整式的乘法與因式分解壓軸題解析

整式的乘法與因式分解壓軸題解析整式的乘法與因式分解壓軸題解析/NUMPAGES22整式的乘法與因式分解壓軸題解析整式的乘法與因式分解壓軸題解析整式的乘法與因式分解【知識(shí)脈絡(luò)】【基礎(chǔ)知識(shí)】1．單項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．3a2b2×2abc=（3×2）×（a2b2×abc）=6a3b2．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：a(b+c+d)=ab+ac+ad單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加．3．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加．4．乘法公式：①完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍．②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．5．因式分解（難點(diǎn)）因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．一、掌握因式分解的定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止．因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．二、熟練掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項(xiàng)含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；（2）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng)．（3）注意點(diǎn)：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到“底”；②如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“－”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的．2、公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2【典例解析】例題1：數(shù)學(xué)家發(fā)明了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意數(shù)對(duì)（a，b）進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的數(shù)：（a﹣1）（b﹣2）．現(xiàn)將數(shù)對(duì)（m，1）放入其中，得到數(shù)n，再將數(shù)對(duì)（n，m）放入其中后，最后得到的數(shù)是﹣m2+2m．（結(jié)果要化簡）【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意的新定義列出關(guān)系式，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意得：（m﹣1）（1﹣2）=n，即n=1﹣m，則將數(shù)對(duì)（n，m）代入得：（n﹣1）（m﹣2）=（1﹣m﹣1）（m﹣2）=﹣m2+2m．故答案為：﹣m2+2m【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．例題2：乘法公式的探究與應(yīng)用：（1）如圖甲，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，請(qǐng)你寫出陰影部分面積是a2﹣b2（寫成兩數(shù)平方差的形式）（2）小穎將陰影部分裁下來，重新拼成一個(gè)長方形，如圖乙，則長方形的長是a+b，寬是a﹣b，面積是（a+b）（a﹣b）（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）．（3）比較甲乙兩圖陰影部分的面積，可以得到公式（兩個(gè)）公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（4）運(yùn)用你所得到的公式計(jì)算：10.3×9.7．【考點(diǎn)】平方差公式的幾何背景．【分析】（1）中的面積=大正方形的面積﹣小正方形的面積=a2﹣b2；（2）中的長方形，寬為a﹣b，長為a+b，面積=長×寬=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；反過來也成立；（4）把10.3×9.7寫成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．【解答】解：（1）陰影部分的面積=大正方形的面積﹣小正方形的面積=a2﹣b2；（2）長方形的寬為a﹣b，長為a+b，面積=長×寬=（a+b）（a﹣b）；故答案為：a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）故答案為：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91．例題3：如圖，將一邊長為a的正方形（最中間的小正方形）與四塊邊長為b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，則四邊形ABCD的面積為（）A． b2+（b﹣a）2B．b2+a2C．（b+a）2D．a(chǎn)2+2ab考點(diǎn)：勾股定理．分析：先求出AE即DE的長，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．解答：解：∵DE=b﹣a，AE=b，∴S四邊形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）?b=b2+（b﹣a）2．故選：A．點(diǎn)評(píng):本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．