2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)空間幾何體的表面積與體積

2223()3()()22222222222019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間幾何體的表面積與體積2223()3()()2222222222空間幾何的表面積與積．體、錐體、臺(tái)體的表面積(1)直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)積S＝，＝，S＝__________(其C，為面周長高，為高)．

已知圓錐的正視圖是邊長為2等邊三角形，則該圓錐體積為)2πB.π3(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積S＝________＝________，

＝

解易圓錐的底面直徑為2母線長為2則該圓錐的高為－＝因此其體積是π1×＝________(其中rr′為底面半徑，l為線．柱臺(tái)的表面積等于________與的

3

故選C.(2017·天)已一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一和，錐體的表面積等________________和．．體、錐體、臺(tái)體的體積

個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為，則這個(gè)球的體積為()(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

9

B．33

．9

D．27V

＝，V

＝__________

＝

解：由正方體的表面積為，得正方體的棱長為(其中，S為底面積，h為)．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積V＝，＝__________V(其中r，r′為底面圓的半徑，為)．的表面積與體積(1)半徑為的的表面積＝________．(2)半徑為的的體積＝自自

＝

設(shè)該正體外接球的半徑為，則2＝，＝，π427π所以這個(gè)球的體積為＝×＝故選.82(2016·全卷)圖幾體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若28該幾何體的體積是，它的表面積()AπBππDπ．(1)Ch

Ch＋′

h

解由視圖知，該幾何體是個(gè)，設(shè)球的半徑(2)2rlrlπ(r＋rl(3)側(cè)面積兩個(gè)底面積側(cè)積一底面積．(1)ShhS＋′S1(2)πrhπrhhr＋rr＋′

28為，則＝×π＝，解得R＝2所以它的表333面積是×4×2＋××2＝π故選A.(2017·全卷)方體的長分別為3，，，其頂點(diǎn)都在球O的面上，則球的面積為．(1)4πR

3

．解：長體的體對角線長為3＋＋＝，

2122123記長方體的外接球的半徑為，有R＝14，＝2122123，因此球的面積等于πR＝π故填14(2017·江蘇)如圖圓O內(nèi)一個(gè)球O，12該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱OO1V的體積為VO的體積為的是．1V2

若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積等于．解：由視圖可知此三棱柱是一個(gè)底面邊長為2的正三角形、側(cè)棱為1的直三棱柱．則此三棱柱的側(cè)面積為2×＝6底面積都為

×2＝，解：設(shè)球O半徑為r，則圓柱的底面半徑為r、

所以此三棱柱的表面積為＋2故＋2.Vr·r高為2r，所以＝＝故填.V42πr

類二

空旋體面問幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積________．類一

空多體面問全國卷Ⅲ如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為粗實(shí)線畫出的是某多體的三視圖該多面體的表面積()A18＋5B54＋18C．．81解：由視圖可得該幾何體是平行六面體，上下底面是邊長為的正方形面積都是前后兩個(gè)側(cè)面是平行四邊形，一邊長為，該邊上的高為，故面積都為18，左右兩個(gè)側(cè)面是矩形，邊長和，故面積都為則該幾何體的表面積為2(9＋＋5)＝＋18故選.【點(diǎn)撥】

解：先據(jù)三視圖還原該幾何體的形狀，如圖所示，則該幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積S、臺(tái)的1側(cè)面積以底面積的．23因?yàn)椋健?··3＝，112πS＝＋×3＝，＝·＝，2π5555所以＝＋＋＝6＋＋＝.填14【點(diǎn)撥】陜西一個(gè)何體的三視如圖所示，則該幾何體的表面積()

2DBE222DBE22”“”

“AπB．4．2＋．π＋解：該幾何體為半圓柱，底面半為，高為2其表面積為×＋2＋×π×13π＋4.選D

已知過三棱臺(tái)上底面的一邊與一條側(cè)棱平行的一個(gè)截面的個(gè)頂點(diǎn)下底面兩邊的中點(diǎn)，棱臺(tái)被分成兩部分的體積分別為V，V＜)，12V∶＝________.1類三

空多體體問如圖，在多面體ABCDEF中已知ABCD是邊長為的方，且△ADE，△均為正三角形，EF＝，則該多面體的體積()

解設(shè)臺(tái)上底eq\o\ac(△,面)AB′的面積為，臺(tái)的高為h由題意可知eq\o\ac(△,：)AB≌△.因?yàn)椤鳌住鱀分別是，BC的點(diǎn)，

3C.D.2

S1所以＝所以＝SABCABC所以＝h·S＋′·4S＋4ABC-ABC解：如圖，過A，B兩分別作AM，BN垂直于分別為CN得DM，

7＝·7′＝·′CNEF，則多面體分為三部分，即多面體

又因?yàn)閂

＝h，DBEBC的體積V＝＋＋ABCDEFAMDAMDF

所以∶＝3故填∶1類四

空旋體體問依題意知AEFB為腰梯形．易知eq\o\ac(△,Rt)DMEeq\o\ac(△,Rt)，以EM＝NF又BF＝，所以BN.作NH垂于BC則H為的點(diǎn)，所以NH

已知球的外切圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為r，R，求圓臺(tái)的體積．解：如，圖①是該幾何體的觀圖，圖②是該幾何體的軸截面平面圖．＝

