數(shù)學(xué)物理方程波動(dòng)方程初始問題的求解OK

第3章波動(dòng)方程初始問題的求解——行波法（達(dá)朗貝爾公式）（特征線積分法）13.1達(dá)朗貝爾公式（行波法）[一維問題]1基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。2關(guān)鍵步驟：通過變量變換，將波動(dòng)方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。

通解法中有一種特殊的解法―行波法,即以自變量的線性組合作變量代換，進(jìn)行求解的一種方法，它對波動(dòng)方程類型的求解十分有效.數(shù)學(xué)物理方程21.弦振動(dòng)方程的初始問題-無界限的自由振動(dòng)（1）物理解釋：

認(rèn)為弦很長，考慮遠(yuǎn)離邊界的某段弦在較短時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)，其中給定初始位移和速度，并且沒有強(qiáng)迫外力作用。數(shù)學(xué)物理方程(3.1.1)3（2）一維波動(dòng)方程的通解：作變換：任意函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程4（3）無界限弦自由振動(dòng)的特解（考慮初始條件）：達(dá)朗貝爾公式數(shù)學(xué)物理方程僅對第一層變量進(jìn)行積分(3.1.2)5結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a的波的疊加，故稱為行波法。a.只有初始位移時(shí)，代表以速度a

沿x

軸正向傳播的波代表以速度a

沿x

軸負(fù)向傳播的波（4）達(dá)朗貝爾公式的意義：數(shù)學(xué)物理方程b.只有初始速度時(shí)：為的積分原函數(shù)。6示意圖形（向右傳播的波）：數(shù)學(xué)物理方程7解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式（5）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用：數(shù)學(xué)物理方程波動(dòng)方程8解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式數(shù)學(xué)物理方程波動(dòng)方程9解：該問題不能直接運(yùn)用達(dá)朗貝爾公式，但可按該思路進(jìn)行。特征方程為：令：方程可化為：數(shù)學(xué)物理方程非波動(dòng)方程10所以，方程的通解為：帶入初始條件：數(shù)學(xué)物理方程11所以：因此：數(shù)學(xué)物理方程12解：該問題不能直接運(yùn)用達(dá)朗貝爾原理，但可按該思路進(jìn)行。特征方程為：令：方程可化為：數(shù)學(xué)物理方程非波動(dòng)方程13所以，方程的通解為：帶入初始條件：又因?yàn)椋簽橛邢拗?，所以：即：?shù)學(xué)物理方程14所以：因此：數(shù)學(xué)物理方程152弦振說動(dòng)方奶程的密初始登問題-半無遷界弦路的自麥由振長動(dòng)物理喚解釋險(xiǎn)：認(rèn)為屈弦很兵長，斬考慮脈弦線短某端影附近著而遠(yuǎn)玩離另龍一端趕在較探短時(shí)白間內(nèi)適的振震動(dòng)，堪其中絞給定梁初始著位移儉和速其度，閃沒有泥強(qiáng)迫定外力真作用姓，弦魚線一樓端被酒固定把。數(shù)學(xué)肆物理郵方程(3遵.1愁.3碧)16

為了解決這個(gè)問題，可以將半無界弦延拓成無限長的弦，由于邊界條件，所以無限長弦的必須為奇函數(shù)，其初始條件也必須為奇函數(shù)，即：數(shù)學(xué)雙物理捕方程(3名.1荒.4麥)(3刻.1帽.5芳)17將上棉述初污始條鋪件代地入達(dá)就朗貝問爾公木式，招即可梢得到晌：數(shù)學(xué)書物理煙方程(3斧.1宋.6倍)18若將捆上述哪的邊茶界條覽件輕改圓為嘩，即只半無股限長挽桿的論自由邁振動(dòng)誕，桿棍的端獨(dú)點(diǎn)自桑由。

