公務(wù)員考試數(shù)量關(guān)系公式

數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)一、數(shù)列1.等差數(shù)列：中項(xiàng)求和公式①n為奇數(shù)時(shí)：②n為偶數(shù)時(shí)：2.等比數(shù)列：3.一些數(shù)列前n項(xiàng)和①奇數(shù)項(xiàng)和：1+3+5+…+(2n-1)=n2【項(xiàng)數(shù)為時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和減偶數(shù)項(xiàng)和為數(shù)列中項(xiàng)】②偶數(shù)項(xiàng)和：2+4+6+…+(2n)=n(n+1)③平方數(shù)列求和：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)④立方數(shù)列求和：13+23+33+…+n3=[n(n+1)]2二、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)公式1.乘法公式立方和：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)立方差：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)完全立方和/差：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3裂項(xiàng)公式：加權(quán)平均數(shù)：調(diào)和平均數(shù)：二項(xiàng)式定理：二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式：分期付款(按揭貸款)：每次還款元（貸款a元，n次還清，每期利率為b）2.幾何公式①扇形：周長(zhǎng)L=(nπr/180)+2r面積S=nπr2/360②圓柱：表面積S=2πrh+2πr2體積V=πr2h③球體：表面積S=4πr2體積V=πr3④圓錐：表面積S=πr2+?πr2R【R為母線】體積V=?πr2h③正四面體：表面積體積3.幾何問題其余結(jié)論：①全部表面積相等立體圖形中，球體積最大，越靠近球體，體積越大。②n條直線最多能夠?qū)⑵矫娣譃?+?n(n+1)個(gè)區(qū)域。③n個(gè)圓相交最多能夠有n(n-1)個(gè)交點(diǎn)。③一個(gè)正方形被分割成若干小正方形，除了不能分為2個(gè)、3個(gè)、5個(gè)，其余數(shù)量都可完成。④滿足勾股定理三邊有：【3,4,5】【5,12,13】【6,8,10】【7,24,25】【8,15,17】【9,12,15】⑤已知三角形最長(zhǎng)邊為n，三邊均為整數(shù)，這么三角形有多少個(gè)?n=2k-1時(shí)，為k2個(gè)三角形；n=2k時(shí)，為(k+1)k個(gè)三角形。⑥已知邊長(zhǎng)為a、b、c長(zhǎng)方體由邊長(zhǎng)為1小立方體組成。則一共有abc個(gè)小立方體；內(nèi)部看不見立方有：(a-2)(b-2)(c-2)；露在外面小立方體有：abc-(a-2)(b-2)(c-2)⑦歐拉定理：V＋F－E=2(簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F)E=各面多邊形邊數(shù)和二分之一。若每個(gè)面邊數(shù)為n多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E關(guān)系：；若每個(gè)頂點(diǎn)引出棱數(shù)為，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E關(guān)系：⑧立體涂色問題：一個(gè)邊長(zhǎng)為n正方體，由n3個(gè)邊長(zhǎng)為1小正方體組成。最外層涂色，則：3面被涂色小正方體有8個(gè)

2面被涂色小正方體有(n-2)×12個(gè)

1面被涂色小正方體有(n-2)2×6個(gè)

0面被涂色小正方體有(n-2)3個(gè)

