除法里的巧算

第六講簡(jiǎn)算與巧算⑶除法里的巧算在整數(shù)除法中，有許多題目我們可以利用除法的意義及各部分間的關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算,提高計(jì)算的速度與正確率,這兒給同學(xué)們介紹幾種常見(jiàn)的速算方法。一、除變連除。當(dāng)除數(shù)可以拆成兩個(gè)因數(shù)相乘的形式時(shí)，可以變除法為連除，達(dá)到口算的目的。如：560?35=560+7?5=80+5=161476^18=1476^2^9=738^9=8213156^26=13156^13^2=1012^2=506二、帶號(hào)移動(dòng)。沒(méi)有括號(hào)的連除或乘除混合運(yùn)算，可以通過(guò)帶符號(hào)移動(dòng)，改變運(yùn)算順序，實(shí)現(xiàn)速算的目的。如：7500?4?15=7500+15+4=500+4=1252107X12^7=2107^7X12=301X12=3612三、添去號(hào)變號(hào)。有括號(hào)的乘除混合運(yùn)算,如果括號(hào)前面是除號(hào)，添、去括號(hào)，括號(hào)里的符號(hào)都要改變,從而達(dá)到局部湊整進(jìn)行速算的目的。如：4500?25+4=4500+（25義4）=4500+100=45（添括號(hào)4500?（9X4）=4500+9+4=500+4=125（去括號(hào)）需要說(shuō)明的是,這種乘除混合運(yùn)算,如果括號(hào)前是乘號(hào),添括號(hào)或者去括號(hào)都不需要改變運(yùn)算符號(hào)。如：324X36+9=324X（36+9）=324X4=1296（添括號(hào)48X(2700^12)=48X2700^12=48^12X2700=4X2700=10800四、雙擴(kuò)或雙縮。也就是利用商不變的性質(zhì)，當(dāng)除數(shù)是15、25、35、125等數(shù)時(shí),我們把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或同時(shí)縮小相同的倍數(shù),達(dá)到速算的效果。如：910?35=（910X2）?（35X2）=1820+70=262400^25=（2400X4）^（25X4）=9600^100=9687200^160=（87200^8）^（160^8）=10900^20=545正確掌握這幾種方法,并在學(xué)習(xí)過(guò)程中注意合理使用，可以使自己的計(jì)算越來(lái)越快捷。如1260?45我們可以用以下多種方法速算。1260?45=（1260義2）?（45義2）=2520+90=28（雙擴(kuò)）1260?45=（1260?9）?（45+9）=140+5=28（雙縮）③1260?45=1260+9+5=140+5=28（除變連除）需要注意的是,如果是有余數(shù)的除法,余數(shù)也跟著同時(shí)擴(kuò)大或同時(shí)縮小相同的倍數(shù),計(jì)算時(shí)要特別注意。教你一招：“同頭無(wú)除”巧定商和余數(shù)象230?24，被除數(shù)和除數(shù)的首位數(shù)字相同（都是2）,我們簡(jiǎn)稱(chēng)之為“同頭”，但被除數(shù)前兩位23要比24小,不夠商1,就需要看被除數(shù)的前三位,我們簡(jiǎn)稱(chēng)之為“無(wú)除”。象這種“同頭無(wú)除”的除法題一般商9或者是8。那么到底商9還是商8,又怎樣很快寫(xiě)好余數(shù)呢?象230?24，因?yàn)?4X10=240，比230多10。而10比除數(shù)24小,所以商9,這時(shí)余數(shù)是24-10=14,即有230?24=9……14。再如200?24，因?yàn)?4X10=240，比200多40。而40比除數(shù)24大，所以只能商8,這時(shí)余數(shù)是40-24=16,24-16=8即有200?24=8……8。思考過(guò)程可簡(jiǎn)寫(xiě)或心算如下(見(jiàn)題后括號(hào)內(nèi))(1)456+47=9……33(470-456=14,47-14=33)(2)420+47=8……44(470-420=50,50-47=3,47-3=44)(3)645?66=9……51(660-645=15,66-15=51)(4)325?38=8……21(380-325=55,55-38=17,38-17=21)即在“同頭無(wú)除”除法中,如果除數(shù)的10倍與被除數(shù)的相差量比除數(shù)小(或相等)時(shí),商9;余數(shù)就是除數(shù)減去這個(gè)相差量的差。如果除數(shù)的10倍與被除數(shù)的相差量比除數(shù)大一些(但不足2倍),這時(shí)只能商8,余數(shù)為除數(shù)減去“相差量與除數(shù)的差”所得的差。同學(xué)們,你們學(xué)會(huì)了這類(lèi)題的口算方法嗎?下面這組題就請(qǐng)同學(xué)們口算看看!(1)240?26(2)210?24(3)220?26(4)230?26(5)228?26(6)214?25(7)270?29(8)225?25小知識(shí):神奇的棄九驗(yàn)算“棄九驗(yàn)算”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)中的一枝奇葩。運(yùn)用棄九法可以驗(yàn)算加、減、乘、除法的計(jì)算結(jié)果是否正確。神奇吧!