高二數(shù)學(xué)選修課件：兩個向量的數(shù)量積

1．知識與技能掌握空間兩個向量的夾角，兩個向量互相垂直的概念及表示方法．掌握異面直線，兩條異面直線所成的角，兩條異面直線互相垂直的概念．掌握兩個向量的數(shù)量積的概念，性質(zhì)和計算方法以及運算律．能夠初步在幾何體中求兩個向量的夾角及數(shù)量積的運算和有關(guān)簡單問題的證明．2．過程與方法培養(yǎng)學(xué)生推理論證、邏輯思維能力、空間想象和幾何直觀能力．3．情感態(tài)度與價值觀讓學(xué)生感悟推理、運算在探索和發(fā)現(xiàn)中的作用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣。重點：理解掌握兩個向量的夾角，異面直線的概念，兩個向量的數(shù)量積的概念，理解兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)和計算方法運算律以及應(yīng)用．難點：兩個向量數(shù)量積的幾何意義以及把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題計算．由于空間任意兩個向量都可轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表明符號及向量的模的概念和表示的符號等，都與平面向量相同．要正確理解向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點出發(fā)的兩個向量所構(gòu)成的較小的非負角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成失誤較多．兩個向量的夾角的注意問題：①<a，b>＝<b，a>；②<a，b>與表示點的符號(a，b)不同；③<－a，b>＝<a，－b>＝π－<a，b>.空間兩個向量的數(shù)量積的意義，與平面上兩個向量的數(shù)量積的意義實際上是一樣的，只要能理解任意兩個向量共面，就可把空間兩個向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩個向量的數(shù)量積．很顯然，當(dāng)<a,b>＝0時，a·b＝|a|·|b|，當(dāng)<a，b>為銳角時，a·b>0，當(dāng)<a，b>為鈍角時，a·b<0，當(dāng)<a，b>＝π時，a·b＝－|a|·|b|.空間兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)．與平面上兩個向量的數(shù)量積一樣，空間兩個向量的數(shù)量積也具有如下性質(zhì)．a(chǎn)．a(chǎn)·e＝|a|cos<a，e>b．a(chǎn)⊥b?a·b＝0c．|a|2＝a·ad．|a·b|≤|a||b|

兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)的作用：性質(zhì)a.可以幫助我們求兩個向量的夾角．性質(zhì)b.用于判斷空間兩個向量的垂直．性質(zhì)c.主要用于對向量模的計算．性質(zhì)d.主要用于不等式的證明．通常規(guī)定0°≤<a，b>≤180°且<a，b>＝<b，a>如果<a，b>＝90°，則稱________________，記作________．2．兩冠個向嚇量一坡定共灘面．先但在自作向抓量a，b時，打它們允的基執(zhí)線可他能不瓶同在狐任一主平面噸內(nèi)，槍我們麻把不宋同在良任一嘴平面窩內(nèi)的疏兩條淹直線記叫做__伏__手__蠅__．把堡異面喘直線切平移津到一蛇個平仆面內(nèi)糾，這添時兩華條直仙線的圍夾角(銳角米或直景角)叫做__逗__庭__睡__，如月果所錢成的底角是予直角授，則桐稱兩薯條異衫面直粒線__午__奧__猜__．3．把覆平面罵向量填的數(shù)胖量積a·甘b＝|a||b|c片os<a，b>也叫獻做兩森個空磨間向焰量a，b的__華__疫__鍬__爸__模__遲__澤__．4．兩鴉個向雹量的奪數(shù)量垮積是系一個儲實數(shù)窗，空貌間兩使個向撲量的幅數(shù)量丈積也回具有領(lǐng)如下途性質(zhì)蓬：(1絨)a·摩e＝__胖__刷__片__治__奧__；(2蝴)a⊥b?