數(shù)學(xué)歸納法典型例題分析

(完好版)數(shù)學(xué)歸納法典型例題剖析(完好版)數(shù)學(xué)歸納法典型例題剖析(完好版)數(shù)學(xué)歸納法典型例題剖析數(shù)學(xué)歸納法證題步驟與技巧數(shù)學(xué)歸納法的范圍所以，數(shù)學(xué)歸納法的合用范圍僅限于與自然數(shù)相關(guān)的命題。它能幫助我們判斷各種與自然數(shù)n相關(guān)的猜想的正確性。數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟的關(guān)系第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩個步驟缺一不行。第一、二數(shù)學(xué)歸納法第一數(shù)學(xué)歸納法能夠歸納為以下三步：(1)歸納奠定：證明n=1時命題建立；(2)歸納假定：假定n=k時命題建立；(3)歸納遞推：由歸納假定推出n=k+1時命題也建立。從而便可判定命題關(guān)于從全部正整數(shù)都建立第二數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟是：1、證明當(dāng)n=1時命題是正確的；2、k為隨意自然數(shù)，假定n＜k時命題都是正確的，假如我們能推出n=時命題也正確，便可以必定該命題對全部自然數(shù)都正確。數(shù)學(xué)歸納法和第二歸納法是兩個等價的歸納法，我們把數(shù)學(xué)歸納法也叫做第一歸納法。有些命題用第一歸納法證明不大方便，能夠用第二歸納法證明。2.(2012·濟(jì)南高二檢測)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3++n2=n4n2,則當(dāng)n=k+1時左端應(yīng)在n=k242的基礎(chǔ)上加上()(A)k2+1(B)(k+1)2(C)k1k1(D)(k2+1)+(k2+2)++(k+1)24.若數(shù)列{a}的通項公式1nnn1

2*1)(1-a2n)，2(n∈N),記f(n)=(1-a)(1-a試經(jīng)過計算f(1),f(2),f(3)的值，推斷出f(n)為()n2n2(C)n2n(A)3(B)2n1(D)1n2n22nnn5.(2012·徐州高二檢測)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)能被x+y整除”，當(dāng)n為正奇數(shù)時，x+y第二步假定n=2k-1(k∈N*)命題為真時，從而需證n=__________時，命題亦真.6.(易錯題)若f(n)=12+22+32++(2n)2，則f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系式是___________________________________.1111*7.用數(shù)學(xué)歸納法證明：nn1n2n2＞1(n∈N,n＞1).8.求證：123222nn22n1nn1135122n1

,(n∈N*)9.用數(shù)學(xué)歸納法證明an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除(n∈N*)答案分析2.【分析】選D.當(dāng)n=k時，左端=1+2+3++k2，當(dāng)n=k+1時，左端=1+2+3++k2+(k2+1)+(k2+2)++(k+1)2,故當(dāng)n=k+1時，左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上(k2+1)+(k2+2)++(k+1)2,故應(yīng)選D.4.【分析】選B.∵f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-an),f(1)=1-a1=1-13,4413824f(2)=(1-a)(1-a)=f(1)×(1-,1294936f(3)=(1-a)(1-a)(1-a)=f2(1121551).23163168依據(jù)其構(gòu)造特色可得：f(n)=n2.應(yīng)選B.2n15.【分析】由于n為正奇數(shù)，且與2k-1相鄰的下一個奇數(shù)是2k+1，故從而需證n=2k+1時，命題亦真.答案：2k+1【解題指南】寫出f(k)和f(k+1)，采納作差法.【分析】∵f(k)=12+22++(2k)2,f(k+1)=12+22++(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，∴f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+(2k+2)2，即f(k+1)=f(k)+(2k+1)22+(2k+2).答案：f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)27.【證明】(1)當(dāng)n=2時，左側(cè)=11113.23412右側(cè)=1，不等式建立.假定當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時，不等式建立，即11k11＞1.kk12k2那么當(dāng)n=k+1時，111111k1k2k2k21k22k1211111111(k2)k21k22k22k1kkk1k2＞2k1111k22k1k2k1kk12k2k12.11kk21kk1∵k≥2,∴k2-k-1＞0,1+k2k1＞1.kk12這就是說，當(dāng)n=k+1時，不等式也建立.由(1)和(2)可知，原不等式對隨意大于1的正整數(shù)n都建立.【變式訓(xùn)練】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1113n132n22n122

