基于MATLAB(矩陣實驗室)的倒立擺控制系統(tǒng)仿真

基于MATLAB的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 基于MATLAB（矩陣實驗室)的倒立擺控制系統(tǒng)仿真摘要自動控制原理（包括經(jīng)典部分和現(xiàn)代部分）是電氣信息工程學院學生的一門必修專業(yè)基礎課，課程中的一些概念相對比較抽象，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性、收斂速度和抗干擾能力等。倒立擺系統(tǒng)是一個典型的非線性、強耦合、多變量和不穩(wěn)定系統(tǒng)，作為控制系統(tǒng)的被控對象，它是一個理想的教學實驗設備，許多抽象的控制概念都可以通過倒立擺直觀地表現(xiàn)出來。本文以一級倒立擺為被控對象，用經(jīng)典控制理論設計控制器（PID控制器）的設計方法和用現(xiàn)代控制理論設計控制器（極點配置）的設計方法，通過MATLAB仿真軟件的方法來實現(xiàn)。關鍵詞：一級倒立擺PID控制器極點配置

InvertedpendulumcontrollingsystemsimulationbasedontheMATLABABSTRACTAutomaticcontroltheory(includingclassicalpartsandmodernparts)isacompulsoryspecializedfundamentalcourseofthestudentsmajoredinelectricalengineering.Someofthecurriculumconceptisrelativelyabstract,suchasthestability,controllability,convergencerateandtheanti-interferenceabilityofsystem.Invertedpendulumsystemisatypicalnonlinear,strongcoupling,multivariableandunstablesystem.Itisanidealteachingexperimentalequipmentasacontrolledobject,bywhichmanyabstractcontrolconceptscanbecameoutdirectly.Thispaperchosefirst-orderinvertedpendulumasthecontrolledobject.First,thePIDcontrollerwasdesignedwithclassicalcontroltheory.Thenpole-assignmentmethodwasdiscussedwithmoderncontroltheory.Atlast,theeffectnessofthetwomethodswasverifiedbyMATLABsimulationsoftware.KEYWORDS:First-orderinvertedpendulumPIDcontrollerpole-assignment目錄摘要 IABSTRACT II1緒論 11.1倒立擺的控制方法 11.2MATLAB/Simulink簡介 11.3主要內容 12一級倒立擺 12.1實驗設備簡介 13直線一級倒立擺的數(shù)學模型 13.1直線一級倒立擺數(shù)學模型的推導 13.1.1微分方程模型 13.1.2傳遞函數(shù)模型 13.1.3狀態(tài)空間數(shù)學模型 13.2系統(tǒng)階躍響應分析 14直線一級倒立擺PID控制器設計 14.1PID控制分析 14.2PID控制參數(shù)設定及MATLAB仿真 15直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置控制器設計 15.1狀態(tài)空間分析 15.2極點配置及MATLAB仿真 16總結 1致謝 1參考文獻 11緒論倒立擺起源于20世紀50年代，是一個典型的非線性、高階次、多變量、強耦合、不穩(wěn)定的動態(tài)系統(tǒng)，能有效地反映諸如穩(wěn)定性、魯棒性等許多控制中的關鍵問題，是檢驗各種控制理論的理想模型。很多被控對象都可以抽象成為倒立擺模型，在很多領域有著廣泛的應用，如機器人，航天領域等。它不但是驗證現(xiàn)代控制理論方法的典型實驗裝置，而且其控制方法和思路對處理一般工業(yè)過程亦有廣泛的用途。倒立擺常規(guī)的控制算法如LQR在倒立擺的控制中已被廣泛采用，模糊控制作為一種智能控制的方法，在一定程度上模仿了人的控制，它不需要有準確的控制對象模型，作為一種非線性智能控制方法，已在多變量、時變、非線性系統(tǒng)的控制中發(fā)揮了重要的作用。人們已利用多種控制策略實現(xiàn)了一至四級倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。對于倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，具有重要的理論意義和重要的工程實踐意義。事實上,人們一直在試圖尋找不同的控制方法來實現(xiàn)對倒立擺的控制,以便檢查或說明該方法對嚴重非線性和絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制能力。