要想學(xué)會(huì)這種神奇的驗(yàn)算方法,首先必須理解“棄九數(shù)”。因?yàn)椤皸壘欧ā钡囊粋€(gè)基本原理就是:先將參與計(jì)算的數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相加,逢九舍棄,得到棄九數(shù)。比如說(shuō):1349利用棄九法則有:1+3+4+9=17,1+7=8,因此,1349的棄九數(shù)是8。當(dāng)然,也可以先舍去9,算成1+3+4=8。也就是說(shuō),在計(jì)算出一個(gè)數(shù)的棄九數(shù)時(shí),也可以先把這個(gè)數(shù)中的9以及相加能得到9的數(shù)先行舍去,從而使得計(jì)算簡(jiǎn)便。下面,先說(shuō)說(shuō)用棄九法驗(yàn)算加法。比如說(shuō)驗(yàn)算2476+398=2874,2476的棄九數(shù)是1（4+6=10,1+0=1,2+7=9直接舍棄了）,398的棄九數(shù)是2（3+8=11,1+1=2,數(shù)字9先舍棄了）這時(shí),等號(hào)左邊兩棄九數(shù)相加有:1+2=3,而等號(hào)右邊2874的棄九數(shù)正好是3（8+4=12,1+2=3,2+7=9同樣先舍棄了）,前后都是3,說(shuō)明計(jì)算正確。也就是說(shuō),如果“兩個(gè)加數(shù)的棄九數(shù)之和=和的棄九數(shù)”,那么計(jì)算正確。怎么樣,方便吧!再說(shuō)用棄九法驗(yàn)算減法。比如說(shuō)驗(yàn)算4203-987=3216。4203的棄九數(shù)是0（4+2+3=9,9-9=0）,987的棄九數(shù)是6（8+7=15,15-9=6）,這時(shí),左邊0-6不夠減,要看成9-6=3;右邊3216的棄九數(shù)是3（1+2=3,3+6=9直接舍去了）,兩邊相等,說(shuō)明計(jì)算正確。同樣,如果“被減數(shù)的棄九數(shù)-減數(shù)的棄九數(shù)=差的棄九數(shù)”,計(jì)算一般正確。需要注意的是,如果出現(xiàn)了被減數(shù)的棄九數(shù)比減數(shù)的棄九數(shù)小,那就要先將被減數(shù)加上9,再減去減數(shù)的棄九數(shù)。接下來(lái)談?wù)動(dòng)脳壘欧?yàn)算乘法。例如驗(yàn)算75X98=7350,75的棄九數(shù)是3(7+5=12,1+2=3),98的棄九數(shù)是8(9直接舍去)，這時(shí),左邊有3X8=24,2+4=6，右邊7350的棄九數(shù)是6(7+3+5=15,1+5=6),兩邊相等,計(jì)算正確。也就是說(shuō),用棄九法驗(yàn)算乘法，只要看“乘數(shù)的棄九數(shù)X乘數(shù)的棄九數(shù)”是否等于“積的棄九數(shù)”，如果相等,計(jì)算一般正確。最后說(shuō)說(shuō)用棄九法驗(yàn)算除法。例如驗(yàn)算4462?97=46,一般地，我們是看“商的棄九數(shù)X除數(shù)的棄九數(shù)”是否等于“被除數(shù)的棄九數(shù)”。46的棄九數(shù)是1(4+6=10,1+0=1),97的棄九數(shù)是7,而1X7=7，這時(shí)被除數(shù)4462的棄九數(shù)是7(4+4+6+2=16,1+6=7),看來(lái),計(jì)算正確。需要說(shuō)明的是,棄九驗(yàn)算是一種不完全驗(yàn)算,它有一定的局限性,遇到下列幾種情況時(shí),往往檢驗(yàn)不出計(jì)算結(jié)果的錯(cuò)誤。一是如果抄寫(xiě)數(shù)字時(shí)顛倒了位置,比如說(shuō)把7536誤寫(xiě)成7563,它的棄九數(shù)并沒(méi)有改變,即使計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤,也往往檢驗(yàn)不出來(lái)。二是計(jì)算結(jié)果中出現(xiàn)丟0或多0現(xiàn)象,比如說(shuō)將4080誤寫(xiě)成480或408,誤寫(xiě)后的數(shù)的棄九數(shù)不變,計(jì)算結(jié)果發(fā)生錯(cuò)誤,也往往檢驗(yàn)不出來(lái)。三是如果計(jì)算結(jié)果有小數(shù),把小數(shù)點(diǎn)的位置點(diǎn)錯(cuò)了,比如說(shuō)將4.29誤寫(xiě)成42.9或0.429,利用棄九驗(yàn)算同樣發(fā)現(xiàn)不了錯(cuò)誤。盡管棄九法存在著上述的局限性,但它在檢驗(yàn)多位數(shù)四則計(jì)算上,仍不失為一種較簡(jiǎn)捷的檢驗(yàn)方法。速算與巧算一、“湊整”先算1.計(jì)算：(1)24+44+56(2)53+36+47解：(1)24+44+56=24+(44+56)=24+100=124這樣想：因?yàn)?4+56=100是個(gè)整百的數(shù),所以先把它們的和算出來(lái).(2)53+36+47=53+47+36=(53+47)+36=100+36=136這樣想：因?yàn)?3+47=100是個(gè)整百的數(shù),所以先把+47帶著符號(hào)搬家,搬到+36前面;然后再把53+47的和算出來(lái)..計(jì)算：(1)96+15(2)52+69解：(1)96+15=96+(4+11)=(96+4)+11=100+11=111這樣想:把15分拆成15=4+11,這是因?yàn)?6+4=100,可湊整先算.(2)52+69=(21+31)+69=21+(31+69)=21+100=121這樣想：因?yàn)?9+31=100,所以把52分拆成21與31之和，再把31+69=100湊整先算..