總共被涂色有n3－(n-2)3個(gè)數(shù)字特征1.倍數(shù)關(guān)系若a∶b=m∶n(m，n互質(zhì))，則a是m倍數(shù)；b是n倍數(shù)；a±b是m±n倍數(shù)。若x=mny(m，n互質(zhì))，則x是m倍數(shù)；y是n倍數(shù)。兩個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)與最大條約數(shù)關(guān)系：最大條約數(shù)×最小公倍數(shù)=兩數(shù)積3.奇偶運(yùn)算法則①加減規(guī)律：奇±奇=偶±偶=偶；奇±偶=奇；②乘法規(guī)律：奇×偶=偶×偶=偶；奇×奇=奇；【有奇為偶，無(wú)偶為奇】4.基本冪數(shù)周期①2n尾數(shù)周期為4，分別為2，4，6，8…②3n尾數(shù)周期為4，分別為3，9，7，1…③4n尾數(shù)周期為2，分別為4，6…④5n，6n尾數(shù)不變；⑤7n尾數(shù)周期為4，分別為7，9，3，1…⑥8n尾數(shù)周期為4，分別為8，4，2，6…⑦9n尾數(shù)周期為2，分別為9，1…⑧nn(n≥10)尾數(shù)為n末位冪尾數(shù)。4.整除判定法則①能被2、4、8、5、25、125整除數(shù)數(shù)字特征能被2(或5)整除數(shù)，末一位數(shù)能被2(或5)整除；能被4(或25)整除數(shù)，末兩位數(shù)能被4(或25)整除；能被8(或125)整除數(shù)，末三位數(shù)能被8(或125)整除；一個(gè)數(shù)被2(或5)除得余數(shù)，就是其末一位數(shù)被2(或5)除得余數(shù)；一個(gè)數(shù)被4(或25)除得余數(shù)，就是其末兩位數(shù)被4(或25)除得余數(shù)；一個(gè)數(shù)被8(或125)除得余數(shù)，就是其末三位數(shù)被8(或125)除得余數(shù)。②能被3(或9)整除數(shù)，各位數(shù)字和能被3(或9)整除；一個(gè)數(shù)被3(或9)除得余數(shù)，就是其各位相加后被3(或9)除得余數(shù)。③能被7整除數(shù)，其末一位數(shù)2倍與剩下數(shù)之差，能被7整除；其末三位數(shù)與剩下數(shù)之差，能被7整除。如362，末一位2倍為4，與剩下數(shù)36之差為32——不能被7整除如12047，末三位047與剩下數(shù)12之差為35——能被7整除③能被11整除數(shù)，奇數(shù)位和與偶數(shù)位和之差，能被11整除。當(dāng)且僅當(dāng)其末三位數(shù)與剩下數(shù)之差，能被11整除。如7394，奇數(shù)位和7+9=16，偶數(shù)位和3+4=7，16-7=9——不能被11整除如15235，末三位235與剩下數(shù)15之差為220——能被11整除111④能被7(11或13)整除數(shù)，其末三位數(shù)與剩下數(shù)之差，能被7(11或13)整除。將一個(gè)多位數(shù)從后往前三位一組分段，奇數(shù)段各三位數(shù)之和與偶數(shù)段各三位數(shù)之和差能被7(11或13)整除。5.剩下定理①余同加余：一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1，因?yàn)橛鄶?shù)都是1，則取1，公倍數(shù)做周期，則這個(gè)數(shù)為60n+1②和同加和：一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，因?yàn)?+3=5+2=6+1，則取7，公倍數(shù)做周期，則這個(gè)數(shù)為60n+7③差同減差：一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3，因?yàn)?-1=5-2=6-3，則取3，公倍數(shù)做周期，則這個(gè)數(shù)為60n-3【例題】：三位自然數(shù)N滿足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，則符合條件自然數(shù)n有幾個(gè)?A.8B.9C.15D.16【解析】4、5、6最小公倍數(shù)是60，能夠算出這個(gè)數(shù)為60n+3，已知條件n是一個(gè)三位數(shù)，所以n能夠取2到16全部整數(shù)，共15個(gè)。6.余數(shù)定理定理1：兩數(shù)和除以m余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m余數(shù)和（1）7÷3=…1，5÷3=…2，則（7+5）÷3余數(shù)就等于1+2=3，所以余0（2）8÷3=…2，5÷3=…2，2+2=4>3，4÷3…1，則（8+5）÷3余數(shù)就等于1【例題】有8個(gè)盒子分別裝有17個(gè)、24個(gè)、29個(gè)、33個(gè)、35個(gè)、36個(gè)、38個(gè)和44個(gè)乒乓球，小趙取走一盒，其余被小錢、小孫、小李取走，已知小錢和小孫取走乒乓球個(gè)數(shù)相同，而且是小李取走兩倍，則小趙取走各個(gè)盒子中乒乓球最可能是（）。A.29個(gè)B.33個(gè)C.36個(gè)D.38個(gè)【解析】小錢和小孫都是小李兩倍，即小李是1份，小錢和小孫都是2份，三個(gè)人加起來(lái)是5份，也就是說(shuō)三個(gè)人和是5倍數(shù)。所以，小李+小錢+小孫=總數(shù)量-小趙=5倍數(shù)，總數(shù)量與小趙關(guān)于5同余。用定理1計(jì)算總數(shù)量除以5余數(shù)，17個(gè)、24個(gè)、29個(gè)、33個(gè)、35個(gè)、36個(gè)、38個(gè)、44個(gè)除分別余2、余4、余4、余3、余0、余1、余3、余4。2+4+4+3+0+1+3+4=21÷5=4…1，總數(shù)量除以5余1，所以小趙除以5也余1。選C定理2：兩數(shù)積除以m余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m余數(shù)積（1）7÷3余1，5÷3余2，則（7×5）÷3余數(shù)就等于1×2=2，所以余2（2）8÷3=…2，5÷3=…2，2+2=4>3，4÷3…1，則（8×5）÷3余數(shù)就等于1【例題】有一條長(zhǎng)1773mm鋼管，把它鋸成長(zhǎng)度分別為41mm和19mm兩種規(guī)格小鋼管，結(jié)果恰好用完，則可能鋸成41mm鋼管（）段。A.20B.31C.40D.52【解析】設(shè)長(zhǎng)度為41mm鋼管x段，19mm鋼管y段，可列方程41x+19y=1773，19y顯然能被19整除，而1773÷19=93…6，所以41x÷19一定也余6，又41÷19余3，依照定理2，x÷19只能余2，選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)滿足此條件，應(yīng)選C數(shù)量關(guān)系經(jīng)典題型日期問題

1.每個(gè)世紀(jì)前99年，能被4整除是閏年；每個(gè)世紀(jì)最終一年，能被400整除是閏年。

2.平年有52個(gè)星期零1天，一年后這一天星期數(shù)改變加1；閏年有52個(gè)星期零二天。

3.月歷分析：七月前單月為大月，雙月為小月【1，3，5，7，8，10，12】

八月后單月為小月，雙月為大月【4，6，9，11】

①每個(gè)月1，2，3日對(duì)應(yīng)星期數(shù)可能出現(xiàn)5次。

②大月當(dāng)月1，2，3日對(duì)應(yīng)星期數(shù)出現(xiàn)5次；小月當(dāng)月1，2日對(duì)應(yīng)星期數(shù)出現(xiàn)5次；閏年2月有29天，當(dāng)月1日對(duì)應(yīng)星期出現(xiàn)5次。

