吉林大學(xué)陳殿友線性代數(shù)全集

課程的性質(zhì)

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論課之一。它既是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必修課，也是學(xué)習(xí)其他專(zhuān)業(yè)課的必修課。目前一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)內(nèi)容與任務(wù)

線性代數(shù)是研究有限維線性空間及其線性變換的基本理論，包括行列式、矩陣及矩陣的初等變換、線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型等內(nèi)容。既有一定的理論推導(dǎo)、又有大量的繁雜運(yùn)算。有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問(wèn)題和動(dòng)手解決問(wèn)題的能力。目前二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)用途與特點(diǎn)線性代數(shù)理論不僅為學(xué)習(xí)后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)如國(guó)防技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是理工科大學(xué)生的一門(mén)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。該課程的特點(diǎn)是：公式多，式子大，符號(hào)繁，但規(guī)律性強(qiáng)，課程內(nèi)容比較抽象，需要學(xué)生具備一定的抽象思維能力，邏輯推理能力，分析問(wèn)題能力和動(dòng)手解決實(shí)際問(wèn)題的能力。目前三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)第一章

行列式

本章主要介紹n階行列式的定義，性質(zhì)及其計(jì)算方法。此外還要介紹用n階行列式求解n元線性方程組的克拉默（Cramer）法則。目前四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)§1階行列式的定義1、

二元線性方程組一、n階行列式的引出目前五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)用消元法求解，得：

目前六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求得方程組有唯一解：目前七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)引入二階行列式

目前八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)方程組的解可以寫(xiě)成：

目前九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

二階行列式的計(jì)算例如目前十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例解二元線性方程組目前十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)求解方程目前十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)2.三元線性方程組

目前十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)用消元法可求得，當(dāng)時(shí)，目前十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)三元線性方程組有唯一解：

目前十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)其中：

目前十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)三階行列式的定義

目前十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例如三階行列式的計(jì)算-3×5×7-2×4×9-1×6×8目前十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例解三元線性方程組目前十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前二十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)3.n元線性方程組

目前二十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)構(gòu)造：

目前二十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)提出三個(gè)問(wèn)題

（1）D=？（怎么算）？（2）當(dāng)D≠0時(shí)，方程組是否有唯一解？（3）若D≠0時(shí)，方程組有唯一解，解的形式是否是目前二十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)二、全排列及其逆序數(shù)1、全排列用1，2，3三個(gè)數(shù)字可以排6個(gè)不重復(fù)三位數(shù)即：123，231，312，132，213，321目前二十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)一般地，把n個(gè)不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？這是一個(gè)全排列問(wèn)題。從n個(gè)元素中任取一個(gè)放在第一個(gè)位置上，有n種取法；在從剩下的n-1個(gè)元素中任取一個(gè)元素，放在的第二個(gè)位置上有n-1種取法;依此類(lèi)推，直到最后剩下一個(gè)元素放在最后位置上，只有一種取法；于是：目前二十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)2.逆序數(shù)對(duì)于n個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序（例如，n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序）。于是，在這n個(gè)元素的任意排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的前后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說(shuō)產(chǎn)生了一個(gè)逆序，一個(gè)排列中所有逆序的和叫做這個(gè)排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)是奇數(shù)的排列叫做奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列叫做偶排列。目前二十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)3.逆序數(shù)的計(jì)算方法

不妨設(shè)元素為1至n個(gè)自然數(shù)，并規(guī)定有小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，設(shè)為這個(gè)自然數(shù)的一個(gè)n級(jí)排列，考慮元素，如果比大的，且排在前面的元素有個(gè)，說(shuō)這個(gè)元素的逆序是個(gè)，全體元素逆序之和即是的逆序數(shù)，目前二十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例如，設(shè)排列32514,其逆序數(shù)為：

t=1+3+0+1+0=5

當(dāng)我們把上面排列改為31524，相當(dāng)于把32514這個(gè)排列的第2、4兩個(gè)數(shù)碼對(duì)換（將一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換）。通過(guò)計(jì)算可知31524的逆序數(shù)為t=1+2+0+1+0=4可見(jiàn)排列32514為奇排列，而31524為偶排列，可見(jiàn)一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性。目前二十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

定義1設(shè)有n2個(gè)數(shù)，排成n行n列的數(shù)表三、n階行列式的定義作出表中位于不同行不同列的n個(gè)數(shù)的乘積，并冠以符號(hào)(-1)t，得到形如

的項(xiàng)，其中為自然數(shù)1，2，…n，的一個(gè)排列，t

為這個(gè)排列的逆序數(shù)。

目前二十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)這樣的排列共有n!個(gè)，所有這些項(xiàng)的代數(shù)和稱(chēng)為n階行列式。記為:也可記為:目前三十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)行列式的其他定義另一種定義形式為:同理，也可以定義為:目前三十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)四、幾種特殊的行列式（1）

對(duì)角行列式目前三十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)（2）

下（上）三角行列式

目前三十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)（3）

其中，目前三十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

第二講§2.行列式的性質(zhì)有了n階行列式的定義，我們就可以計(jì)算n階行列式，在計(jì)算幾種特殊行列式的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)直接用定義計(jì)算是非常麻煩。當(dāng)行列式的階數(shù)較高時(shí)，計(jì)算是十分困難的，為了簡(jiǎn)化n階行列式的計(jì)算，我們這一節(jié)主要研究行列式的性質(zhì)。目前三十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)一.