計(jì)算：(1)63+18+19(2)28+28+28解：(1)63+18+19=60+2+1+18+19=60+(2+18)+(1+19)=60+20+20=100這樣想:將63分拆成63=60+2+1就是因?yàn)?+18和1+19可以湊整先算.(2)28+28+28=(28+2)+(28+2)+(28+2)-6=30+30+30-6=90-6=84這樣想：因?yàn)?8+2=30可湊整，但最后要把多加的三個(gè)2減去.二、改變運(yùn)算順序:在只有“+”、"-”號(hào)的混合算式中，運(yùn)算順序可改變計(jì)算：(1)45-18+19(2)45+18-19解：(1)45-18+19=45+19-18=45+(19-18)=45+1=46這樣想:把+19帶著符號(hào)搬家,搬到-18的前面.然后先算19-18=1.(3)(3)計(jì)算：2+4+6+8+103+5+7+9+11+13+15+173+5+7+9+11+13+15+17(2)45+18-19=45+(18-19)(2)45+18-19=45+(18-19)=25=25共有5個(gè)數(shù)=45-1=44這樣想:加18減19的結(jié)果就等于減1.三、計(jì)算等差連續(xù)數(shù)的和相鄰的兩個(gè)數(shù)的差都相等的一串?dāng)?shù)就叫等差連續(xù)數(shù),又叫等差數(shù)列,如:1,2,3,4,5,6,7,8,91,3,5,7,92,4,6,8,103,6,9,12,154,8,12,16,20等等都是等差連續(xù)數(shù).1.等差連續(xù)數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí),它們的和等于中間數(shù)乘以個(gè)數(shù),簡(jiǎn)記成:(1)計(jì)算:1+2+3+4+5+6+7+8+9=5X9中間數(shù)是5=45共9個(gè)數(shù)(2)計(jì)算:1+3+5+7+9=5X5中間數(shù)是5=6X5中間數(shù)是6=30共有5個(gè)數(shù)(4)計(jì)算：3+6+9+12+15=9X5中間數(shù)是9=45共有5個(gè)數(shù)(5)計(jì)算：4+8+12+16+20=12X5中間數(shù)是12=60共有5個(gè)數(shù)2.等差連續(xù)數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí),它們的和等于首數(shù)與末數(shù)之和乘以個(gè)數(shù)的一半,簡(jiǎn)記成：(1)計(jì)算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)X5=11X5=55共10個(gè)數(shù),個(gè)數(shù)的一半是5,首數(shù)是1,末數(shù)是10.(2)計(jì)算：=(3+17)X4=20X4=80=(3+17)X4=20X4=80共8個(gè)數(shù),個(gè)數(shù)的一半是4,首數(shù)是3,末數(shù)是17.(3)計(jì)算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=(2+20)X5=110共10個(gè)數(shù),個(gè)數(shù)的一半是5,首數(shù)是2,末數(shù)是20.四、基準(zhǔn)數(shù)法(1)計(jì)算:23+20+19+22+18+21解:仔細(xì)觀察,各個(gè)加數(shù)的大小都接近20,所以可以把每個(gè)加數(shù)先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的減去.23+20+19+22+18+21=20X6+3+0-1+2-2+1=120+3=1236個(gè)加數(shù)都按20相加，其和=20X6=120.23按20計(jì)算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20計(jì)算多加了“1”，所以再減去“1”，以此類(lèi)推.(2)計(jì)算:102+100+99+101+98解:方法1:仔細(xì)觀察,可知各個(gè)加數(shù)都接近100,所以選100為基準(zhǔn)數(shù),采用基準(zhǔn)數(shù)法進(jìn)行巧算.102+100+99+101+98=100X5+2+0-1+1-2=500方法2:仔細(xì)觀察,可將5個(gè)數(shù)重新排列如下：（實(shí)際上就是把有的加數(shù)帶有符號(hào)搬家）102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=100X5=500可發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)等差連續(xù)數(shù)的求和問(wèn)題，中間數(shù)是100,個(gè)數(shù)是5.加法中的巧算.什么叫“補(bǔ)數(shù)”？?jī)蓚€(gè)數(shù)相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬(wàn)…,就把其中的一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的“補(bǔ)數(shù)”。如：1+9=10,3+7=10,2+8=10,4+6=10,5+5=10。