1.1倒立擺的控制方法（1）線性理論控制方法將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點附近的線性化模型，然后再利用各種線性系統(tǒng)控制器設計方法，得到期望的控制器。PID控制、狀態(tài)反饋控制、LQR控制算法是其典型代表。這類方法對于一、二級倒立擺（線性化誤差較小、模型較簡單）控制時，可以解決常規(guī)倒立擺的穩(wěn)定控制問題。但對于像非線性較強、模型較復雜的多變量系統(tǒng)（三、四級以及多級倒立擺）線性系統(tǒng)設計方法的局限性就十分明顯，這就要求采用更有效的方法來進行合理的設計。（2）預測控制和變結構控制方法由于線性控制理論與倒立擺系統(tǒng)多變量、非線性之間的矛盾，使人們意識到針對多變量、非線性對象，采用具有非線性特性的多變量控制解決多變量、非線性的必由之路。人們先后開展了預測控制、變結構控制和自適應控制的研究。（3）智能控制方法在倒立擺系統(tǒng)中用到的智能控制方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡控制、模糊控制、仿人智能控制、擬人智能控制和云模型控制等。（4）魯棒控制方法雖然，目前對倒立擺系統(tǒng)的控制策略有如此之多，而且有許多控制策略都對倒立擺進行了穩(wěn)定控制，但大多數(shù)都沒考慮倒立擺系統(tǒng)本身的大量不確定因素和外界干擾，目前對不確定倒立擺系統(tǒng)的魯棒控制問題進行了研究并取得了一系列成果。1.2MATLAB/Simulink簡介在科學研究和工程應用中，為了克服一般語言對大量的數(shù)學運算，尤其當涉及到矩陣運算時編制程序復雜、調試麻煩等困難，美國MathWorks軟件公司于1967年構思并開發(fā)了矩陣實驗室（MatrixLaboratory,MATLAB）軟件包。經(jīng)過不斷更新和擴充，該公司于1984年推出MATLAB的正式版，特別是1992年推出具有跨時代意義的MATLAB4.0版，并于1993年推出其微機版，以配合當時日益流行的MicrosoftWindows操作系統(tǒng)。截止到2005年，該公司先后推出了MATLAB4.x、MATLAB6.x，以及MATLAB7.x等版本，該軟件的應用范圍越來越廣。MATLAB以它的“語言”化的數(shù)值計算，強大的矩陣處理及繪圖功能，以及靈活的可擴充性和產業(yè)化的開發(fā)思路，很快就為自動控制界的研究人員所矚目。目前，在自動控制、圖像處理、語言處理、信號分析、振動原理、優(yōu)化設計、時序分析和系統(tǒng)建模等領域廣泛應用。1990年,MathWorks軟件公司為MATLAB提供了新的控制系統(tǒng)圖形化模型輸入與仿真工具Simulink。Simulink是MATLAB最重要的組件之一，它提供一個動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成環(huán)境。在該環(huán)境中，無需大量書寫程序，而只需要通過簡單直觀的鼠標操作，就可構造出復雜的系統(tǒng)。Simulink具有適應面廣、結構和流程清晰及仿真精細、貼近實際、效率高、靈活等優(yōu)點，并基于以上優(yōu)點Simulink已被廣泛應用于控制理論和數(shù)字信號處理的復雜仿真和設計。同時有大量的第三方軟件和硬件可應用于或被要求應用于Simulink。Simulink是MATLAB中的一種可視化仿真工具，是一種基于MATLAB的框圖設計環(huán)境，是實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個軟件包，被廣泛應用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號處理的建模和仿真中。Simulink可以用連續(xù)采樣時間、離散采樣時間或兩種混合的采樣時間進行建模，它也支持多速率系統(tǒng)，也就是系統(tǒng)中的不同部分具有不同的采樣速率。為了創(chuàng)建動態(tài)系統(tǒng)模型，Simulink提供了一個建立模型方塊圖的圖形用戶接口(GUI)，這個創(chuàng)建過程只需單擊和拖動鼠標操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶可以立即看到系統(tǒng)的仿真結果。Simulink®是用于動態(tài)系統(tǒng)和嵌入式系統(tǒng)的多領域仿真和基于模型的設計工具。對各種時變系統(tǒng)，包括通訊、控制、信號處理、視頻處理和圖像處理系統(tǒng)，Simulink提供了交互式圖形化環(huán)境和可定制模塊庫來對其進行設計、仿真、執(zhí)行和測試。構架在Simulink基礎之上的其他產品擴展了Simulink多領域建模功能，也提供了用于設計、執(zhí)行、驗證和確認任務的相應工具。Simulink與MATLAB®緊密集成，可以直接訪問MATLAB大量的工具來進行算法研發(fā)、仿真的分析和可視化、批處理腳本的創(chuàng)建、建模環(huán)境的定制以及信號參數(shù)和測試數(shù)據(jù)的定義。