為了解決這個(gè)問題，可以將半無界弦延拓成無限長的弦，由于邊界條件，所以無限長弦的必須為偶函數(shù)，其初始條件也必須為偶函數(shù)。數(shù)學(xué)價(jià)物理峽方程(3鉤.1私.7餃)19所以狗：將上物述初總始條鼓件代勞入達(dá)宇朗貝輝爾公培式，瓣即可宣得到?。簲?shù)學(xué)郊物理甲方程20例子廳：數(shù)學(xué)啟物理菌方程21應(yīng)用有達(dá)朗隔貝爾伏公式啟得到催解的惹形式養(yǎng)為：數(shù)學(xué)傅物理藥方程22當(dāng)0<t<1/4a當(dāng)1/功4a<t<1/2a數(shù)學(xué)案物理絨方程23當(dāng)1/忙2a<t<3/4a當(dāng)3/奏4a<t<1/a數(shù)學(xué)上物理達(dá)方程24當(dāng)1/a<t數(shù)學(xué)嬸物理娃方程253弦振殲動(dòng)方返程的蒙初始偵問題--兩端崗固定支的有宋界弦澆的自隸由振焦動(dòng)

為了應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式，必須把按以為周期的奇函數(shù)延拓到整個(gè)x軸。數(shù)學(xué)稅物理瓦方程這個(gè)轉(zhuǎn)結(jié)論城完全互是可啦以證褲明的仍。(3垮.1鐮.8預(yù))264弦振徒動(dòng)方暈程的希初始融問題--一端谷擾動(dòng)紀(jì)引起福的半江無界滾弦的違自由穗振動(dòng)數(shù)學(xué)營物理隊(duì)方程無初逢始速持度和戚初始丑位移由于找該問芝題沒除有初跑始速吐度和匪初始挺位移劑，只翻有端扒部的敬位移錦擾動(dòng)婚（邊巖界條液件）謎，因踩此，眨不能遷直接店運(yùn)用樓達(dá)朗犁貝爾肅公式有。(3詳.1派.9惱)27設(shè)通隔解為菠：代入峰初始腳條件船，可際得：即：所以哄：由于其：恒為常數(shù)，不妨設(shè)為0.數(shù)學(xué)田物理民方程28于是恩有：代入姜邊界擴(kuò)條件片：即：所以既：最終布方程絮的解病為：(3師.1茄.1析0)數(shù)學(xué)站物理華方程29例子炕：其中：數(shù)學(xué)番物理稻方程305弦振螞動(dòng)方怕程的溉初始普問題--半無很限長卷?xiàng)U端鋸點(diǎn)受給垂直仇方向癥力作沙用時(shí)貢的振吳動(dòng)數(shù)學(xué)恰物理壩方程

對照本章內(nèi)容4，對于，端點(diǎn)影響尚未到達(dá)，對于這部分桿，可以用達(dá)朗貝爾公式，即：(3襖.1年.1頂1)31對于，端點(diǎn)作用不可忽略，此外，在處，初始條件均沒有意義，需要延拓，設(shè)：其中桌，液和于為待遭定函所數(shù)。針當(dāng)臉時(shí)，銹有：代入熟邊界排條件樂，有雀：數(shù)學(xué)泰物理選方程32此時(shí)起的任逢務(wù)是寫如何熄確定宇和設(shè)：代入常邊界溉條件換，發(fā)算現(xiàn)正失好滿聯(lián)足。當(dāng)挖時(shí)，儉方程安的解司為：數(shù)學(xué)輝物理惜方程(3腎.1節(jié).1貓2)336弦振仙動(dòng)方鵲程的咸初始堤問題--無限換長弦湖的強(qiáng)咸迫振快動(dòng)數(shù)學(xué)雖物理鍬方程利用齊次化原理，若滿足：則：此時(shí)的可以看作是定時(shí)間。(3棍.1錘.1勤3)34令：所以淺：即：數(shù)學(xué)益物理蠟方程(3玩.1猾.1籮4)35上述燭方法過也稱嘩作沖量草原理輔法數(shù)學(xué)角物理災(zāi)方程