又如：11+89=100,33+67=100,22+78=100,44+56=100,55+45=100,在上面算式中,1叫9的“補(bǔ)數(shù)”;89叫11的“補(bǔ)數(shù)”,11也叫89的“補(bǔ)數(shù)”.也就是說(shuō)兩個(gè)數(shù)互為“補(bǔ)數(shù)”。對(duì)于一個(gè)較大的數(shù),如何能很快地算出它的“補(bǔ)數(shù)”來(lái)呢?一般來(lái)說(shuō),可以這樣“湊”數(shù):從最高位湊起,使各位數(shù)字相加得9,到最后個(gè)位數(shù)字相加得10。如：87655f12345,46802f53198,87362f12638，…下面講利用“補(bǔ)數(shù)”巧算加法,通常稱(chēng)為“湊整法”。.互補(bǔ)數(shù)先加。例1巧算下面各題:①36+87+64②99+136+101③1361+972+639+28解:①式=(36+64)+87=100+87=187②式=(99+101)+136=200+136=336③式二(1361+639)+(972+28)=2000+1000=3000②式②式=1000-(90+80+20+10).拆出補(bǔ)數(shù)來(lái)先加。例2①188+873②548+996③9898+203解:①式=(188+12)+(873-12)(熟練之后，此步可略)=200+861=1061②式二(548-4)+(996+4)=544+1000=1544③式=(9898+102)+(203-102)=10000+101=10101.豎式運(yùn)算中互補(bǔ)數(shù)先加。如：二、減法中的巧算.把幾個(gè)互為“補(bǔ)數(shù)”的減數(shù)先加起來(lái),再?gòu)谋粶p數(shù)中減去。例3①300-73-27②1000-90-80-20-10解:①式二300-(73+27)=300-100=200解:①式解:①式=100+10+20+30=109=109=1000-200=800.先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)。例4①4723-（723+189）②2356-159-256解:①式=4723-723-189=4000-189=3811②式二2356-256-159=2100-159=1941.利用“補(bǔ)數(shù)”把接近整十、整百、整千…的數(shù)先變整，再運(yùn)算（注意把多加的數(shù)再減去,把多減的數(shù)再加上）。例5①506-397②323-189③467+997④987-178-222-390解:①式=500+6-400+3（把多減的3再加上）②式=323-200+11(把多減的n再加上)=123+11=134③式=467+1000-3(把多加的3再減去)=1464④式二987-(178+222)-390=987-400-400+10=197三、加減混合式的巧算.去括號(hào)和添括號(hào)的法則在只有加減運(yùn)算的算式里，如果括號(hào)前面是“+”號(hào),則不論去掉括號(hào)或添上括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都不變;如果括號(hào)前面是“-”號(hào),則不論去掉括號(hào)或添上括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都要改變，“+”變“-"，“-”變“+”，即：a+(b+c+d)=a+b+c+da-(b+a+d)=a-b-c-da-(b-c)=a-b+c例6①100+(10+20+30)②100-(10+20+30)③100-(30-10)例例8計(jì)算325+46-125+54=160②式二100T0-20-30=40③式二100-30+10=80例7計(jì)算下面各題：①100+10+20+30②100T0-20-30③100-30+10解:①式=100+(10+20+30)=100+60=160②式二100-(10+20+30)=100-60=40③式二100-(30-10)=100-20=80.帶符號(hào)“搬家”解：原式二325-125+46+54=(325-125)+(46+54)=200+100=300注意:每個(gè)數(shù)前面的運(yùn)算符號(hào)是這個(gè)數(shù)的符號(hào).如+46,-125,+54.而325前面雖然沒(méi)有符號(hào),應(yīng)看作是+325。.兩個(gè)數(shù)相同而符號(hào)相反的數(shù)可以直接“抵消”掉例9計(jì)算9+2-9+3解:原式=9-9+2+3=5.找“基準(zhǔn)數(shù)”法幾個(gè)比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時(shí),選這個(gè)整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”。例10計(jì)算78+76+83+82+77+80+79+85=640.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的,要先乘.為此，要牢記下面這三個(gè)特殊的等式：5X2=1025X4=100125X8=1000例1計(jì)算①123X4X25@125X2X8X25X5X4@125X2X8X25X5X4例例3計(jì)算①175X34+175X66解：①式二123X(4X25)=123X100=12300②式二(125X8)X(25X4)X(5X2)=1000X100X10=1000000.分解因數(shù)，湊整先乘。