轉(zhuǎn)置行列式

把行列式的行換成同序數(shù)的列而得到的行列式稱(chēng)為原行列式的轉(zhuǎn)置行列式。即

稱(chēng)DT為D的轉(zhuǎn)置行列式．目前三十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)二．行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.證設(shè)目前三十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

由此性質(zhì)可知，行列式的行與列具有相同的地位，行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立，反之亦然。目前三十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

性質(zhì)2互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。

證設(shè)行列式目前三十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)于是

目前四十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)推論如果行列式有兩行（列）完全相同,則此行列式等于零.

證

把這兩行互換，有

D=－D，故

D=0.目前四十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)證設(shè)

D=

性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式。

目前四十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)故目前四十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)推論行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面.例如目前四十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)性質(zhì)4行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零.例如目前四十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則D等于下列兩個(gè)行列式之和：即目前四十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例如計(jì)算目前四十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例如性質(zhì)6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)數(shù)然后加另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變.目前四十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)三、用行列式的性質(zhì)

計(jì)算行列式

例1計(jì)算目前四十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前五十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前五十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例2.

計(jì)算目前五十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解：目前五十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前五十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例3計(jì)算目前五十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解：從倒數(shù)的二行開(kāi)始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去。目前五十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)同理，可得：目前五十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例4計(jì)算目前五十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解：把所有列都加到第一列上去，然后，從第一列提取公因子，再把第二、三、四行都減去第一行。目前五十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前六十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前六十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)§3行列式按行（列）展開(kāi)

余子式和代數(shù)余子式

在n階行列式中，把元素所在第i行和第j列劃去后，留下來(lái)的n－1階行列式叫做元素的余子式.記作.即的余子式記作.的代數(shù)余子式第三講目前六十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)中元素的余子式和代數(shù)余子式分別為

目前六十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

二.行列式按行（列）展開(kāi)定理

引理設(shè)D為n階行列式，如果D的第i行所有元素除外，其余元素均為零，那么行列式D等于與其代數(shù)余子式的乘積，即目前六十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

證：設(shè)目前六十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前六十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前六十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)定理1行列式等于它的任一

行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即

目前六十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)證：

目前六十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前七十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前七十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)類(lèi)似地.若按列證明，可得目前七十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例1.計(jì)算

目前七十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

目前七十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例2計(jì)算目前七十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解:按第一行展開(kāi)

目前七十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)以此作遞推公式，即可得目前七十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例3證明范蒙得（Vandermonde）行列式

其中記號(hào)“Π”表示全體同類(lèi)因子的乘積.目前七十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

所以當(dāng)n=2時(shí)（1）成立.現(xiàn)在假設(shè)（1）對(duì)于n－1階Vandermonde行列式，即證:

用數(shù)學(xué)歸納法.因?yàn)槟壳捌呤彭?yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

我們來(lái)證明對(duì)n階Vandermonde行列式也成立.目前八十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前八十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例4.計(jì)算目前八十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)三、行列式展開(kāi)定理的推論

推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即或

目前八十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)證:設(shè)目前八十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)把D按第j行展開(kāi),有目前八十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)在上式兩端用

代替

得目前八十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

同理可證,

顯然,等式左端行列式有兩行相同,故行列式等于零,即.目前八十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)綜合定理1和推論有

其中

目前八十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例5．已知行列式求,其中是D的第4行元素的代數(shù)余子式.解：目前八十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)第一章第四節(jié)

§4.克拉默法則一.非齊次線性方程組的克拉默法則(1)設(shè)非齊次線性方程組目前九十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)(3)則線性方程組(1)有唯一解若(1)的系數(shù)行列式(2)目前九十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)即證明：等式成立證明：先證是（1）的解，要證是（1）的解，只須證明（3）滿(mǎn)足（1）即可，為此把（1）改寫(xiě)成：目前九十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)做n+1階行列式顯然.把按第一行展開(kāi).需要求出第一行每個(gè)元素的代數(shù)余子式.第一行元素的代數(shù)余子式為:目前九十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)所以即目前九十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)再證唯一性.假設(shè)也是(1)的解.在(2)兩端同時(shí)乘以目前九十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)由于,所以故線性方程組(1)有唯一解(3).目前九十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例1.解方程組解:目前九十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前九十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

定理2.如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式D不等于0,則(1)有唯一的解.

定理.如果線性方程組(1)無(wú)解或有多個(gè)解，則它的系數(shù)行列式必為0.于是得原方程組的解為目前九十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)二.齊次線性方程組的克拉默法則

設(shè)齊次線性方程組(4)

若(4)的系數(shù)行列式(5)則(4)沒(méi)有非零解.目前一百頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn).定理.如果齊次線性方程組(4)有非零解,則它的系數(shù)行列式必為0。

定理3.如果齊次線性方程組(4)的系數(shù)行列式D不等于0,則齊次線性方程組(4)沒(méi)有非零解.

