2023年數(shù)字信號處理參考試題3

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦數(shù)字信號處理參考試題3.doc第三章離散傅里葉變換

1.如圖P3-1所示，序列)(nx是周期為6的周期性序列，試求其傅里葉級數(shù)的系數(shù)。

圖P3-1

解：

由nkj

nnnke

nxW

nxkX6

25

~

5

6

~

~

)()()(π-==∑∑==

kj

kj

kj

kj

kj

e

e

e

e

e

56

246

236

226

26

21068101214πππππ+++++=

計算求得60)0(~

=X,339)1(~

jX-=,33)2(~

jX+=0)3(~=X,33)4(~jX-=,339)5(~

jX+=

2.設(shè))()(4nRnx=，6~

))(()(nxnx=，試求)(~kX，并作圖表示)(~nx，)(~

kX。解：由kjkj

kjnkj

nnnkee

e

e

nxW

nxkXπππ

π==+++===

∑∑3

23

6

25

0~

5

6

~

~

1)()()(

計算求得4)0(~

=X,3)1(~

jX-=,1)2(~

=X0)3(~

=X,1)4(~

=X,3)5(~

jX=

)(~nx，|)(|~

kX如圖P3-2所示。

圖P3-2

3.設(shè)?

??≤≤+=nnnnx其他,04

0,1)(，)2()(4-=nRnh令6~))(()(nxnx=，6~))(()(nhnh=，

試求)(~nx與)(~

nh的周期卷積并作圖。解：在一個周期內(nèi)的計算值

∑-=

*=m

mnhmxnhnxny)()()()()(~

~~

~

~

)(~

nx

N

)(~

mnh-

123450

)(~

ny

0011110141001111122100111103

1100118411100165

1

1

1

1

10

4.已知)(nx如圖P3-4(a)所示，為｛1，1，3，2｝，試畫出5))((nx-，)())((66nRnx-，

)())((33nRnx，6))((nx-，)())3((55nRnx-，)())((77nRnx等各序列。

解：各序列如圖P3-4（b）所示。

圖P3-3

圖P3-4（a）

圖P3-4（b）

5.試求以下有限長序列的N點DFT（閉合形式表達(dá)式）：

(1))()cos()(0nRnanxNω=

(2))()(nRanxNn

=

(3)Nnnnnx所以kHzffsh52

1

=<即允許處理的信號的最高頻率為5kHz。（3）1000101

.01.030=?=≥

TTN，又因N必需為2的整數(shù)冪，所以一個記錄中的最少點數(shù)為1024210==N。

15.序列)(nx的共軛對稱和共軛反駁稱重量分離為

)]()([21)(*nxnxnxe-+=，)]()([2

1

)(*nxnxnxo--=

長度為N的有限長序列)(nx（0≤n≤N-1）的圓周共軛對稱和圓周共軛反駁稱重量分離定

義如下：)(]))(())(([21

)(*nRnxnxnxNNNep-+=)(]))(())(([2

1

)(*nRnxnxnxNNNop--=

（1）證實

)()]()([)(nRNnxnxnxNeeep-+=)()]()([)(nRNnxnxnxNooop-+=

（2）把)(nx看作長度為N的序列，普通說，不能從)(nxep恢復(fù))(nxe，也不能從)

(nxop恢復(fù))(nxo。試證實若把)(nx看作長度為N的序列，且n≥N/2時0)(=nx，則從

)(nxep可恢復(fù))(nxe，從)(nxop可恢復(fù))(nxo。

證實（1）①辦法一

因為)(nx只在10-≤≤Nn的范圍內(nèi)有值，則有

)(2

1

)(21)(]))(())(([21)(**nNxnxnRnxnxnxNNNep-+=-+=

n=0時)0()(**xnNx=-

（a）10-≤<Nn時

)(2

1

)]()([21)(*nxnxnxnxe=-+=

)(21

)]()([21)(**nNxnNxNnxNnxe-=-+-=-

所以)()]()([2

1

)(nRNnxnxnxNeeep-+=

（b）n=0時0)()(=-nRNnxN，0)()(*

=-nRnNxN

則有

)

()]()([)

()]()()()([2

1

)()]()([21)(***nRNnxnxnRnNxNnxnxnxnRnxnxnxNeeNNep-+=-+-+-+=-+=綜上所述)()]()([)(nRNnxnxnxNeeep-+=同理可證)()]()([)(nRNnxnxnxNooop-+=②辦法二

（a）)()]()([)(nRNnxnxnxNeeep-+=

)]()([2

1

)(*nxnxnxe-+=

)]()0()([2

1

)()(*nxnxnRnxNeδ+=

)()]()([2

1

)()(*nRnNxNnxnRNnxNNe-+-=-

由于0)()(=-nRNnxN所以)]()0()([2

1)()(**

NnxnNxnRNnxNe=-δ⑴+⑵得

)]()0()()0()()([2

1

)()]()([***NnxnxnNxnxnRNnxnxNee--+-+=-+δδ

（b）因為

]))(())(([2

1

))((*NNNenxnxnx-+=

)()())((nxnRnxNN=

)()0()()0()()())((****NnxnxnNxnRnxNN--+-=-δδ

(4)+(5)得

)(]))(())(([21

)(*nRnxnxnxNNNep-+=

)]()0()()0()()()([2

1*

***NnxnxnNxnNxnx--+-+-+=δδ

(3)與(6)比較可知)()]()([)(nRNnxnxnxNeeep-+=同理可證)()]()([)(nRNnxnxnxNooop-+=（2）利用（1）的結(jié)果

)()]()([)(nRNnxnxnxNeeep-+=)]()([2

1

)(*NnxNnxNnxe+-+-=

-①根據(jù)題意,當(dāng)2/0Nn<≤時，0)(≠nx。此時

2/NNnN-<-≤-，NNnN≤+-<2/

所以當(dāng)2/0Nn<≤時，0)(=-Nnx，0)(*

=+-Nnx，故

0)(=-Nnxe所以當(dāng)2/0Nn<≤時，)()(nxnxeep=。②當(dāng)12/-<≤-nN時，按共軛對稱有)()]()([2

1

)(**

nxnxnxnxee=-+=-且由（1）的結(jié)論知

)()]()([)(*

*

*

nRNnxnxnxNeeep-+-+-=-當(dāng)12/-<≤-nN時

0)()(*

=-+-nRNnxNe所以

)()()()()(*

*

nRnxnRnxnxNeNeep-=--=-綜上①、②可得

??

??

?

-≤≤--<≤=1

2),(20),()(*nN

nxNnnxnxepepe同理可證

??

???

-≤≤--<≤=1

2),(20),()(*

nNnxNnnxnxopopo

16.令)(kX表示N點序列)(nx的N點離散傅里葉變換，

（1）證實假如)(nx滿足關(guān)系式)1()(nNxnx=，則0)0(=X。（2）證實當(dāng)N為偶數(shù)時，假如)1()(nNxnx--=，則0)2/(=NX。

證實

（1）由于

10,)()(1

0-≤≤=∑-=NkWnxkXNnnk

N

當(dāng))1()(nNxnx=時

∑-==

1

0])()1([)(Nnnk

NNWnR

nNxkX

∑-==10

)

1()1(])())1(([NnNkNnNkNNNWWnRnNx

∑-==1

)

1()(NnNkN

nkNWWnx可以求得)())(