另外，模型輸入與仿真環(huán)境Simulink更使MATLAB為控制系統(tǒng)的仿真與在CAD中的應用開辟了嶄新的局面，使MATLAB成為目前國際上最流行的控制系統(tǒng)計算機輔助設計的軟件工具。MATLAB不僅流行于控制界，在生物醫(yī)學工程、語言處理、圖像信號處理、雷達工程、信號分析，以及計算機技術等行業(yè)中也都廣泛應用。1.3主要內容本文以一級倒立擺為被控對象，用古典控制理論設計控制器（PID控制器）的設計方法和用現(xiàn)代控制理論設計控制器（極點配置）的設計方法，包括三方面的內容：（1）建立直線一級倒立擺的線性化數(shù)學模型；（2）倒立擺系統(tǒng)的PID控制器設計、MATLAB仿真；（3）倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點配置控制器設計、MATLAB仿真。2一級倒立擺2.1實驗設備簡介一級倒立擺系統(tǒng)的結構示意圖如圖2-1所示。圖2-1一階倒立擺結構示意圖系統(tǒng)組成框圖如圖2-2所示。圖2-2一級倒立擺系統(tǒng)組成框圖系統(tǒng)是由計算機、運動控制卡、伺服機構、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤1將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅動器和運動控制卡，擺桿的角度、角速度信號由光電碼盤2反饋給運動控制卡。計算機從運動控制卡中讀取實時數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車運動方向、移動速度、加速度等），并由運動控制卡來實現(xiàn)該控制決策，產生相應的控制量，使電機轉動，通過皮帶，帶動小車運動，保持擺桿平衡。3直線一級倒立擺的數(shù)學模型3.1直線一級倒立擺數(shù)學模型的推導采用牛頓－歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型。在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質桿組成的系統(tǒng)，如圖3-1所示。圖3-1直線一級倒立擺模型本系統(tǒng)內部各相關參數(shù)定義如下：小車質量擺桿質量小車摩擦系數(shù)擺桿轉動軸心到桿質心的長度擺桿慣量加在小車上的力小車位置擺桿與垂直向上方向的夾角擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖3-2是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，和為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖，圖示方向為矢量正方向。圖3-2小車及擺桿受力分析應用Newton方法來建立系統(tǒng)的動力學方程過程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：(3-1)由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：(3-2)即：(3-3)把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程：(3-4)為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程：(3-5)即： (3-6)力矩平衡方程如下：(3-7)注意：此方程中力矩的方向，由于，因此等式前面有負號。合并這兩個方程，約去和，得到第二個運動方程：(3-8)3.1.1微分方程模型設，當擺桿與垂直向上方向之間的夾角與1（單位是弧度）相比很小，即時，則可以進行近似處理：，，。為了與控制理論的表達習慣相統(tǒng)一，即一般表示控制量，用來代表被控對象的輸入力，線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學模型的微分方程表達式：(3-9)3.1.2傳遞函數(shù)模型對方程組（2-9）進行拉普拉斯變換，得到:(3-10)注意：推導傳遞函數(shù)時假設初始條件為0。由于輸出為角度，求解方程組（3-10）的第一個方程，可以得到:(3-11)或:(3-12)如果令，則有：(3-13)把上式代入方程組（3-10）的第二個方程，得到:(3-14)整理后得到以輸入力為輸入量，以擺桿擺角為輸出量的傳遞函數(shù)：(3-15)其中:3.1.3狀態(tài)空間數(shù)學模型由現(xiàn)代控制理論原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式：(3-16)方程組(3-9)對解代數(shù)方程，得到如下解：(3-17)整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：(3-18)由(3-9)的第一個方程為：對于質量均勻分布的擺桿有：于是可以得到：化簡得到：(3-19)設，，則有：(3-20)實際系統(tǒng)參數(shù)如下：小車質量 1.096Kg擺桿質量 0.109Kg小車摩擦系數(shù) 0.1N/m/sec擺桿轉動軸心到桿質心的長度0.25m擺桿慣量 