例2.問(wèn)在什么條件下,方程組有非零解？目前一百零一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

解：由定理知，若方程組有非零解，則其系數(shù)行列式必為零。

所以，當(dāng)或時(shí)，上面方程組有非零解。目前一百零二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例3設(shè)非齊次線性方程組問(wèn)λ

為何值時(shí)，該方程組有唯一解，并求其解。解：方程組的系數(shù)行列式為（λ+2）顯然當(dāng)λ

≠－2，λ

≠

1時(shí)，方程組有唯一解。D=目前一百零三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前一百零四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前一百零五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)行列式主要知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)圖概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列一般項(xiàng)是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和.●●互換行列式的兩行(列)，行列式變號(hào)?！衲承杏泄蜃涌梢蕴岬叫辛惺降耐饷??！袢粜辛惺街心骋恍?列)的所有元素均為兩元素之和，則該行列式可拆成兩個(gè)行列式.●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變。行列式知識(shí)點(diǎn)性質(zhì)目前一百零六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)展開(kāi)計(jì)算●行展開(kāi)●列展開(kāi)●定義法●遞推法●加邊法●數(shù)學(xué)歸納法●公式法●拆項(xiàng)法●乘積法●析因子法●齊次線性方程組有非零解的充要條件●克拉默法則應(yīng)用目前一百零七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)第二章矩陣及其運(yùn)算§1矩陣一、矩陣概念

定義1.目前一百零八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

為表示它是一個(gè)整體,在這數(shù)表的兩邊用大圓括弧把它范圍起來(lái)，并用大寫(xiě)黑體字母表示:目前一百零九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

例1.某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品，其發(fā)送的數(shù)量和單價(jià)及單件的重量都可用矩陣來(lái)刻劃.

若用表示為工廠向第i店發(fā)送第j種產(chǎn)品數(shù)量，則矩陣表示了工廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量.目前一百一十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)表示了這四種產(chǎn)品的單價(jià)及單件重量.目前一百一十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)4213例2.四個(gè)城市間的單向航線如下圖所示.若令從i市到j(luò)市有一條單向航線從i市到j(luò)市沒(méi)有單向航線則圖中的航線用矩陣表示為

目前一百一十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

例3.目前一百一十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)二、矩陣的表示方法三.幾種特殊的矩陣1.方陣目前一百一十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)2.上三角矩陣3.下三角矩陣目前一百一十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)4.對(duì)角矩陣5.單位矩陣目前一百一十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)6.行矩陣7.列矩陣8.零矩陣目前一百一十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)9.負(fù)矩陣10.同型矩陣

兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相同的矩陣稱(chēng)為同型矩陣.11.對(duì)稱(chēng)矩陣12.反對(duì)稱(chēng)矩陣目前一百一十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)§2.矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法1、定義定義2設(shè)有兩個(gè)m×n矩陣A

B

那末矩陣A與B的和記作A+B,規(guī)定為A+B=矩陣的減法：A–B=A+(－B)目前一百一十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)2、運(yùn)算律矩陣的加法滿(mǎn)足下列運(yùn)算規(guī)律設(shè)A、B、C都是m×n矩陣:1）

A+B=B+A2）（A+B）+C=A+（B+C）3）A+（－A）=A－A=0二、數(shù)與矩陣相乘1、定義定義3數(shù)λ

與矩陣的乘積,記作λA

或Aλ,規(guī)定為λA

=Aλ=目前一百二十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)2、運(yùn)算律

數(shù)乘矩陣滿(mǎn)足下列運(yùn)算規(guī)律設(shè)A、B為m×n矩陣，λ、μ為數(shù)：

2）（λ

＋μ

)

A

=

λ

A+

μA；1）（λμ）A=λ

(

μA)

3）λ

(

A

+

B

)

=λA

+

λB

這樣定義矩陣加法和數(shù)乘矩陣的運(yùn)算，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線性運(yùn)算.目前一百二十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)三、矩陣與矩陣相乘1、定義定義4設(shè)A=（aij)m×s

,

B=(bij)s×n矩陣，那末規(guī)定矩陣A與矩B的乘積是一個(gè)m×n矩陣C=(c

ij)m×n。其中即A×B=C.目前一百二十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)注意：目前一百二十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例1.求矩陣A=B=與的乘積AB目前一百二十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

C＝AB解：＝目前一百二十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例2.設(shè)矩陣A=B=求AB與B×A。目前一百二十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)AB=解：BA=目前一百二十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)2.運(yùn)算律

1)矩陣的乘法一般不滿(mǎn)足交換律

2)（AB）C

=A（BC）

3)λ(AB)=(λA)B=A(λ

B),(其中λ為數(shù));4)

A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA目前一百二十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)3.設(shè)E為單位矩陣EA=AE=A或簡(jiǎn)寫(xiě)成目前一百二十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)4、方陣的冪運(yùn)算設(shè)A為n階方陣.k,l為正整數(shù)目前一百三十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)如A×B

其中是向第i店所發(fā)產(chǎn)品的總值,是向第i店所發(fā)產(chǎn)品的總重量。C表示為向三個(gè)商店所發(fā)產(chǎn)品的總值及總重量所構(gòu)成的矩陣。目前一百三十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

則A2表示從i市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到j(luò)市的單向航線的條數(shù)構(gòu)成的矩陣。又如1243目前一百三十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)四、矩陣的轉(zhuǎn)置1、定義

