【教學】《周期變化》示范教學北師大新課標

周期變化導入新課★資源名稱：【情景演示】生活中的周期性現(xiàn)象★使用說明：本資源通過生活中有關周期現(xiàn)象的展示，激發(fā)學生學習的興趣．也體現(xiàn)數(shù)學來源于生活，又服務于生活．本資源適合于三角函數(shù)有關周期性講解的輔助展示，通過自然世界中實例的演示，使學生更加形象生動的了解知識與生活的聯(lián)系，為新知識的學習做好鋪墊．注：此圖片為“視頻”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．導入新課問題1許多天體的運行都有著周期性的規(guī)律．太陽系中的八大行星——水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星都是按照一定的周期做自轉和繞太陽的公轉．除了上述周期現(xiàn)象外，你還發(fā)現(xiàn)了生活中哪些周期現(xiàn)象？表上的時針、分針、秒針的運行等新知探究問題2高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號．設x∈R，用［x］表示不超過x的最大整數(shù)，y＝［x］也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：［－3.5］＝－4，［2.1］＝2．畫出函數(shù)f（x）＝［x＋1］－x的圖像，并判斷它是否是周期變化的．f（x）＝［x＋1］－x＝由圖可知f（x）＝［x＋1］－x是周期變化的．新知探究★資源名稱：【數(shù)學探究】討論函數(shù)f（x）＝（－1）[x]的圖象和性質(zhì)★使用說明：本資源探索函數(shù)f（x）＝（－1）[x]的圖象和性質(zhì)．通過交互式動畫的方式，運用了本資源，可以吸引學生的學習興趣，增加教學效果，提高教學效率．本資源適用于函數(shù)周期性的教學，供教師備課和授課使用．注：此圖片為“動畫”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．★資源名稱：【數(shù)學探究】討論函數(shù)f（x）＝x－［x］的圖象和性質(zhì)★使用說明：本資源探索函數(shù)f（x）＝x－［x］的圖象和性質(zhì)．通過交互式動畫的方式，運用了本資源，可以吸引學生的學習興趣，增加教學效果，提高教學效率．本資源適用于函數(shù)周期性的教學，供教師備課和授課使用．注：此圖片為“動畫”縮略圖，如需使用資源，請于資源庫調(diào)用．新知探究周期函數(shù)一般地，對于函數(shù)y＝f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使得對任意的x∈D，都有x＋T∈D且滿足f（x＋T）＝f（x），那么函數(shù)y＝f（x）稱作周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱為這個函數(shù)的周期．如果在周期函數(shù)y＝f（x）的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就稱為函數(shù)y＝f（x）的最小正周期．新知探究追問1：為什么規(guī)定T非零？（T若為零，則任意函數(shù)都是周期函數(shù)．）追問2：常數(shù)函數(shù)f（x）＝c，x∈R是周期函數(shù)嗎？其周期是什么？（是周期函數(shù)，其周期是任意非零實數(shù)．）若為零，則任意函數(shù)都是周期函數(shù)．是周期函數(shù)，其周期是任意非零實數(shù)．新知探究問題3在第一冊我們學過奇函數(shù)、偶函數(shù)，由此推出函數(shù)的對稱性，下面我們探討函數(shù)的周期性有什么常用的結論．若存在非零常數(shù)a，使函數(shù)f（x）在定義域上滿足：f（x＋a）＝－f（x），則f（x）是周期函數(shù)嗎？若是，其周期是什么？由已知得，f（x＋2a）＝－f（x＋a）＝－［－f（x）］＝f（x），根據(jù)周期函數(shù)的定義，f（x）是以2a為一個周期的周期函數(shù)．新知探究追問1：若存在非零常數(shù)a，使函數(shù)f（x）在定義域上滿足：f（x＋a）＝

，則f（x）是周期函數(shù)嗎？若是，其周期是什么？根據(jù)周期函數(shù)的定義，f（x）是以2a為一個周期的周期函數(shù)．由已知得，f（x＋2a）＝

＝f（x），新知探究追問2：我們知道若函數(shù)y＝f（x）滿足：（1）f（x＋2a）＝f（－x），函數(shù)y＝f（x）關于x＝a對稱；（2）f（x＋2a）＝－f（－x），函數(shù)y＝f（x）關于點（a，0）對稱．你能根據(jù)周期的定義，說出函數(shù)的周期性與對稱性的區(qū)別嗎？函數(shù)具有周期性滿足f（x＋2a）＝±f（x），用語言表示為：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”．若f（x＋2a）＝±f（－x），函數(shù)f（x）具有對稱性，新知探究周期函數(shù)除常見的定義式f（x＋T）＝f（x）外，還有如下四種形式：以上四種形式的函數(shù)都是以2a為周期的周期函數(shù)．f（x＋a）＝－f（x）；f（x－a）＝f（x＋a）．f（x＋a）＝