0.0034kg*m*m把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：(3-21)擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：(3-22)擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：(3-23)以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：(3-24)以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：(3-25)需要說明的是，在本文的控制器設計和程序中，采用的都是以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，如果需要采用力矩控制的方法，可以參考以上把外界作用力作為輸入的各式。3.2系統(tǒng)階躍響應分析上面已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，先對其進行階躍響應分析，在MATLAB中鍵入以下命令：clear;A=[0100;0000;0001;0029.40];B=[0103]';C=[1000;0100];D=[00]';step(A,B,C,D);得到如下計算結果：圖3-3直線一級倒立擺單位階躍響應仿真可以看出，在單位階躍響應作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。倒立擺狀態(tài)方程及開環(huán)階躍響應也可以采用編寫M文件的仿真，仿真程序如下：M=1.906;m=0.109;b=0.1;I=0.0034;g=9.8;l=0.25;p=I*(M+m)+M*m*l^2;A=[0100;0-(I+m*l^2)*b/p(m^2*g*l^2)/p0;0001;0-(m*l*b)/pm*g*l*(M+m)/p0]B=[0;(I+m*l^2)/p;0;m*l/p]C=[1000;0010]D=[0;0];T=0:0.05:5;U=0.2*ones(size(T));[Y,X]=lsim(A,B,C,D,U,T);plot(T,Y);axis([020100]);grid;運行后得到如圖的仿真結果：圖3-4倒立擺狀態(tài)方程及開環(huán)階躍響應仿真結果倒立擺傳遞函數(shù)、開環(huán)極點及開環(huán)脈沖響應也可采用編寫M文件的仿真，仿真程序如下：M=1.906;m=0.109;b=0.1;I=0.0034;g=9.8;l=0.25;q=(M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2;num=[m*l/q00];den=[1b*(I+m*l^2)/q-(M+m)*m*g*l/q-b*m*g*l/q0];[r,p,k]=residue(num,den);s=p;t=0:0.005:5;impulse(num,den,t);axis([01060]);grid;運行后得到如圖的仿真結果：圖3-5倒立擺傳遞函數(shù)、開環(huán)極點及開環(huán)脈沖響應仿真結果4直線一級倒立擺PID控制器設計4.1PID控制分析在模擬控制系統(tǒng)中，控制器最常用的控制規(guī)律是PID控制。常規(guī)PID控制系統(tǒng)原理框圖如圖4-1所示。系統(tǒng)由模擬PID控制器KD(S)和被控對象G(S)組成。圖4-1常規(guī)PID控制系統(tǒng)圖PID控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值與實際輸出值構成控制偏差：將偏差的比例(P)、積分(I)和微分(D)通過線性組合構成控制量，對被控對象進行控制，故稱PID控制器。其控制規(guī)律為： 或寫成傳遞函數(shù)的形式： 式中：——比例系數(shù)；——積分時間常數(shù)；——微分時間常數(shù)。在控制系統(tǒng)設計和仿真中，也將傳遞函數(shù)寫成： 式中：——比例系數(shù)；——積分系數(shù)；——微分系數(shù)。簡單說來，PID控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下：（1）比例環(huán)節(jié)：成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號，偏差一旦產生，控制器立即產生控制作用，以減少偏差。（2）積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強弱取決于積分時間常數(shù)，越大，積分作用越弱，反之則越強。（3）微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號的變化趨勢（變化速率），并能在偏差信號值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調節(jié)時間。PID校正兼顧了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能的改善，因此在要求較多的場合，較多采用PID校正。