二、年紀(jì)問題：利用年紀(jì)差不變，可列方程求解。

三、植樹問題1.不封閉路線①兩端植樹：顆樹=全長(zhǎng)/間距－1②兩端不植樹：顆數(shù)=全長(zhǎng)/間距－12.封閉路線：顆數(shù)=全長(zhǎng)/間距方陣問題從內(nèi)向外：每層人數(shù)依次增加8每層總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)×4－4空心方陣總?cè)藬?shù)=層數(shù)×中間層人數(shù)=每邊最外層人數(shù)2－(最內(nèi)層每邊人數(shù)－2)2鐘表問題1.分針每分鐘走360°÷60=6°，時(shí)鐘每分鐘走60°÷60=0.5°，每分鐘二者角度差為5.5°2.時(shí)針每分鐘走5/60=1/12格，時(shí)針每分鐘走1格，每分鐘二者旅程差為11/12格。3.分針追擊時(shí)針問題：追及時(shí)間=在初始時(shí)刻需追趕格數(shù)÷(1－1/12)時(shí)針?biāo)俣仁欠昼?/12，分鐘每走60÷（1－1/12）=（分）與時(shí)鐘重合一次。壞鐘問題：壞鐘每小時(shí)比標(biāo)按時(shí)間快n分鐘，則壞鐘/標(biāo)按時(shí)間=(60+n)/60。當(dāng)壞鐘顯示過(guò)了x分鐘，標(biāo)按時(shí)間相當(dāng)于過(guò)了60x/(60+n)分鐘。4.時(shí)針成角度問題①把12點(diǎn)方向作為角始邊，把兩指針在某一時(shí)刻時(shí)針?biāo)阜较蜃鳛榻墙K邊，則m時(shí)n分這個(gè)時(shí)刻時(shí)針?biāo)山菫?0（m+n/60）度，分針?biāo)山菫?n度，而這兩個(gè)角度差即為兩指針夾角。用α表示此時(shí)兩指針夾度數(shù)，則α=30（m+n/60）-6n則α=|30(m+n/60)-6n|=|30m-5.5n|?！颈热纭壳?時(shí)40分兩指針?biāo)鶌A角。【解析】把m=5，n=40代入上式，得α=|150-220|=70°②此公式也可計(jì)算何時(shí)兩指針重合問題和兩指針成任意角問題。時(shí)針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次?！颈热纭壳?時(shí)多少分兩指針重合?！窘馕觥堪薛?0，m=3代入公式得：0=|30×3-5.5n|，解得n=180/11，即3時(shí)180/11分時(shí)兩針重合。濃度問題基本公式：m溶液=m溶質(zhì)+m溶劑c=m溶質(zhì)/m溶液等溶質(zhì)遞減溶劑問題公式：〔ci為第i次溶液濃度，i=1，2，3…〕3.溶液混合普通問題m1c1+m2c2=(m1+m2+)c混〔m為溶液質(zhì)量，c為溶液濃度〕①有某溶液質(zhì)量為m，每次先倒出該溶液m0，再倒入清水m0，經(jīng)過(guò)n次操作后，溶液濃度由c0變?yōu)閏n。則cn=c0[(m-m0)/m]n②有某溶液質(zhì)量為m，每次先倒入清水m0，再倒出該溶液m0，經(jīng)過(guò)n次操作后，溶液濃度由c0變?yōu)閏n。則cn=c0[m/(m+m0)]n【例題】從裝滿1000克濃度為50%酒精瓶中倒出200克酒精，再倒入純酒精將瓶加滿。這么重復(fù)三次后，瓶中酒精濃度是多少？【解析】將題中酒精視為溶劑，清水視為溶質(zhì)，則杯中原有清水濃度為1-50%=50%，依照數(shù)次混合公式，可得到數(shù)次混合之后清水濃度為50%[(1000-200)/1000]3=25.6%，所以數(shù)次混合后酒精濃度為1-25.6%=74.4%。3.十字交叉法與濃度問題濃度問題中混合問題，通常主要采取十字交叉法來(lái)實(shí)現(xiàn)多量和少量保持平衡。已知一瓶溶液濃度為a%，另外一瓶溶液濃度為b%，分別取m和n份進(jìn)行混合，求混合溶液濃度？(m＞n)第一部分a%x-b%——mx則第二部分b%a%-x——n十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)還慣用于增加率問題。已知兩個(gè)量增加率，求兩個(gè)量混合后增加率?！纠}】某班男生比女生人數(shù)多80%，一次考試后，全班平均成績(jī)?yōu)?5分，而女生平均分比男生平均分高20%，則此班女生平均分是()?！窘馕觥吭O(shè)男生平均分x，女生1.2x。(75-1.2x)/(75-x)=1/1.8得x=70，則女生平均分為844.溶液交換濃度相等問題設(shè)兩個(gè)溶液濃度分別為a%，b%，且a>b，設(shè)需要交換溶液為x。則有：(b-x)：x=x：(a-x)→x=ab/a+b【例題】?jī)善繚舛炔灰粯拥名}水混合液。60%溶液是40克，40%溶液是60克。要使得兩個(gè)瓶子溶液濃度相同，則需要相互交換()克溶液?A.36B.32C.28D.24【解析】設(shè)交換溶液為x克，混和后標(biāo)準(zhǔn)濃度c。先對(duì)60%溶液研究，采取十字交叉法來(lái)得：40-x：x=(c-40%)：(60%-c)再對(duì)40%溶液進(jìn)行研究，同理得：60-x：x=(60%-c)：(c-40%)由上面兩式得40-x：x=x：60-x即推出x=(40×60)/(40+60)=24七、盈虧問題：關(guān)鍵思想即人數(shù)=盈虧差÷分配差1.一次盈，一次虧：(盈+虧)÷(兩次每人分配數(shù)差)=人數(shù)2.