(n∈N*).【證明】①當(dāng)n=1時，左側(cè)＝1，右側(cè)＝1，左側(cè)≥右側(cè)，結(jié)論建立；②假定n=k時，不等式建立，即11113k.2232k22k1當(dāng)n=k+1時，111113k1,22k2k122k1k2231下邊證：3k13k1,2k1k122k11作差得3k13k1kk2＞0,22k1122k1k1k12k12k3得結(jié)論建立，即當(dāng)n＝k+1時，不等式也建立.由①和②知，不等式對全部n∈N*都建立.8.(2012·開封高二檢測)在數(shù)列{an},{bn}中，a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列，bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N),求a,a,a4與b,b,b4的值，由此猜想{a},的通項公式，并證明你*2323nn的結(jié)論.8.【解題指南】采納“歸納——猜想——證明”的思想方法.【分析】由條件得2bn=an+an+1,a2n1=bnbn+1.又a1=2,b1=4,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25,2猜想an=n(n+1),bn=(n+1).①當(dāng)n=1時，a1=2,b1=4,結(jié)論建立.②假定n=k時結(jié)論建立，即ak=k(k+1),bk=(k+1)2.那么n=k+1時，ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)［(k+1)+1］,bk+1=a2k1=(k+2)2=［(k+1)+1］2,bk∴n=k+1時，結(jié)論也建立.由①和②知，an=n(n+1),bn=(n+1)2對全部正整數(shù)都建立.【挑戰(zhàn)能力】【解題指南】本題是式子的整除問題，與正整數(shù)

n相關(guān)，用數(shù)學(xué)歸納法解決是較好的選擇

.【分析】(1)當(dāng)n=1時，左側(cè)=a2+(a+1)1=a2+a+1，可被a2+a+1整除；(2)假定n=k(k≥1，k∈N*)時，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，則當(dāng)n=k+1時，ak+1+1+(a+1)2(k+1)-1=ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1=a［ak+1+(a+1)2k-1］+(a2+a+1)(a+1)2k-1，由假定可知a［ak+1+(a+1)2k-1］能被a2+a+1整除.又(a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除，所以ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除，即n=k+1時，命題建立.*由(1)和(2)知，對全部n∈N命題都建立.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題時，重點是“湊項”，采納增項、減項、拆項和因式分解等方法.也能夠說將式子“硬提公因式”，馬上n=k時的項從n=k+1時的項中“硬提出來”，組成n=k時的項，后邊的式子相對變形，使之與n=k+1時的項同樣，從而達(dá)到利用假定的目的.一、選擇題(每題4分，共16分)1.(2011·馬鞍山高二檢測)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3++(n+3)=n3n4(n∈N*)2時，第一步考證n=1時，左側(cè)應(yīng)取的項是()(A)1(B)1+2(C)1+2+3(D)1+2+3+42.設(shè)Sk=1111，則Sk+1為()k1k2k32k1(B)S11(A)Sk+k++

