MBA數(shù)學基礎主講

MBA數(shù)學基礎主講數(shù)學基礎2009/092第一部分：微積分（一）函數(shù)極限連續(xù)

函數(shù)概念

數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念

極限的四則運算

無窮小量和無窮大量的概念

函數(shù)連續(xù)性一、一元函數(shù)微分學☆

函數(shù)極限連續(xù)☆

導數(shù)與微分2009/0931．函數(shù)（1）定義式：y=f(x)

要點：(ⅰ)定義域(ⅱ)值域(ⅲ)函數(shù)關系定義域：①使抽象表達式在實數(shù)R范圍內(nèi)有計算意義 ②自變量與函數(shù)應符合實際問題的取值要求（2）表示方法：(ⅰ)公式法(ⅱ)圖像法(ⅲ)列表法2009/094（3）函數(shù)的分類：

(ⅰ)基本初等函數(shù)：

①常數(shù)y=c

(c為常數(shù))②冪函數(shù)y=x

（為任意實數(shù)）

③指數(shù)y=ax（a>0,a≠1）④對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0,a≠1）

※熟悉基本初等函數(shù)特性、圖像形態(tài)。

(ⅱ)分段函數(shù)：(ⅲ)復合函數(shù)： (ⅳ)反函數(shù)：(ⅴ)隱函數(shù)：(ⅵ)初等函數(shù)：2009/095冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)2009/096（4）函數(shù)基本性質：

(ⅰ)奇偶性 (ⅱ)周期性(ⅲ)單調(diào)性(ⅳ)有界性注意所指區(qū)間，圖形對稱性質（5）區(qū)間：

開區(qū)間；閉區(qū)間；半開區(qū)間；無窮區(qū)間；（6）鄰域：

鄰域中心；鄰域半徑；空（去）心鄰域2009/097例：若等腰三角形周長為20，底邊長為y，一腰長為x，求y與x之間的函數(shù)關系，并確定定義域。例：若f(x)定義域為(0，2)，求f(x2)定義域。2009/098例：判斷函數(shù)y=x3的單調(diào)性例：討論y=1+1/x2的有界性。例：f(x)是偶函數(shù)，f(x-2)是奇函數(shù)，且

f(0)=1998，求f(2008)。例：設與g(x)圖形關于直線 y=x對稱，求g(x)。2009/09932)2()ln1()1(2xeyxy=+=例：找函數(shù)復合關系。2009/0910復習思考題：1．函數(shù)的概念是什么？有哪些表示方法？2．怎樣確定函數(shù)定義域？3．什么樣函數(shù)被稱為基本初等函數(shù)？初等函數(shù)是如何形成的？4．函數(shù)的主要性質有哪些？5．區(qū)間有哪些表示方法？怎樣理解鄰域概念？2009/09112．數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念（1）數(shù)列：依一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。{an}：a1,a2,······,an···

an——通項，an=f(n)——通項公式※研究數(shù)的變化規(guī)律等差數(shù)列：當n≥2，an－an-1=d，sn=(a1+an)n/2等比數(shù)列：當n≥2，an/an-1=q，sn=a1(1-qn)/(1-q)（2）數(shù)列極限：當n→∞，an→a，則稱數(shù)列{an}以常數(shù)a

為極限。記為※極限唯一性：若存在，則極限值唯一。2009/0912（3）函數(shù)極限：當x→∞時的極限：若當|x|→∞時，f(x)的函數(shù)值無限趨近于A。當x→x0時的極限：若當x→x0時，f(x)的函數(shù)值無限趨近于A。記為：記為：※左右極限概念的理解：2009/0913定理：※要點理解：1．當xx0時函數(shù)f(x)的極限與在x0處是否有定義無關；2．有極限則須有x從x0左右不論以任何方式趨近時，極限都相同；3． 不總成立；4．xx0表示x無限趨近x0；5．極限未定式：2009/09142009/09153．極限四則運算法則若當x→x0（或x→∞），limf(x)=A，limg(x)=B，則（1）和差：lim[f(x)±g(x)]=A±