定義5把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的矩陣,叫做A

的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT。例如目前一百三十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)2.運(yùn)算律目前一百三十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)這里僅證明4）設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n

。AB=C=(cij)m×n，BTAT=D=(dij)n×m。顯然，要證明（AB)T=BTAT,只須證明cji=dij

即可。目前一百三十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)因?yàn)槟壳耙话偃?yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例3.已知求(AB)T。目前一百三十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解法1：因?yàn)锳B=目前一百三十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解法2：目前一百三十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

有了轉(zhuǎn)置矩陣的定義后，顯然有A為對(duì)稱(chēng)矩陣，A為反對(duì)稱(chēng)矩陣，目前一百四十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例4試證任意n階方陣都可分解為一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣和一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣之和。證由于A=?(A+A+AT－AT)=?(A+AT+A－AT)故A等于對(duì)稱(chēng)矩陣與反對(duì)稱(chēng)矩陣之和。目前一百四十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例5：設(shè)列矩陣X=滿(mǎn)足XTX=1，E為n階的單位矩陣，H=E－2XXT,證明H是對(duì)稱(chēng)矩陣，且HHT=E。目前一百四十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)證明:所以H是對(duì)稱(chēng)矩陣.目前一百四十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前一百四十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)五、方陣的行列式1、定義

定義6由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱(chēng)為方陣A的行列式，記作|A|或detA。目前一百四十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)2、運(yùn)算律目前一百四十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)我們僅證明3），設(shè)A=(aij),B=(bij)。記2n階行列式D=目前一百四十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)顯然，D=|A||B|,而在D中以

b1j乘第1列，b2j乘第2列，…，

bnj乘第n列,都加到第n+j列上（j=1,2,…

,n),有D=目前一百四十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)其中C=(cil),cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj,故C=AB。再對(duì)D的行作rj?

rn+j（j=1,2,…,n），有從而有D=(－1)n|－E||C|=(－1)n(－1)n|C|=|C|=|AB|。于是|AB|=|A||B|目前一百四十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

例6：設(shè)A,B均為n階方陣且證目前一百五十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例7設(shè)A是n階反對(duì)稱(chēng)矩陣，B是n階對(duì)稱(chēng)矩陣，則AB+BA是

n階反對(duì)稱(chēng)矩陣。證(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=－BA－AB=－（AB+BA）所以，AB+BA為n階反對(duì)稱(chēng)矩陣。目前一百五十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例8設(shè)令A(yù)=αβT,求An

及|An|。解目前一百五十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)An

=(αβT)n

=αβTαβTαβT

…αβT=3n-1A|An

|=|3n-1A|

=(3n-1)n|A|

=0目前一百五十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)六、共軛矩陣1、定義

定義7設(shè)A=為復(fù)矩陣，表示的共軛復(fù)數(shù)，記則稱(chēng)為A的共軛矩陣。目前一百五十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)2.運(yùn)算律

設(shè)A、B為復(fù)矩陣，λ為復(fù)數(shù).目前一百五十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)七、可換矩陣及方陣多項(xiàng)式1、可換矩陣設(shè)A、B均為n階方陣，若AB=BA，則稱(chēng)是可換的。例9設(shè)若矩陣A與B可交換，求a,b的值。解由于AB=BA，即目前一百五十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)故a=8,b=6。目前一百五十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例10設(shè)求與A可交換的所有矩陣。解設(shè)目前一百五十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)于是從而x2=2x2,x3=3x3,2y1=y1,2y3=3y3,3z1=z1,3z2=2z2,目前一百五十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)即x2=x3=y1=y3=z1=z2=0,所以，與可交換的任一矩陣是其中a，b，c為任意實(shí)數(shù)。目前一百六十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)2、方陣多項(xiàng)式設(shè)有n階矩陣A和多項(xiàng)式f(λ)=amλm+am-1λm-1+…

+a1λ+a0規(guī)定f(A)=amAm+am-1

Am-1+…

+a1A+a0稱(chēng)f(A

)為方陣A的矩陣多項(xiàng)式。例11設(shè)有多項(xiàng)式f(λ)=λ2－3λ

+

2和矩陣求矩陣多項(xiàng)式f(A)。目前一百六十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解因?yàn)槟壳耙话倭?yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)則f(A)=A2－3A

+

2E目前一百六十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)練習(xí)：1.計(jì)算下列矩陣的乘積.2.目前一百六十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)第七講§3.逆矩陣一.逆矩陣

定義8.設(shè)A為n階方陣，如果有一個(gè)n階方陣B，使AB=BA=E,則稱(chēng)矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱(chēng)為A的逆矩陣.A的逆記之為A-1.目前一百六十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)二.逆矩陣是唯一的.