兩次都有盈：(大盈-小盈)÷(兩次每人分配數(shù)差)=人數(shù)3.兩次都是虧：(大虧-小虧)÷(兩次每人分配數(shù)差)=人數(shù)4.一次虧，一次剛好：虧÷(兩次每人分配數(shù)差)=人數(shù)5.一次盈，一次剛好：盈÷(兩次每人分配數(shù)差)=人數(shù)【例題1】用繩測(cè)井深，把繩三折，井外余2米，把繩四折，還差1米不到井口，那么井深多少米？繩長(zhǎng)多少米？【解析】井深=(3×2+4×1)/(4-3)=10米，繩長(zhǎng)=(10+2)×3=36米。【例題2】有一個(gè)班同學(xué)去劃船。他們算了一下，假如增加1條船，恰好每條船坐6人；假如降低1條船，恰好每條船坐9個(gè)人。那么這個(gè)班共有多少名同學(xué)？【解析】增加一條和降低一條，前后相差2條，可了解為每條船坐6人恰好，若坐9人則空出兩條船。這么就是一個(gè)盈虧問題標(biāo)準(zhǔn)形式了。解答：增加一條船后船數(shù)=9×2/(9-6)=6條，這個(gè)班共有6×6=36名同學(xué)?；蛘咭材軌蛄私鉃槊織l船坐9人恰好，若坐6人則還缺兩條船。增加一條船后船數(shù)=6×2/(9-6)=4條，這個(gè)班共有4×9=36名同學(xué)。雞兔同籠問題假設(shè)全是雞，則兔子數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總只數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）假設(shè)全是兔子，則雞數(shù)=（兔腳數(shù)×總只數(shù)-總腳數(shù)-）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）【例題】燈泡廠生產(chǎn)燈泡工人，按得分多少給工資。每生產(chǎn)一個(gè)合格品記4分，每生產(chǎn)一個(gè)不合格品不但不記分，還要扣除15分。某工人生產(chǎn)了1000只燈泡，共得3525分，問其中有多少個(gè)燈泡不合格？”【解析】假設(shè)全部合格，則不合格有(4×1000-3525)÷(4+15)=475÷19=25（個(gè)）假設(shè)全部不合格，不合格有1000-(15×1000+3525)÷19=1000-18525÷19=25（個(gè)）牛吃草問題：草生長(zhǎng)速度=總量差÷時(shí)間差=（吃草速度1×?xí)r間1－吃草速度2×?xí)r間2）÷時(shí)間差原有草量=（牛數(shù)－天天長(zhǎng)草量）×天數(shù)〔通常設(shè)天天長(zhǎng)草量為x〕草總量=原有草量+新生草量十、利潤(rùn)問題利潤(rùn)率＝利潤(rùn)/成本＝(售價(jià)成本)/成本＝售價(jià)/成本－1售價(jià)＝成本×(１－利潤(rùn)率)成本＝售價(jià)/（１＋利潤(rùn)率)【例題】一商品進(jìn)價(jià)比上月低了5%，但超市仍按上月售價(jià)銷售，其利潤(rùn)率提升了6個(gè)百分點(diǎn)，則超市上月銷售該商品利潤(rùn)率為多少？A.12%B.13%C.14%D.15%【解析】本題中一直不變是售價(jià)，依照售價(jià)＝成本×(１－利潤(rùn)率)，設(shè)商品進(jìn)價(jià)為100，上月利潤(rùn)率為x。則有100×(1+x)=95×(1+x+6%)解得x=14%，選C十一、抽屜原理：①原理1：把多于n個(gè)物體放到n個(gè)抽屜里，則最少有一個(gè)抽屜里有2個(gè)或2個(gè)以上物體。②原理2：把多于mn個(gè)物體放到n個(gè)抽屜里，則最少有一個(gè)抽屜里有m+1個(gè)或多于m+1個(gè)物體。③第二抽屜原理：把（mn－1）個(gè)物體放入n個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至多有（m—1）個(gè)物體。注意：抽屜原理類題也可用“最不利標(biāo)準(zhǔn)”來(lái)思索，答案為“最不利+1”?！纠}】體育用具倉(cāng)庫(kù)里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學(xué)來(lái)倉(cāng)庫(kù)拿球，要求每個(gè)人最少拿1個(gè)球，至多拿2個(gè)球，問最少有幾名同學(xué)所拿球種類是一致？【解析】最多有同學(xué)拿球配組方式共有C(1，3)+2C(2，3)=9種(足球、籃球、排球、足足、籃籃、排排、排籃、足排、足籃)。以這9種配組方式制造9個(gè)抽屜，將這50個(gè)同學(xué)看作蘋果50÷9＝5……5。由抽屜原理2，k＝（m/n）＋1可得，最少有6人，他們所拿球相同。容斥問題1.三者容斥問題問題兩個(gè)不一樣公式①A∪B∪C=A+B+C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C②A∪B∪C=A+B+C－重合一次－2×重合兩次A∪B∪C=K1+K2+K3〔K1為第一層，K2為第二層，K3為第三層〕A+B+C=K1+2K2+3K3=A∪B∪C+K2+2K3【例題】五年級(jí)一班共有55個(gè)學(xué)生，在暑假期間都參加了專長(zhǎng)培訓(xùn)班，35人參加書法班，28人參加美術(shù)班，31人參加舞蹈班，其中以上三種專長(zhǎng)培訓(xùn)班都參加有6人，則有（