例2計(jì)算①24X25②56X125③125X5X32X5解：①式=6X(4X25)=6X100=600②式=7X8X125=7X(8X125)=7X1000=7000③式二125X5X4X8X5=(125X8)X(5X5X4)=1000X100=100000.應(yīng)用乘法分配律。24X1524X1515X100=150015X100=1500②67X12+67X35+67X52+6解:①式=175X(34+66)=175X100=17500②式二67X(12+35+52+1)=67X100=6700(原式中最后一項(xiàng)67可看成67X1)例4計(jì)算①123X101②123X99解：①式二123X(100+1)=123X100+123=12300+123=12423②式二123X(100-1)=12300-123=12177.幾種特殊因數(shù)的巧算。例5一個(gè)數(shù)X10,數(shù)后添0;一個(gè)數(shù)X100,數(shù)后添00;一個(gè)數(shù)X1000,數(shù)后添000;以此類(lèi)推。如：15X10=15015X1000=15000例6一個(gè)數(shù)X9,數(shù)后添0,再減此數(shù)；一個(gè)數(shù)X99,數(shù)后添00,再減此數(shù)；一個(gè)數(shù)X999,數(shù)后添000,再減此數(shù)；…以此類(lèi)推。如：12義9=120-12=10812X99=1200-12=118812X999=12000-12=11988例7一個(gè)偶數(shù)乘以5,可以除以2添上0。如：6X5=3016X5=80116X5=580。例8一個(gè)數(shù)乘以11,“兩頭一拉,中間相加”。如2222X11=244422456X11=27016例9一個(gè)偶數(shù)乘以15,“加半添0”.例例12864X27?54=(24+12)X10=360因?yàn)?4X15=24X(10+5)=24X(10+10+2)二24X10+24X10+2(乘法分配律)=24X10+24+2X10(帶符號(hào)搬家)=(24+24+2)X10(乘法分配律)例10個(gè)位為5的兩位數(shù)的自乘:十位數(shù)字X(十位數(shù)字加1)X100+25如15X15=1X(1+1)X100+25=22525X25=2X(2+1)X100+25=62535X35=3X(3+1)X100+25=122545X45=4X(4+1)X100+25=202555X55=5X(5+1)X100+25=302565X65=6X(6+1)X100+25=422575X75=7X(7+1)X100+25=562585X85=8X(8+1)X100+25=722595X95=9X(9+1)X100+25=9025還有一些其他特殊因數(shù)相乘的簡(jiǎn)便算法,有興趣的同學(xué)可參看《算得快》一書(shū)。二、除法及乘除混合運(yùn)算中的巧算.在除法中,利用商不變的性質(zhì)巧算商不變的性質(zhì)是:被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(零除外)，商不變.利用這個(gè)性質(zhì)巧算，使除數(shù)變?yōu)檎?、整百、整千的?shù),再除。例11計(jì)算①110?5②3300?25③44000?125解:①110?5=(110X2)?(5X2)=220?10=22②3300?25=(3300X4)?(25X4)=13200?100=132③44000?125=(44000X8)?(125X8)=352000?1000=352.在乘除混合運(yùn)算中，乘數(shù)和除數(shù)都可以帶符號(hào)“搬家”。=72+12=6=72+12=6=864+54X27=16X27=432.當(dāng)n個(gè)數(shù)都除以同一個(gè)數(shù)后再加減時(shí),可以將它們先加減之后再除以這個(gè)數(shù)。例13①13+9+5+9②21+5-6+5③2090+24-482?24@187+12-63+12-52+12解:①13+9+5+9=(13+5)+9=18+9=2②21+5-6+5=(21-6)+5=15+5=3③2090+24-482+24=(2090-482)+24=1608+24=67@187+12-63+12-52+12=(187-63-52)+12.在乘除混合運(yùn)算中“去括號(hào)”或添“括號(hào)”的方法:如果“括號(hào)”前面是乘號(hào)，去掉“括號(hào)”后，原“括號(hào)”內(nèi)的符號(hào)不變;如果“括號(hào)”前面是除號(hào)，去掉“括號(hào)”后，原“括號(hào)”內(nèi)的乘號(hào)變成除號(hào)，原除號(hào)就要變成乘號(hào),添括號(hào)的方法與去括號(hào)類(lèi)似。即aX（b+c）=aXb+c從左往右看是去括號(hào)，a?（bXc）=a+b+c從右往左看是添括號(hào)。a?（b+c）=a+bXc例14①1320X500?250②4000?125?8③5600?（28?6）④372?162X54⑤2997X729?（81X81）解：①1320X500?250=1320X（500?250）=1320X2=2640②4000?125?8=4000?（125X8）=4000?1000=4③5600?（28?6）=5600?28X6=200X6=1200@372^162X54=372^(162^54)=372+3=124⑤2997X729?(81X81)=2997X729?81?81=(2997+81)X(729+81)=37X9=333例1計(jì)算9+99+999+9999+99999解:在涉及所有數(shù)字都是9的計(jì)算中，常使用湊整法.