證明：設(shè)B和C都是A的逆矩陣，則B=BE=B(AC)

=(BA)C=EC=C所以A的逆矩陣是唯一的.目前一百六十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)三.逆矩陣的有關(guān)定理

定理1.方陣A可逆的充分必要條件是|A|≠0,且其中

稱(chēng)為A的伴隨矩陣.A*中元素是A的所有元素的代數(shù)余子式.目前一百六十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)證明：

必要性:因?yàn)锳可逆，則有,使

目前一百六十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)充分性:由于目前一百六十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)同理所以因?yàn)樗杂啥x，知目前一百七十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)推論：若AB=E(或BA=E），證明：故因而存在，于是目前一百七十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)運(yùn)算律1）若A可逆，則亦可逆，且2）若A可逆，數(shù)

，則λA可逆，且3）若A,B為同階的可逆矩陣，則AB也可逆，且證明：由推論，即有(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1目前一百七十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)4)若A可逆，則也可逆，證明：所以目前一百七十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

注1：當(dāng)|A|≠0時(shí)，k為正整數(shù)，λ，μ為整數(shù)，有A為可逆矩陣，也稱(chēng)為非奇異矩陣，A為不可逆矩陣，也稱(chēng)為奇異矩陣.

4)(Aλ)μ=Aλμ目前一百七十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)四.逆矩陣的應(yīng)用例1.解矩陣方程解：設(shè)則上式變成:AXB=C目前一百七十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前一百七十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例2.設(shè)求（E+B）－1目前一百七十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解:由即(E+A)(E+B)=2E目前一百七十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

例3.設(shè)A，B均為n階方矩陣，若E－AB可逆，則E－BA也可逆，并求:證明：A－ABA=A－ABA

(E－AB)A=A(E－BA)所以

目前一百七十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)又因?yàn)镋=E－BA+BA所以E－BA可逆,且=[E－B(E－AB)-1A](E－BA)目前一百八十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)五、幾個(gè)常用的公式1)AA*

=A*A

=|A|E2)A*=|A|A-13)|A-1|=|A|-1|λA|=λn|A|5)(λA)-1=λ-1A-1例4若|A|≠0,試證（1）|A*|=|A|n-1;（2）(A*)-1=(A-1)*(3)(A*)T=(AT)*;（4）(A*)*=|A|n-2A;（5）(kA)*=kn-1A*。證（1）|A*|=(2)(A*)-1=(3)(A*)T=||A|A-1|=|A|n|A-1|=|A|n-1;(|A|A-1)-1=|A-1|(A-1)-1=(A-1)*;(|A|A-1)T=|AT|(A-1)T=|AT|(AT)-1=(AT)*目前一百八十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)(A*)*=

|A*|(A*)-1=|A|n-1(|A|A-1)-1=|A|n-2A(5)(kA)*=|kA|(kA)-1=kn|A|k-1A-1=kn-1|A|A-1=kn-1A*目前一百八十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例5設(shè)矩陣A、B滿(mǎn)足A*BA=2BA–8E,其中求B。解由于|A|≠0，所以A可逆，在A*BA=2BA–8E的兩邊分別左乘A，右乘A-1得|A|B=2AB－8E即2AB+2B＝8E目前一百八十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)從而有AB+B＝4E故B=4(A+E)-1

目前一百八十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)作業(yè):1.解矩陣方程2.設(shè)方陣A滿(mǎn)足證明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-13.設(shè)AB=A+2B,求B.目前一百八十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

§4.分塊矩陣第八講一、分塊矩陣的定義

把一個(gè)階數(shù)較高的矩陣,用若干條橫線和豎線分成若干小塊,每一小塊都叫做矩陣的子塊,以子塊為元素的矩陣稱(chēng)為分塊矩陣.目前一百八十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例如：將3×4矩陣分塊形式如下：目前一百八十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前一百八十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前一百八十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

二、分塊矩陣的運(yùn)算1、分塊矩陣的加法：同型矩陣,分法相同,對(duì)應(yīng)子塊相加.設(shè)A和B均為m×n矩陣,分法下:目前一百九十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)其運(yùn)算律與矩陣的加法相同.目前一百九十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)2.分塊矩陣的數(shù)乘設(shè)分塊矩陣λ為數(shù)，那末其運(yùn)算律與數(shù)乘矩陣相同.目前一百九十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)3.分塊矩陣的乘法.

設(shè)A為m×l矩陣，B為l×n矩陣，分塊成目前一百九十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)其中目前一百九十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例1.設(shè)求AB.目前一百九十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解：把A,B分塊成目前一百九十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)所以AB＝目前一百九十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)其中于是目前一百九十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)4.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)分塊矩陣則目前一百九十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)5.分塊對(duì)角矩陣（準(zhǔn)對(duì)角矩陣）.設(shè)其中顯然目前二百頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)若則,所以目前二百零一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例2.設(shè)解：目前二百零二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)所以目前二百零三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例3設(shè)A的伴隨矩陣且ABA-1=BA-1+3E,求矩陣B。解由|A*|=|A|n-1,有|A|3=8,得|A|=2。在ABA-1=BA-1+3E的兩邊左乘A*，右乘A得2B=A*B+6E

即(2E－A*)B=6E目前二百零四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

B=6(2E－A*)-1由于2E－A*＝(2E－A*)-1=所以故目前二百零五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)因此目前二百零六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)6.分塊矩陣的應(yīng)用

設(shè)A為m×n矩陣，將A按行分塊，得

其中是A的第i行.將A按列分塊,得A=（β1，

β2，…，

βn）.目前二百零七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)其中βj

(j=1,2,…,n).是A的第j列.對(duì)于線性方程組目前二百零八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)A=X=b=B=記目前二百零九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