）人只參加了一個(gè)專長(zhǎng)培訓(xùn)班。

A.45B.33C.29D.22【解析】依照A+B+C=A∪B∪C+K2+2K3=55+K2+2×6=35+28+31解得K2=27,依照A∪B∪C=K1+K2+K3解得K1=22。K1即表示為只參加一個(gè)專長(zhǎng)班人數(shù)。2.容斥問題其余類型①求兩個(gè)集合交集最小值：A+B-I②求三個(gè)集合交集最小值：A+B+C-2I【例題】小明、小剛和小紅三人一起參加一次英語(yǔ)考試，已知考試共有100道題，且小明做對(duì)了68題，小剛做對(duì)了58題，小紅做對(duì)了78題。問三人都做正確題目最少有幾題?A.4題B.8題C.12題D.16題【解析】解法一：代入公式：68+58+78-2×100=4，選擇A。解法二：由題意知，小明、小剛，小紅做錯(cuò)題分別為32，42，22，三人做錯(cuò)題共有32+42+22=96道，利用最不利標(biāo)準(zhǔn)，即三人最多做錯(cuò)96道，則最少做對(duì)100-96=4道工程問題1.基本工程問題：(1)已知每個(gè)人完成工作時(shí)間，設(shè)工作總量為工作效率最大公倍數(shù)，求出每人工作量。(2)抓住單獨(dú)工作效率或者合作工作效率為解題關(guān)鍵。常見兩種題型：①合作過(guò)程中有些人休息：通常假設(shè)不休息來(lái)算。②輪番工作時(shí)：通慣用周期來(lái)算。計(jì)算每輪工作效率，算出最終一輪實(shí)際工作量，以及最終剩下工作量怎樣分配。(3)一些題型，不論合作還是輪番，按照兩人工作效率，甲做天數(shù)能夠轉(zhuǎn)化為相當(dāng)于乙做了多少天?！纠}1】一件工作，甲單獨(dú)做12天完成，乙單獨(dú)做9天完成。按照甲先乙后次序每人每次1天輪番，完成需幾天？A.31/3B.32/3C.11D.10【解析】設(shè)工作總量為36，則甲天天做3份，乙天天做4份，輪番2天可做7份。36÷7＝5……1，即甲乙輪番工作10天余1份，第11天時(shí)，甲完成剩下1/3即可，所以共需31/3天?！纠}2】一件工作，甲、乙兩人合作30天能夠完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.假如這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？【解析】解法一：甲乙合作30天可做完；現(xiàn)在甲做6天，乙做46天可做完，前后對(duì)比甲少做24天，乙多做16天，所以甲乙效率之比為6：4。所以乙做30天相當(dāng)于甲做了45天，所以乙獨(dú)做需75天；甲做30天相當(dāng)于乙做20天，所以乙獨(dú)做需要50天。解法二：共同做了6天后，還成4/5工作量，乙做4/5工作量需要40天，所以乙獨(dú)做需要50天，即乙天天做1/50，甲乙合作時(shí)乙做了30/50=3/5，甲做了2/5，甲做2/5工作量需30天，所以甲獨(dú)做需75天。【例題3】一件工程，甲單獨(dú)做10天完成，乙單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲休息了2天，乙休息了8天。問開始到完工共用了多少天時(shí)間？【解析】解法一：設(shè)工作總量為30份，甲天天完成3份，乙天天完成1份。在甲單獨(dú)做8天，乙單獨(dú)做2天后，還需兩隊(duì)合作(30-3×8-1×2)÷(3+1)=1天，所以共需8+2+1=11天【例題4】甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成。現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了若干天，從開始到完成共用了16天。問乙隊(duì)休息了多少天？【解析】解法一：假如16天兩隊(duì)都不休息，能夠完成工作量是16×(1/20+1/30)=4/3則兩隊(duì)休息期間未做工作量為1/3，乙隊(duì)休息期間未做工作量1/3-3×(1/20)=11/60，乙隊(duì)休息天數(shù)是11/60÷(1/30)=5.5天解法二：甲乙效率之比為3:2，甲單獨(dú)做需20天，現(xiàn)在甲休息了3天，即甲做了13天，甲若再做7天即可完成，轉(zhuǎn)化為乙做了10.5天，全部乙休息了16-10.5=5.5天。2.工程問題——水管問題【例題3】甲、乙兩管同時(shí)打開，9分鐘能注滿水池?，F(xiàn)在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經(jīng)過(guò)3分鐘就注滿了水池。已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個(gè)水池容積是多少立方米？【解析】解法一：甲每分鐘注入水量是：(1-1/9×3)÷10=1/15，乙每分鐘注入水量是：1/9-1/15=2/45。所以水池容積是：0.6÷(/15-2/45)=27m3解法二：甲管9分鐘，乙管9分鐘可注滿；甲管13分鐘，乙管3分鐘注滿。前后對(duì)比甲管多進(jìn)水4分鐘，乙管少進(jìn)水6分鐘，即甲管和乙管效率之比為4：6。已知甲管比乙管每分鐘多注水0.6m3，所以兩管每分鐘共進(jìn)水3m3，所以水池容積為3×9=27m3十四、行程問題(1)相遇問題：旅程和=速度和×?xí)r間（S1+S2）=（v1+v2）t(2)追及問題：旅程差=速度差×?xí)r間（S1+S2）=（v1+v2）t(3)直線數(shù)次相遇問題：兩人相向而行，第n次相遇時(shí)兩人行走總旅程S總=(2n-1)S(4)環(huán)形運(yùn)動(dòng)問題：圓形跑道長(zhǎng)為S，兩人走旅程分別為S1、S2同地異向而行，相鄰兩次相遇間所走旅程和為周長(zhǎng)，第n次相遇時(shí)兩人走總旅程為nS同地同向而行，相鄰兩次相遇間所走旅程差為周長(zhǎng)，第n次追上時(shí)兩人走旅程差為nS1.沿途數(shù)車問題發(fā)車時(shí)間間隔T=(2t1t2)/(t1+t2)車速/人速=(t1+t2)/(t2-t1)〔t1為迎面來(lái)一輛車所需時(shí)間，t2為從身后超出一輛車所需時(shí)間〕【例題】小紅沿某路公共汽車路線以不變速度騎車去學(xué)校，該路公共汽車也以不變速度不停地運(yùn)行，每隔6分鐘就有輛公共汽車從后面超出她，每隔10分鐘就碰到迎面開來(lái)一輛公共汽車，公共汽車速度是小紅騎車速度（）倍？A.3B.4C.5D.6【解析】車速/人速=(10+6)/(10-6)=42.