B，（2）積：lim[f(x)·g(x)]=A·B，（3）商：若B≠0，則lim[f(x)/

g(x)]=A/B，※重要極限：※推廣：※無理數(shù)e=2.71828······2009/0916例：2009/0917例：例：設x*，u(x)0，v(x)，且u(x)·v(x)A，那么，[1+u(x)]v(x)eA例：2009/09184．無窮小量與無窮大量（1） ，稱f(x)在x→*（x→x0或x→∞）為無窮小量。（2）當x→x0（或x→∞）時，|f(x)|無限增大，則稱f(x)當x→x0（或x→∞）時為無窮大量。 記為f(x)=∞性質：1）有限個無窮小量之和差仍是無窮小量2）有限個無窮小量之積，無窮小量與有界函數(shù)之積仍為無窮小量。3）無窮大量倒數(shù)為無窮小量2009/0919無窮小量比較設x*，(x)0，(x)0，定義※極限計算中等價無窮小量可以整體替換： 設x*，(x)

~1(x)

，(x)

~1(x)，2009/0920幾個等價無窮?。簒0，x～ex-1～ln(1+x)；(1+x)1/n

-1～x/n，n=2,3,···例※注意： ，ln(1+x)不能用x代換。2009/0921復習思考題：1．極限的概念是要揭示什么現(xiàn)象的？2．數(shù)列的極限與函數(shù)的極限有什么區(qū)別和聯(lián)系？3．極限的基本運算法則有哪些？4．什么是無窮小量與無窮大量？如何進行無窮小量比較？5．什么是未定式？如何處理未定式？2009/09225．函數(shù)連續(xù)性

函數(shù)連續(xù)與間斷的概念

連續(xù)函數(shù)函數(shù)連續(xù)：若，則稱f(x)在點x0處連續(xù)，否則稱間斷?！B續(xù)函數(shù)：若f(x)在（a,b）內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱f(x)在（a,b）上是連續(xù)函數(shù)。※ ——左右連續(xù)，判斷※間斷點分類：第一類間斷點；第二類間斷點f(x0-0)≠f(x0+0)——跳躍間斷點；

f(x0-0)=f(x0+0)≠f(x0)（或在x0無定義）——可去間斷點2009/0923閉區(qū)間上[a，b]連續(xù)函數(shù)f(x)性質：1．最值定理：必然存在最大值和最小值；2．介值定理：必然存在ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=μ位于f(a)與f(b)之間；推論：若最大值最小值分別為M、m，則對于mcM，存在ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=c；3．零值定理：若f(a)與f(b)異號，則必然存在ξ∈[a，b]，使得位于f(ξ)=0。4．連續(xù)函數(shù)的四則運算，連續(xù)函數(shù)復合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。5．若f(x)在x0處連續(xù)，則※初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)2009/0924復習思考題：1．函數(shù)在某一點處連續(xù)是怎樣定義的？2．連續(xù)函數(shù)的圖像有什么特點？3．函數(shù)間斷點的種類有哪些？怎樣定義的？4．初等函數(shù)的連續(xù)性是怎樣的？5．怎樣理解“函數(shù)連續(xù)”和“連續(xù)函數(shù)”？6．怎樣理解連續(xù)函數(shù)的性質？2009/0925（二）導數(shù)與微分

導數(shù)的概念

導數(shù)的意義

函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系

基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

導數(shù)的四則運算

復合函數(shù)的導數(shù)

二階導數(shù)的概念及計算

導數(shù)的應用

微分的概念及微分的應用2009/09261．導數(shù)的概念：函數(shù)的導數(shù)：研究函數(shù)f(x)在點x0處隨x變化快慢程度。※導函數(shù)f'(x)例：y=f(x)=x2，求f'(0)定義：設y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果存在，則稱函數(shù)在點x0處可導。并稱此極限值為f(x)在x0處的導數(shù)。記作y'|x0