由于PID校正使系統(tǒng)在低頻段相位后移，而在中頻段相位前移，因此又稱它為相位滯后超前校正。這個控制問題和我們以前遇到的標準控制問題有些不同，在這里輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)施加一個擾動，觀察擺桿的響應。系統(tǒng)框圖如圖4-2所示。圖4-2直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)圖圖中是控制器傳遞函數(shù)，是被控對象傳遞函數(shù)?？紤]到輸入，結構圖可以很容易地變換成如圖4-3的系統(tǒng)簡化圖。圖4-3直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)簡化圖該系統(tǒng)的輸出為：其中：——被控對象傳遞函數(shù)的分子項——被控對象傳遞函數(shù)的分母項——PID控制器傳遞函數(shù)的分子項 ——PID控制器傳遞函數(shù)的分母項 通過分析上式就可以得到系統(tǒng)的各項性能。由式子(3-13)可以得到擺桿角度和小車加速度的傳遞函數(shù)：PID控制器的傳遞函數(shù)為：只需調節(jié)PID控制器的參數(shù)，就可以得到滿意的控制效果。前面的討論只考慮了擺桿角度，那么，在控制的過程中，小車位置如何變化呢？小車位置輸出為：通過對控制量雙重積分即可以得到小車位置。4.2PID控制參數(shù)設定及MATLAB仿真對于PID控制參數(shù)，我們采用以下的方法進行設定。由實際系統(tǒng)的物理模型：在Simulink中建立如圖4-4所示的直線一級倒立擺模型：圖4-4直線一級倒立擺PID控制MATLAB仿真模型先設置PID控制器為P控制器，令，，，得到圖4-5仿真結果。圖4-5P控制仿真結果圖（）從圖4-5中可以看出，控制曲線不收斂，因此增大控制量，令，，，得到如圖4-6仿真結果。圖4-6P控制仿真結果圖（）從圖4-6中可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)持續(xù)振蕩，周期約為0.7s。為消除系統(tǒng)的振蕩，增加微分控制參數(shù)，令：，，得到圖4-7仿真結果。圖4-7PD控制仿真結果圖（，）從圖4-7中可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定時間過長，大約為4秒，且在兩個振蕩周期后才能穩(wěn)定，因此再增加微分控制參數(shù)，令：，，，仿真得到圖4-8仿真結果。圖4-8PD控制（，）從圖4-8可以看出，系統(tǒng)在1.5秒后達到平衡，但是存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差。為消除穩(wěn)態(tài)誤差，我們增加積分參數(shù)，令：，，，得到圖4-9仿真結果。圖4-9PID控制（，，）從上面仿真結果可以看出，系統(tǒng)可以較好的穩(wěn)定，但由于積分因素的影響，穩(wěn)定時間明顯增大。雙擊“Scope1”，得到小車的位置輸出曲線如圖4-10所示。圖4-10PD控制（小車位置曲線）可以看出，由于PID控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置，所以小車會往一個方向運動。5直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置控制器設計經(jīng)典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出系統(tǒng)，現(xiàn)代控制理論將其概念擴展到多輸入多輸出系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制理論是一種“時域法”，它引入了“狀態(tài)”的概念，用“狀態(tài)變量”及“狀態(tài)方程”描述系統(tǒng)，從而理論上解決了系統(tǒng)的可控性、可觀測性及許多復雜問題的控制問題。極點配置法通過設計狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標。由經(jīng)典控制理論可知，閉環(huán)系統(tǒng)性能與閉環(huán)極點密切相關，用調整開環(huán)增益及引入串并、聯(lián)校正裝置來配置閉環(huán)極點，以改善系統(tǒng)性能。但由于經(jīng)典控制是用傳遞函數(shù)來描述的，它只能用輸出量作為反饋量。而現(xiàn)代控制理論由于采用系統(tǒng)內部的狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)的物理特性，因而除了輸出反饋外，還經(jīng)常采用狀態(tài)反饋，因為它能提供更多的校正信息和可供選擇的自由度，因而使系統(tǒng)容易獲得更為優(yōu)異的性能。利用輸出反饋的極點配置方法，雖然可以實現(xiàn)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點配置，卻可能出現(xiàn)不穩(wěn)定極點的對消現(xiàn)象。