廣義積分概念引入的幾何背景分析

廣義積分概念引入的幾何背景分析宋榕榮[摘要]我們在研究定積分時都有直觀的幾何意義，定積分的被積函數(shù)的區(qū)間為有限區(qū)間，函數(shù)為該區(qū)間上的有界函數(shù)。當我們去掉這兩個限制時，就得到廣義積分，我們就用它們之間的這種聯(lián)系引入廣義積分的幾何背景。[關鍵字]定積分廣義積分幾何背景一、廣義積分與定積分之間的區(qū)別和聯(lián)系〔1〕形式上：定積分的區(qū)間是有限區(qū)間，即上下限都是有限實數(shù)，且定積分的被積函數(shù)是有界函數(shù)，而廣義積分的被積函數(shù)的區(qū)間是無窮的或函數(shù)無界。〔2〕內容上：定積分的被積函數(shù)是有界連續(xù)函數(shù)。無窮區(qū)間[〕的廣義積分，假設存在，那么廣義積分收斂，否那么發(fā)散。類似的有在定義在〔]上的廣義積分的收斂發(fā)散性。同時還有定義在〔〕上的廣義積分的收斂性。二、無窮區(qū)間上的廣義積分的幾何背景無窮區(qū)間上的廣義積分也就是被積函數(shù)的定義域無上限或無下限，這類的廣義積分在形式上可分為三種，我們用三個例子來加以說明：例1求曲線f(x)=的下方、=1的右方、軸上方的平面區(qū)域面積。O1x=aO1x=a分析：所求面積的區(qū)域如下圖。由于區(qū)域是不封閉的，故不可用定積分直接求其面積。但所給區(qū)域是確定的〔即坐標面上任何一點在該區(qū)域的內部、外部或邊界上是明確的〕。在x=1的右側做一條垂直于x軸的直線x=a(a>1),那么曲線f(x)=、=1、=a、x軸圍成一個曲邊梯形〔陰影局部所示〕，其面積用定積分表示為。要求其面積的不封閉區(qū)域可想象成右邊界在無窮遠處的曲邊梯形。該曲邊梯形課由陰影局部曲邊梯形的右邊界x=a沿x軸正方向無窮遠處平移得到，故其面積可從形式上類比到，而其實質為〔對應于陰影局部曲邊梯形的右邊界x=a向右平移至無窮遠處〕。故所求面積為=。解：設曲線f(x)=的下方、=1的右方、軸上方的平面區(qū)域的面積為A，那么A====()=(1)=1所以曲線f(x)=的下方、x=1的右方、x軸上方的平面區(qū)域的面積為1。例2求曲線f(x)=的下方、x=-1的左方、x軸上方的平面區(qū)域的面積。00-1x=a分析：所求面積的區(qū)域如下圖。由于區(qū)域是不封閉的，故不可用定積分直接求其面積。但所給區(qū)域是確定的〔即坐標面上任何一點在該區(qū)域的內部、外部或邊界上是明確的〕。在x=-1的左側做一條垂直于x軸的直線x=a(a<-1),那么曲線f(x)=、=-1、=a、x軸圍成一個曲邊梯形〔陰影局部所示〕，其面積用定積分表示為。要求其面積的不封閉區(qū)域可想象成左邊界在無窮遠處的曲邊梯形。該曲邊梯形課由陰影局部曲邊梯形的右邊界x=a沿x軸負方向無窮遠處平移得到，故其面積可從形式上類比到，而其實質為〔對應于陰影局部曲邊梯形的右邊界x=a向左平移至無窮遠處〕。故所求面積為=。解：設曲線f(x)=的下方、x=-1的左方、x軸上方的平面區(qū)域的面積為A，A===()=(1)=1那么曲線f(x)=的下方、x=-1的左方、x軸上方的平面區(qū)域的面積為1例3求曲線f(x)=下方、x軸上方的平面區(qū)域的面積。y=az=by=az=b0x=c分析：所求區(qū)域的面積如下圖。由于區(qū)域不是閉合區(qū)域，故無法用定積分直接表示其面積。任作一條垂直于x軸的直線x=c，那么區(qū)域被分成左、右兩個局部。根據(jù)例1、例2的方法，分別在x=c左、右作垂直于x軸的直線x=a與x=b，那么兩局部的面積可分別表示為、=。而所求面積的區(qū)域可看成上下邊界為曲線與x軸左右邊界分別在左右無窮遠處的曲邊梯形，故其面積可形式上記為。從而所求面積為=+=+。解：設曲線f(x)=下方、x軸上方的平面區(qū)域的面積為C，那么C======()++()==那么曲線f(x)=下方、x軸上方的平面區(qū)域的面積為。三、無界函數(shù)的廣義積分的幾何背景假設無界函數(shù)f(x)在(a,b]上有意義，在a點附近無界。根據(jù)無界函數(shù)廣義積分的概念，對任意的>0，函數(shù)f(x)在[a+,b]上可積，當趨向于0時，函數(shù)的廣義積分為=。由此可聯(lián)想到廣義積分的幾何問題。如下列圖為無界函數(shù)f(x)的圖像，f(x)在(a,b]上有意義，在a附近無界，曲線f(x)下方、x軸上方y(tǒng)=b右邊的區(qū)域的面積為A。x=bbx=bba0分析： 我們將x=0向左平移(a<<b),此時問題就轉化為定積分的問題。由f(x)，x=,x=b以及x軸圍成的圖形的面積A為，當a趨向于0時，所求面積為S=。