或 或 其中，⊿y=f(x)－f(x0)=f(x0+⊿x)－f(x0)2009/0927左右導數(shù)：2009/0928xf(x)2009/09292．導數(shù)意義（1）幾何意義（2）物理意義（3）經(jīng)濟意義3．可導與連續(xù)關系定理：若y=f(x)在點x0處可導，則y=f(x)在點x0處連續(xù)?！蓪П剡B續(xù)，連續(xù)未必可導2009/09304．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（1）常數(shù):(c)'=0（2）冪函數(shù):(xμ)'=μxμ-1（μ為常數(shù)）（3）指數(shù)函數(shù)：(ax)'=(lna)(ax)(a>0，a≠1) (ex)'=ex

（4）對數(shù)函數(shù)：(logax)'=(a>0，a≠1) (lnx)'=

2009/09315．導數(shù)的四則運算設u=u(x)，v=v(x)可導，則（1）和差：[u±

v]'=u'±

v'

推廣：[u1±u2±···±un]'=u1'±u2'±···±un'（2）積：[u·

v]'=u'v

+u

v'

推廣：[u1·u2···un]'=u1'·u2···un+u1u2'·u3···un+···+u1·u2···un'（3）商：2009/09326．復合函數(shù)的導數(shù)設y=f((x))，若u=

(x)在x0處可導，y=f(u)在u0=(x0)處可導，則例：設y=f(x2)，求y'。2009/0933※求導數(shù)一般方法

反函數(shù)求導若y=f(x)嚴格單調(diào)、可導，y=f'(x)≠0，則其反函數(shù)x=(y)在對應區(qū)間內(nèi)也可導，且

對數(shù)求導對于y=f(x)g(x)，先取對數(shù)，再兩端求導。

隱含數(shù)求導

對于F(x,y)=0確定y是x的函數(shù)，由F'(x,y)=0解得y'。2009/09347．二階導數(shù)的概念及計算函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)的導數(shù)f''(x)，稱為f(x)的二階導數(shù)?！赏茝V至n階導數(shù)

※二階以上稱為高階導數(shù)2009/0935例：求下述函數(shù)導數(shù)2009/0936復習思考題：1．導數(shù)是怎樣定義的？有怎樣的幾何意義？2．什么是導函數(shù)？3．導數(shù)存在的必要條件及充分條件是什么？4．求函數(shù)導數(shù)可利用哪些方法？5．高階導數(shù)的概念是什么？2009/09378．導數(shù)的應用

切線方程

求極限——羅必達法則

函數(shù)的單調(diào)性及其判定

極值概念及其判定

函數(shù)圖像的凹凸性、拐點及其判定

函數(shù)的最大值和最小值2009/09381）切線方程：函數(shù)y=f(x)在點(x0，y0)的切線方程：y-y0=f'(x0)(x-x0)例：某曲線方程為 ，求曲線上對應x=1處的切線方程。2009/09392）羅必達法則例：求極限：定理：當x*時，f(x)0(或)，g(x)0(或)，有注：非此2種情形結論，定理不成立。2009/09403）單調(diào)性判定函數(shù)y=f(x)：

f'(x)>0單調(diào)增加；f'(x)<0單調(diào)減少2009/09414）極值————極大值、極小值※依駐點、導數(shù)不存在點x0鄰域內(nèi)導數(shù)符號變化判定。用一階導數(shù)判定：①f'(x<x0)>0

f'(x>x0)<0，x0為極大值點；②f'(x<x0)<0

f'(x>x0)>0，x0為極小值點用二階導數(shù)判定：①f''(x0)>0——

x0為極小值點②f''(x0)

<0——

x0為極大值點③f''(x0)=0——不能判定，改用一階導數(shù)或定義判定2009/09425）最值——最大值、最小值存在位置：極值點，邊界點6）曲線凹凸性、拐點：依二階導數(shù)符號性判定①f''(x)>0——上凹②f''(x)<0