當采用狀態(tài)空間表達式來描述系統(tǒng)時，由于狀態(tài)向量反映系統(tǒng)的所有內外部信息，如果控制器采用狀態(tài)向量反饋實現(xiàn)系統(tǒng)的極點配置，就可以避免上述問題，而且控制器是常數(shù)矩陣。狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應的反饋系數(shù)，然后又反饋到輸入端與參考輸入相減形成控制規(guī)律，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。極點配置是通過選擇一個狀態(tài)反饋矩陣，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點處于期望的位置上。在狀態(tài)空間中，極點任意配置的充分必要條件是系統(tǒng)必須是完全狀態(tài)可控的。極點配置方法如下所述：如果系統(tǒng)是完全可控的，那么可選擇期望設置的極點，然后以這些極點作為閉環(huán)極點來設計系統(tǒng)，利用狀態(tài)觀測器反饋全部或部分狀態(tài)變量，使所有的閉環(huán)極點落在各期望位置上，以滿足系統(tǒng)的性能要求。這種設置期望閉環(huán)極點的方法就稱為極點配置法。5.1狀態(tài)空間分析狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)原理圖如圖5-1所示。圖5-1狀態(tài)反饋閉環(huán)控制原理圖狀態(tài)方程為：式中：為狀態(tài)向量（維），為控制向量（純量），為維常數(shù)矩陣，為維常數(shù)矩陣。選擇控制信號：求解上式，得到閉環(huán)系統(tǒng)極點為A-BK的特征值?？刂葡到y(tǒng)的任務，就是選擇狀態(tài)反饋向量K使閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在要求位置，或者為實數(shù)，或者實部為負的共軛復數(shù)。方程解為：可以看出，如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，選擇適當，對于任意的初始狀態(tài)，當趨于無窮時，都可以使趨于0。極點配置的設計步驟：(1)檢驗系統(tǒng)的可控性條件。(2)從矩陣的特征多項式來確定的值。(3)確定使狀態(tài)方程變?yōu)榭煽貥藴市偷淖儞Q矩陣：其中為可控性矩陣，(4)利用所期望的特征值，寫出期望的多項式并確定的值。(5)需要的狀態(tài)反饋增益矩陣由以下方程確定：5.2極點配置及MATLAB仿真前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺的狀態(tài)空間模型，以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為：于是有：，，，對于如上所述的系統(tǒng)，設計控制器，要求系統(tǒng)具有較短的調整時間（約3秒）和合適的阻尼（阻尼比）。極點配置步驟如下：檢驗系統(tǒng)可控性經(jīng)計算，矩陣M的逆存在，即rankM=4，故系統(tǒng)可控。(2)計算特征值根據(jù)要求，并留有一定的裕量（設調整時間為2秒），我們選取期望的閉環(huán)極點，其中：其中，是一對具有的主導閉環(huán)極點，位于主導閉環(huán)極點左邊，因此其影響較小，因此期望的特征方程為：因此可以得到：由系統(tǒng)的特征方程：因此有：系統(tǒng)的反饋增益矩陣為：(3)確定使狀態(tài)方程變?yōu)榭煽貥藴市偷淖儞Q矩陣：式中：于是可以得到：(4)狀態(tài)反饋增益矩陣為：得到控制量為：在MATLAB的Simulink環(huán)境下，可以搭建如圖5-2所示的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)仿真模型。圖5-2直線一級倒立擺狀態(tài)反饋控制MATLAB仿真模型在模塊中設置A、B、C、D的值，如圖5-3所示。圖5-3A、B、C、D參數(shù)設置依次打開Gain、Gain1、Gain2、Gain3模塊設置K1、K2、K3、K4的值。運行仿真，得到結果見圖5-4。圖5-4直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置MATLAB/Simulink仿真結果6總結直線一級倒立擺系統(tǒng)的設計，使我掌握了用Matlab/simulink來進行系統(tǒng)設計仿真的方法，并體會到了用Matlab/simulink進行控制器設計的方便與快捷。此外對于控制系統(tǒng)的設計有了初步的認識，對自動控制理論的相關知識有了更深入的理解，學會一般系統(tǒng)的建模方法和控制器設計方法。在PID參數(shù)整定時通過仿真可以很好的觀察到PID控制器參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響，對比例，積分，微分對控制系統(tǒng)的作用有了更直觀的認識，學會了PID參數(shù)的整定方法,并學會用狀態(tài)空間極點配置法設計直線倒立擺系統(tǒng)的控制器。致謝

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