例如將999化成1000-1去計(jì)算.這是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種技巧.9+99+999+9999+99999=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100000-1)=10+100+1000+10000+100000-5=111110-5=111105.例2計(jì)算199999+19999+1999+199+19解:此題各數(shù)字中，除最高位是1外,其余都是9,仍使用湊整法.不過(guò)這里是加1湊整.(如199+1=200)199999+19999+1999+199+19=(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)+(19+1)-5=200000+20000+2000+200+20-5=222220-5=22225.例3計(jì)算(1+3+5+...+1989)-(2+4+6+(1988)解法2:先把兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)分別相加,再相減.第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是:從1到1989共有995個(gè)奇數(shù),湊成497個(gè)1990,還剩下995,第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是:從2到1988共有994個(gè)偶數(shù),湊成497個(gè)1990.1990X497+995—1990X497=995.例4計(jì)算389+387+383+385+384+386+388解法1:認(rèn)真觀察每個(gè)加數(shù),發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)390接近,所以選390為基準(zhǔn)數(shù).389+387+383+385+384+386+388=390X7—1—3—7—5—6—4—=2730—28=2702.解法2:也可以選380為基準(zhǔn)數(shù),則有389+387+383+385+384+386+388=380X7+9+7+3+5+4+6+8=2660+42=2702.例5計(jì)算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)+6解:認(rèn)真觀察可知此題關(guān)鍵是求括號(hào)中6個(gè)相接近的數(shù)之和,故可選4940為基準(zhǔn)數(shù).(4942+4943+4938+4939+4941+4943):6=(4940X6+2+3—2—1+1+3)+6=(4940X6+6)+6(這里沒(méi)有把4940X6先算出來(lái),而是運(yùn)=4940義6?6+6+6運(yùn)用了除法中的巧算方法)=4940+1=4941.例6計(jì)算54+99X99+45解:此題表面上看沒(méi)有巧妙的算法，但如果把45和54先結(jié)合可得99,就可以運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算了.54+99X99+45=(54+45)+99X99=99+99X99=99X(1+99)=99X100=9900.例7計(jì)算9999X2222+3333X3334解:此題如果直接乘,數(shù)字較大,容易出錯(cuò).如果將9999變?yōu)?333義3,規(guī)律就出現(xiàn)了.9999X2222+3333X3334=3333X3X2222+3333X3334=3333X6666+3333X3334=3333X(6666+3334)=3333X10000=33330000.例81999+999X999解法1:1999+999X999=1000+999+999X999=1000+999X(1+999)=1000+999X1000=1000X(999+1)=1000X1000=1000000.解法2:1999+999X999=1999+999X(1000-1)=1999+999000-999=(1999-999)+999000=1000+999000=1000000.有多少個(gè)零.總之,要想在計(jì)算中達(dá)到準(zhǔn)確、簡(jiǎn)便、迅速,必須付出辛勤的勞動(dòng),要多練習(xí),多總結(jié),只有這樣才能做到熟能生巧.巧用湊整法對(duì)于某些特殊加數(shù)的加法,常常用湊整十、整百、整千??的方法進(jìn)行簡(jiǎn)算。例1計(jì)算:99.9+11.1。分析:先把99.9拆成90+9+0.9,再把11.1拆成10+1+0.1,然后把它們重新組合，湊整。解：99.9+11.1=(90+10)+(9+1)+(0.9+0.1)=100+10+1=111例2計(jì)算:9+98+997+6。分析:先把6拆成1+2+3,然后把它們重新組合、湊整。解:9+98+997+6=(9+1)+(98+2)+(997+3)=10+100+1000=1110例3計(jì)算：9+99+999+9999。分析:從9里取出3個(gè)1,分別與99、999、9999相加，湊成整百、整千、整萬(wàn),然后再相加。解:9+99+999+9999=(9-3)+(99+1)+(999+1)+(9999+1)=6+100+1000+10000=1116例4計(jì)算：125+125+125+125+125+125+125+120。