例1求曲線下方、直線右方、軸上方、軸左方的區(qū)域的面積。YYOX-1x=a分析：所求面積區(qū)域如下圖。由于為函數(shù)的無窮間斷點，故所給區(qū)域不閉合。但平面區(qū)域是閉合的〔即平面上的任一點在區(qū)域的內部、外部或邊界上是明確的〕。由于區(qū)域不閉合，不能用定積分之直接表示其面積。在直線與之間做一條垂直于軸的直線(-1<<0),得一曲邊梯形〔如陰影局部所示〕，其面積課表示為。需求面積的不封閉區(qū)域可看成由陰影局部所示的曲邊梯形的右邊界從左側向直線無限平移得到。故不封閉區(qū)域的面積可形式上記為，其實質為或，即=。解：設所求曲線下方、直線右方、軸上方、軸左方的區(qū)域的面積為A。A====()由上述計算結果可知發(fā)散，故所求區(qū)域的面積為。例2求曲線下方、直線左方、軸上方、軸右方的區(qū)域的面積。分析：所求面積區(qū)域如下圖。由于為函數(shù)的無窮間斷點，故所給區(qū)域不閉合。但平面區(qū)域是閉合的。由于區(qū)域不閉合，不能用定積分直接表示其面積。在直線與之間作一條垂直于軸的直線(0<<1),得一曲邊梯形〔如陰影局部所示〕，其面積課表示為。需求面積的不封閉區(qū)域可看成由陰影局部所示的曲邊梯形的右邊界從右側向直線無限平移得到。故不封閉區(qū)域的面積可形式上記為，其實質為或，即=。詳解法同例1。YYOXx=a1例3求函數(shù)f(x)=下方、x=-1右方、x=1左方、x軸上方的區(qū)域面積。00x=ax=b-11分析：所求面積如下圖。由為函數(shù)f(x)=，的無窮間斷點知區(qū)域不封閉，故其面積不能用定積分來直接表示。直線將區(qū)域分成左右兩個局部，由例1、例2分析知其對應面積分別表示為＋。所求面積可形式上表示為＝＋，故所求面積為＝＋。解：設函數(shù)f(x)=下方、x=-1右方、x=1左方、x軸上方的區(qū)域面積為S，求得S為，即所求面積為。例4求曲線f(x)=(0<x<)、x=左側、軸上方，右側的區(qū)域的面積。00x=a分析：所求面積區(qū)域如下圖。所給區(qū)域不閉合，那么不能用定積分直接求其面積，在與之間作一條垂直于軸的直線〔〕。解：令由f(x)=與x=，軸，x=，軸所圍成的圖形面積為S，S=d(x)====()求得S為，即所求面積為。注：，因此，所以設，那么即，因此四、列舉實例對兩種廣義積分的幾何應用進行說明例1求曲線下方，右方、軸上方的區(qū)域的面積。 -3-30解：令曲線下方，右方、軸上方的區(qū)域的面積為S，那么S=====求曲線下方、左方、x軸上方、y軸右方的區(qū)域的面積。003解：令曲線下方、左方、x軸上方、y軸右方的區(qū)域的面積為S，那么所求面積為。五、介紹廣義積分的立體幾何應用例設有一不封閉曲邊形，它是由連續(xù)曲線f(x)=〔x>0〕、x軸、軸及x=a(a>0)所構成，它繞x軸旋轉一圈而成立體，求旋轉體的體積。OO分析：由于該旋轉體不封閉，不能直接用定積分來求，我們作一個垂直于x軸的平面去截取該圖形，讓無限趨向于平面。解：設平面為，那么在區(qū)間[m,a]內任何一個垂直與y軸的平面與這個旋轉體相交的截面積A(y)=由此我們得到該旋轉體的體積為:V(y)==六、廣義積分的幾何意義〔一〕無窮區(qū)間上的廣義積分的幾何意義假設在[)〔或〔]〕上定義存在，在上時,定積分在幾何上表示曲線、兩條直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積。我們將直線無限向左平移〔或將直線無限向右平移〕得到廣義積分〔或〕的幾何意義。在上時，同理可得其幾何意義?！捕碂o界函數(shù)的廣義積分的幾何意義假設在(]上有定義，在點附近無界，且對任意小的，在上可積，那么廣義積分的幾何意義是曲線、兩條直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積。當時，即直線無限趨向于0時，即得廣義積分的幾何意義。同理可得在b點附近無界的廣義積分的幾何意義。[參考文獻]1、宋開泰、黃象鼎、朱方生微積分：武漢大學出版社，20052、謝盛剛、李娟、陳秋桂微積分：科學出版社，20043、歐陽光中、姚允龍數(shù)學分析,20024、王永安、廣義積分：定積分在極限思想下的自然延伸TheconceptofgeneralizedintegralgeometrybackgroundanalysisAbstractWestudythedefiniteintegralisintuitivegeometricmeaning,thedefiniteintegraloftheintervalforfiniteinterval,thefunctiontotheintervalonaboundedfunction.Whenweg