例題4：如圖1，我們?cè)?017年1月的日歷中標(biāo)出一個(gè)十字星，并計(jì)算它的“十字差”（將十字星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)分別相乘再將所得的積作差，稱為該十字星的“十字差”）．該十字星的十字差為10×12﹣4×18=48，再選擇其他位置的十字星，可以發(fā)現(xiàn)“十字差”仍為48．（1）如圖2，將正整數(shù)依次填入5列的長方形數(shù)表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的“十字差”也是一個(gè)定值，則這個(gè)定值為24．（2）若將正整數(shù)依次填入k列的長方形數(shù)表中（k≥3），繼續(xù)前面的探究，可以發(fā)現(xiàn)相應(yīng)“十字差”為與列數(shù)k有關(guān)的定值，請(qǐng)用k表示出這個(gè)定值，并證明你的結(jié)論．（3）如圖3，將正整數(shù)依次填入三角形的數(shù)表中，探究不同十字星的“十字差”，若某個(gè)十字星中心的數(shù)在第32行，且其相應(yīng)的“十字差”為2017，則這個(gè)十字星中心的數(shù)為975（直接寫出結(jié)果）．【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【分析】（1）根據(jù)題意求出相應(yīng)的“十字差”，即可確定出所求定值；（2）定值為k2﹣1=（k+1）（k﹣1），理由為：設(shè)十字星中心的數(shù)為x，表示出十字星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)，進(jìn)而表示出十字差，化簡即可得證；（3）設(shè)正中間的數(shù)為a，則上下兩個(gè)數(shù)為a﹣62，a+64，左右兩個(gè)數(shù)為a﹣1，a+1，根據(jù)相應(yīng)的“十字差”為2017求出a的值即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：6×8﹣2×12=48﹣24=24；故答案為：24；（2）定值為k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；證明：設(shè)十字星中心的數(shù)為x，則十字星左右兩數(shù)分別為x﹣1，x+1，上下兩數(shù)分別為x﹣k，x+k（k≥3），十字差為（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，故這個(gè)定值為k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；（3）設(shè)正中間的數(shù)為a，則上下兩個(gè)數(shù)為a﹣62，a+64，左右兩個(gè)數(shù)為a﹣1，a+1，根據(jù)題意得：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）=2017，解得：a=975．故答案為：975．【跟蹤訓(xùn)練】1.利用1個(gè)a×a的正方形，1個(gè)b×b的正方形和2個(gè)a×b的矩形可拼成一個(gè)正方形（如圖所示），從而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=（a+b）2．2.如圖，有正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類各若干張，如果用這三類卡片拼一個(gè)長為2a+b、寬為a+2b的大長方形，通過計(jì)算說明三類卡片各需多少張？3.已知a、b、c是△ABC的三條邊，且滿足a2+bc=b2+ac，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形4.在日歷上，我們發(fā)現(xiàn)某些數(shù)會(huì)滿足一定的規(guī)律，比如2016年1月份的日歷，我們?cè)O(shè)計(jì)這樣的算法：任意選擇其中的2×2方框，將方框中4個(gè)位置上的數(shù)先平方，然后交叉求和，再相減請(qǐng)你按照這個(gè)算法完成下列計(jì)算，并回答以下問題[2016年1月份的日歷]日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）計(jì)算：（12+92）﹣（22+82）=14，﹣=14，自己任選一個(gè)有4個(gè)數(shù)的方框進(jìn)行計(jì)算14（2）通過計(jì)算你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，并說明理由．5.已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．6.已知，則（a+b）2﹣（a﹣b）2的值為1．7.①一個(gè)多項(xiàng)式除以2m得1﹣m+m2，這個(gè)多項(xiàng)式為2m﹣2m2+2m3②6x2+5x﹣6÷（2x+3）=（3x﹣2）．③小玉和小麗做游戲，兩人各報(bào)一個(gè)整式，小玉報(bào)一個(gè)被除式，小麗報(bào)一個(gè)除式，要求商必須是3ab．若小玉報(bào)的是3a2b﹣ab2，則小麗報(bào)的是a﹣b；若小麗報(bào)的是9a2b，則小玉報(bào)的整式是27a3b2．④如圖甲、乙兩個(gè)農(nóng)民共有4塊地，今年他們決定共同投資搞飼養(yǎng)業(yè)，為此他們準(zhǔn)備將這4塊地?fù)Q成寬為（a+b）cm的地，為了使所換到的面積與原來地的總面積相等，交換之后的地的長應(yīng)為a+cm．8.閱讀下面的解答過程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值為0，∴y2+4y+8的最小值為4．仿照上面的解答過程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．參考答案：1.利用1個(gè)a×a的正方形，1個(gè)b×b的正方形和2個(gè)a×b的矩形可拼成一個(gè)正方形（如圖所示），從而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=（a+b）2．【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法．