分析:我們知道125X8=1000,可是現(xiàn)在只有7個(gè)125。這時(shí)，我們不妨假定最后一個(gè)數(shù)也是125。這樣總和多了5,再減去5就是了。解：125+125+125+125+125+125+125+120=125X8-5=1000-5=995例5計(jì)算:567-98。分析:可先從567中減去100,這樣比應(yīng)減的98多減了2,再加上2就是最后的結(jié)果。解:567-98=567-100+2=467+2=469“以乘代除”當(dāng)除數(shù)為5、25.125時(shí)，都可以用乘法代替除法。具體辦法是:用5去除一個(gè)數(shù)時(shí)，將這個(gè)數(shù)乘以2后，向左移一位小數(shù)點(diǎn)，即為商;用25去除一個(gè)數(shù)時(shí)，將這個(gè)數(shù)乘以4</PGN0078.TXT/PGN>后，向左移兩位小數(shù)點(diǎn),即為商;用125去除一個(gè)數(shù)時(shí)，將這個(gè)數(shù)乘以8后，向左移三位小數(shù)點(diǎn)，即為商。例1計(jì)算：(1)76?5(2)375?5(3)2115?25(4)10800?125解：(1)76+5=76義2+10=152+10=15.2;(2)375?5=375X2?10=750?10=75;(3)2115?25=(2115X4)?100=8460?100=84.6;(4)10800?125=(10800X8)?1000=86400?1000=86.4。這是因?yàn)?6?5=(76X2)?(5X2)=76X2?10,2115?25=(2115X4)?100=23500?100=235。例2計(jì)算：5875?25解:按上面的作法,本題的計(jì)算過(guò)程是：5875^25=(5875X4)^25=235000^100=235O這道題有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的方法呢?有。下面我們對(duì)除式進(jìn)行恒等變形：5875^25=(5800+75)^25二(58X100+75)+25=58X100^25+75^25=58X4+3=232+3=235不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)被除數(shù)的末尾兩位數(shù)是25的倍數(shù)時(shí),可以</PGN0079.TXT/PGN>去掉被除數(shù)的末尾兩位數(shù),乘以4,再加上末尾兩位數(shù)除以25的商，即為原除式的商。例3計(jì)算：(1)67500?25(2)3150+25⑶8225?25(4)6175+25解：(1)67500+25=675義4+0+25=2700+0=2700;⑵3150?25=31義4+50?25=124+2=126;⑶8225?25=82義4+25?25=328+1=329;(4)6175^25=61X4+75^25=244+3=247巧用恒等變形恒等變形是小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法。恒等變形常常需要利用我們學(xué)過(guò)的有關(guān)加、減、乘、除的性質(zhì)。它是一種有目的性的數(shù)學(xué)變換。下面幾個(gè)例題就是用恒等變形的方法進(jìn)行簡(jiǎn)算的實(shí)例。例1計(jì)算:1651+79。分析:在做加法時(shí),常常用這樣一種恒等變形:一個(gè)加數(shù)增加一個(gè)數(shù),另一個(gè)加數(shù)減少同一個(gè)數(shù),它們的和不變。這個(gè)題可以從被加數(shù)中取出21補(bǔ)在加數(shù)上,使加數(shù)變?yōu)?00,從而達(dá)到簡(jiǎn)算的目的。解:1651+79=(1651-21)+(78+21)=1630+100=1730。例2計(jì)算:59.7-9.9。分析:在做減法時(shí),常常利用這樣一種恒等變形:被減數(shù)、減數(shù)增加同一個(gè)加數(shù),差不變。這道題可以讓減數(shù)增加0.1,變?yōu)?0。為了恒等,必須使被減數(shù)也增加同一個(gè)0.1。解:59.7-9.9=(59.7+0.1)-(9.9+0.1)=59.8-10=49.8例3計(jì)算：5.84義1.25。分析:在做乘法時(shí),常常利用這樣一種恒等變形:一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大若干倍,另一個(gè)因數(shù)同時(shí)縮小相同的倍數(shù),積不變。這個(gè)題可讓被乘數(shù)縮小8倍,乘數(shù)同時(shí)擴(kuò)大8倍。這不是盲目的，因?yàn)槲覀兪熘?.25義8=10。解：5.84義1.25二(5.84?8)義(1.25義)=0.73X10=7.3。例4計(jì)算：9.7?2.5。分析:在做除法時(shí),常常利用這樣一種恒等變形:被除數(shù)、除數(shù)都同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù),商不變。因?yàn)榇蠹沂熘?.5X4=10,所以,我們很自然地想到,使原除式中被除數(shù)和除數(shù)都同時(shí)擴(kuò)大4倍。解:9.7?2.5二(9.7X4)?(2.5X4)=38.8+10=3.88巧用運(yùn)算規(guī)律在整數(shù)四則運(yùn)算中,常常通過(guò)巧妙地利用交換律、結(jié)合律、分配律,達(dá)到簡(jiǎn)算的目的。