11(D)S11(C)Sk+-k+-2k22k12k22k12k22k22k1某個命題與正整數(shù)n相關(guān)，假如當(dāng)n=k(k∈N*)時，命題建立，那么n=k+1時，命題也建立，即已知當(dāng)n=4時該命題不建立，那么可推得()當(dāng)n=5時命題不建立(B)當(dāng)n=5時命題建立(C)當(dāng)n=3時命題不建立(D)當(dāng)n=3時命題建立4.某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明n2n＜n1(nN*)”的過程以下：證明：(1)當(dāng)n=1時，明顯命題是正確的；(2)假定n=k時，kk1＜k1,則當(dāng)n=k+12k1k23k2＜k24k4k11所以當(dāng)n=k+1時命題是時，k1正確的，由(1)(2)可知關(guān)于(n∈N*)命題都是正確的.以上證法是錯誤的，錯誤在于()(A)從k到k+1的推理過程沒有使用歸納假定(B)歸納假定的寫法不正確從k到k+1的推理不嚴(yán)實(D)當(dāng)n=1時，考證過程不詳細(xì)二、填空題(每題4分，共8分)5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3+5n”能被6整除的過程中，當(dāng)n=k+1時，式子(k+1)3+5(k+1)應(yīng)變形為__________________________.6.在數(shù)列{an}中，a1=2,an+1an(n∈N*)，挨次計算出a2,a3,a4后，歸納猜想得出an的表3an1達(dá)式為_______________________.三、解答題(每題8分，共16分)7.求證：123222nn21nn1,(n∈N*)13512n22n18.平面上有n(n≥2)條直線，此中無兩條直線平行，也無三線共點，求證：這n條直線相互切割成n2條線段或射線.【挑戰(zhàn)能力】(10分)在1與2之間插入n個正數(shù)a1,a2,a3,,an，使這n+2個數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個正數(shù)b1,b2,b3,,bn，使這n+2個數(shù)成等差數(shù)列.記An=123nn123nnn*aaaa,B=b+b+b++b.試比較A與B的大小(n∈N)，并證明你的結(jié)論.答案分析1.【分析】選D.由所給等式可知，當(dāng)n=1時，左側(cè)應(yīng)有四項，即1+2+3+4.2.【分析】選C.∵Sk111111k11k122k2k12k2Sk1Sk1112k12k2k1Sk112k12k.2獨具【易錯提示】在由n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)變過程中，一定搞清式子的構(gòu)造，即弄清楚增添和減少的項，本題易誤選B.3.【分析】選C.判斷其逆否命題,若n=3時，該命題建立，則n=3+1=4時，命題也必定建立.4.【分析】選A.由推理過程可知，在第二步證明n=k+1的結(jié)論時，沒有使用歸納假定.【分析】(k+1)3+5(k+1)=k3+1+3k2+3k+5k+5=(k3+5k)+3k2+3k+6=(k3+5k)+3k(k+1)+6k(k+1)為偶數(shù)，∴3k(k+1)+6能被6整除.答案：(k3+5k)+3k(k+1)+66.【分析】∵a=2,ana2a12a22a3213an13a1173a21133a3119于是猜想an=2.6n5答案：an=25(n∈N*)6n11，右側(cè)=121,7.【證明】(1)當(dāng)n=1時，左側(cè)=133233∴左側(cè)=右側(cè).∴當(dāng)n=1時，等式建立.假定當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時，等式建立，即1222k2kk113352k12k122k建立,1當(dāng)n=k+1時，1222k22kk12k1k113352k12k12k12k322k12k12k3(kgk(2k3)2(k1)1)2k12k32k1k2(2k1)k1(k2)22k12k322k3k1[k11]2［2k1.1］∴當(dāng)n=k+1時，等式也建立.由(1)(2)可知，等式對隨意*n∈N都建立.8.【證明】(1)當(dāng)n=2時，兩條訂交直線相互切割成4=22條射線，命題建立.(2)假定當(dāng)n=k(k∈N*且k≥2)時，命題建立，即k條直線相互切割成k2條線段或射線.則當(dāng)n=k+1時，第k+1條直線與前k條直線有k個交點，這k個交點把第k+1條直線分紅k-1條線段和2條射線，這k個交點又把它本來所在的線段或射線分紅2段，所以線段或射線又增添了k段.加進(jìn)第k+1條直線后，共增添了k-1+2+k條線段或射線，這時有k2+k-1+2+k=(k+1)2條線段或射線，所以n=k+1時命題也建立，由(1)(2)可知，結(jié)論建立.【挑戰(zhàn)能力】獨具【解題提示】先由等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，求出An與Bn，再由特別到一般猜想An與Bn的大小，用數(shù)學(xué)歸納法證明.【分析】∵1,a1,a,a,,a,2成等比數(shù)列，23na1an=a2an-1=a3an-2==akan-k+1==1×2=2,∴A2n=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)(an-1a2)(ana1)=2n,n∴An=22.又1,b1,b2,b3,,bn,2成等差數(shù)列，∴b1+bn=1+2=3,nb1bn3n22要比較An與Bn的大小，只要比較22n92的大小.An與Bn的大小，即比較2與n94當(dāng)n=1,2,3,6時，簡單計算出n22＜n,4當(dāng)n=7時，27=128，9×72=441,4128＞441,∴2n＞9n2.44當(dāng)n=8時，28=256,9×82=144,4256＞144,∴2n＞9n2.4猜想：當(dāng)n≥7時，有2n＞94

2n.以下用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：①當(dāng)n=7時，已考證猜想正確.②假定n=k(k≥7)時猜想正確，即2k＞9k2.4那么n=k+1時，2k+1=2·2k＞2·9k2=9·2k2,44又當(dāng)k≥7時，2k2-(k+1)2=k2-2k-1=(k-1)2-2＞0,2k+1＞9(k+1)2.4即當(dāng)n=k+1時，猜想也正確.由①②知，對全部n≥7(n∈N*)，都有2n＞9n2,4即A2n＞B2n，也即An＞Bn.綜上，當(dāng)1≤n≤6(n∈N*)時,An＜Bn;當(dāng)n≥7(n∈N*)時，An＞Bn.高考題型歸納：題型1.證明朝數(shù)恒等式例1.歸納法證明下述等式問題：1(n212)2(n222)n(n2n2)1n2(n1)(n1).41nn1n5練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明1425Lnn33題型2.證明不等式例2.用