【分析】根據(jù)提示可知1個(gè)a×a的正方形，1個(gè)b×b的正方形和2個(gè)a×b的矩形可拼成一個(gè)正方形，利用面積和列出等式即可求解．【解答】解：兩個(gè)正方形的面積分別為a2，b2，兩個(gè)長方形的面積都為ab，組成的正方形的邊長為a+b，面積為（a+b）2，所以a2+2ab+b2=（a+b）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了運(yùn)用完全平方公式分解因式，關(guān)鍵是理解題中給出的各個(gè)圖形之間的面積關(guān)系．2.如圖，有正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類各若干張，如果用這三類卡片拼一個(gè)長為2a+b、寬為a+2b的大長方形，通過計(jì)算說明三類卡片各需多少張？【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．【分析】根據(jù)長乘以寬，表示出大長方形的面積，即可確定出三類卡片的張數(shù)．【解答】解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，∴需要A類卡片2張，B類卡片2張，C類卡片5張．3.已知a、b、c是△ABC的三條邊，且滿足a2+bc=b2+ac，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【分析】已知等式左邊分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0兩因式中至少有一個(gè)為0得到a=b，即可確定出三角形形狀．【解答】解：已知等式變形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，即（a﹣b）（a+b﹣c）=0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b=0，即a=b，則△ABC為等腰三角形．故選：C．4.在日歷上，我們發(fā)現(xiàn)某些數(shù)會(huì)滿足一定的規(guī)律，比如2016年1月份的日歷，我們?cè)O(shè)計(jì)這樣的算法：任意選擇其中的2×2方框，將方框中4個(gè)位置上的數(shù)先平方，然后交叉求和，再相減請(qǐng)你按照這個(gè)算法完成下列計(jì)算，并回答以下問題[2016年1月份的日歷]日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）計(jì)算：（12+92）﹣（22+82）=14，﹣=14，自己任選一個(gè)有4個(gè)數(shù)的方框進(jìn)行計(jì)算14（2）通過計(jì)算你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，并說明理由．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．【分析】（1）先算乘法，再合并即可；（2）設(shè)最小的數(shù)字為n，則其余三個(gè)分別為n+8，n+1，n+7，根據(jù)題意得出算式[n2+（n+8）2]﹣[（n+1）2+（n+7）2]，求出即可．【解答】解：（1）（12+92）﹣（22+82）=1+81﹣4﹣64=14，﹣=100+324﹣121﹣289=14，（32+112）﹣（42+102）=9+121﹣16﹣100=14，故答案為：14；（2）計(jì)算結(jié)果等于14，理由是：設(shè)最小的數(shù)字為n，則其余三個(gè)分別為n+8，n+1，n+7，所以[n2+（n+8）2]﹣[（n+1）2+（n+7）2]=n2+n2+16n+64﹣n2﹣2n﹣1﹣n2﹣14n﹣49=14．5.已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．【考點(diǎn)】完全平方公式．【分析】根據(jù)完全平方公式即可求出答案．【解答】解：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，∴25=x2+y2+，∴x2+y2=∵（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，∴（x﹣y）2=﹣=16∴x﹣y=±46.已知，則（a+b）2﹣（a﹣b）2的值為1．考點(diǎn)：因式分解-運(yùn)用公式法．分析：首先利用完全平方公式展開進(jìn)而合并同類項(xiàng)，再將已知代入求出即可．解答：解：∵（a+b）2﹣（a﹣b）2=（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣2ab+b2）=4ab，∴將，代入上式可得：原式=4ab=4××=1．故答案為：1．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式的形式是解題關(guān)鍵．7.①一個(gè)多項(xiàng)式除以2m得1﹣m+m2，這個(gè)多項(xiàng)式為2m﹣2m2+2m3②6x2+5x﹣6÷（2x+3）=（3x﹣2）．③小玉和小麗做游戲，兩人各報(bào)一個(gè)整式，小玉報(bào)一個(gè)被除式，小麗報(bào)一個(gè)除式，要求商必須是3ab．若小玉報(bào)的是3a2b﹣ab2，則小麗報(bào)的是a﹣b；若小麗報(bào)的是9a2b，則小玉報(bào)的整式是27a3b2．④如圖甲、乙兩個(gè)農(nóng)民共有4塊地，今年他們決定共同投資搞飼養(yǎng)業(yè)，為此他們準(zhǔn)備將這4塊地?fù)Q成寬為（a+b）cm的地，為了使所換到的面積與原來地的總面積相等，交換之后的地的長應(yīng)為a+cm．考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算．分析：①利用2m乘1﹣m+m2計(jì)算即可；②把除式和商相乘即可；③根據(jù)被除式÷商=除式，被除式=除式×商列式計(jì)算即可；④利用4塊土地?fù)Q成一塊地后的面積與原來4塊地的總面積相等，而原來4塊地的總面積=a2+bc+ac+ab，得到4塊土地?fù)Q成一塊地后面積為（a2+bc+ac+ab）米，又此塊地的寬為（a+b）米，根據(jù)矩形的面積公式得到此塊地的長=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b），把被除式分