2024屆一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材人教A版 第六章 數(shù)列　6-3　等比數(shù)列 課件（81張）

§6.3等比數(shù)列第六章數(shù)列1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.等比數(shù)列有關(guān)的概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第

項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于

常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的

，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使

成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝

.2同一個(gè)公比a，G，bab2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝

.(2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.(3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝________a1qn－1＝

.3.等比數(shù)列性質(zhì)(1)若m＋n＝p＋q，則

，其中m，n，p，q∈N*.特別地，若2w＝m＋n，則

，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為

(k，m∈N*).aman＝apaqqm(4)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，

，

仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(n為偶數(shù)且q＝－1除外)S2n－SnS3n－S2n增減1.等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以寫成an＝cqn，這里c≠0，q≠0.2.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0).3.數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.(

)(2)當(dāng)公比q>1時(shí)，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.(

)(3)等比數(shù)列中所有偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同.(

)(4)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列.(

)√×××1.設(shè)a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√若a，b，c，d成等比數(shù)列，則ad＝bc，數(shù)列－1，－1,1,1.滿足－1×1＝－1×1，但數(shù)列－1，－1，1,1不是等比數(shù)列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的必要不充分條件.2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6等于A.31 B.32 C.63 D.64根據(jù)題意知，等比數(shù)列{an}的公比不是－1.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.√3.已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和等于13，積等于27，則這三個(gè)數(shù)為____________.1,3,9或9,3,1∴這三個(gè)數(shù)為1,3,9或9,3,1.探究核心題型第二部分例1

(1)(2022·全國(guó)乙卷)已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168，a2－a5＝42，則a6等于A.14 B.12 C.6 D.3√題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算方法一

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，易知q≠1.所以a6＝a1q5＝3，故選D.方法二設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a6＝a1q5＝3，故選D.(2)(2023·桂林模擬)朱載堉(1536～1611)是中國(guó)明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說》中闡述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”.即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一√設(shè)第一個(gè)音的頻率為a，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比為q，那么an＝aqn－1，根據(jù)最后一個(gè)音的頻率是最初那個(gè)音的2倍，得a13＝2a＝aq12，即q＝

，等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的解題策略(1)等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解.(2)解方程組時(shí)常常利用“作商”消元法.(3)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要討論公比q＝1的情形，否則會(huì)漏解或增解.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3等于A.16 B.8 C.4 D.2設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，√(2)在1和2之間插入11個(gè)數(shù)使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為M，插入11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為N，則依此規(guī)則，下列說法錯(cuò)誤的是A.插入的第8個(gè)數(shù)為B.插入的第5個(gè)數(shù)是插入的第1個(gè)數(shù)的

倍C.M>3D.N<7√設(shè)該等比數(shù)列為{an}，公比為q，則a1＝1，a13＝2，插入的第5個(gè)數(shù)為a6＝a1q5，插入的第1個(gè)數(shù)為a2＝a1q，要證M>3，即證－1－

>3，即證

>4，N＝M＋3.所以

>5，所以－1－

>4，即M>4，所以N＝M＋3>7，故D錯(cuò)誤.例2

已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列{an}是等比數(shù)列；②數(shù)列{Sn＋a1}是等比數(shù)列；③a2＝2a1.注：如果選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.題型二等比數(shù)列的判定與證明選①②作為條件證明③：設(shè)Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，則Sn＝Aqn－1－a1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，解得q＝2，所以a2＝2a1.選①③作為條件證明②：因?yàn)閍2＝2a1，{an}是等比數(shù)列，所以公比q＝2，選②③作為條件證明①：設(shè)Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，則Sn＝Aqn－1－a1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，因?yàn)閍2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，所以{an}為等比數(shù)列.(3)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練2