——下凹③f''(x0)=0時，f''(x<x0)與f''(x>x0)異號，則x0為拐點?！瘮?shù)單調(diào)性、極值、凹凸性均可采用三欄列表方式討論。2009/09432009/0944例：求函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x的單調(diào)區(qū)間、極值。解：基本步驟（1）求f'(x)；（2）求駐點及無導數(shù)之點xi；（3）按xi劃分整個定義域區(qū)間；（4）列表討論：xf'(x)f(x)2009/0945求：凹凸區(qū)間及拐點步驟：(1)求f''(x)(2)求f''(x)=0或不存在之點xi(3)按xi劃分定義區(qū)間(4)列表分析xf''(x)f(x)例：求函數(shù)f(x)=x4-4x3-18x2+2x-1的凹凸性及拐點。2009/09469．微分的概念及微分的應用若y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，且

△y=f(x0+△x)－f(x0)=A△x+o(△x)其中A是與△x無關的常數(shù)，則稱y=f(x)在x0點可微，并稱A△x為f(x)在x0點的微分記作dy|x0=A△x。※由于所以dy=f'(x0)△x2009/0947※微分的幾何意義2009/0948考慮到函數(shù)y=x，dy=dx=y'△x，而y'=1所以有dx=△x因此，dy=f'(x0)dx可微與可導的關系：函數(shù)可導即可微。2009/0949微分形式不變性例： 求微分dy。2009/0950微分運算法則：四則運算：（1）d(u±v)=du±dv（2）d(uv)=udv+vdu（3）2009/0951微分應用——近似計算例：求一個薄球殼（內(nèi)半徑為5米，殼厚0.05米）體積的近似值。（v=4πr3/3

）解：△v≈dv=v'△r=4πr2dr，

dr=△r r=5米，△r=0.05米 ∴△v≈dv≈15.7立方米※另算：△v=v1-v0=v=4π(r13-

r03)

/3≈15.8575△

y=△

f(x)≈f'(x0)△x，或f(x0+△x)=f(x0)+△y

≈f(x0)+dy=f(x0)+f'(x0)△x

2009/0952復習思考題：1．利用導數(shù)可確定函數(shù)曲線切線的什么參數(shù)？2．羅畢達法則應用條件是什么？3．怎樣利用導數(shù)信息繪制函數(shù)圖像？4．極值與最值的判定可有哪些辦法？5．什么是函數(shù)微分？為何可利用微分進行近似計算？2009/0953二、一元函數(shù)積分學☆不定積分

原函數(shù)與不定積分的概念；基本積分公式；不定積分的積分方法☆定積分定積分的概念；變上限定積分；?！R公式；定積分應用；無窮區(qū)間廣義積分2009/0954（一）不定積分1．原函數(shù)與不定積分的概念 在區(qū)間I上，有F'(x)=f(x)或者dF(x)=f(x)dx，稱F(x)為f(x)在I上的一個原函數(shù)。

f(x)原函數(shù)的全體稱為f(x)的不定積分，記 且2．基本積分公式2009/09553．不定積分性質與積分方法（1）性質10.不定積分導數(shù)等于被積函數(shù)20.函數(shù)導數(shù)不定積分等于該函數(shù)與任一常數(shù)之和30.運算法則2009/0956例：1．設F(x)是e-x2的一個原函數(shù)，求2．設 ，求dF(x2)

2009/0957（2）積分方法

直接積分法直接利用積分性質和基本積分公式2009/0958

換元積分法：變換積分變量1．第一類換元法——湊微分：復合函數(shù)2009/09592009/09602．第二類換元法——變量代換根式代換\三角代換2009/0961

分部積分法※

一般適用不同類函數(shù)函數(shù)乘積（無復合關系）情形。2009/0962（二）定積分

定積分的概念與性質

變上限定積分

?！R公式

定積分應用

無窮區(qū)間廣義積分2009/09631．定積分的概念與性質（1）概念設f(x)在[a，b]上有定義，將區(qū)間[a，b]任意分成n個子區(qū)間[xi-1，xi]，任取ξi∈[xi-1，xi]，i=1,2,······,n，（x0=a，xn=b），△xi=xi-xi-1，記λ=max{△xi}，如果λ→0時， 存在，則稱f(x)在[a，b]上可積，并稱此極限值為f(x)在[a，b]上的定積分，記作1i

n2009/09642．性質：設f(x)、g(x)在[a，b]上連續(xù)，2009/09652009/09662．變上限定積分設f(x)在[a，b]上可積，則是上限x的函數(shù)，并稱為變上限定積分。且有且Ψ'(x)=-f(x)※