在利用這些算律時(shí),頭腦一定要靈活,目的性要非常明確。例1計(jì)算：54X88。算。分析:這個(gè)乘積中,54能分解出因數(shù)9,88能分解出因數(shù)11,因而乘積中可出現(xiàn)因數(shù)99,99=100-1。在求積過(guò)程中,盡量湊成100,這樣利于簡(jiǎn)解：54義88=6X9X11X8=48X99=48X(100-1)=4800-48=4752。例2計(jì)算：125X71。分析:這個(gè)乘積中有125,要是出現(xiàn)8,就會(huì)湊成1000,這有利于簡(jiǎn)算。如何使因數(shù)出現(xiàn)8呢？由于71=72-1，而72=8X9,問(wèn)題解決了。解：125X71=125X(72-1)=125X8X9-125=1000X9-125=9000-125=8875。例3計(jì)算：6666義3333。分析:這個(gè)乘積中有3333,要是把它擴(kuò)大3倍,就會(huì)出現(xiàn)9999,而9999=10000-1。這樣就湊成了10000,有利于簡(jiǎn)算。解:6666義3333=(6666^3)X(3333X3)二2222X9999二2222X(10000-1)=22220000-2222二22217778。例4計(jì)算：1999+999X999。分析:999X999可以認(rèn)為999個(gè)999，再多1個(gè)999，就會(huì)湊成1000個(gè)999了。沿著這種思路去想,有利于簡(jiǎn)算。解：1999+999義999=1000+999+999X999=1000+999X1000二1000(1+999)=1000000。例5計(jì)算：11.6義23-46*0.8。分析:這個(gè)題中，被減數(shù)中有因數(shù)23,減數(shù)中有46,而46=23X2,因此可考慮提取公因數(shù)23。這樣可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化。解：11.6義23-46義0.8=11.6X23-23X2X0.8=23(11.6-1.6)=23X10=230。上述的例子還可以舉出不少,事實(shí)上，僅舉以上幾個(gè)例子就足夠了。這些做法的共同點(diǎn):一是應(yīng)用了算律;二是機(jī)敏地創(chuàng)造機(jī)會(huì)，使算式中出現(xiàn)10、100、1000、10000??這也稱(chēng)為“配對(duì)求和”常見(jiàn)幾種配對(duì)求和的方法。一、首位配對(duì)法例1:12+13+14+15+16+17+18+19首尾兩個(gè)數(shù)依次配對(duì),可得4個(gè)31。解:12+13+14+15+16+17+18+19=(12+19)+(13+18)+(14+17)+(15+16)=31X4=124二、取整配對(duì)法例2:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10將能得到整十、整百、整千的數(shù)配對(duì),這題中可以配對(duì)得到10。解：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+10+5=5X10+5=55三、公式法S=(A1+An)Xn+2這里的A1表示開(kāi)頭第一個(gè)數(shù),An表示最后一個(gè)數(shù),n表示數(shù)的個(gè)數(shù)。例3:2+4+6+8+……+98+100解:2+4+6+8+……+98+100=(2+100)X50^2=102X50^2=2550配對(duì)求和要注意的是:一要弄清一串?dāng)?shù)中有幾個(gè)數(shù),可配成幾對(duì);二要根據(jù)一串?dāng)?shù)的特點(diǎn)進(jìn)行合理配對(duì)。我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了整數(shù)乘法和除法運(yùn)算,但計(jì)算時(shí)要一位一位的乘(除),比較麻煩。是否有簡(jiǎn)便的計(jì)算方法呢?有些乘除法也可以用簡(jiǎn)便的方法來(lái)計(jì)算。一:湊整法“湊整”不僅在加減法的速算中廣泛應(yīng)用,在乘除法的計(jì)算中也是很重要的提高速度的計(jì)算方法。計(jì)算前,有兩個(gè)比較特殊的數(shù)相乘的結(jié)果,同學(xué)們要牢牢記住：25X4=100,125X8=1000。例1:125X3X825X7X4所以以上兩題可以先把這兩組數(shù)乘起來(lái)，125X3X8=(125X8)X3=3000;25X7X4=(25X4)X7=700。二:轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化法主要指在乘除混合計(jì)算中，根據(jù)計(jì)算定律和性質(zhì)調(diào)換乘數(shù)或除數(shù)的位置，或者給算式添上括號(hào)或去掉括號(hào)，把較復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的計(jì)算。例2:146X31?731248+96X16500?(125?4)如146X31+73=146+73X31=62,要注意的是,如果在除號(hào)后面加括號(hào)，后面是乘號(hào)的要變成除號(hào),是除號(hào)的要變成乘號(hào),如1248+96X16=1248+(96?16)=1248?6=208;如果要去掉除號(hào)后面的括號(hào)，括號(hào)里的乘號(hào)要變成除號(hào)，除號(hào)要變