__浸__禽__糖__；(3癥)|a|2＝__稅__詢__為__；(4脫)|a·爽b|≤|a||b|.空間膛兩個憤向量眾的數(shù)潮量積滋同樣景滿足孕如下爐運算鞠律：(1捏)(λa)·b＝__吐__芬__則__弄__予__識__支__(2歪)a·鉗b＝__厲__盞__淘__；(交換轎律)(3底)(a＋b)·c＝__猾__胸__社__瓦__植__草__境__萄(分配位律)．[答案]1.向量a與b的夾浪角<a，b>a與b互相姜垂直a⊥b2．異更面直善線鼠兩條鑒異面鴿直線經(jīng)所成參的角挨互矩相垂達直3．?dāng)?shù)劉量積(或內(nèi)咸積)4．(1償)|a|c屢os鳥<a，e>(2歐)a·舉b＝0(3溜)a·衡a(1憲)λ(a·蠅b)(2厲)b·級a(3秒)a·菠c＋b·蜻c[例1]設(shè)θ＝〈a，b〉＝12情0°，|a|＝3，|b|＝4，求念：(1泊)a·概b；(2管)(站3a－2b)·逆(a＋2b)．[分析]利用年數(shù)量腔積公步式進納行運賓算．[解析](1摩)∵a·信b＝|a||b|c鏟os〈a，b〉，∴a·半b＝3×4×co走s1辟20劫°＝－6.(2疑)∵(3a－2b)·茄(a＋2b)＝3|a|2＋4a·圈b－4|b|2＝3|a|2＋4|a||b|c視os銳12槽0°－4|b|2，向量a、b之間搶的夾婚角為30嚼°，且|a|＝3，|b|＝4，求a·嚴b，a2，b2，(a＋2b)·磚(a－b)．[例2]如圖忠所示寒，已現(xiàn)知空令間四頌邊形AB焰CD的每肥條邊骨和對星角線嗎長都立等于a，點E、F、G分別碌是AB、AD、DC的中后點．皆求下肉列向疲量的影數(shù)量拌積：將本南例中罵每條鋪邊和尋對角躍線長叫都等柜于a改為1，去掀掉中宵點G，計跡算：[例3]如圖唱所示熊，在帶正方鴉體AB黨CD－A1B1C1D1中，開求異仁面直菌線A1B與AC所成水的角造．[說明]求異王面直狠線所淡成的裂角的賠關(guān)鍵汽是求伍異面巡壽直線聰上兩紅向量票的數(shù)享量積休，而糧要求將兩向饑量的最數(shù)量夠積，棕必須春把所僻求向斯量用嗚空間無的一蓋組基雜向量干來表測示．[例4]已知趨空間圈四邊厚形OA威BC中，∠AO員B＝∠BO哈C＝∠AO墻C，且OA＝OB＝OC.M、N分別蘋是OA、BC的中緒點，G是MN的中米點，蘭求證閉：OG⊥BC.[說明]a⊥b?a·扣b＝0，事戒實上膀，用向桃量法寸證線購線垂孩直問住題是女向量品的數(shù)盜量積專的應(yīng)錘用．已知待：在訊空間儀四邊汗形OA拌BC中(如圖)，OA⊥BC，OB⊥AC，求粒證：OC⊥AB.[分析]可直盲接運理用|a|2＝a·虧a.[解析]|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·功b＋a·搬c＋b·砌c)[說明]公式巖：(a＋b＋c)·幻玉(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b2|＋|c2|＋2a·c＋2a·b＋2b·妹c，應(yīng)比牢記賞并能蔬熟練燈的應(yīng)巴用．已知窗平行重六面奸體AB綠CD－A1B1C1D1中，速以頂鬧點A為端鏡點的濁三條千棱長化都是1，且聰兩兩倘夾角肥為60它°，則AC1的長劫是多味少？[例6]如圖法，在極平行沉四邊脊形AB魄CD中，AB＝AC＝1，∠AC壯D＝90授°，將云它沿芹對角附線AC折起擊，使AB與CD成60友°角，咐求B、D間的拔距離絲式．[辨析]把兩哭點間仍距離移表示鋼出來純，由a2＝|a|2求距籃離，顛但應(yīng)踩注意限向量趙的角毀，三燃角形惕內(nèi)角達的區(qū)銜別．一、守選擇奸題1．下左列式耍子中想正確如的是()A．|a|·a＝a2B．(a·餅b)2＝a2·b2C．(a·蠶b)c＝a(b·顏c)D．|a·捕b|≤|a濫||素b|[答案]D[解析]∵a·允b＝|a||b|c圾osθ，∴|a·蛋b|＝|a||b||騙co船sθ|≤|a|·晝|b|.故選D.[答案]B[解析]由向?qū)ち繆A筑角定爭義知帖選B.3．已懇知向翁量a，b，c，兩階兩夾口角為60躬°，其很模都那為1，則|a－b＋2c|＝()[答案]A[解析]∵|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60揚°，二、嗽填空挽題4．已努知e1、