其中A稱(chēng)為系數(shù)矩陣,x稱(chēng)為未知向量,b稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)向量,B稱(chēng)為增廣矩陣,記為:

利用矩陣的乘法,此方程可記為:Ax=b或B=(A,b)=(β1,β2,…

,βn,b)目前二百一十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

按行分塊矩陣,Ax=b又可寫(xiě)成:即αiTx=bi(i=1,2,…,m).目前二百一十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

按列分塊矩陣,Ax=b又可寫(xiě)成即x1β1+x2β2+…+xnβn=b目前二百一十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)概念特殊矩陣

m×n個(gè)數(shù)aij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

構(gòu)成的數(shù)表單位距陣:主對(duì)角線元素都是1,其余元素都是零的n階方陣對(duì)角矩陣:主對(duì)角元素是其余元素都是零的n階方陣對(duì)稱(chēng)矩陣:距陣主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖AT=A反對(duì)稱(chēng)矩陣:AT=－A矩陣目前二百一十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)運(yùn)算A+B=

(aij+bij)kA=(kaij)AB=C其中A與B同型的第i行是A的第i列.|A|=detA,A必須是方陣.伴隨矩陣

n階行列式的|A|所有元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣AT:AT目前二百一十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)逆矩陣概念求法證法如果AB=BA=E,則A可逆，B是A的逆矩陣.用定義用伴隨矩陣分塊對(duì)角矩陣|A|

≠0,A可逆.|A|=0,A不可逆.AB=E,A與B互逆反證法目前二百一十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)作業(yè)1.利用逆矩陣解線性方程組:2.設(shè)目前二百一十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

3.設(shè)n階矩陣A和s階矩陣B都可逆,求目前二百一十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)第三章矩陣的初等變換與線性方程組§1矩陣的初等變換一.引例求解線性方程組(1)①②③④目前二百一十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)(1)÷123(2)(2)(3)321314－+－2++－3①②③④①②③④2目前二百一十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)(3)2×1/23+524－32(4)(4)34－23+4（5）①②③④①②③④目前二百二十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)于是得

其中x3可任意取值，或令x3=c這里c為任意常數(shù).則方程組可記為：x

=x=即目前二百二十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)把上面方法加以數(shù)學(xué)抽象B=（A

b)=稱(chēng)為方程組（1）的增廣矩陣.把方程組的上述三種同解變換移植到矩陣上，就得到矩陣的三種初等變換.目前二百二十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)二.矩陣的初等變換

定義1下面三種變換稱(chēng)為矩陣的初等變換:(1)對(duì)調(diào)矩陣的兩行(列);(2)以數(shù)k≠0乘矩陣某一行(列)中的所有元素;(3)把矩陣的某一行(列）所有元素的k倍加到另一行(列）對(duì)應(yīng)的元素上去;

※矩陣初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱(chēng)為初等變換.目前二百二十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

顯然,三種初等變換都是可逆的,且其逆變換是同一類(lèi)型的初等變換:(1)對(duì)換變換的逆變換就是其本身;(2)倍乘變換的逆變換為;(3)倍加變換的逆變換為;※如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣B,就稱(chēng)矩陣A與B等價(jià),記作A∽B.※矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：（1）反身性A∽A（2）對(duì)稱(chēng)性若A∽B，則B∽A；（3）傳遞性若A∽B，B∽C，則A∽C.

※兩個(gè)線性方程組同解，就稱(chēng)這兩個(gè)線性方程組等價(jià)。目前二百二十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)三.矩陣初等變換的應(yīng)用例1.解線性方程組

解對(duì)方程組的增廣矩陣B施以行初等變換目前二百二十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)～～～～～目前二百二十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)從而得等價(jià)的方程組取為自由未知量,并令,即得x其中c為任意常數(shù)。目前二百二十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)1)行階梯形矩陣：2)行最簡(jiǎn)形矩陣：

※一個(gè)矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣是唯一的.要解線性方程組,只須把增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣.目前二百二十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)3)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形～對(duì)于任何m×n

矩陣A,總可經(jīng)過(guò)初等變換把它化為標(biāo)準(zhǔn)形.目前二百二十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

此標(biāo)準(zhǔn)形由m、n、r

三個(gè)數(shù)完全確定,其中r

就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).所有與A等價(jià)的矩陣組成的集合,稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)類(lèi),標(biāo)準(zhǔn)形F是這個(gè)等價(jià)類(lèi)中形狀最簡(jiǎn)單的矩陣.例2設(shè)求A的標(biāo)準(zhǔn)形。目前二百三十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解:～～～目前二百三十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)～～～～目前二百三十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)～～

※任何的可逆矩陣都等價(jià)于同階數(shù)的單位陣.目前二百三十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)練習(xí)把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣:目前二百三十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)§2矩陣的秩