公交車超騎車人和行人問題【例題】一條街上，一個(gè)騎車人和一個(gè)步行人相向而行，騎車人速度是步行人3倍，每個(gè)隔10分鐘有一輛公交車超出一個(gè)行人。每個(gè)隔20分鐘有一輛公交車超出一個(gè)騎車人，假如公交車從始發(fā)站每隔相同時(shí)間發(fā)一輛車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車?t人=超行人時(shí)間，t車=超自行車時(shí)間，v人=人速度，v車=自行車速度通解公式：發(fā)車時(shí)間間隔T=[t人t車(v車-v人)]/(v車t車-v人t人)上題代入解得T=83.隊(duì)伍行走問題：已知：v1為傳令兵速度，v2為隊(duì)伍速度，L為隊(duì)伍長(zhǎng)度。從隊(duì)尾到隊(duì)首時(shí)間為：L/((v1-v2)從隊(duì)首到隊(duì)尾時(shí)間為：L/(v1+v2)4.行程問題——停留問題，化靜為動(dòng)對(duì)待問題。我們能夠假設(shè)停留時(shí)間沒有停留，把它們二者停留時(shí)間按照原速度計(jì)入總旅程中?！纠}1】快慢兩車同時(shí)從甲乙兩站相對(duì)開出，6小時(shí)相遇，這時(shí)快車離乙站還有240千米，已知慢車從乙站到甲站需行15小時(shí)，兩車到站后，快車停留半小時(shí)，慢車停留1小時(shí)返回，從第一次相碰到返回途中再相遇，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)?【解析】相遇時(shí)快車距離乙站240km，即為相遇時(shí)慢車走了240km，則v慢=40km/h，甲乙兩地總旅程為40×15=600km，所以，相遇時(shí)快車走了360km，則v快=60km/h從第一次相碰到返回途中再相遇，兩車共行旅程為甲乙兩站距離2倍，假設(shè)快車不在乙站停留0.5小時(shí)，慢車不在甲站停留1小時(shí)，則兩車從第一次相碰到第二次相遇所行總旅程為600×2+60×0.5+40×1=1270km，兩次相遇期間所經(jīng)時(shí)間為1270÷(60+40)=12.7h【例題2】甲乙兩人同時(shí)從東鎮(zhèn)出發(fā)，到相距90千米西鎮(zhèn)辦事，甲騎自行車每小時(shí)行30千米，乙步行每小時(shí)行10千米，甲到西鎮(zhèn)用1小時(shí)辦完事情沿原路返回，途中與乙相遇。問這時(shí)乙走了多少千米?【解析】甲從東鎮(zhèn)到西鎮(zhèn)，返回時(shí)與乙相遇，故兩人所行旅程總和為90×2=180km，但因甲到西鎮(zhèn)用了1小時(shí)辦事。倘若甲在這1小時(shí)中沒有停留，而是繼續(xù)騎行，這么兩人所行總旅程應(yīng)為：90×2+30=210km，則相遇時(shí)間為：210÷(30+10)=5.25h，則乙行了10×5.25=52.5km。十五、流水行船問題v順=v船+v水v逆=v船-v水v船=(v順+v逆)/2v水=(v順-v逆)/2v船/v水=(v順+v逆)/(v順-v逆)已知：A、B兩地由一條河流相連，輪船勻速前進(jìn)，從A到B順流需時(shí)間T順，從B到A逆流需時(shí)間T逆。(1)漂流時(shí)間=2T順·T逆/(T逆-T順)輪船在靜水中從A到B時(shí)間=2T順·T逆/(T逆+T順)【例題1】輪船從A城到B城需行3天，而從B城到A城需行4天.從A城放一個(gè)無(wú)動(dòng)力木筏，它漂到B城需多少天?【解析】代入公式：2×3×4÷(4-3)=24天【例題2】輪船從A城到B城需行3天，而從B城到A城需行6天，若輪船在靜水中從A到B需要多長(zhǎng)時(shí)間?【解析】代入公式：2×3×6÷(3+6)=4天(3)數(shù)次相遇公式：S1為第一次相遇時(shí)距離，S2為第二次相遇時(shí)距離。S1和S2相正確是同一地點(diǎn)，則為單岸型，不一樣地點(diǎn)則為雙岸型。①單岸型：S=(3S1-S2)/2②雙岸型：S=3S1-S2(4)行船復(fù)雜問題【例題】一只游輪從甲港順流而下到乙港，又逆水返回甲港，共用8小時(shí)，順?biāo)啃r(shí)比逆水每小時(shí)多行12千米，前4小時(shí)比后4小時(shí)多行30千米。甲、乙兩港相距多少千米?A.72B.60C.55D.48【解析】全程共用8小時(shí)，所以逆水行船花時(shí)間過(guò)半，后4小時(shí)全部是逆水行船，前4小時(shí)有一部分是順?biāo)?，一部分是逆水。解法一：因?yàn)槟嫠俣炔蛔儯郧?小時(shí)比后4小時(shí)多行駛距離就是順?biāo)畷r(shí)多行距離，能夠得出：t順=30/12=2.5h，t逆=5.5h則v順/v逆=5.5/2.5=2.2倍，v順-v逆=1.2v逆=12km/h，則v逆=10km/h，甲乙兩港距離就是10×5.5=55km。解法二：v逆=v順-12S逆=4v順-48S=S逆+15=4v順-33由S/v順+15/v逆=S逆/v逆代入解得v順=22則S=55km排列組合2.“在位”與“不在位”：n個(gè)元素中取m個(gè)元素排列①某元素必在某位有種②某元素不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種【例題】5本書從左到右依次擺在書架上，其中一本書既不能擺在排頭，也不能擺在排尾，一共有多少種擺法？【解析】解法一：補(bǔ)集思想。5本書排列，若不限制條件，共有種排法；其中某種書排在排頭或排尾有種，它不符合條件，故符合條件排法有=72種解法二：插空法。先把不能擺在排頭也不能擺在排尾書拿開，讓其余4本書做全排列，有種，然后再把那本書插入中間3個(gè)空隙處，有種。全部共有=72種解法三：看眼位置。某本書既不能擺在排頭，也不能擺在排尾，這兩個(gè)位置只能擺其余4本書，有種；中間3個(gè)位置只能排余下3本書，有種。所以共有=723.排列組合基本問題①捆綁法：n個(gè)元素全排列，k個(gè)元素必須相鄰排法有種?！矐?yīng)用于不相鄰問題，先將相鄰元素全排列，然后視為一個(gè)整體與剩下元素全排列〕②插空法：n個(gè)元素全排列，k個(gè)元素不能相鄰排法有種。〔應(yīng)用于相鄰問題，先將剩下元素全排列，然后將不相鄰元素有序插入所成間隙中〕③兩組元素各相同插空：m個(gè)A類元素n(n≤m+1))個(gè)B類元素排成一列，B類元素必須分開，有種排法④插板法：n個(gè)元素分成m組，每組最少一個(gè)元素，可用m-1個(gè)“擋板”插入n個(gè)元素形成n-1個(gè)空隙中，將元素分成m組，有種。5.平均分組問題：將mn個(gè)元素平均分成n組，每組m個(gè)，分法有