所以

＝·BC＝所以

F

＝··＝，2V＝＝＝·MN.EAMDFAMDBNC所以＝，故選AABCDEF3

圓臺(tái)軸截面為等腰梯形，與球的大圓相切，根據(jù)切線長定理＝，得梯形腰長為＋1r，梯形的高即球的徑長為【點(diǎn)撥】

OO＝－－OA）11

2

＝（Rr）－－r）

2

222222222222222222所以球的半徑為rR臺(tái)的體積＝×2Rr(r＋＋R＝Rr(r＋＋)．【點(diǎn)撥】(2017·全卷Ⅲ)已圓柱的高為，的兩個(gè)底面的圓周在直徑為的一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積()πAπ2解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r＝1－＝，3所以，圓柱的體積＝π1，故選4．何體的展開與折疊幾體的表面積，除球以外，一般都是利用展開圖求得的，利用空間問題平面化的思想，把一個(gè)平面圖形折疊成一個(gè)幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間想象能力的常用方法．(2)多面體的展開圖①直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形；②正棱錐的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形；③正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形．(3)旋轉(zhuǎn)體的展開圖①圓柱的側(cè)面展開圖是矩形的(或?qū)?底面圓周長，寬或)是圓柱的母線長；

有關(guān)空間幾何體的表面積的計(jì)算通常是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，這是解決立體幾何問題常用的基本方法．計(jì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的表面積，可以分別求各面面積，再求和，對于直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)也可直接利用公式；圓、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算其側(cè)面積時(shí)需將曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．．間幾何體的體積的計(jì)算方法計(jì)柱、錐、臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面，特別是軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．注意求體積的一些特殊方法割法補(bǔ)法、還臺(tái)為錐法、等積變換(求三棱錐的體積可靈活變換頂點(diǎn)與底面等，它們是計(jì)算一些不規(guī)則幾何體體積常用的方法，應(yīng)熟練掌握．利三棱錐的“等體積性”可以解決一些點(diǎn)到平面的距離問題，即將點(diǎn)到平面的距離視為一個(gè)三棱錐的高，通過將其頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助體積的不變性解決問題．．某何的三視圖如圖所示，則其表面積為()②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半徑長是圓

Aπ

Bπ

C．π

D．4錐的母線長，弧長是圓錐的底面周長；③圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長分別為圓臺(tái)的上、下底面周長．注：圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積公式＝cl和＝′＋c)l與角形和梯形的面積公在形式上相同，可將二者聯(lián)系起來記憶．．間幾何體的表面積的計(jì)算方法

解由三視圖可知，該幾何體為半徑為r＝1的球體表面積為底面圓面積加上半球面的面積以＝r＋×4r＝×＋×π×＝π.故選C．知某三棱錐的三視(單位：如圖所示，則該三棱錐的體積是)

333323333322232下底底面半徑分別為和圓臺(tái)．所以S＝×333323333322232＋2)＝故選B5．圖有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高cm，將一個(gè)球放在容器口，向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，果不計(jì)容器厚度，則球的體積為()A1cmB．cmC．3D解由可知三棱錐底面積＝×12)，三棱錐的高＝3cm，根據(jù)三棱錐體公式＝Sh＝×1×＝)．故選A.．圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1粗線畫出的是某幾何體的三視圖幾何體的體積為()

ππC.πcmπcm解：由球的性質(zhì)得，球在正方體口所截的圓的直徑為8球心到截面圓的距離為R－2，R＝(R2)＋得R＝以球的體積＝π3

23＝

500π

(cm

3

)．故選AA6B．9C．D18

．(2015·全卷已知AB是O的面上兩點(diǎn)，∠＝，C為球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O體的最大值為，則球的面積為()Aπ

Bπ

144

D256π解由視圖可推知幾體的直觀圖如圖所示，可知＝6CD3，PC＝3CD垂平分AB，且1⊥平面ACB故所求幾何體的體積為××6××39.選B．圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中正視圖和側(cè)視圖都是一個(gè)兩底長分別為2和為的等腰梯形，則該幾何體的側(cè)面積()

解圖示⊥面時(shí)棱-的體積最大，設(shè)球的半徑為R，則V＝VABCAOB11＝×R×＝＝36得R＝6所以球O的面積2S＝4R144.選.正四棱臺(tái)的側(cè)棱長為兩底面邊長分別為cm和5，則正四棱臺(tái)的體積為．解：正四棱臺(tái)-AD如O，O是1111底面的中心，AπB．πC18．π解三圖知幾體為一線長等于4、

因?yàn)椋?，＝，所以AO＝11

，AO

2222232222322222222322222322223222222223＝所OO－2－＝1.12體積＝×[1＋5＋1×5]×(1＋255)3＝(cm)故填.．圖半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長為6則球的表面積和體積分別為，________.解：底面中心與C連即為半徑，設(shè)球的半為R＝6)＋3)＝所以＝3以＝＝π，V＝R＝π.填36；36.．知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓面積為S，求圓錐的底面面積．解如所示設(shè)錐底面半徑r母線長為l

AD＝＝2，AB1＝2，＝，＝，所以＝×3×26.則該幾何的表面積SPBC2（12）×211＝＋×2×××2＋×2×2＋22＝＋＋11．(2017·全卷Ⅲ如圖，四面體中eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)是三角形＝CD證明AC；已是角角形AB＝BD若為棱BD上D不重合的點(diǎn)AE⊥EC面體與四面體的積比．解：(1)明：取的中點(diǎn)O連接DO，BO因?yàn)锳DCD，所以AC⊥又由eq\o\ac(△,于)是正三角形，所以AC⊥BO從而⊥平面DOB，故AC⊥BD連接.πl(wèi)＝，S由題意得解得r所底面積為πrππl(wèi)2πrS＝×＝.π．廣南寧二中高三月考)如為某幾何體的三視圖，求該幾何體的表面積．

由(1)及題設(shè)∠ADC＝，所以DO＝.在eq\o\ac(△,Rt)AOB中＋AO＝AB.又＝BD所以BO＋DO＝BO＋AO＝AB＝BD，DOB＝由題設(shè)eq\o\ac(△,知)為角三角形，所以EOAC.又△是三角形＝EOBD故E為中點(diǎn)從而E到面ABC的離