根據(jù)其物理意義，該定解問題可以等效于求解一系列前后相繼的瞬時(shí)沖量所引起的振動(dòng)的解的疊加。代替愛持續(xù)強(qiáng)作用鞏力來斥解決答定解滿問題秤的方未法稱考為沖量種原理中法.(3蝴.1網(wǎng).1括5)36這樣登純強(qiáng)棵迫振長動(dòng)定名解問洋題的毯解為:數(shù)學(xué)狹物理索方程37數(shù)學(xué)損物理脾方程代入患上述棄公式振，可局得:例子:387弦振雙動(dòng)方稻程的第初始話問題--無限牙長弦耍的強(qiáng)員迫振授動(dòng)（岸初始脫條件釋不為念零）按照疊加原理可令其解為使?jié)M足自由振動(dòng)定解問題數(shù)學(xué)揮物理攪方程(3眠.1贏.1轎6)39數(shù)學(xué)竿物理摘方程使?jié)M足純強(qiáng)迫振動(dòng)定解問題所以騎：對于輕其它攏任何奔的線廢性定框解問崇題，源均可床采用現(xiàn)類似辰于上錫面的教方法內(nèi)，將者之分塑解為片若干幼個(gè)易同于求士解的椒定解云問題乞，然轟后疊多加求悶得它求的解慌。(3文.1急.1淋7)40例：淡求解午細(xì)圓非錐形關(guān)勻質(zhì)訂桿的帆縱振才動(dòng)解：技首先疾推導(dǎo)照細(xì)圓促錐形膨均質(zhì)肌桿的杰縱振窯動(dòng)方梨程B受合院力運(yùn)動(dòng)截方程ABCxx+dx數(shù)學(xué)泥物理喪方程41可設(shè)趁：數(shù)學(xué)捆物理絞方程423.魚2球平桐均法[三維麻問題]三維忙波動(dòng)雞方程副的初榜始問箭題數(shù)學(xué)紡物理關(guān)方程(3餡.2閑.1悶)43球平擾均函霞數(shù)特別降地，樣當(dāng)r=0時(shí)，帶有pr數(shù)學(xué)和物理糟方程44數(shù)學(xué)經(jīng)物理攀方程此時(shí)，必須尋找滿足的定解方程。將式（3.2.1）左右兩端分別進(jìn)行體積分，并應(yīng)用高斯積分公式，可得到：(3呢.2拒.2搖)所以故：(3模.2煉.3差)45數(shù)學(xué)以物理薯方程(3掘.2腳.4木)作進(jìn)套一步騰的簡感化，蓮可得剝：特別肅地，飄當(dāng)r=0時(shí)，亦有(3鐮.2增.5巡壽)46代入眼初始卻條件蔥，可聞得：(3塞.2炎.6字)數(shù)學(xué)殖物理縣方程47例子陣：數(shù)學(xué)親物理稻方程48r2=x2+y2+z2<1當(dāng)at<1-r當(dāng)1-r<at<1+r當(dāng)at>1+r0數(shù)學(xué)陵物理停方程49r2=x2+y2+z2>1當(dāng)at>r+1當(dāng)at<r-1當(dāng)r-1<at<r+1數(shù)學(xué)貿(mào)物理紛方程50再例對不顏同的n初始霜位移島的分塌布圖數(shù)學(xué)牙物理東方程51引入變換U(r,t)=ru(r,t)，數(shù)學(xué)爽物理翻方程此例還比較遇特殊漫，因鋒為初鼠始條魂件也徒正好短是r的函鳥數(shù)，棚否則廚就沒理有這傻樣好適做了類。所以選：52n=1n=2n=5n=4n=3對于競不同涂的n，三昂維波劍的演躬化圖數(shù)學(xué)淋物理抗方程53當(dāng)n=4時(shí)在y-戚z平面呼上不惹同時(shí)墨刻的盲剖面扣圖t=2彩,歐2.略5,笨3t=蹄3/蔥4,晝1,煎1.珠5t=片0,魔1/憤4,熔2/衡4n=4數(shù)學(xué)誕物理搞方程54當(dāng)n=5時(shí)在y-嘩z平面漿上不構(gòu)同時(shí)并刻的并剖面雷圖t=2棵,句2.伸5,蘿3t=卡3/垂4,綁1,會(huì)1.把5t=觀0,焰1/艷4,繁2/字4n=5數(shù)學(xué)荒物理艘方程553.告3降維甩法（二窩維問符題）二維樹波動(dòng)埋方程損的初通始問講題數(shù)學(xué)其物理古方程(3斬.3彈.1腿)56求解董思路：如果篩解u1(x,架y,惑z,防t)是一屬個(gè)與z無關(guān)逆的函睡數(shù)，吉?jiǎng)t由u1(x,速y,廳z,否t)給出祖的函羽數(shù)u(x,碌y,絹t)就是礙膜振低動(dòng)方索程初議始問按題的互解。數(shù)學(xué)鏟物理搬方程57按照林三維紛振動(dòng)柴公式賤可得瞞：上述裳三維六空間貸的積裁分可食以轉(zhuǎn)羞化成z=常數(shù)得