在數(shù)列{an}中，

＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，因?yàn)閍1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，所以數(shù)列{an＋1}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.由(1)知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，題型三等比數(shù)列的性質(zhì)√∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的兩根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列，等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，可得a7＝3，(2)已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于A.150 B.－200C.150或－200 D.400√依題意，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，即S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S40＝S30＋(S40－S30)＝70＋80＝150.(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.(2)巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2023·六安模擬)在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，則a7＋a8等于A.40 B.36 C.54 D.81在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比數(shù)列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，√(2)等比數(shù)列{an}共有奇數(shù)個(gè)項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)和S奇＝255，所有偶數(shù)項(xiàng)和S偶＝－126，末項(xiàng)是192，則首項(xiàng)a1等于A.1 B.2 C.3 D.4∵an＝192，√√∵a1a2…a8＝16，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，課時(shí)精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.(2023·岳陽模擬)已知等比數(shù)列{an}滿足a5－a3＝8，a6－a4＝24，則a3等于A.1 B.－1 C.3 D.－3√設(shè)an＝a1qn－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，123456789101112131415162.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12等于A.40 B.60 C.32 D.5012345678910111213141516由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.√3.已知等比數(shù)列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，則a4a5a6等于A.±8 B.－8 C.8 D.1612345678910111213141516√又等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，所以a5＝2，4.(2022·日照模擬)河南洛陽的龍門石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國(guó)四大石窟.現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個(gè)“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則log2(a3·a5)的值為A.16 B.12 C.10 D.812345678910111213141516√12345678910111213141516由題意，得{an}是以2為公比的等比數(shù)列，∴l(xiāng)og2(a3·a5)＝log2(8×22×8×24)＝12.123456789101112131415165.(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列說法正確的是A.數(shù)列{anan＋1}是公比為q2的等比數(shù)列B.數(shù)列{an＋an＋1}是公比為q的等比數(shù)列C.數(shù)列{an－an＋1}是公比為q的等比數(shù)列√√12345678910111213141516對(duì)于B，當(dāng)q＝－1時(shí)，數(shù)列{an＋an＋1}的項(xiàng)中有0，不是等比數(shù)列；對(duì)于C，當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列{an－an＋1}的項(xiàng)中有0，不是等比數(shù)列；12345678910111213141516√123456789101112131415167.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，則公比q＝____，S5＋a5＝______.由題意得2a1＝2，∴a1＝1.3202123456789101112131415168.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若數(shù)列{3n－an}也是等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以為____________________.(寫出一個(gè)即可)12345678910111213141516an＝3n－1(答案不唯一)12345678910111213141516設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，令bn＝3n－an，則b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2，∵{bn}是等比數(shù)列，∴

＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化為q2－6q＋9＝0，解得q＝3，取a1＝1，則an＝3n－1.(注：a1的值可取任意非零實(shí)數(shù)).12345678910111213141516設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*).9.等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；12345678910111213141516由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解.若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.綜上，m＝6.(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若Sm＝63，求m.10.Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；12345678910111213141516(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.1234567891011121314151612345678910111213141516假設(shè)存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列.因?yàn)镾1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，11.(多選)在數(shù)列{an}中，n∈N*，若＝

k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，下列關(guān)于“等差比數(shù)列”的判斷正確的是A.k不可能為0B.等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”C.等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”D.“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為012345678910111213141516綜合提升練√√12345678910111213141516對(duì)于A，k不可能為0，正確；對(duì)于B，當(dāng)an＝1時(shí)，{an}為等差數(shù)列，但不是“等差比數(shù)列”，錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q＝1時(shí)，an＋1－an＝0，分式無意義，所以{an}不是“等差比數(shù)列”，錯(cuò)誤；對(duì)于D，數(shù)列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比數(shù)列”，且有無數(shù)項(xiàng)為0，正確.12.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝8，a4＝－1，則數(shù)列{Sn}A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)12345678910111213141516√12345678910111213141516根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝－1，12345678910111213141516故S1最大，S2最小.13.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝_____.12345678910111213141516－912345678910111213141516{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在{－53，－23,19,37,82}中，bn＝an＋1，則an＝bn－1，{an}有連續(xù)四項(xiàng)在{－54，－24,18,36,81}中.又{an}是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負(fù)數(shù)項(xiàng)則q<0，且負(fù)數(shù)項(xiàng)為相隔兩項(xiàng)，等比數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值遞增或遞減，按絕對(duì)值由小到大的順序排列上述數(shù)值：18，－24,36，－54,81，12345678910111213141516很明顯，－24,36，－54,81是{an}中連續(xù)的四項(xiàng)，14.記Sn