；f（x－a）＝－

；初步應用例1

（1）下列變化中不是周期現(xiàn)象的是（）（2）因為1小時＝60分鐘＝12×5分鐘，且水車5分鐘轉一圈，所以1小時內(nèi)水車轉12圈．又因為水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升，所以每轉一圈，最多盛水16×10＝160（升），所以水車1小時內(nèi)最多盛水160×12＝1920（升）．A．“春去春又回”B．鐘表的分針每小時轉一圈C．天干地支表示年、月、日的時間順序D．某交通路口每次綠燈通過的車輛數(shù)（2）水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升，假設水車5分鐘轉一圈，計算1小時內(nèi)最多盛水多少升．D初步應用例2

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x＋1）＝

，當x∈（0，1］時，f（x）＝2x，則f（log29）等于___________．可得f（x）是最小正周期為2的周期函數(shù)，∵8＜9＜16，2＞1，解析：∵f（x＋1）＝

∴f（x＋2）＝

＝f（x），∴l(xiāng)og28＜log29＜log216，即log29∈（3，4），因此f（log29）＝f（log29－2）＝初步應用例2

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x＋1）＝

，當x∈（0，1］時，f（x）＝2x，則f（log29）等于___________．∵所以而初步應用例3

設f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函數(shù)，f（x＋2）＝－f（x），當0≤x≤1時，f（x）＝x．（1）求f（π）的值；（2）當－4≤x≤4時，求f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積；（3）寫出（－∞，＋∞）內(nèi)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增（或減）區(qū)間．解答：（1）由f（x＋2）＝－f（x），得f（x＋4）＝－f（x＋2）＝－［－f（x）］＝f（x），所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，∴f（π）＝f（－1×4＋π）＝f（π－4）＝－f（4－π）＝－（4－π）＝π－4．初步應用例3

設f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函數(shù)，f（x＋2）＝－f（x），當0≤x≤1時，f（x）＝x．（1）求f（π）的值；（2）當－4≤x≤4時，求f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積；（3）寫出（－∞，＋∞）內(nèi)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增（或減）區(qū)間．（2）由f（x）是奇函數(shù)與f（x＋2）＝－f（x），得f［（x－1）＋2］＝－f（x－1）＝f（1－x），即f（1＋x）＝f（1－x）．故知函數(shù)y＝f（x）的圖象關于直線x＝1對稱．初步應用例3

設f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函數(shù)，f（x＋2）＝－f（x），當0≤x≤1時，f（x）＝x．（1）求f（π）的值；（2）當－4≤x≤4時，求f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積；（3）寫出（－∞，＋∞）內(nèi)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增（或減）區(qū)間．又0≤x≤1時，f（x）＝x，且f（x）的圖象關于原點成中心對稱，則f（x）的圖象如圖所示．當－4≤x≤4時，f（x）的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×（×2×1）＝4．初步應用例3

設f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函數(shù)，f（x＋2）＝－f（x），當0≤x≤1時，f（x）＝x．（1）求f（π）的值；（2）當－4≤x≤4時，求f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積；（3）寫出（－∞，＋∞）內(nèi)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增（或減）區(qū)間．（3）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為［4k－1，4k＋1］（k∈Z），單調(diào)遞減區(qū)間為［4k＋1，4k＋3］（k∈Z）．練習練習：教科書第3頁練習、A組1，2．歸納小結（2）周期函數(shù)定義中的關鍵詞是什么？問題5本節(jié)課收獲了哪些知識，請你從以下幾方面總結：（1）以相同間隔重復出現(xiàn)的現(xiàn)象就是周期變化；（2）存在、非零常數(shù)、對任意的x∈D，都有x＋T∈D、f（x＋T）＝f（x）；（3）不是，周期函數(shù)的周期不止一個．不一定．（1）什么是周期變化？（3）周期函數(shù)的周期是唯一的嗎？每一個周期函數(shù)都有最小正周期嗎？（4）通過本節(jié)課的學習，你還收獲了哪些研究經(jīng)驗？作業(yè)布置作業(yè)：教科書第4頁練習A3B1．1目標檢測C把

化成小數(shù)，小數(shù)點后第20位是（）A．1B．2C．4D．8解析：＝0.142857，小數(shù)點后“142857”呈周期性變化，且周期為6．∵20＝3×6＋2，∴第20位為4．2目標檢測解析：由題意，f（x）為周期函數(shù)且周期為4，∴f（－2）＝f（－2＋4）＝f（2），又f（－2）＝－f（2），則f（2）＝－f（2），所以f（2）＝0．A已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x＋4）＝f（x），則f（2）＝（）A．0B．1C．2D．33目標檢測某班有48名學生，每天安排4名同學進行衛(wèi)生值日，按一周上五天課，一學期二十周計算，該班每位同學一學期值日次數(shù)是_____________．解析：共有48名學生，每天安排4名，則12個上課日就輪完一遍．一學期有5×20＝100（個）上課日，而12×8＝96（個）上課日，所以一個學期內(nèi)該班每位同學至少值日8次，有部分同學要值日9次．8次或9次