定義2在m×n矩陣A中,任取k行與k列（k≤m，

k≤n），位于這些行和列交叉處的k2個(gè)元素,不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得到的k階行列式，稱(chēng)為矩陣A的k階子式。m×n矩陣A的k行與k列子式共有個(gè)。一、矩陣秩的定義目前二百三十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例如注意：在A中存在1階和2階的非零子式，但3階和4階子式全部為零。目前二百三十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)定義3設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式，且所有r+1階子式（如果存在的話(huà)）全等于零，那么稱(chēng)為矩陣A的最高階非零子式.數(shù)r稱(chēng)為矩陣A的秩，記作。注意顯然有特別的規(guī)定目前二百三十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例1求下列矩陣的秩．解在A中，容易看出：一個(gè)2階子式，A的3階子式只有一個(gè)|A|，經(jīng)計(jì)算可知｜Ａ｜＝０,因此Ｒ（Ａ）＝２.目前二百三十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解Ｂ是一個(gè)階梯形矩陣，其非零行有３行，故可知Ｂ的所有４階子式全為零。而以三個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素為對(duì)角元的３階行列式因此Ｒ（B）＝３目前二百三十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)二、矩陣秩的相關(guān)定理定理１若Ａ～Ｂ，則Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．證明先證明：若Ａ經(jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)椋?，則Ｒ（Ａ）≤Ｒ（Ｂ）．設(shè)Ｒ（Ａ）＝ｒ，且Ａ的某個(gè)ｒ階子式Ｄｒ≠０,當(dāng)或，在Ｂ中總能找到與Ｄｒ相對(duì)應(yīng)的由于或或目前二百四十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)因此，從而Ｒ（Ｂ）≥ｒ當(dāng)，分三種情況討論：①Ｄｒ中不含有第i行;②Ｄｒ中同時(shí)含有第i行和第j行;③Ｄｒ中含有第i行，但不含有第j行.對(duì)①和②兩種情況，顯然Ｂ中與Ｄｒ?qū)?yīng)的子式，故Ｒ（Ｂ）≥ｒ；目前二百四十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)對(duì)于③，由若,則因中不含有第i行，可知Ａ中有不含第i行的ｒ階非零子式，從而Ｒ（Ｂ）≥ｒ；若,則，故也有Ｒ（B）≥ｒ.目前二百四十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)以上證明了若Ａ經(jīng)過(guò)一次初等行變換為Ｂ，則Ｒ（Ａ）≤Ｒ（Ｂ），由于Ｂ亦可經(jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)椋粒室灿校遥ǎ拢埽遥ǎ粒虼耍遥ǎ粒剑遥ǎ拢?。?jīng)過(guò)一次初等行變換矩陣的秩不變，故經(jīng)過(guò)有限次初等行變換時(shí)，矩陣的秩依然不變。同理可證：Ａ經(jīng)過(guò)有限次初等列變換，變成矩陣Ｂ，則有Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．總之，若Ａ經(jīng)過(guò)有限次初等變換變?yōu)榫仃嚕?，則有Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．目前二百四十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)如在例1中，我們已經(jīng)計(jì)算的秩為2，將A施行初等變換得顯然，R(B)=2,故R(A)=R(B)。通過(guò)上面定理的證明和上面秩的計(jì)算，以后求矩陣的秩，只需將矩陣用初等變換變成階梯形矩陣即可。目前二百四十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)三、求秩．例２設(shè)求矩陣Ａ的秩．并求Ａ的一個(gè)最高階的非零子式.目前二百四十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)

解先求Ａ的秩。故對(duì)Ａ作初等行變換，變成行階梯形矩陣：目前二百四十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)因?yàn)殡A梯形矩陣有3個(gè)非零行，所以R(B)=3。從而R(A)=3。目前二百四十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)A的一個(gè)最高階非零子式為：設(shè)A為n階可逆矩陣，則|A|≠0,從而R(A)=n，稱(chēng)A為滿(mǎn)秩矩陣。若A為n階不可逆矩陣，則|A|＝0,從而R(A)<

n，稱(chēng)A為降秩矩陣。目前二百四十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例3設(shè)求矩陣A及矩陣B=（A|b）的秩。目前二百四十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解因此，R(A)=2,R(B)=3.目前二百五十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例4設(shè)若秩R(AB+B)=2，求a。解因?yàn)?/p>

AB+B=(A+E)B目前二百五十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)將所得的矩陣施以初等變換得目前二百五十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)由于R(AB+B)=2，所以12－a＝0。故a

=12。目前二百五十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)復(fù)習(xí)1、初等變換2、用初等變換求矩陣的秩設(shè)求R(A)和R(A┆b)。目前二百五十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)§3線性方程組的解一、線性方程組解的存在性-定理2

n元齊次線性方程組Am×nx=0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)＜n.證明：先證必要條件．設(shè)方程組Ａx＝０有非零解。（用反證法）假設(shè)Ｒ（Ａ）＝n，則在Ａ中應(yīng)有一個(gè)n階非零子式Ｄn，從而Ｄn所對(duì)應(yīng)的n個(gè)方程只有零解（根據(jù)Ｃramer法則）。這與方程組有非零解相矛盾。因此Ｒ（Ａ）＝n不能成立。故有Ｒ（Ａ）＜n．目前二百五十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)再證充分性。設(shè)Ｒ（Ａ）＝r＜n，則Ａ的行階梯形矩陣只含有r個(gè)非零行，從而知：其有n－r個(gè)自由未知量。任取一個(gè)自由未知量為1，其余的未知量都為零，即可得到方程組的一個(gè)非零解。目前二百五十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)定理３

n元非齊次方程組Ａx＝ｂ有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣Ａ的秩等于增廣矩陣Ｂ＝(Ａ,ｂ)的秩。

