知數(shù)，對(duì)

x和b進(jìn)行離參．例13（2010天津高考理16）．設(shè)函數(shù)f(x)x21，對(duì)隨意x2,，3fx4m2f(x)f(x1)4f(m)恒建立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．m1．3主參換位——反賓為主法某些含參不等式恒建立問題，在分別參數(shù)會(huì)碰到討論的麻煩或許即使能簡(jiǎn)單分別出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮變換思想角度“反賓為主”，即把習(xí)慣上的主元變與參數(shù)變量的“地位”交換一下，變個(gè)視角從頭審查恒建立問題，經(jīng)?？煞婪恫挥靡姆诸愑懻摶蚴箚栴}降次、簡(jiǎn)化，起到“山窮水盡疑無路，峰回路轉(zhuǎn)又一村”的圍魏救趙的收效．例14（07遼寧卷文科22)已知函數(shù)f(x)x39x2cos48xcos18sin2，g(x)f(x)，且對(duì)隨意的實(shí)數(shù)t均有g(shù)(1cost)0，g(3sint)0．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的剖析式；(Ⅱ)若對(duì)隨意的m[26,6]，恒有f(x)x2mx11，求x的取值范圍．例15(08安徽文科20)．已知函數(shù)f(x)ax33x2(a1)x1，其中a為實(shí)數(shù)．32（Ⅱ）已知不等式f(x)＞x2xa1對(duì)隨意a(0，)都建立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．（節(jié)選）思路剖析：已知參數(shù)a的范圍，要求自變量x的范圍，變換主參元x和a的地址，結(jié)構(gòu)以a為自變量x作為參數(shù)的一次函數(shù)g(a)，變換成a(0，)，g(a)0恒建立再求解．1．4數(shù)形結(jié)合——直觀求解法若所給不等式進(jìn)行合理的變形化為f(x)g(x)（或f(x)g(x)）后，能特別簡(jiǎn)單地畫出不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖像，則能夠經(jīng)過繪圖直接判斷得出結(jié)果．特別對(duì)于選擇題、填空題這類方法更顯方便、快捷．例17.若不等式3x2logax0在x0,1內(nèi)恒建立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．31．5消元轉(zhuǎn)變法例19．已知f(x)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若m,n[1,1],mn0時(shí)f(m)f(n)0，若mnf(x)t22at1對(duì)于所有的x[1,1],a[1,1]恒建立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．議論：對(duì)于含有兩個(gè)以上變量的不等式恒建立問題，能夠依照題意依次進(jìn)行消元轉(zhuǎn)變，進(jìn)而轉(zhuǎn)變?yōu)橹缓袃勺兞康牟坏仁絾栴}，使問題獲取解決．上述例子剖析了近幾年數(shù)學(xué)高考取恒建立問題的題型及解法，值得一提的是，各樣種類各樣方法其實(shí)不是完好孤立的，誠(chéng)然方法表現(xiàn)的不同樣，但其實(shí)質(zhì)卻都與求函數(shù)的最值是等價(jià)的，這也正表現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“一致美”．不等式能建立問題的辦理方法若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxk建立，則等價(jià)于在區(qū)間D上fxmaxk；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxk建立，則等價(jià)于在區(qū)間D上的fxmink．注意不等式能建立問題（即不等式有解問題）與恒建立問題的差異．從會(huì)合見解看，含參不等式fxkfxk在區(qū)間D上恒建立DxfxkfxmaxkDxfxkfxmink，而含參不等式fxkfxk在區(qū)間D上能建立最少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使不等式fxkfxk成立DxfxkfxminkDxfxkfxmaxk．例20．若對(duì)于x的不