6.環(huán)線排列問題：n元素排成一圈，排法有種

注意：n個(gè)珍珠串成一條項(xiàng)鏈，有種/2n=?(n-1)!種串法。7.多人傳球問題：n人傳接球m次，則傳球種數(shù)x=(n-1)m/n[最靠近x整數(shù)為末次傳他人次數(shù)，第二靠近x整數(shù)為末次傳給自己次數(shù)]【例題】四人進(jìn)行籃球傳接球練習(xí)，要求每人接球后再傳給他人。開始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲手中，則共有傳球方式（）。A.60種B.65種C.70種D.75種【解析】(4-1)5/4=60.75最靠近是61為最終傳到他人次數(shù)，第二靠近是60為最終傳給自己次數(shù)。即選A8.比賽場(chǎng)次問題：已知n人參賽人數(shù)單循環(huán)場(chǎng)次=雙循環(huán)場(chǎng)次=淘汰賽(僅需決出冠亞軍)：比賽場(chǎng)次=n-1淘汰賽(需決出冠亞季軍)：比賽場(chǎng)次=n【例題】8支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，每?jī)芍蜿?duì)都比一場(chǎng)，勝者得2分，敗者得0分，平局各得1分，比賽結(jié)束后，全部球隊(duì)總分和是()。A.28B.56C.84.D.112【解析】單循環(huán)比賽共需比賽場(chǎng)次=8×7/2=28，每場(chǎng)不論勝敗，還是平平，都是每場(chǎng)產(chǎn)生2分分值，則總分和為28×2=56分。9.錯(cuò)位重排問題(伯努利-歐拉問題)，指把n個(gè)元素位置重新排列，使每個(gè)元素都不在原來(lái)位置上排列問題。遞推公式：n封信錯(cuò)位重排方數(shù)：Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1)[Dn=0，1，3，9，44]緊記【例題】小明要給自己6位好朋友分別寫一封信，在裝信時(shí)候一不小心只有2個(gè)信封上寫對(duì)了地址，問寫錯(cuò)可能情況有多少種?A.90種

B.115種

C.125種

D.135【解析】只有2封寫對(duì)了地址，說(shuō)明有4封寫錯(cuò)了，先選出哪4封寫錯(cuò)了，即=15種，4封寫錯(cuò)了相當(dāng)于是4個(gè)元素錯(cuò)位重排，有9種情況，再利用分布相乘15×9=135種10.排列組合之涂色問題

將一個(gè)圓環(huán)分成n(n≥2)個(gè)扇形區(qū)域，現(xiàn)用k(k≥2)種不一樣顏色對(duì)這n個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色不一樣，染色方法有多多少種？

An=(k-1)n+(-1)n(k-1)〔n為區(qū)域數(shù)，k為顏色種類數(shù)〕

【例題】

將一個(gè)四棱錐每個(gè)頂點(diǎn)染上一個(gè)顏色，并使同一條棱兩端異色。只有五種顏色可供使用，則不一樣染色方法有(

)種。

【解析】將四棱錐轉(zhuǎn)化為圓環(huán)染色問題，中間區(qū)域P染色方法有=4種；其余4個(gè)區(qū)域還剩3種顏色可供選擇，依照公式有(3-1)4+(-1)4×(3-1)=18種。所以共有18×4=72種

11.賀卡問題[了解]同寢室4人各寫一張賀年卡,先集中起來(lái),然后每人從中拿1張他人送出賀年卡,則4張賀年卡不一樣分配方式有（）種?

該類問題公式，也慣用于取球時(shí)不取到屬于自己球。此題代入公式十七、概率問題總體概率=滿足條件各種情況概率之和

分布概率=滿足條件每個(gè)步驟概率之積

某條件成立概率=總概率—該條件不成立概率1.互斥事件A，B分別發(fā)生概率和P(A＋B)=P(A)＋P(B)n個(gè)互斥事件分別發(fā)生概率和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)2.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生概率P(AB)=P(A)·P(B)n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率P(A1·A2·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)3.條件概率：事件A在另外一個(gè)事件B已經(jīng)發(fā)生條件下發(fā)生概率。條件概率表示為P（A|B），讀作“在B條件下A概率”。P(A|B)=P(AB)/P(B)

4.全概率公式P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)

=P(B1)×P(A|B1)+P(B2)×P(A|B2)+...+P(Bn)×P(A|Bn)=P(Bi)P(A|Bi)

5.伯努利概率模型假如試驗(yàn)A有只有兩個(gè)基本事件A及，P(A)=p，P()=1-p(0＜p＜1)。

每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生概率為p，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次概率【例題】小王開車上班需經(jīng)過(guò)4個(gè)交通路口，假設(shè)經(jīng)過(guò)每個(gè)路口碰到紅燈概率分別為0.1、0.2、0.25、0.4，則他上班經(jīng)過(guò)4個(gè)路口最少有一處碰到綠燈概率是(

)。

A.0.899

B.0.988

C.0.989

D.0.998

【解析】利用逆向思維，“最少有一次碰到綠燈”反面情況就是“一次綠燈都遇不到”，即“全碰到紅燈”，而全碰到紅燈概率為0.1×0.2×0.25×0.4=0.002，所以答案是是1—0.002=0.998，所以選D。十八.其余數(shù)量關(guān)系考點(diǎn)1.剪繩問題一根繩連續(xù)對(duì)折n次，從中剪m刀，則被剪成段數(shù)=2n·m+12.握手問題：n個(gè)人彼此握手，則總握手?jǐn)?shù)N=n(n-1)/2該類問題思想：如直線交點(diǎn)問題，有以下分析：