可見，Φ(x)是f(x)的原函數(shù)，而Ψ(x)不是。2009/0967證明：2009/0968推論：2009/09693．?！R公式設f(x)∈C[a，b]，F(xiàn)'(x)=f(x)，則記作證：設F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，而那么，Φ(x)=F(x)+c，∴Φ(b)=F(b)+c而Φ(a)=F(a)+c=0，∴F(a)=-c，從而2009/0970例：2009/0971定積分計算：1）換元法：2）分部積分法2009/0972例：2009/09734．定積分的應用（1）平面圖形的面積（2）求行程距離（3）求利潤2009/09742009/0975求面積一般步驟：例：1．求由曲線xy=1，y=x及直線x=2所圍平面圖形面積。2．求由曲線y2=x和直線x+y=2所圍平面圖形的面積。1）畫曲線示意圖，求交點坐標；2）選擇積分變量，確定積分上、下限；3）注意圖形是否分塊、對稱等；4）利用定積分公式計算。2009/09765．無窮區(qū)間廣義積分當積分區(qū)間推廣至[a，+∞)，(-∞，b]，(-∞,+∞)時，稱無窮區(qū)間廣義積分。2009/0977復習思考題：1．定積分與不定積分有什么區(qū)別？2．不定積分的運算性質都是什么？3．不定積分的積分方法有哪些？4．定積分的性質有哪些？5．積分上限函數(shù)及下限函數(shù)是什么？6．怎樣利用定積分求函數(shù)曲線圍成的面積？7．如何計算廣義積分？2009/0978三、多元函數(shù)微分學

多元函數(shù)一階偏導數(shù)的概念與計算

二階偏導數(shù)的概念與計算

二元函數(shù)的極值及判定。2009/09791．多元函數(shù)一階偏導數(shù)的概念與計算（1）多元函數(shù)：含兩個自變量的函數(shù)z=f(x,y)為二元函數(shù)，二元以上的函數(shù)為多元函數(shù)。（2）二元函數(shù)極限與連續(xù)：當點(x,y)→(x0,y0)時，函數(shù)

f(x,y)無限趨近于常數(shù)A，稱A為此二元函數(shù)的極限。則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù)。2009/0980（3）偏導數(shù)：對于二元函數(shù)z=f(x,y)，若將其中一個自變量視為常數(shù)，而對另一自變量求導數(shù)，就稱為函數(shù)z=f(x,y)關于該變量的偏導數(shù)。記作（4）偏導數(shù)計算：仿一元函數(shù)（5）全微分：函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處dz=zx'dx+zy'dy※若函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)有連續(xù)的偏導數(shù)，則函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處可微。2009/0981（6）復合函數(shù)偏導數(shù)設z=f(u,v)，u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，且f,φ,ψ的偏導數(shù)均連續(xù)，則函數(shù)z=f(φ(x,y),ψ(x,y))的偏導數(shù)也連續(xù)，且2009/0982（7）全導數(shù)設z=f(u,v)，u=φ(x)，v=ψ(x)，則函數(shù)z=f(φ(x),ψ(x))對x的全導數(shù)（8）隱含數(shù)偏導數(shù)若方程F(x,y,z)=0確定z=f(x,y)，則2009/0983例：(1)設z=x2y-x3y2+e-xy，求：z'x，z'y2009/09842．二階偏導數(shù)概念與計算函數(shù)z=f(x,y)一階偏導數(shù)zx′,zy′繼續(xù)對自變量x或者y求偏導數(shù)（若偏導數(shù)存在），就是關于x或者y的二階偏導數(shù)。記作※當z〃xy與z〃yx都連續(xù)時，則z〃xy=z〃yx※