證明必要性。設(shè)方程組Ａx＝ｂ有解，要證R(A)=R(B)。（反證法）設(shè)R(A)＜R(B),則B的行階梯形矩陣中最后一個(gè)非零行對(duì)應(yīng)矛盾方程0=1，這與方程組有解矛盾。因此R(A)=R(B)。目前二百五十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)充分性。證明方程組有解。設(shè)R(A)=R(B)=r(r≤n),把B化為行階梯形矩陣，則B的行階梯形矩陣中含r個(gè)非零行。把這r個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素所對(duì)應(yīng)的未知量作為非自由的未知量，其余n－r個(gè)作為自由未知量，并令n－r個(gè)自由未知量全取零。即可得方程組的一個(gè)解。注意：1）當(dāng)R(A)=R(B)=n時(shí)，方程組沒(méi)有自由未知量，故只有唯一解。2）當(dāng)R(A)=R(B)=r<

n時(shí)，方程組有n－r個(gè)自由未知量，故有無(wú)窮多解。目前二百五十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)線性方程組的解題步驟：1)Ax=0只要把它的系數(shù)矩陣化為行的最簡(jiǎn)形矩陣，把以行最簡(jiǎn)形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元1為系數(shù)的未知數(shù)留在等號(hào)左端，其余的移到等號(hào)的右端，再表示成通解.2）Ax=b

只要把它的增廣矩陣化成行階梯形矩陣，由定理3，判斷它是否有解。若有解，則對(duì)增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡(jiǎn)形矩陣。把行最簡(jiǎn)形矩陣中非零行第一個(gè)非零元素1為系數(shù)的未知數(shù)留在等號(hào)左端，其余均移到等號(hào)右端。再表示成通解。二、線性方程組的解法目前二百五十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例1求解齊次線性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣A施以初等行變換為行最簡(jiǎn)形矩陣:目前二百六十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)即得到與原方程組的同解方程組即x3,x4可以任意取值.目前二百六十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)令x3=k1,x4=k2,把它寫(xiě)成參數(shù)形式其中k1,k2,為任意實(shí)數(shù)。目前二百六十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)其解亦可表為向量形式目前二百六十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例2求解非齊次線性方組解對(duì)增廣矩陣B實(shí)施行的初等變換目前二百六十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)可見(jiàn)，R(A)=2,R(B)=3.故方程組無(wú)解。目前二百六十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例3求解非其次線性方程組解對(duì)增廣矩陣B實(shí)施行的初等變換目前二百六十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)顯然，R(A)=R(B)=2＜4，所以原方程組有無(wú)窮多解，且具有下列同解方程組：目前二百六十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)即故

k1,k2為任意常數(shù)。目前二百六十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)k1,k2

為任意常數(shù)。寫(xiě)成向量形式目前二百六十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例4設(shè)有線性方程組問(wèn)

λ

取何值時(shí)，此方程組（1）有唯一解？（2）無(wú)解？（3）有無(wú)窮多個(gè)解？并在有無(wú)窮多解時(shí)，求其通解。目前二百七十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解對(duì)增廣矩陣B=（A|b）實(shí)施行的初等變換:目前二百七十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前二百七十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)1）當(dāng)

λ≠0,且λ≠－3時(shí)，Ｒ(A)=R(B)=3,方程組有唯一解;2)當(dāng)λ=0時(shí),R(A)=1,R(B)=2,方程組無(wú)解；3)當(dāng)λ=－3時(shí),R(A)=R(B)=2,方程組有無(wú)窮多解.目前二百七十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)當(dāng)λ=-3時(shí)，得同解方程：即目前二百七十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)§4初等矩陣一、初等矩陣的概念定義４由單位矩陣Ｅ經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣。目前二百七十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)１．對(duì)調(diào)兩行（列）．第i行第ｊ行目前二百七十六頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)２．以數(shù)ｋ≠０乘以某行（列）第i行目前二百七十七頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)３．以數(shù)k乘以某行（列）加到另一行（列）上去．第i行第ｊ行目前二百七十八頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)注意：初等方陣是可逆矩陣，且其逆矩陣仍然是初等方陣。目前二百七十九頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)例１．設(shè)計(jì)算：目前二百八十頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)解：目前二百八十一頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前二百八十二頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)目前二百八十三頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)二、初等方陣的有關(guān)定理定理４．設(shè)Ａ是一個(gè)m×n矩陣，對(duì)A實(shí)施一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣;對(duì)A實(shí)施一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。目前二百八十四頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)定理5.設(shè)A為可逆矩陣，則存在有限個(gè)初等矩陣，使

Ａ＝證：因?yàn)椋剩沤?jīng)過(guò)有限次初等變換可變成Ａ，也就是說(shuō)，存在有限個(gè)初等矩陣使即目前二百八十五頁(yè)\總數(shù)五百四十一頁(yè)\編于十八點(diǎn)推論：m×n矩陣Ａ～Ｂ的充分必要條件是：存在m

階可逆矩陣Ｐ及n階可逆矩陣Ｑ，使ＰＡＱ=Ｂ．目前二