①要產(chǎn)生最多交點(diǎn)時(shí)，每條直線必須與其余直線都有交點(diǎn)；

②當(dāng)有n條直線相交時(shí)，每條直線與其余直線(n-1)個(gè)交點(diǎn)，共產(chǎn)生n(n-1)個(gè)交點(diǎn)，不過(guò)均重復(fù)一次，所以產(chǎn)生交點(diǎn)數(shù)最多有n(n-1)/2【例題】某個(gè)班同學(xué)體育課上玩游戲，大家圍成一個(gè)圈，每個(gè)人都不能跟相鄰2個(gè)人握手，整個(gè)游戲一共握手152次，請(qǐng)問這個(gè)班同學(xué)有()人。A.16B.17C.18D.19【解析】此題看上去是一個(gè)排列組合題，不過(guò)卻是使用多邊形對(duì)角線原理在處理此題。按照排列組合假設(shè)總數(shù)為x人，則=152。不過(guò)計(jì)算想當(dāng)麻煩。若以某個(gè)人為研究對(duì)象，則這個(gè)人需要握x-3次手。每個(gè)人都是這么。則總共握了x(x-3)次手，不過(guò)沒2個(gè)人之間握手都重復(fù)計(jì)算了1次。則實(shí)際握手次數(shù)是x(x-3)/2=152，計(jì)算x=19人。3.過(guò)河爬井問題①M(fèi)個(gè)人過(guò)河，船上能載N個(gè)人，因?yàn)樾枰猲人劃船，故共需過(guò)河次數(shù)=(M-N)/(N-n)+1=M-n/N-n①青蛙從井底向上爬，井深M米，青蛙每跳上N米，又滑下n米，這么青蛙需跳出井需要次數(shù)=(總長(zhǎng)-單長(zhǎng))/實(shí)際單長(zhǎng)+1=(M-N)/(N-n)+1=M-n/N-n【例題】有37名戰(zhàn)士渡河，現(xiàn)在只有一條小船，每次只能載5人，需要幾次才能渡完？（）A.7B.8C.9D.10【解析】(37-1)/(5-1)=9選C。4黑夜過(guò)橋問題：過(guò)河時(shí)間最短人先過(guò)；已過(guò)人中最短時(shí)間人返回；剩下人過(guò)河時(shí)間最長(zhǎng)過(guò)河…5.頁(yè)碼問題一本書頁(yè)碼一共用了270個(gè)數(shù)字，求這本書頁(yè)數(shù)。頁(yè)數(shù)=(270+12×9)/3=126頁(yè)公式：10-99頁(yè)：頁(yè)數(shù)=(數(shù)字+1×9)/2100-999頁(yè)：頁(yè)數(shù)=(數(shù)字+12×9)/31000-9999頁(yè)：頁(yè)數(shù)=(數(shù)字+123×9)/4數(shù)據(jù)分配與和定極值問題【例題】有4支隊(duì)伍進(jìn)行4項(xiàng)體育比賽，每項(xiàng)比賽第一、第二、第三、第四名分別得到5，3，2，1分。每隊(duì)4項(xiàng)比賽得分之和算作總分，假如已知各隊(duì)總分不相同，而且A隊(duì)取得了三項(xiàng)比賽第一名，問總分最少隊(duì)伍最多得多少分?A.7B.8C.9D.10【解析】要讓總分最少隊(duì)伍得分最多，其余隊(duì)伍得分要盡可能少。已知4項(xiàng)比賽總分共為44分。A隊(duì)已取得了三項(xiàng)比賽第一名，那么要想讓A隊(duì)得分盡可能少，最終一項(xiàng)比賽得第四名，即：A隊(duì)總分為3×5+1=16分。設(shè)總分最少隊(duì)伍得分為x，則剩下兩個(gè)隊(duì)伍比它多但要盡可能和它靠近，只能是x+1，x+2。所以16+x+x+1+x+2≤44，x≤8.3，因?yàn)榈梅种荒転檎麛?shù)，那么x=8。7.電梯問題順行能看到級(jí)數(shù)=（v人+v電）t順逆行能看到級(jí)數(shù)=（v人-v電）t逆【例題】甲、乙兩人在勻速上升自動(dòng)扶梯從底部向頂部行走，甲每分鐘走扶梯級(jí)數(shù)是乙2倍；當(dāng)甲走了36級(jí)抵達(dá)頂部，而乙則走了24級(jí)到頂部。那么，自動(dòng)扶梯有多少級(jí)露在外面？（

）【解析】甲乙二人速度比為2：1，所以當(dāng)甲抵達(dá)扶梯頂部時(shí)也就是甲走了36級(jí)時(shí)，乙走了18級(jí)，因?yàn)槎顺俗娞菟俣认嗤滞瑫r(shí)，所以兩種方式電梯走過(guò)旅程相同，此時(shí)乙距離頂部還有36-18=18級(jí)。而乙走了24級(jí)抵達(dá)頂部，已經(jīng)走了18級(jí)，還需要再走24-18=6級(jí)，而距離頂部還有18級(jí)，說(shuō)明還有18-6=12級(jí)是扶梯走。由此能夠推斷扶梯和乙速度比為12：6=2：1，因?yàn)闀r(shí)間相同時(shí)旅程比等于速度比，也就說(shuō)明了扶梯速度和甲速度相等，那么相同時(shí)間甲和扶梯旅程也相等，所以扶梯級(jí)數(shù)為36×2=72。調(diào)和平均數(shù)應(yīng)用①等距離平均速度問題：v=1v2/(v1+v2)②等價(jià)格平均價(jià)格問題：均價(jià)p=n/[（1/p1）+(1/p2)+…+(1/pn)]【例題】某店購(gòu)進(jìn)甲、乙、丙三種不一樣糖，全部費(fèi)用相等，甲、乙、丙三種糖每千克費(fèi)用分別為4.4元，5元，6.6元，把三種糖混在一起后每千克成本多少元？【解析】解法一：代入公式，均價(jià)A=3/[(1/4.4)+(1/6)+(1/6.6)]=5.5元解法二：設(shè)所用費(fèi)用均為66元，則甲、乙、丙重量分別為15，11，10?；旌铣杀?（66×3）/(15+11+10)=5.5元③等溶質(zhì)增減問題：〔ci為第i次溶液濃度，i=1，2，3…〕【例題】④沿途數(shù)車問題：發(fā)車時(shí)間間隔T=(2t1t2)/(t1+t2)車速/人速=(t1+t2)/(t2-t1)〔t1為迎面來(lái)一輛車所需時(shí)間，t2為從身后超出一輛車所需時(shí)間〕推導(dǎo)資料分析基礎(chǔ)公式1.同(環(huán))比增